2021-2022學(xué)年河南省洛陽市創(chuàng)新發(fā)展聯(lián)盟高二下學(xué)期第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)（文）試題

20212022學(xué)年河南省洛陽市創(chuàng)新發(fā)展聯(lián)盟高二下學(xué)期第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)（文）試題一、單選題1．“所有可以被5整除的整數(shù)，末位數(shù)字都是5”的否定是（

）A．所有可以被5整除的整數(shù)，末位數(shù)字都不是5B．所有不可以被5整除的整數(shù)，末位數(shù)字不都是5C．存在可以被5整除的整數(shù)，末位數(shù)字不是5D．存在不可以被5整除的整數(shù)，末位數(shù)字是5【答案】C【分析】根據(jù)全稱量詞命題的否定是特稱量詞命題即可求解.【詳解】“所有可以被5整除的整數(shù)，末位數(shù)字都是5”的否定是:存在可以被5整除的整數(shù)，末位數(shù)字不是5.故選：C.2．在中，內(nèi)角所對的邊分別為，若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用正弦定理角化邊可得，利用余弦定理可求得結(jié)果.【詳解】由正弦定理得：，令，，，.故選：A.3．關(guān)于下面演繹推理：大前提：冪函數(shù)的圖象恒過點.小前提：是冪函數(shù).結(jié)論：的圖象過點.下列表述正確的是（

）A．因大前提錯誤導(dǎo)致結(jié)論錯誤 B．因小前提錯誤導(dǎo)致結(jié)論錯誤C．因推理形式錯誤導(dǎo)致結(jié)論錯誤 D．此推理結(jié)論正確【答案】B【分析】判斷大前提和小前提的正誤后可得．【詳解】是指數(shù)函數(shù)，而非冪函數(shù)，所以是因小前提錯誤導(dǎo)致結(jié)論錯誤.故選：B．4．復(fù)數(shù)滿足，則的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】由的冪運算的周期性和復(fù)數(shù)除法運算法則可計算得到，由共軛復(fù)數(shù)定義可得，進而得到其對應(yīng)的點的坐標(biāo)，從而確定結(jié)果.【詳解】，，，，則對應(yīng)的點為，位于第四象限.故選：D.5．已知雙曲線的左、右焦點分別為，，雙曲線上有一點，若，則（

）A． B． C．或 D．或【答案】B【分析】由雙曲線定義可直接構(gòu)造方程求得結(jié)果.【詳解】由雙曲線方程知：；根據(jù)雙曲線定義知：，解得：（舍）或.故選：B.6．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的（

）A．2 B．1 C． D．【答案】C【分析】根據(jù)的周期性進行求解即可.【詳解】，；，；，；，；….所以的值以，，2的形式循環(huán)，當(dāng)時，輸出的.故選：C7．“”是“或”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】根據(jù)必要不充分條件的定義，前面推不出后面，后面推出前面，即可得到答案；【詳解】若，則A，B沒有公共元素，A，B不一定是空集；若或，則.故“”是“或”的必要不充分條件.故選：B8．已知函數(shù)的圖象在處的切線方程為，則（

）A．的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為B．的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為C．的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為D．的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為【答案】B【分析】由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，求出實數(shù)的值，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系可求得函數(shù)的增區(qū)間和減區(qū)間.【詳解】因為，則，由已知可得，解得，所以，.由，得；由，得．故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為．故選：B.9．世紀(jì)末，挪威測量學(xué)家維塞爾首次利用坐標(biāo)平面上的點來表示復(fù)數(shù)，使復(fù)數(shù)及其運算具有了幾何意義，例如，也即復(fù)數(shù)的模的幾何意義為對應(yīng)的點到原點的距離．已知復(fù)數(shù)滿足，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由復(fù)數(shù)幾何意義可得的軌跡為圓，從而將問題轉(zhuǎn)化為點到點的距離，則所求最大值為圓心到的距離加上半徑.【詳解】，對應(yīng)的點的軌跡為圓；的幾何意義為點到點的距離，.故選：C.10．在三角形中，我們將三條邊的中線的交點稱為三角形的重心，且重心到任一頂點的距離是到對邊中點距離的2倍.類比上述結(jié)論可得：在三棱錐中，我們將頂點與對面重心的連線稱為三棱錐的“中線”，將三棱錐四條“中線”的交點稱為三棱錐的“重心”.則三棱錐的“重心”到頂點的距離是到對面重心距離的（

