函數(shù)的奇偶性及奇偶函數(shù)的圖象

關(guān)于函數(shù)的奇偶性及奇偶函數(shù)的圖象函數(shù)y=f(x)在定義域A內(nèi)任取一個(gè)x∈A，且－x∈A1)都有f(－x)=f(x)2)都有f(－x)=－f(x)3)都有f(－x)≠－f(x)且f(－x)≠f(x)則f(x)是偶函數(shù)則f(x)是非奇非偶函數(shù)則f(x)是奇函數(shù)問(wèn)題：1）奇偶性在什么范圍內(nèi)考慮的？2）在定義域A內(nèi)任取一個(gè)x,則－x一定在定義域A內(nèi)嗎？注意：1）奇偶性在整個(gè)定義域內(nèi)考慮；2）定義域若不是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的區(qū)間，則f(x)是非奇非偶函數(shù)；3）考慮函數(shù)奇偶性必需先求出定義域。第2頁(yè),共12頁(yè)，2024年2月25日，星期天例1、判斷下列函數(shù)是否有奇偶性：1）f(x)=6x6+3x2+12）f(x)=－x3+x5解：此函數(shù)的定義域?yàn)镽∵f(－x)=6(－x)6+3(－x)2+1=6x6+3x2+1=f(x)∴f(x)是偶函數(shù)解：此函數(shù)的定義域?yàn)镽∵f(－x)=－(－x)3+(－x)5

=x3

－x5

=－(－x3+x5)=－f(x)∴f(x)是奇函數(shù)3）f(x)=x2+2x+44）f(x)=解：此函數(shù)的定義域?yàn)镽∵f(－x)=(－x)2+2(－x)+4=x2

－2x+4∴f(x)是非奇非偶函數(shù)解：此函數(shù)的定義域?yàn)閇－2,+∞)∴f(x)是非奇非偶函數(shù)第3頁(yè),共12頁(yè)，2024年2月25日，星期天例2：判斷函數(shù)f(x)=的奇偶性解：由題－4－101∴函數(shù)的定義域?yàn)閇－1,0)∪(0,1]此時(shí)f(x)==－f(x)故f(x)是奇函數(shù)第4頁(yè),共12頁(yè)，2024年2月25日，星期天判定函數(shù)的奇偶性的步驟：1）先求函數(shù)的定義域；若定義域不是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的區(qū)間，則函數(shù)為非奇非偶函數(shù)若定義域是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的區(qū)間，進(jìn)入第二步；2）計(jì)算f(－x)化向f(x)的解析式；若等于f(x)，則函數(shù)是偶函數(shù)若等于－f(x)，則函數(shù)是奇函數(shù)若不等于，則函數(shù)是非奇非偶函數(shù)3）結(jié)論。第5頁(yè),共12頁(yè)，2024年2月25日，星期天奇偶函數(shù)的圖象第6頁(yè),共12頁(yè)，2024年2月25日，星期天想一想觀察下列函數(shù)的奇偶性，并指出圖象有何特征？xyoy=x2

－2xyoy=x3xyoy=x+1圖象奇偶性圖象特征（1）（2）（3）奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)關(guān)于y軸成軸對(duì)稱(chēng)偶函數(shù)非奇非偶函數(shù)簡(jiǎn)稱(chēng)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)簡(jiǎn)稱(chēng)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)不關(guān)于原點(diǎn)及y軸對(duì)稱(chēng)第7頁(yè),共12頁(yè)，2024年2月25日，星期天定理：奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)；反之，如果一個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)（y軸）對(duì)稱(chēng)，那么這個(gè)函數(shù)是奇（偶）函數(shù)。此定理的作用：簡(jiǎn)化函數(shù)圖象的畫(huà)法。例3、如圖給出函數(shù)圖象的一部分，用對(duì)稱(chēng)法作出下列函數(shù)的圖象：xyoxyo1）若函數(shù)是奇函數(shù)2）若函數(shù)是偶函數(shù)第8頁(yè),共12頁(yè)，2024年2月25日，星期天例4、作出函數(shù)y=x2

－|x|－6的圖象解：當(dāng)x≥0時(shí)，y=x2

－x－6當(dāng)x＜0時(shí)，y=x2+x－6xyo若利用對(duì)稱(chēng)法作圖：先作出x≥0的圖象再用對(duì)稱(chēng)法作出另一半的圖象；可知函數(shù)是偶函數(shù)第9頁(yè),共12頁(yè)，2024年2月25日，星期天例5、已知f(x)是奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)=x2

－2x，求當(dāng)x＜0時(shí)，f(x)的解析式，并畫(huà)出此函數(shù)f(x)的圖象。xyo解：∵f(x)是奇函數(shù)∴f(－x)=－f(x)即f(x)=－f(－x)任意取x＜0時(shí)，則－x>0

∵x>0時(shí)f(x)=x2

－2x∴f(－x)=(－x)2

－2(－x)=x2+2x∴f(x)=－f(－x)=－（x2+2x）第10頁(yè),共12頁(yè)，2024年2月25日，星期天例6、已知f(x)是偶函數(shù)，而且在(－∞,0)上是增函數(shù)，問(wèn)f(x)在(0，+∞)上是增函數(shù)還是減函數(shù)？解：設(shè)0＜x1

＜x2

＜+∞在所證區(qū)間上取值則－∞＜－x2

＜－x1

＜0∵f(x)在(－∞,0)上是增函數(shù)∴f(－x2)＜f(－x1)∵f(x)是偶函數(shù)