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浙江高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽一,填空題(每題8分,共80分)在多項(xiàng)式系數(shù)為______.2.已知,則實(shí)數(shù)a=_________.3.設(shè)中有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,則取值范疇是___________.4.設(shè),則_______.5.已知兩個(gè)命題,命題單調(diào)遞增;命題,為假命題,則實(shí)數(shù)a取值范疇為____.6.設(shè)S是中所有有抱負(fù)集合,對(duì)簡(jiǎn)分?jǐn)?shù),定義函數(shù)則在S中根個(gè)數(shù)為___________.7.已知?jiǎng)狱c(diǎn)P,M,N分別在x軸上,圓和圓上,則最小值為__________.8.已知棱長(zhǎng)為1正四周體P—ABC,PC中點(diǎn)為D,動(dòng)點(diǎn)E在線段AD上,則直線與平面ABC所成角取值范疇為__________.9.已知平面向量,則所有取不到值集合為____________.10.已知有三個(gè)根若,則實(shí)數(shù)a=_______.二.解答題(本題滿分20分)設(shè)對(duì)每個(gè)n,求實(shí)數(shù)解。12.(本題滿分20分)已知橢圓右焦點(diǎn)為F,過(guò)F直線交橢圓與P,Q兩點(diǎn).若PQ中點(diǎn)為N,O為原點(diǎn),直線ON交直線于M(1)求大??;(2)求最大值13.
(本題滿分20分)設(shè)數(shù)列滿足:證明:如果為有理數(shù),則從某項(xiàng)后為周期數(shù)列14.(本題滿分30分)設(shè),證明:存在不全為零數(shù)同步被3整除15.(本題滿分30分)設(shè)一種排列,記參照答案一,填空題1,【答案】-4128【解析】2,【答案】2【解析】將原式化簡(jiǎn)為上增函數(shù),。因而可得函數(shù)a=23,【答案】[0.2]【解析】由于在[0,1]中有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,因此a,b滿足,由此可得到取值范疇為[0,2]4,【解析】由于且,因此5,【解析】命題p成立當(dāng)且僅當(dāng)a>1;命題q成立當(dāng)且僅當(dāng)-2<a<2。若為真命題,為假命題,則6,【答案】5【解析】由于則有由此檢查可得方程根個(gè)數(shù)為57,【答案】=【解析】圓關(guān)于x軸對(duì)稱圓圓心坐標(biāo)為(3,-4)則=8,【答案】【解析】記BC中點(diǎn)為O點(diǎn),以O(shè)為原點(diǎn),BC為X軸正向,OA為y軸正向,建立空間直角坐標(biāo)系,則因此.從而可設(shè),于是。設(shè)所求角為θ,則,這里最后一種不等式是由于單調(diào)性以及,即9,【答案】【解析】將向量起點(diǎn)平移至原點(diǎn)O,再以分別為x,y軸正向建立平面直角坐標(biāo)系。則向量相應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)為。于是表達(dá)是點(diǎn)P到單位圓周上距離d,則d最大值為4,最小值為.因而所有取不到值集合為10,【答案】【解析】設(shè),方程可變形為,從而有于是;,可得二,解答題11,【證明】運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法解當(dāng)n=1時(shí),x=2是解。當(dāng)n=k時(shí),設(shè)由此可得(2)當(dāng)x>2時(shí),由此可得都不是解(對(duì)于所有n)(3)當(dāng)由此可得因而,對(duì)每個(gè)n,實(shí)數(shù)解為12,【解】:(1)聯(lián)立設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為于是有由于PQ中點(diǎn)為N,因此N。因而ON斜率為。由于直線ON交直線,即得(2)令由于因而。綜上所述,13,【解析】證:(1)為周期數(shù)列(2)對(duì)于任意n,設(shè)由已知條件,有且僅有下述一種等式成立有相似分母(不進(jìn)行約分)(3)設(shè)(4)若存在兩個(gè)自然數(shù),使得,則由(2)中得到遞推公式以及可得從第k項(xiàng)開始是一種周期數(shù)列,周期為(5)由(3)可知對(duì)于任意n,值只有(有限個(gè)),故總能找到,從而有綜上所述,如果為有理數(shù),則從某項(xiàng)后為周期數(shù)列14,【證明】:不妨設(shè)則要證明結(jié)論對(duì)的,只要證明存在不全為零數(shù)記情形(1)當(dāng)若若情形(2)記令類似可以證明15,【解】問(wèn)題等價(jià)于圓周上放置n個(gè)數(shù),使得相鄰乘積之和為最小,最小值記為不妨設(shè),則數(shù)字1必與它相鄰。否則設(shè)數(shù)字變化為上數(shù)字,則相鄰數(shù)乘積和該變量為于是可擬定。再闡明數(shù)字2也必與數(shù)字n相鄰,即事實(shí)上,若,則互換此時(shí)目的變化值為因而目的取到最小值時(shí),由此出發(fā),依次可得。在已安排好兩端數(shù)字,若剩余數(shù)比兩端數(shù)字都小,則在剩余數(shù)中找兩個(gè)最小數(shù)字,按小對(duì)大,大對(duì)小放置;若剩余數(shù)比兩端數(shù)字大,則在剩余數(shù)字中找兩個(gè)最大數(shù),按大隊(duì)小,小對(duì)大放置。由此規(guī)律即得下面用遞推法計(jì)算??紤]n+2個(gè)數(shù)字,咱們?cè)跀?shù)字排序中,將每個(gè)數(shù)字加1,再放置1,n+2這兩個(gè)數(shù)字,在2,n+1中間插入n+2,1.即可得到。因而其中可以推出全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽廣東賽區(qū)選拔賽一,填空題:本大題共8小題,每小題8分,共64分1.已知數(shù)列值是_________.2.圓錐曲線離心率是________.3.設(shè)是定義在R上奇函數(shù),是增函數(shù),且對(duì)任意,均有則函數(shù)在[-3,-2]上最大值是_______.4.設(shè)m,n均為正整數(shù),則_______.5.已知點(diǎn)P在圓C:上運(yùn)動(dòng),點(diǎn)Q在曲線上運(yùn)動(dòng),且最大值為,則a=___________.6.已知是一種三角形三個(gè)內(nèi)角,如果獲得最大值,則=_________.7.從各位數(shù)字兩兩不等且和為10所有四位數(shù)中任取兩個(gè)數(shù),則被取到也許性為__________.8.已知S是正整數(shù)集合無(wú)窮子集,滿足對(duì)任何,將S中元素按照由小到大順序排列成數(shù)列記為,且已知二,解答題:本大題共3小題,共56分,解答應(yīng)寫出文字闡明,證明過(guò)程或演算環(huán)節(jié)9.(本小題滿分16分)設(shè)直線不相交。過(guò)直線1上點(diǎn)P作橢圓C切線PM,PN,切點(diǎn)分別為M,N,連結(jié)MN(1)當(dāng)點(diǎn)P在直線1上運(yùn)動(dòng)時(shí),證明:直線MN恒過(guò)點(diǎn)Q;(2)當(dāng)MN//1時(shí),定點(diǎn)Q平分線段MN10.(本小題滿分20分)已知函數(shù)數(shù)列滿足,(1)討論數(shù)列單調(diào)性;(2)求證:11.(本小題滿分20分)(1)求使方程有正整數(shù)解最大正整數(shù)n(2)用構(gòu)成集合,當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),咱們稱中每一種元素為方程一種奇解;當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),咱們稱中每一種元素方程一種偶解.證明:方程中所有奇解個(gè)數(shù)與偶解個(gè)數(shù)相等.參照答案一,填空題1,【答案】【解析】2,【答案】【解析】原式變形為,因此動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)(-3,1)距離與它到直線距離之比為,故此動(dòng)點(diǎn)軌跡為雙曲線,離心率為3,【答案】-4【解析】由于上是增函數(shù),因此上也是增函數(shù),則.