）A．倍 B．2倍 C．倍 D．3倍【答案】D【分析】本題考查類比推理的思想，通過空間幾何與平面幾何的結(jié)合，利用相似三角形思想解題.【詳解】如圖，在四面體中，為的中點，連接，，且，分別為，的重心，，交于點，在中，，分別為，的三等分點，則，所以，，即與相似，比例為1：3，所以，故三棱錐的“重心”到頂點的距離是到對面重心距離的3倍.故選：D11．已知，分別為橢圓的左?右焦點，是上一點，為坐標(biāo)原點，過點作的角平分線的垂線，垂足為，若，，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】延長交直線于點，求出，，化簡即得解.【詳解】解：延長交直線于點.因為為的角平分線，且，所以，所以.因為，分別為，的中點，所以為的中位線，所以，所以.由橢圓的定義知，不妨設(shè)，則，.在中，因為，所以，所以，所以.因為，所以，故.故選：D【點睛】12．已知正數(shù)，滿足，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】用雙換元法化簡后，根據(jù)基本不等式計算【詳解】，令，，則，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時，等號成立，故有最小值．故選：B二、填空題13．若實數(shù)滿足，則的最大值為______．【答案】【分析】由約束條件可得可行域，將問題轉(zhuǎn)化為在軸截距最大的問題，采用數(shù)形結(jié)合的方式可求得結(jié)果.【詳解】由約束條件可得可行域如下圖陰影部分所示，由得：，則取最大值時，在軸截距最大；由圖形可知：當(dāng)過點時，在軸截距最大，由得：，即，.故答案為：.14．在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，若，，，則______．【答案】【分析】由正弦定理求出，再由平方關(guān)系求出，最后根據(jù)利用兩角和的正弦公式計算可得；【詳解】解：由正弦定理，所以，可得，顯然，所以．所以．故答案為：15．觀察下列各式：，，，，…據(jù)此規(guī)律，推測第個式子為___________.【答案】【分析】根據(jù)各式子的特點找規(guī)律即可.【詳解】由，可得，，，，，成以為首項，為公比的等差數(shù)列，故第項為，故第個式子為，故答案為：.16．已知函數(shù)在上恰有一個極值，則___________.【答案】1【分析】由導(dǎo)數(shù)知識可知，函數(shù)上恰有一個變號零點，利用導(dǎo)數(shù)得出的單調(diào)性，借助圖象得出的值.【詳解】因為，所以.因為在上恰有一個極值，所以在上恰有一個變號零點，即函數(shù)上恰有一個變號零點.令，則.當(dāng)時，；當(dāng)時，.故在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.因為，，，所以的大致圖象如圖所示，因為函數(shù)在恰有一個變號零點，所以，此時函數(shù)在上恰有一個極值.【點睛】關(guān)鍵點睛：解決本題的關(guān)鍵在于將函數(shù)在上恰有一個極值轉(zhuǎn)化為函數(shù)上恰有一個變號零點，利用導(dǎo)數(shù)畫出其簡圖，從而得出的值.三、解答題17．北京冬奧會的舉辦，不僅帶動了3億人參與冰雪運動，更是激發(fā)了全民健身的熱情.冰雪運動的開展，全民健身的順利推進，為建設(shè)體育強國奠定了堅實基礎(chǔ).隨著冰雪運動“南展西擴東進”戰(zhàn)略的實施，冰雪運動已不再局限于一些傳統(tǒng)冰雪省市.某調(diào)查中心為了解市民參與冰雪運動的情況，從A城和B城各隨機抽取100人，調(diào)查這些人是否參與過冰雪運動，得到了如下列聯(lián)表：參與過冰雪運動沒有參與過冰雪運動合計A城60100B城70合計200(1)完成列聯(lián)表，并判斷是否有99.9%的把握認為是否參與冰雪運動與城市有關(guān)；(2)依據(jù)統(tǒng)計表，按城市用分層抽樣的方法從“參與過冰雪運動”的人中抽取6人，再從這6人中隨機抽取2人，求A城和B城恰好各1人的概率.附：，.【答案】(1)列聯(lián)表答案見解析，有99.9%的把握認為是否參與冰雪運動與城市有關(guān)；(2).【分析】（1）完善列聯(lián)表，再利用獨立性檢驗求解；（2）利用古典概型的概率公式求解.【詳解】(1)解：列聯(lián)表如下：參與過冰雪運動沒有參與過冰雪運動合計A城6040100B城3070100合計90110200因為，所以有99.9%的把握認為是否參與冰雪運動與城市有關(guān).