又故函數(shù)上最大值為-44,【答案】1或0【解析】由于分別是多項(xiàng)式根,因而當(dāng)m>1,n>1時(shí)由根與系數(shù)關(guān)系可得:因此而當(dāng)5,【答案】【解析】連接QC并延長(zhǎng)交圓于點(diǎn)D,則最大值等于最大值與圓半徑之和,由于獲得最大值,于是:6,【答案】【解析】若中至少有兩個(gè)不等,不妨設(shè),則因而當(dāng)且僅當(dāng)7,【答案】【解析】方程整數(shù)解有且僅有因而符合條件四位數(shù)恰有:(個(gè)),故所求概率為8,【答案】【解析】由題意對(duì)任何可知:都是數(shù)列中項(xiàng),因此二.解答題9.【證明】:(1)設(shè)則橢圓過(guò)點(diǎn)M,N切線方程分別為由于兩切線都過(guò)點(diǎn)P,則有這表白M,N均在直線①上.由兩點(diǎn)決定一條直線知,式①都是直線MN方程,其中滿足直線1方程.當(dāng)點(diǎn)P在直線1上運(yùn)動(dòng)時(shí),可理解為取遍一切實(shí)數(shù),相應(yīng)為代入①消去②對(duì)一切恒成立,變形可得由此解得直線MN恒過(guò)定點(diǎn)Q,(2)當(dāng)MN//1時(shí),由式②知解得代入②,得此時(shí)MN方程為③將此方程與橢圓方程聯(lián)立,消去y得由此可得,此時(shí)MN截橢圓所得弦中點(diǎn)橫坐標(biāo)正好為點(diǎn)橫坐標(biāo),即代入③式可得弦中點(diǎn)縱坐標(biāo)正好為點(diǎn)縱坐標(biāo),即這就是說(shuō),點(diǎn)平分線段MN10.【解】(1)因此。解得因此當(dāng)時(shí),數(shù)列因此當(dāng)時(shí),數(shù)列單調(diào)下降證明:(2)由于單調(diào)上升,計(jì)算得由(1)知因此:(i),當(dāng)。故(ii),因此(iii),最后,當(dāng)因此11.【解析】解:(1)由于所覺(jué)得方程一組正整數(shù)解,故所求最大值為n=63證明:(2)與之相應(yīng),其中則那么成立最小下標(biāo),即:由于,因此滿足條件正整數(shù)s存在且,此不也許,因此是唯一擬定元素且若因而,于是咱們有:,此不也許.因此是唯一擬定元素且由此咱們證明了到自身映射且,如果咱們可以證明f是滿射,則f也單射,因而是雙射,從而:即:方程中所有奇解個(gè)數(shù)與偶解個(gè)數(shù)相等事實(shí)上,,則存在如果.故f是滿射,結(jié)論成立春季高二數(shù)學(xué)競(jìng)賽參照答案與試題解析1.(?濟(jì)寧一模)從4臺(tái)甲型和5臺(tái)乙型電視機(jī)中任取出3臺(tái),在取出3臺(tái)中至少有甲型和乙型電視機(jī)各一臺(tái),則不同取法共有()A.140種 B.80種 C.70種 D.35種【分析】任意取出三臺(tái),其中至少要有甲型和乙型電視機(jī)各1臺(tái),有兩種辦法,一是甲型電視機(jī)2臺(tái)和乙型電視機(jī)1臺(tái);二是甲型電視機(jī)1臺(tái)和乙型電視機(jī)2臺(tái),分別求出取電視機(jī)辦法,即可求出所有辦法數(shù).【解答】解:甲型電視機(jī)2臺(tái)和乙型電視機(jī)1臺(tái),取法有C42C51=30種;甲型電視機(jī)1臺(tái)和乙型電視機(jī)2臺(tái),取法有C41C52=40種;共有30+40=70種.故選:C.【點(diǎn)評(píng)】本題考查組合及組合數(shù)公式,考查分類討論思想,是基本題.2.(?蘭州二模)中、美、俄等21國(guó)領(lǐng)導(dǎo)人合影留念,她們站成兩排,前排11人,后排10人,中華人民共和國(guó)領(lǐng)導(dǎo)人站在第一排正中間位置,美俄兩國(guó)領(lǐng)導(dǎo)人站在與中華人民共和國(guó)領(lǐng)導(dǎo)人相鄰兩側(cè),如果對(duì)其她領(lǐng)導(dǎo)人所站位置不做規(guī)定,那么不同站法共有()A.A1818種 B.A種C.A32A183A1010種 D.A22A1818種【分析】先安排中、美、俄三國(guó)領(lǐng)導(dǎo)人位置共有種排法,而別的18國(guó)領(lǐng)導(dǎo)人排法共有種,再運(yùn)用乘法原理即可得出.【解答】解:先安排中、美、俄三國(guó)領(lǐng)導(dǎo)人位置共有種排法,而別的18國(guó)領(lǐng)導(dǎo)人排法共有種,由乘法原理可得:同站法共有?種.故選:D.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了乘法原理、排列與組合,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.3.(?蚌埠一模)咱們把各位數(shù)字之和等于6三位數(shù)稱為“吉祥數(shù)”,例如123就是一種“吉祥數(shù)”,則這樣“吉祥數(shù)”一共有()A.28個(gè) B.21個(gè) C.35個(gè) D.56個(gè)【分析】依照1+1+4=6,1+2+3=6,2+2+2=6,0+1+5=6,0+2+4=6,0+3+3=6,0+0+6=6,因此可以分為7類,分別求出每一類三位數(shù),再依照分類計(jì)數(shù)原理得到答案.【解答】解:由于1+1+4=6,1+2+3=6,2+2+2=6,0+1+5=6,0+2+4=6,0+3+3=6,0+0+6=6,因此可以分為7類,當(dāng)三個(gè)位數(shù)字為1,1,4時(shí),三位數(shù)有3個(gè),當(dāng)三個(gè)位數(shù)字為1,2,3時(shí),三位數(shù)有A33=6個(gè),當(dāng)三個(gè)位數(shù)字為2,2,2時(shí),三位數(shù)有1個(gè),當(dāng)三個(gè)位數(shù)字為0,1,5時(shí),三位數(shù)有A21A22=4個(gè),當(dāng)三個(gè)位數(shù)字為0,2,4時(shí),三位數(shù)有A21A22=4個(gè),當(dāng)三個(gè)位數(shù)字為0,3,3時(shí),三位數(shù)有2個(gè),當(dāng)三個(gè)位數(shù)字為0,0,6時(shí),三位數(shù)有1個(gè),依照分類計(jì)數(shù)原理得三位數(shù)共有3+6+1+4+4+2+1=21.故選B.【點(diǎn)評(píng)】本題重要考查了分類計(jì)數(shù)原理,核心是找到三個(gè)數(shù)字之和為6數(shù)分別是什么,屬于中檔題.4.(?日照一模)甲、乙、丙3人站到共有7級(jí)臺(tái)階上,若每級(jí)臺(tái)階最多站2人,同一級(jí)臺(tái)階上人不區(qū)別站位置,則不同站法總數(shù)是()A.210 B.84 C.343 D.336【分析】由題意知本題需要分組解決,共有兩種狀況,對(duì)于7個(gè)臺(tái)階上每一種只站一人,若有一種臺(tái)階有2人另一種是1人,依照分類計(jì)數(shù)原理得到成果.【解答】解:由題意知本題需要分組解決,由于對(duì)于7個(gè)臺(tái)階上每一種只站一人有種;若有一種臺(tái)階有2人另一種是1人共有種,因此依照分類計(jì)數(shù)原理知共有不同站法種數(shù)是種.故選:D.【點(diǎn)評(píng)】分類要做到不重不漏,分類后再分別對(duì)每一類進(jìn)行計(jì)數(shù),最后用分類加法計(jì)數(shù)原理求和,得到總數(shù).分步要做到環(huán)節(jié)完整,完畢了所有環(huán)節(jié),正好完畢任務(wù).5.(?合肥一模)已知(ax+b)6展開式中x4項(xiàng)系數(shù)與x5項(xiàng)系數(shù)分別為135與﹣18,則(ax+b)6展開式所有項(xiàng)系數(shù)之和為()A.﹣1 B.1 C.32 D.64【分析】由題意先求得a、b值,再令x=1求出展開式中所有項(xiàng)系數(shù)和.【解答】解:(ax+b)6展開式中x4項(xiàng)系數(shù)與x5項(xiàng)系數(shù)分別為135與﹣18,∴?a4?b2=135①,?a5?b=﹣18②;由①、②構(gòu)成方程組,解得a=1,b=﹣3或a=﹣1、b=3;∴令x=1,求得(ax+b)6展開式中所有項(xiàng)系數(shù)之和為26=64.故選:D.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二項(xiàng)式定理應(yīng)用問(wèn)題,求出系數(shù)a、b是解題核心,屬基本題.6.(?贛州一模)若(x﹣2y)2n+1展開式中前n+1項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)之和為64,則該展開式中x4y3系數(shù)是()A.﹣ B.70 C. D.﹣70【分析】依照(x﹣2y)2n+1展開式中前n+1項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)之和等于后n+1項(xiàng)和,求出n值,再運(yùn)用展開式通項(xiàng)公式求出x4y3系數(shù).【解答】解:(x﹣2y)2n+1展開式中共有2n+2項(xiàng),其前n+1項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)之和等于后n+1項(xiàng)和,∴22n+1=64×2,解得n=3;∴(x﹣2y)7展開式中通項(xiàng)公式為Tr+1=??(﹣2y)r,令r=3,得展開式中x4y3系數(shù)是??(﹣2)3=﹣.故選:A.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二項(xiàng)式展開式通項(xiàng)公式與二項(xiàng)式系數(shù)應(yīng)用問(wèn)題,是基本題.7.(?平頂山一模)甲袋中裝有3個(gè)白球和5個(gè)黑球,乙袋中裝有4個(gè)白球和6個(gè)黑球,現(xiàn)從甲袋中隨機(jī)取出一種球放入乙袋中,充分混合后,再?gòu)囊掖须S機(jī)取出一種球放回甲袋中,則甲袋中白球沒(méi)有減少概率為()A. B. C. D.【分析】白球沒(méi)有減少狀況有:①抓出黑球,抓入任意球,概率是:.抓出白球,抓入白球,概率是,再把這2個(gè)概率相加,即得所求.【解答】解:白球沒(méi)有減少狀況有:①抓出黑球,抓入任意球,概率是:.抓出白球,抓入白球,概率是=,故所求事件概率為=,故選C.【點(diǎn)評(píng)】本題考查古典概型及其概率計(jì)算公式應(yīng)用,屬于基本題.8.(?四川模仿)有5位同窗排成先后兩排拍照,若前排站2人,則甲不站后排兩端且甲、乙左右相鄰概率為()A. B. C. D.【分析】求出基本領(lǐng)件總數(shù)和甲乙相鄰照相包括基本領(lǐng)件個(gè)數(shù),由此能求出甲乙相鄰照相概率即可.【解答】解:由題意得:p===,故選:B.【點(diǎn)評(píng)】本題考查概率求法,是基本題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意等也許事件概率計(jì)算公式合理運(yùn)用.9.(?廣州一模)四個(gè)人圍坐在一張圓桌旁,每個(gè)人面前放著完全相似硬幣,所有人同步翻轉(zhuǎn)自己硬幣.若硬幣正面朝上,則這個(gè)人站起來(lái);若硬幣正面朝下,則這個(gè)人繼續(xù)坐著.那么,沒(méi)有相鄰兩個(gè)人站起來(lái)概率為()A. B. C. D.【分析】列舉出所有狀況,求出滿足條件概率即可.【解答】解:由題意得:正面不能相鄰,即正反正反,反正反正,3反一正,全反,其中3反一正中有反反反正,反反正反,反正反反,正反反反,故共7中狀況,故P==,故選:B.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了列舉法求事件概率問(wèn)題,是一道基本題.10.(?安慶二模)咱們懂得:“心有靈犀”普通是對(duì)人心理活動(dòng)非常融洽一種描述,它也可以用數(shù)學(xué)來(lái)定義:甲、乙兩人都在{1,2,3,4,5,6}中說(shuō)一種數(shù),甲說(shuō)數(shù)記為a,乙說(shuō)數(shù)記為b,若|a﹣b|≤1,則稱甲、乙兩人“心有靈犀”,由此可以得到甲、乙兩人“心有靈犀”概率是()A. B. C. D.【分析】本題是一種等也許事件概率,實(shí)驗(yàn)發(fā)生包括事件是從6個(gè)數(shù)字中各自想一種數(shù)字,可以重復(fù),可以列舉出共有36種成果,滿足條件事件可以通過(guò)列舉得到成果,依照等也許事件概率公式得到成果.【解答】解:(I)由題意知,本題是一種等也許事件概率列舉出所有基本領(lǐng)件為:(1,1),(2,2),(2,3),(4,4),(5,5),(6,6)(1,2),(2,1),(1,3),(3,1),(1,4),(4,1),(1,5),(5,1),(1,6),(6,1)(1,3),(3,1),(2,4),(4,2),(3,5),(5,3),(4,6),(6,4),(1,4),(4,1),(2,5),(5,2),(3,6),(6,3),(1,5),(5,1),(2,6),(6,2),(1,6),(6,1),共計(jì)36個(gè).記“兩人想數(shù)字相似或相差1”為事件B,事件B包括基本領(lǐng)件為:(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)(1,2),(2,1),(1,3),(3,1),(1,4),(4,1),(1,5),(5,1),(1,6),(6,1),共計(jì)16個(gè).∴P==,∴“甲乙心有靈犀”概率為.故選D.【點(diǎn)評(píng)】本題考查古典概型及其概率公式.考查運(yùn)用分類計(jì)數(shù)原理表達(dá)事件數(shù),考查理解能力和運(yùn)算能力,注意列舉出事件數(shù)做到不重不漏.11.(?沈陽(yáng)一模)復(fù)數(shù),且A+B=0,則m值是()A. B. C.﹣ D.2【分析】復(fù)數(shù)方程兩邊同乘1+2i,運(yùn)用復(fù)數(shù)相等求出A、B,運(yùn)用A+B=0,求出m值.【解答】解:由于,因此2﹣mi=(A+Bi)(1+2i),可得A﹣2B=2,2A+B=﹣m解得5(A+B)=﹣3m﹣2=0因此m=故選C.【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)相等充要條件,考查計(jì)算能力,是基本題.12.(?山西二模)若z=+i,且(x﹣z)4=a0x4+a1x3+a2x2+a3x+a4,則a2等于()A.﹣+i B.﹣3+3i C.6+3i D.﹣3﹣3i【分析】依照二項(xiàng)式定理寫出展開式通項(xiàng),規(guī)定量是二項(xiàng)式第三項(xiàng)系數(shù),依照x次數(shù)求出r,代入式子求出成果,題目包括復(fù)數(shù)運(yùn)算,是一種綜合題.【解答】解:∵Tr+1=Cx4﹣r(﹣z)r,由4﹣r=2得r=2,∴a2=6×(﹣﹣i)2=﹣3+3i.故選B【點(diǎn)評(píng)】本題考查二項(xiàng)式定理和復(fù)數(shù)加減乘除運(yùn)算是比較簡(jiǎn)樸問(wèn)題,在高考時(shí)有時(shí)會(huì)浮現(xiàn),若浮現(xiàn)則是要咱們一定要得分題目.13.(?江西模仿)若一種復(fù)數(shù)實(shí)部與虛部互為相反數(shù),則稱此復(fù)數(shù)為“抱負(fù)復(fù)數(shù)”.已知z=+bi(a,b∈R)為“抱負(fù)復(fù)數(shù)”,則()A.a(chǎn)﹣5b=0 B.3a﹣5b=0 C.a(chǎn)+5b=0 D.3a+5b=0【分析】運(yùn)用復(fù)數(shù)代數(shù)形式乘除運(yùn)算化簡(jiǎn),結(jié)合已知得答案.【解答】解:∵z=+bi=.由題意,,則3a+5b=0.故選:D.【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式乘除運(yùn)算,考查復(fù)數(shù)基本概念,是基本題.14.(?甘肅一模)下面是關(guān)于復(fù)數(shù)z=四個(gè)命題:p1:|z|=2,p2:z2=2i,p3:z共軛復(fù)數(shù)為﹣1+i,p4:z虛部為1,其中真命題為()A.p2,p3 B.p1,p2 C.p2,p4 D.p3,p4【分析】運(yùn)用復(fù)數(shù)運(yùn)算法則可得:復(fù)數(shù)z=1+i,再運(yùn)用復(fù)數(shù)模計(jì)算公式、共軛復(fù)數(shù)定義、虛部定義即可判斷出真假.【解答】解:復(fù)數(shù)z===1+i四個(gè)命題:p1:|z|=≠2,因而是假命題;p2:z2=(1+i)2=2i,是真命題;p3:z共軛復(fù)數(shù)為1﹣i,是假命題;p4:z虛部為1,是真命題.其中真命題為p2,p4.故選:C.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了復(fù)數(shù)運(yùn)算法則、復(fù)數(shù)模計(jì)算公式、共軛復(fù)數(shù)定義、虛部定義、命題真假鑒定,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于基本題.15.(?河南模仿)歐拉(LeonhardEuler,國(guó)籍瑞士)是科學(xué)史上最多產(chǎn)一位杰出數(shù)學(xué)家,她創(chuàng)造公式eix=cosx+isinx(i為虛數(shù)單位),將指數(shù)函數(shù)定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù),建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)關(guān)系,這個(gè)公式在復(fù)變函數(shù)理論中占用非常重要地位,被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中天橋”,依照此公式可知,e﹣4i表達(dá)復(fù)數(shù)在復(fù)平面中位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【分析】e﹣4i=cos(﹣4)+isin(﹣4),再運(yùn)用誘導(dǎo)公式與三角函數(shù)求值即可得出.