(2)解：按照分層抽樣，從A城抽取4人，記為a，b，c，d，從B城抽取2人，記為e，f.從這6人中抽取2人的所有情況有，，，，，，，，，，，，，，，共15種，其中A城和B城恰好各1人的情況有，，，，，，，，共8種，所以所求概率為.x34567y4550606570(2)請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程.參考公式：，，.參考數(shù)據(jù)：，.(2)【分析】（1）根據(jù)相關(guān)系數(shù)公式直接求解即可，然后再判斷（2）根據(jù)回歸方程公式直接求解即可【詳解】(1)因為，，所以，.因為，所以所以，(2)由（1）知，，所以.因為，所以y關(guān)于x的線性回歸方程為.19．已知函數(shù).(1)若在上不單調(diào)，求a的取值范圍；(2)若的最小值為，求a的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正難則反思想，根據(jù)導(dǎo)數(shù)求在上單調(diào)時a的范圍即可得解；（2）分和，分別利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最小值，再根據(jù)最小值為求解.【詳解】(1).若在上單調(diào)，則在上恒成立，所以在上恒成立，所以，即.因為在上不單調(diào)，所以a的取值范圍是.(2).①當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，此時無最值.②當(dāng)時，令，得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.所以的最小值是，則.令則，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因為，所以方程只有一個根，所以故a的值為.20．已知函數(shù).(1)用反證法證明方程沒有負根.(2)證明：過點有且僅有兩條直線與曲線相切.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）假設(shè)方程有負根，則可得，然后通過判斷等式兩邊的正負可得結(jié)論，（2）設(shè)切點為，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求出切線方程，把代入可得，有一個根為0，再令，利用導(dǎo)數(shù)判斷其只有一個零點即可【詳解】(1)證明：假設(shè)方程有負根，即.因為，所以.因為，所以.由，解得，與矛盾，所以假設(shè)不成立，故方程沒有負根.(2)證明：設(shè)切點為，則.因為，所以，所以曲線在處的切線方程為.將代入上式并化簡得.方程顯然有一個根.令，因為在上為增函數(shù)，在，上單調(diào)遞增，所以在，上單調(diào)遞增.當(dāng)時，，所以在上沒有零點，因為，，所以在上有唯一零點，所以有且僅有兩個不同的根，即過點有且僅有兩條直線與曲線相切.21．已知在數(shù)列中，，且．在數(shù)列中，，且．(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列．(2)求數(shù)列和數(shù)列的通項公式．【答案】(1)證明見解析(2)，．【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列的定義證明等于不為零的常數(shù)，即可證明結(jié)論；（2）由（1）的結(jié)果可求得數(shù)列的通項公式，根據(jù)可得的表達式，采用累加法結(jié)合錯位相減法求和，可求得數(shù)列的通項公式．【詳解】(1)證明：由，可得，即,因為，所以是以3為首項，3為公比的等比數(shù)列．(2)由（1）可得：，所以；由，得，所以．設(shè)，則，兩式相減得，故，因為，所以，因為，所以．22．已知拋物線C：的焦點為F，O為坐標(biāo)原點，過F且垂直于x軸的直線交拋物線C于M，N兩點，的面積為⒉.(1)求拋物線C的方程.(2)過作兩條直線與拋物線C分別交于A，B和C，D，再分別以線段AB和CD為直徑作圓，兩圓的公共弦所在直線記為l，試判斷l(xiāng)是否過定點.若是，請求出該定點；若不是，請說明理由.【答案】(1)(2)過定點，定點【分析】（1）利用拋物線的通徑得出，根據(jù)，求出，進而求出拋物線的方程；（2）根據(jù)題意求兩圓公共弦所在的直線，需要寫出這兩個圓的方程，然后兩圓相減即可得出公共弦所在的直線，進而能夠求出公共弦恒過定點.【詳解】(1)由題知，令，代入，得，所以，所以，解得，所以拋物線C的方程為：.(2)當(dāng)