【解答】解:e﹣4i=cos(﹣4)+isin(﹣4),∵cos(﹣4)=cos[π+(4﹣π)]=﹣cos(4﹣π)<0,sin(﹣4)=﹣sin[π+(4﹣π)]=sin(4﹣π)>0,∴e﹣4i表達(dá)復(fù)數(shù)在復(fù)平面中位于第二象限.故選:B.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了歐拉公式、誘導(dǎo)公式與三角函數(shù)求值,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于基本題.16.(?陜西模仿)已知集合A={x|x2+y2=4},B={x||x+|<2,i為虛數(shù)單位,x∈R},則集合A與B關(guān)系是()A.A?B B.B?A C.A∩B=? D.A∪B=A【分析】集合A={x|x2+y2=4}={x|﹣2≤x≤2},B={x||x+|<2,i為虛數(shù)單位,x∈R}={x|﹣},由此可以求出成果.【解答】解:∵集合A={x|x2+y2=4}={x|x2=4﹣y2≤4}={x|﹣2≤x≤2},B={x||x+|<2,i為虛數(shù)單位,x∈R}={x||x+i|<2}={x|<2}={x|﹣},∴B?A,故選B.【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式乘除運(yùn)算應(yīng)用,是基本題.解題時(shí)要認(rèn)真審題,仔細(xì)解答.17.(?福建)對(duì)于復(fù)數(shù)a,b,c,d,若集合S={a,b,c,d}具備性質(zhì)“對(duì)任意x,y∈S,必有xy∈S”,則當(dāng)時(shí),b+c+d等于()A.1 B.﹣1 C.0 D.i【分析】直接求解比較麻煩,它是選取題可以取特殊值驗(yàn)證.【解答】解:由題意,可取a=1,b=﹣1,c2=﹣1,c=i,d=﹣i,或c=﹣i,d=i,因此b+c+d=﹣1+i+﹣i=﹣1,故選B.【點(diǎn)評(píng)】本題屬創(chuàng)新題,考查復(fù)數(shù)與集合基本知識(shí);普通結(jié)論對(duì)于特殊值一定成立.18.(?廣東校級(jí)模仿)將一顆骰子投擲兩次,第一次浮現(xiàn)點(diǎn)數(shù)記為a,第二次浮現(xiàn)點(diǎn)數(shù)記為b,設(shè)兩條直線l1:ax+by=2,l2:x+2y=2平行概率為P1,相交概率為P2,則復(fù)數(shù)P1+P2i所相應(yīng)點(diǎn)P與直線l2:x+2y=2位置關(guān)系()A.P在直線l2右下方 B.P在直線l2右上方C.P在直線l2上 D.P在直線l2左下方【分析】據(jù)兩直線相交斜率不等,求出a,b滿足條件,據(jù)古典概型概率公式求出P1,P2,據(jù)復(fù)數(shù)集合意義求出點(diǎn)P坐標(biāo),判斷出與直線關(guān)系.【解答】解:易知當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)兩條直線只有一種交點(diǎn),而狀況有三種:a=1,b=2(此時(shí)兩直線重疊);a=2,b=4(此時(shí)兩直線平行);a=3,b=6(此時(shí)兩直線平行).而投擲兩次所有狀況有6×6=36種,因此兩條直線相交概率;兩條直線平行概率為P1=,P1+P2i所相應(yīng)點(diǎn)為P,易判斷P在l2:x+2y=2左下方,故選項(xiàng)為D.【點(diǎn)評(píng)】本題融合了直線、線性規(guī)劃、概率及復(fù)數(shù)等關(guān)于知識(shí),在解決辦法上可采用枚舉法解決,注意不等忽視了直線重疊這種狀況,否則會(huì)選C.19.(春?賓川縣校級(jí)月考)《聊齋志異》中有這樣一首詩(shī):“挑水砍柴不堪苦,請(qǐng)歸但求穿墻術(shù).得訣自詡無(wú)所阻,額上墳起終不悟.”在這里,咱們稱形如如下形式等式具備“穿墻術(shù)”:2=,3=,4=,5=則按照以上規(guī)律,若8=具備“穿墻術(shù)”,則n=()A.7 B.35 C.48 D.63【分析】觀測(cè)所告訴式子,找到其中規(guī)律,問(wèn)題得以解決.【解答】解2=2==,3=3=,4=4=,5=5=則按照以上規(guī)律8=,可得n=82﹣1=63,故選:D.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了歸納推理問(wèn)題,核心是發(fā)現(xiàn)規(guī)律,屬于基本題.20.(春?故城縣校級(jí)月考)觀測(cè):+<2,+<2,+<2,…,對(duì)于任意正實(shí)數(shù)a,b,使+<2成立一種條件可以是()A.a(chǎn)+b=22 B.a(chǎn)+b=21 C.a(chǎn)b=20 D.a(chǎn)b=21【分析】觀測(cè)前三個(gè)不等式特點(diǎn),歸納出來(lái)不等式規(guī)律,即可得到結(jié)論.【解答】解:∵6+15=5.5+15.5=4﹣+17+=21,∴依照歸納推理知識(shí),可以猜想滿足+<2成立一種條件可以是a+b=21.故選B.【點(diǎn)評(píng)】本題重要考查歸納推理應(yīng)用,依照不等式特點(diǎn)歸納出規(guī)律是解決本題核心,比較基本.21.(春?上饒?jiān)驴迹┯^測(cè)下列各式:55=3125,56=15625,57=78125,…,則5末四位數(shù)字為()A.3125 B.5625 C.0625 D.8125【分析】依照題意,進(jìn)而求出58、59、510、511、512值,歸納分析其末四位數(shù)字變化規(guī)律,即可得答案.【解答】解:依照題意,55=3125,其末四位數(shù)字為3125,56=15625,其末四位數(shù)字為5625,57=78125,其末四位數(shù)字為8125,58=390625,其末四位數(shù)字為0625,59=1953125,其末四位數(shù)字為3125,510=9765625,其末四位數(shù)字為5625,511=48828125,其末四位數(shù)字為8125,512=,其末四位數(shù)字為0625,…分析可得:54k+1末四位數(shù)字為3125,54k+2末四位數(shù)字為5625,54k+3末四位數(shù)字為8125,54k+4末四位數(shù)字為0625,(k≥2)又由=4×504+1,則5末四位數(shù)字為3125;故選:A.【點(diǎn)評(píng)】本題考查歸納推理運(yùn)用,核心是分析末四位數(shù)字變化規(guī)律.22.(秋?山西期末)今年“五一”期間,某公園舉辦免費(fèi)游園活動(dòng),免費(fèi)開放一天,上午6時(shí)30分有2人進(jìn)入公園,接下來(lái)第一種30分鐘內(nèi)有4人進(jìn)去1人出來(lái),第二個(gè)30分鐘內(nèi)有8人進(jìn)去2人出來(lái),第三個(gè)30分鐘內(nèi)有16人進(jìn)去3人出來(lái),第四個(gè)30分鐘內(nèi)有32人進(jìn)去4人出來(lái)…按照這種規(guī)律進(jìn)行下去,到上午11時(shí)公園內(nèi)人數(shù)是()A.212﹣57 B.211﹣47 C.210﹣38 D.29﹣30【分析】先設(shè)每個(gè)30分鐘進(jìn)去人數(shù)構(gòu)成數(shù)列{an},擬定求數(shù)列{an}通項(xiàng)公式,由于從上午6時(shí)30分到上午11時(shí),共有10個(gè)30分鐘,故需求數(shù)列{an}前10項(xiàng)和,再由等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式即可得上午11時(shí)園內(nèi)人數(shù).【解答】解:設(shè)每個(gè)30分鐘進(jìn)去人數(shù)構(gòu)成數(shù)列{an},則a1=2=2﹣0,a2=4﹣1,a3=8﹣2,a4=16﹣3,a5=32﹣4,…,an=2n﹣(n﹣1)設(shè)數(shù)列{an}前n項(xiàng)和為Sn,依題意,只需求S10=(2﹣0)+(22﹣1)+(23﹣2)+…+(210﹣9)=(2+22+23+…+210)﹣(1+2+…+9)=211﹣47故選B.【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列通項(xiàng)公式,等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式,考查將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題,運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題能力,屬于中檔題.23.(?甘肅模仿)一種三角形可分為以內(nèi)切圓半徑為高,以原三角形三條邊為底三個(gè)三角形,類比此辦法,若一種三棱錐體積V=2,表面積S=3,則該三棱錐內(nèi)切球體積為()A.81π B.16π C. D.【分析】依照類似推理可以得到一種三棱錐分為以內(nèi)切球半徑為高,以原三角錐四個(gè)面為底四個(gè)三角錐,運(yùn)用等體積求出內(nèi)切球半徑,即可求出該三棱錐內(nèi)切球體積.【解答】解:由一種三角形可分為以內(nèi)切圓半徑為高,以原三角形三條邊為底三個(gè)三角形,可以類比一種三棱錐分為以內(nèi)切球半徑為高,以原三角錐四個(gè)面為底四個(gè)三角錐,設(shè)三棱錐四個(gè)面積分別為:S1,S2,S3,S4,由于內(nèi)切球到各面距離等于內(nèi)切球半徑∴V=(S1×r+S2×r+S3×r+S4×r)=S×r∴內(nèi)切球半徑r===2,∴該三棱錐內(nèi)切球體積為π?23=.故選:C【點(diǎn)評(píng)】本題考查類比推理問(wèn)題,以及三棱錐內(nèi)切球體積,考查學(xué)生計(jì)算能力,求出內(nèi)切球半徑是核心.24.(?南昌模仿)一名法官在審理一起珍寶盜竊案時(shí),四名嫌疑人甲、乙、丙、丁供詞如下,甲說(shuō):“罪犯在乙、丙、丁三人之中”:乙說(shuō):“我沒(méi)有作案,是丙偷”:丙說(shuō):“甲、乙兩人中有一人是小偷”:丁說(shuō):“乙說(shuō)是事實(shí)”.通過(guò)調(diào)查核算,四人中有兩人說(shuō)是真話,此外兩人說(shuō)是假話,且這四人中只有一人是罪犯,由此可判斷罪犯是()A.甲 B.乙 C.丙 D.丁【分析】這個(gè)問(wèn)題核心是四人中有兩人說(shuō)真話,此外兩人說(shuō)了假話,這是解決本題突破口;然后進(jìn)行分析、推理即可得出結(jié)論.【解答】解:在甲、乙、丙、丁四人供詞不達(dá)意中,可以看出乙、丁兩人觀點(diǎn)是一致,因而乙、丁兩人供詞應(yīng)當(dāng)是同真或同假(即都是真話或者都是假話,不會(huì)浮現(xiàn)一真一假狀況);假設(shè)乙、丁兩人說(shuō)是真話,那么甲、丙兩人說(shuō)是假話,由乙說(shuō)真話推出丙是罪犯結(jié)論;由甲說(shuō)假話,推出乙、丙、丁三人不是罪犯結(jié)論;顯然這兩個(gè)結(jié)論是互相矛盾;因此乙、丁兩人說(shuō)是假話,而甲、丙兩人說(shuō)是真話;由甲、丙供述內(nèi)容可以斷定乙是罪犯,乙、丙、丁中有一人是罪犯,由丁說(shuō)假說(shuō),丙說(shuō)真話,推出乙是罪犯.故選B.【點(diǎn)評(píng)】此題解答時(shí)應(yīng)結(jié)合題意,進(jìn)行分析,進(jìn)而找出解決本題突破口,然后進(jìn)行推理,得出結(jié)論.25.(春?小店區(qū)校級(jí)月考)在等差數(shù)列{an}中,a10=0,則有等式a1+a2+…+an=a1+a2+…+a19﹣n(n<19,n∈N*)成立,類比上述性質(zhì),相應(yīng)地在等比數(shù)列{bn}中,若b9=1,則成立等式是()A.b1b2…bn=b1b2…b17﹣n(n<17,n∈N*)B.b1b2…bn=b1b2…b18﹣n(n<18,n∈N*)C.b1+b2+…+bn=b1+b2+…+b17﹣n(n<17,n∈N*)D.b1+b2+…+bn=b1+b2﹣1+…+b18﹣n(n<18,n∈N*)【分析】依照等差數(shù)列與等比數(shù)列通項(xiàng)性質(zhì),結(jié)合類比規(guī)則,和類比積,加類比乘,由類比規(guī)律得出結(jié)論即可.【解答】解:在等差數(shù)列{an}中,若a10=0,則有等式a1+a2+…+an=a1+a2+…+a19﹣n成立(n<19,n∈N*),故相應(yīng)在等比數(shù)列{bn}中,若b9=1,則有等式b1b2…bn=b1b2…b17﹣n(n<17,n∈N*)故選A.【點(diǎn)評(píng)】本題考點(diǎn)是類比推理,考查類比推理,解題核心是掌握好類比推理定義及等差等比數(shù)列之間共性,由此得出類比結(jié)論即可.26.(?仙游縣校級(jí)模仿)如圖,P是雙曲線上動(dòng)點(diǎn),F(xiàn)1、F2是雙曲線焦點(diǎn),M是∠F1PF2平分線上一點(diǎn),且.有一同窗用如下辦法研究|OM|:延長(zhǎng)F2M交PF1于點(diǎn)N,可知△PNF2為等腰三角形,且M為F2N中點(diǎn),得.類似地:P是橢圓上動(dòng)點(diǎn),F(xiàn)1、F2是橢圓焦點(diǎn),M是∠F1PF2平分線上一點(diǎn),且.則|OM|取值范疇是()A. B. C. D.【分析】橢圓與雙曲線都是平面上到定點(diǎn)和定直線距離之比為定值動(dòng)點(diǎn)軌跡,故它們研究辦法、性質(zhì)均有相似之處,咱們由題目中依照雙曲線性質(zhì),探究|OM|值辦法,類比橢圓性質(zhì),推斷出橢圓中|OM|取值范疇.【解答】解:延長(zhǎng)F2M交PF1于點(diǎn)N,可知△PNF2為等腰三角形,且M為F2M中點(diǎn),則|OM|=|NF1|=a﹣|F2M|∵a﹣c<|F2M|<a∴0<|OM|<c=∴|OM|取值范疇是故選D.【點(diǎn)評(píng)】類比推理普通環(huán)節(jié)是:(1)找出兩類事物之間相似性或一致性;(2)用一類事物性質(zhì)去推測(cè)另一類事物性質(zhì),得出一種明確命題(猜想).27.(?福建模仿)設(shè)a=(3x2﹣2x)dx,則(ax2﹣)6展開式中第4項(xiàng)為()A.﹣1280x3 B.﹣1280 C.240 D.﹣240【分析】先計(jì)算定積分,再寫出二項(xiàng)式通項(xiàng),即可求得展開式中第4項(xiàng).【解答】解:由于a=(3x2﹣2x)dx=(x3﹣x2)=4,則(ax2﹣)6通項(xiàng)為=(﹣1)r?,故(ax2﹣)6展開式中第4項(xiàng)為T3+1=,故選:A.【點(diǎn)評(píng)】本題考查定積分知識(shí),考查二項(xiàng)展開式,考查展開式中特殊項(xiàng),屬于基本題.28.(?云南模仿)圖所示陰影某些由坐標(biāo)軸、直線x=1及曲線y=ex﹣lne圍成,現(xiàn)向矩形區(qū)域OABC內(nèi)隨機(jī)投擲一點(diǎn),則該點(diǎn)落在非陰影區(qū)域概率是()A. B. C.1﹣ D.1﹣【分析】求出陰影某些面積,以面積為測(cè)度,即可得出結(jié)論.【解答】解:由題意,陰影某些面積為(ex﹣1)dx=(ex﹣x)|=e﹣2,∵矩形區(qū)域OABC面積為e﹣1,則非陰影區(qū)域面積為(e﹣1)﹣(e﹣2)=1∴該點(diǎn)落在陰影某些概率是.故選B.【點(diǎn)評(píng)】本題考查概率計(jì)算,考查定積分知識(shí)運(yùn)用,屬于中檔題.29.(?廣西一模)設(shè)實(shí)數(shù)a=log32,b=ln2,c=,則()A.b>a>c B.b>c>a C.a(chǎn)>b>c D.a(chǎn)>c>b【分析】先依照定積分計(jì)算求出c值,再比較大小即可.【解答】解:∵sinxdx=﹣cosx|=﹣(﹣1﹣1)=2,∴c==log3<log32=a,∵a﹣b=log32﹣ln2=﹣ln2=ln2(﹣1)<ln2(﹣1)=0,∴b>a>c,故選:A【點(diǎn)評(píng)】本題考查了不等式大小比較和定積分計(jì)算,屬于基本題.30.(?河南模仿)已知+=2,若φ∈(0,),則(x2﹣2x)dx=()A. B.﹣ C. D.﹣【分析】一方面由已知求出tanφ,然后計(jì)算定積分即可.【解答】解:由已知+=2,φ∈(0,),得到sinφ=cosφ=,因此tanφ=1,因此(x2﹣2x)dx=(x2﹣2x)dx=()|=;故選C.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角函數(shù)值求法以及定積分計(jì)算.31.(春?普寧市校級(jí)月考)若,則f()=()A. B. C. D.【分析】依照函數(shù)周期性可得f()=f(﹣3),再依照定積分計(jì)算即可【解答】解:當(dāng)x>0時(shí),f(x)=f(x﹣5),∴函數(shù)f(x)為周期函數(shù),其周期為5,∴f()=f(404×5﹣3)=f(﹣3),∴f(﹣3)=2﹣3+cos3tdt=+sin3t|=+=,故選:B.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分段函數(shù)周期性以及定積分計(jì)算,屬于基本題.32.(?鷹潭一模)已知,由如程序框圖輸出S=()A.1 B. C. D.﹣1【分析】先依照定積分幾何意義求出M,然后依照定積分運(yùn)算公式求出N,最后依照選取構(gòu)造進(jìn)行求解即可.【解答】解:M===N==sinx=1M<N,不滿足條件M>N則S=M=故選C【點(diǎn)評(píng)】本題重要考查了以選取構(gòu)造為載體考查定積分應(yīng)用,同步考查了計(jì)算能力,屬于基本題.33.(?山東校級(jí)模仿)設(shè)函數(shù)f(x)=ax2+b(a≠0),若∫f(x)dx=2f(x0),x0>0,則x0=()A.2 B. C.1 D.【分析】求出f(x)定積分,由∫f(x)dx=2f(x0),x0>0求解x0值.【解答】解:∵函數(shù)f(x)=ax2+b(a≠0),由∫f(x)dx=2f(x0),得=,2f(x0)=2,由,解得.故選:D.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了定積分,核心是求出被積函數(shù)原函數(shù),是基本題.34.(?河南模仿)若k≠0,n是不不大于1自然數(shù),二項(xiàng)式(1+)n展開式為a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4…+anxn.若點(diǎn)Ai(i,ai)(i=0,1,2)位置如圖所示,則x2dx值為()A. B. C.28 D.26【分析】在所給等式中,分別a0=1,a1=3,a2=4,可得2個(gè)等式,再依照所得2個(gè)等式求出k,再依照定積分計(jì)算法則計(jì)算即可.【解答】解:展開式通項(xiàng)為由圖可知,a0=1,a1=3,a2=4,∴∴,∴k=3,∴,故選:A.【點(diǎn)評(píng)】本題重要考查二項(xiàng)式定理應(yīng)用,定積分計(jì)算,屬于基本題.35.(春?壽光市期中)如下式子對(duì)的個(gè)數(shù)是()①()′=②(cosx)′=﹣sinx③(2x)′=2xln2④(lgx)′=.A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)【分析】依照題意,依次對(duì)四個(gè)式子函數(shù)求導(dǎo),即可得判斷其與否對(duì)的,即可得答案.【解答】解:依照題意,依次分析四個(gè)式子:對(duì)于①、=x﹣1,則()′=(x﹣1)′=﹣,故①錯(cuò)誤;對(duì)于②、(cosx)′=﹣sinx對(duì)的;對(duì)于③、(2x)′=2xln2,對(duì)的;對(duì)于④、(lgx)′=,故④錯(cuò)誤;綜合可得:②③對(duì)的;故選:B.【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)數(shù)計(jì)算,核心是掌握導(dǎo)數(shù)計(jì)算公式.36.(?未央?yún)^(qū)校級(jí)三模)已知定義在(0,+∞)上函數(shù)f(x),滿足(1)f(x)>0;(2)f(x)<f′(x)<2f(x)(其中f′(x)是f(x)導(dǎo)函數(shù),e是自然對(duì)數(shù)底數(shù)),則范疇為()A.(,) B.(,) C.(e,2e) D.(e,e3)【分析】依照題給定條件,設(shè)構(gòu)造函數(shù)g(x)=與h(x)=,再運(yùn)用導(dǎo)數(shù)判斷在(1,2)上函數(shù)單調(diào)性.【解答】解:設(shè)g(x)=,則g'(x)=>0∴g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,因此g(1)<g(2),即<?<;令h(x)=,則h'(x)=∴h(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減,因此h(1)>h(2),即>?>綜上,<且>.故選:B【點(diǎn)評(píng)】本題重要考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性以及構(gòu)造法應(yīng)用,屬中檔難度題.37.(?本溪模仿)已知定義在(0,+∞)上單調(diào)函數(shù)f(x),對(duì)?x∈(0,+∞),均有f[f(x)﹣log2x]=3,則方程f(x)﹣f′(x)=2解所在區(qū)間是()A.(0,) B.(1,2) C.(,1) D.(2,3)【分析】設(shè)t=f(x)﹣log2x,則f(x)=log2x+t,又由f(t)=3,即log2t+t=3,解可得t值,可得f(x)解析式,由二分法分析可得h(x)零點(diǎn)所在區(qū)間為(1,2),結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)與方程根關(guān)系,即可得答案.【解答】解:依照題意,對(duì)任意x∈(0,+∞),均有f[f(x)﹣log2x]=3,又由f(x)是定義在(0,+∞)上單調(diào)函數(shù),則f(x)﹣log2x為定值,設(shè)t=f(x)﹣log2x,則f(x)=log2x+t,又由f(t)=3,即log2t+t=3,解可得,t=2;則f(x)=log2x+2,f′(x)=,將f(x)=log2x+2,f′(x)=代入f(x)﹣f′(x)=2,可得log2x+2﹣=2,即log2x﹣=0,令h(x)=log2x﹣,分析易得h(1)=﹣<0,h(2)=1﹣>0,則h(x)=log2x﹣零點(diǎn)在(1,2)之間,則方程log2x﹣=0,即f(x)﹣f′(x)=2根在(1,2)上,故選:B.【點(diǎn)評(píng)】本題考查二分法求函數(shù)零點(diǎn)與函數(shù)零點(diǎn)與方程根關(guān)系應(yīng)用,核心點(diǎn)和難點(diǎn)是求出f(x)解析式.38.(?南平一模)定義在R上函數(shù)f(x),f′(x)是其導(dǎo)函數(shù),且滿足f(x)+f′(x)>2,f(1)=2+,則不等式exf(x)>4+2ex解集為()A.(﹣∞,1) B.(1,+∞) C.(﹣∞,2) D.(2,+∞)【分析】可構(gòu)造函數(shù)令g(x)=exf(x)﹣2ex﹣4,然后求導(dǎo),依照條件即可得出g′(x)>0,進(jìn)而得出函數(shù)g(x)在R上單調(diào)遞增,并求出g(1)=0,這樣便可求出原不等式解集.【解答】解:令g(x)=exf(x)﹣2ex﹣4,g′(x)=exf(x)+exf′(x)﹣2ex=ex[f(x)+f′(x)﹣2];∵f(x)+f′(x)>2;∴g′(x)>0;∴g(x)在R上單調(diào)遞增;;∴;∴x>1時(shí),g(x)>0;∴原不等式解集為(1,+∞).故選B.【點(diǎn)評(píng)】考查導(dǎo)函數(shù)概念,構(gòu)造函數(shù)解決問(wèn)題辦法,積函數(shù)求導(dǎo)公式,函數(shù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)和函數(shù)單調(diào)性關(guān)系.39.(春?壽光市期中)已知函數(shù)f(x)=asinx+bx3+1(a,b∈R),f′(x)為f(x)導(dǎo)函數(shù),則f()+f(﹣)+f′()﹣f′(﹣)=()A. B. C.2 D.0【分析】依照函數(shù)解析式求出函數(shù)導(dǎo)數(shù),結(jié)合函數(shù)奇偶性建立方程關(guān)系進(jìn)行求解即可.【解答】解:函數(shù)導(dǎo)數(shù)f′(x)=acosx+3bx2,則f′(x)為偶函數(shù),則f′()﹣f′(﹣)=f′()﹣f′()=0,由f(x)=asinx+bx3+1得f()=asin+b?3+1,f()=asin+b?3+1,f(﹣)=﹣asin﹣b?3+1,則f()+f(﹣)=2,則f()+f(﹣)+f′()﹣f′(﹣)=2+0=2,故選:C【點(diǎn)評(píng)】本題重要考查函數(shù)值計(jì)算,依照函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式,結(jié)合函數(shù)奇偶性建立方程關(guān)系是解決本題核心.40.(春?湖北期中)若函數(shù)f(x)在R上可導(dǎo),且f(x)=x2+2f′(1)x+3,則()A.f(0)<f(4) B.f(0)=f(4) C.f(0)>f(4) D.無(wú)法擬定【分析】求函數(shù)導(dǎo)數(shù),令x=1,求出函數(shù)解析式,結(jié)合二次函數(shù)對(duì)稱性進(jìn)行求解判斷即可.【解答】解:函數(shù)導(dǎo)數(shù)f′(x)=2x+2f′(1),令x=1,得f′(1)=2+2f′(1),即f′(1)=﹣2,f(x)=x2﹣4x+3,則函數(shù)對(duì)稱軸為x=2,則f(0)=f(4),故選:B【點(diǎn)評(píng)】本題重要考查二次函數(shù)性質(zhì)應(yīng)用,依照函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式求出f′(1)值是解決本題核心.41.(?山西一模)若函數(shù)y=x3+x2+mx+1是R上單調(diào)函數(shù),則實(shí)數(shù)m取值范疇是()A.(,+∞) B.(﹣∞,] C.[,+∞) D.(﹣∞,)【分析】對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo),令導(dǎo)函數(shù)不不大于等于0在R上恒成及時(shí)可.【解答】解:若函數(shù)y=x3+x2+mx+1是R上單調(diào)函數(shù),只需y′=3x2+2x+m≥0恒成立,即△=4﹣12m≤0,∴m≥.故選C.【點(diǎn)評(píng)】本題重要考查函數(shù)單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)正負(fù)之間關(guān)系.即當(dāng)導(dǎo)數(shù)不不大于0是原函數(shù)單調(diào)遞增,當(dāng)導(dǎo)數(shù)不大于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞減.42.(?清新區(qū)校級(jí)一模)已知a>0,函數(shù)f(x)=x3﹣ax在[1,+∞)上是單調(diào)增函數(shù),則a最大值是()A.0 B.1 C.2 D.3【分析】由題意a>0,函數(shù)f(x)=x3﹣ax,一方面求出函數(shù)導(dǎo)數(shù),然后依照導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性關(guān)系進(jìn)行判斷.【解答】解:由題意得f′(x)=3x2﹣a,∵函數(shù)f(x)=x3﹣ax在[1,+∞)上是單調(diào)增函數(shù),∴在[1,+∞)上,f′(x)≥0恒成立,即a≤3x2在[1,+∞)上恒成立,∴a≤3,故選:D.【點(diǎn)評(píng)】此題重要考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間關(guān)系,掌握并會(huì)純熟運(yùn)用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性關(guān)系.43.(?樂(lè)山一模)已知函數(shù)f(x)=,則y=f(x)圖象大體為()A. B. C. D.【分析】運(yùn)用函數(shù)定義域與函數(shù)值域排除B,D,通過(guò)函數(shù)單調(diào)性排除C,推出成果即可.【解答】解:令g(x)=x﹣lnx﹣1,則,由g'(x)>0,得x>1,即函數(shù)g(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增,由g'(x)<0得0<x<1,即函數(shù)g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,因此當(dāng)x=1時(shí),函數(shù)g(x)有最小值,g(x)min=g(0)=0,于是對(duì)任意x∈(0,1)∪(1,+∞),有g(shù)(x)≥0,故排除B、D,因函數(shù)g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,則函數(shù)f(x)在(0,1)上遞增,故排除C,故選A.【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)單調(diào)性與函數(shù)導(dǎo)數(shù)關(guān)系,函數(shù)定義域以及函數(shù)圖形判斷,考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題能力.44.(?上饒一模)已知函數(shù)f(x)=(b∈R).若存在x∈[,2],使得f(x)>﹣x?f′(x),則實(shí)數(shù)b取值范疇是()A.(﹣∞,) B. C. D.(﹣∞,3)【分析】求導(dǎo)函數(shù),問(wèn)題轉(zhuǎn)化為b<x+,設(shè)g(x)=x+,只需b<g(x)max,結(jié)合函數(shù)單調(diào)性可得函數(shù)最大值,故可求實(shí)數(shù)b取值范疇.【解答】解:∵f(x)=x>0,∴f′(x)=,∴f(x)+xf′(x)=,∵存在x∈[,2],使得f(x)+xf′(x)>0,∴1+2x(x﹣b)>0∴b<x+,設(shè)g(x)=x+,∴b<g(x)max,∴g′(x)=,當(dāng)g′(x)=0時(shí),解得:x=,當(dāng)g′(x)>0時(shí),即<x≤2時(shí),函數(shù)單調(diào)遞增,當(dāng)g′(x)<0時(shí),即≤x<時(shí),函數(shù)單調(diào)遞減,∴當(dāng)x=2時(shí),函數(shù)g(x)取最大值,最大值為g(2)=,∴b<,故選C.【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)運(yùn)用,考查恒成立問(wèn)題,考查函數(shù)最值,屬于中檔題.45.(?鷹潭一模)函數(shù)f(x)是定義在區(qū)間(0,+∞)上可導(dǎo)函數(shù),其導(dǎo)函數(shù)為f′(x),且滿足xf′(x)+2f(x)>0,則不等式解集為()A.{x>﹣} B.{x|x<﹣}C.{x|﹣<x<0} D.{x|﹣<x<﹣}【分析】依照條件,構(gòu)造函數(shù),運(yùn)用函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間關(guān)系,將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化即可得到結(jié)論【解答】解:構(gòu)造函數(shù)g(x)=x2f(x),g′(x)=x(2f(x)+xf′(x));當(dāng)x>0時(shí),∵2f(x)+xf′(x)>0,∴g′(x)>0,∴g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,∵不等式,∴x+>0時(shí),即x>﹣時(shí),∴(x+)2f(x+)<52f(5),∴g(x+)<g(5),∴x+<5,∴﹣<x<﹣,故選:D.【點(diǎn)評(píng)】本題重要考查不等式解法,運(yùn)用條件構(gòu)造函數(shù),運(yùn)用函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間關(guān)系是解決本題核心46.(?白山二模)已知函數(shù)f(x)定義域?yàn)镽,f(﹣2)=2021,對(duì)任意x∈(﹣∞,+∞),均有f'(x)<2x成立,則不等式f(x)>x2+解集為()A.(﹣2,+∞) B.(﹣2,2) C.(﹣∞,﹣2) D.(﹣∞,+∞)【分析】構(gòu)造函數(shù)g(x)=f(x)﹣x2﹣,運(yùn)用對(duì)任意x∈R,均有f′(x)<2x成立,即可得出函數(shù)g(x)在R上單調(diào)性,進(jìn)而即可解出不等式.【解答】解:令g(x)=f(x)﹣x2﹣,則g′(x)=f′(x)﹣2x<0,∴函數(shù)g(x)在R上單調(diào)遞減,而f(﹣2)=2021,∴g(﹣2)=f(﹣2)﹣(﹣2)2﹣=0,∴不等式f(x)>x2+,可化為g(x)>g(﹣2),∴x<﹣2,即不等式f(x)>x2+解集為(﹣∞,﹣2),故選:C.【點(diǎn)評(píng)】本題重要考查了導(dǎo)數(shù)應(yīng)用,恰當(dāng)構(gòu)造函數(shù)和純熟掌握運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性是解題核心.47.(?鐵東區(qū)校級(jí)四模)已知函數(shù)f(x)定義域是R,f(0)=2,對(duì)任意x∈R,f′(x)>f(x)+1,則下列對(duì)的為()A.(f(1)+1)?e>f(2)+1 B.3e<f(2)+1C.3?e≥f(1)+1 D.3e2與f(2)+1大小不擬定【分析】構(gòu)造函數(shù)g(x)=,運(yùn)用導(dǎo)數(shù)可判斷函數(shù)g(x)單調(diào)性,由此可得結(jié)論.【解答】解:構(gòu)造函數(shù)g(x)=,∴g′(x)=>0,∴函數(shù)在R上單調(diào)遞增,∴g(2)>g(1)>g(0),∴(f(1)+1)?e<f(2)+1,3?e<f(1)+1,3e2<f(2)+1,∴3e<f(2)+1,故選:B.【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)單調(diào)性性質(zhì)及其應(yīng)用,考查抽象不等式求解,考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性關(guān)系,綜合性較強(qiáng),屬于中檔題.48.(?太原一模)已知函數(shù),若存在實(shí)數(shù)m使得不等式f(m)≤2n2﹣n成立,求實(shí)數(shù)n取值范疇為()A. B. C. D.【分析】求導(dǎo),將x=1代入f′(x)和f(x),即可求得函數(shù)解析式及導(dǎo)函數(shù),依照函數(shù)單調(diào)性及最值,由題意即可求得2n2﹣n≥f(x)min=1,即可求得實(shí)數(shù)n取值范疇.【解答】解:由,求導(dǎo),f′(x)=ex+f(0)x﹣1,當(dāng)x=1時(shí),f′(1)=f′(1)+f(0)﹣1,則f(0)=1,f(0)==1,則f′(1)=e,f(x)=ex+x2﹣x,則f′(x)=ex+x﹣1,令f′(x)=0,解得:x=0,當(dāng)f′(x)>0,解得:x>0,當(dāng)f′(x)<0,解得:x<0,∴當(dāng)x=0時(shí),取極小值,極小值為f(0)=1,∴f(x)最小值為1,由f(m)≤2n2﹣n,則2n2﹣n≥f(x)min=1,則2n2﹣n﹣1≥0,解得:n≥1或n≤﹣,實(shí)數(shù)n取值范疇(﹣∞,﹣∪[1,+∞),故選A.【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)數(shù)綜合應(yīng)用,考查運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性及極值,一元二次不等式解集,考查計(jì)算能力,屬于中檔題.49.(?河南模仿)已知函數(shù)f(x)=﹣,若對(duì)任意x1,x2∈[1,2],且x1≠x2時(shí),[|f(x1)|﹣|f(x2)|](x1﹣x2)>0,則實(shí)數(shù)a取值范疇為()A.[﹣,] B.[﹣,] C.[﹣,] D.[﹣e2,e2]【分析】由題意可知函數(shù)y=丨f(x)丨單調(diào)遞增,分類討論,依照函數(shù)性質(zhì)及對(duì)勾函數(shù)性質(zhì),即可求得實(shí)數(shù)a取值范疇.【解答】解:由任意x1,x2∈[1,2],且x1<x2,由[|f(x1)|﹣|f(x2)|](x1﹣x2)>0,則函數(shù)y=丨f(x)丨單調(diào)遞增,當(dāng)a≥0,f(x)在[1,2]上是增函數(shù),則f(1)≥0,解得:0≤a≤,當(dāng)a<0時(shí),丨f(x)丨=f(x),令=﹣,解得:x=ln,由對(duì)勾函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為[ln,+∞),故ln≤1,解得:﹣≤a<0,綜上可知:a取值范疇為[﹣,],故選B.【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)綜合應(yīng)用,考核對(duì)數(shù)函數(shù)運(yùn)算,對(duì)勾函數(shù)性質(zhì),考查分類討論思想,屬于中檔題.50.(?龍巖一模)已知函數(shù)f(x)實(shí)義域?yàn)镽,其圖象關(guān)于點(diǎn)(﹣1,0)中心對(duì)稱,其導(dǎo)函數(shù)為f′(x),當(dāng)x<﹣1時(shí),(x+1)[f(x)+(x+1)f′(x)]<0.則不等式xf(x﹣1)>f(0)解集為()A.(1,+∞) B.(﹣∞,﹣1) C.(﹣1,1) D.(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞)【分析】由題意設(shè)g(x)=(x+1)f(x),求出g′(x)后由條件判斷出符號(hào),由導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性關(guān)系判斷出g(x)在(﹣∞,﹣1)上遞增,由條件和圖象平移判斷出:函數(shù)f(x﹣1)圖象關(guān)于點(diǎn)(0,0)中心對(duì)稱,由奇函數(shù)圖象可得:函數(shù)f(x﹣1)是奇函數(shù),令h(x)=g(x﹣1)=xf(x﹣1),判斷出h(x)奇偶性和單調(diào)性,再等價(jià)轉(zhuǎn)化不等式,求出不等式解集.【解答】解:由題意設(shè)g(x)=(x+1)f(x),則g′(x)=f(x)+(x+1)f′(x),∵當(dāng)x<﹣1時(shí),(x+1)[f(x)+(x+1)f′(x)]<0,∴當(dāng)x<﹣1時(shí),f(x)+(x+1)f′(x)>0,則g(x)在(﹣∞,﹣1)上遞增,∵函數(shù)f(x)定義域?yàn)镽,其圖象關(guān)于點(diǎn)(﹣1,0)中心對(duì)稱,∴函數(shù)f(x﹣1)圖象關(guān)于點(diǎn)(0,0)中心對(duì)稱,則函數(shù)f(x﹣1)是奇函數(shù),令h(x)=g(x﹣1)=xf(x﹣1),∴h(x)是R上偶函數(shù),且在(﹣∞,0)遞增,由偶函數(shù)性質(zhì)得:函數(shù)h(x)在(0,+∞)上遞減,∵h(yuǎn)(1)=f(0),∴不等式xf(x﹣1)>f(0)化為:h(x)>h(1),即|x|<1,解得﹣1<x<1,∴不等式解集是(﹣1,1),故選C.【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性關(guān)系,偶函數(shù)定義以及性質(zhì),函數(shù)圖象平移變換,以及函數(shù)單調(diào)性應(yīng)用,考查轉(zhuǎn)化思想,構(gòu)造法,化簡(jiǎn)、變形能力.上海市高三數(shù)學(xué)競(jìng)賽一,填空題:(本大題滿分60分,前4小題每小題7分,后4小題每小題8分)1,函數(shù)定義域是________,值域是_________.2,數(shù)列是遞增數(shù)列,滿足:,,,,并且,則數(shù)列通項(xiàng)公式=__________.3,用一張正方形紙片(不能剪裁)完全包住一種側(cè)棱長(zhǎng)和底邊長(zhǎng)均為1正四棱錐,則這個(gè)正方形邊長(zhǎng)至少是___________.4,一種口袋中有10張卡片,分別寫著0,1,2,,,,,9,從中任意持續(xù)取出4張,按取出順序從左到右構(gòu)成一種四位數(shù)(若0在最左邊,則該數(shù)視作三位數(shù)),則這個(gè)數(shù)不大于概率是________.5,設(shè)=___________.6,設(shè)集合,滿足,則這樣子集A共有___________個(gè)。7,在直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn),若線段AB(涉及端點(diǎn)A,B)在圓C外部,則實(shí)數(shù)a取值范疇是_________.8,一串“十”,“一”號(hào)排成一行,從左往右看,就會(huì)產(chǎn)生“變號(hào)”。例如:十十一十一一十,其中有4次“變號(hào)”若有10個(gè)“十”號(hào)與6個(gè)“一”號(hào)排成一行,產(chǎn)生7次“變號(hào)”,則這種排列共有________種.二,解答題:(本大題滿分60分,每題15分)9,已知數(shù)列各項(xiàng)均為正實(shí)數(shù),,并且對(duì)于一切正實(shí)數(shù),均有(1)證明:數(shù)列每一項(xiàng)都是完全平方數(shù);(2)證明:10,給定正實(shí)數(shù),若復(fù)數(shù)值。11,求滿足所有正整數(shù)12,將5X5矩陣每個(gè)元素都取成1,2,3,4,5這五個(gè)數(shù)之一,規(guī)定每行5個(gè)元素互不相等,而對(duì)任意相鄰兩行,掐存在一種,使得這兩行在第k列上元素相等。此時(shí),若矩陣中存在某一列上相鄰3個(gè)元素相等,則稱該矩陣為“有趣”;否則,若任意一列上都不浮現(xiàn)相鄰3個(gè)元素相等,則稱該矩陣為“無(wú)趣”;試比較有趣矩陣個(gè)數(shù)與無(wú)趣矩陣個(gè)數(shù)大小。參照答案一,填空題1,【答案】【解析】求定義域:,求值域:2,【答案】【解析】(辦法1)找規(guī)律+數(shù)學(xué)歸納法/代入檢查計(jì)算可得:n11241632549464100,,,,,,,,,,,,歸納得:(數(shù)學(xué)歸納法證明/代入檢查略)。(辦法2)嚴(yán)格推導(dǎo)(注意舍去增根)原方程變形可得:由求根公式得:開方可得:計(jì)算可得:由已知數(shù)列是遞增數(shù)列,因此當(dāng)進(jìn)而,(小跟不滿足“數(shù)列是遞增數(shù)列”因而舍去)可證數(shù)列從第三項(xiàng)開始等差數(shù)列,驗(yàn)證可得前兩項(xiàng)也符合,本題有兩解。3,【答案】【解析】將正四棱錐四條側(cè)棱剪開,把四個(gè)側(cè)面分別沿著各自底邊翻折下來(lái),使得四個(gè)側(cè)面等邊三角形和底面等邊三角形和底面四邊形共面,那么能包住此“側(cè)面展開圖”圖形最小正方形即符合題意。4,【答案】【解析】分類討論:第一位是0,第一位是1,第二位是2(~)。5,【答案】【解析】(辦法一)運(yùn)用數(shù)列“逆序求和法”記則兩式相加可得:,可得原式值為(辦法二)嚴(yán)格推導(dǎo)(三角函數(shù)+數(shù)列分組求和法)綜上,原式6,【答案】165【解析】窮舉法。對(duì)于值分類討論:,符合題意子集A共有:7,【答案】【解析】(辦法一)數(shù)形結(jié)合+分類討論若在第三象限,此時(shí)只需點(diǎn)A在圓C外即可符合題意;(恒符合題意)若在第四象限,并且在線段AB正下方。此時(shí)只需圓C半徑即可符合一;解得;若在第四象限。此時(shí)只需點(diǎn)B在圓C外即可符合題意;解得綜上所述,實(shí)數(shù)a取值范疇是(辦法二)轉(zhuǎn)化成不等式恒成立問(wèn)題+分類討論在線段AB上任取一點(diǎn)由題意,點(diǎn)P恒在圓C外,因而:恒成立。對(duì)實(shí)數(shù)a值分類討論可得:如果,原不等式恒成立,符合題意
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