中國(guó)科學(xué)院大學(xué)601高等數(shù)學(xué)（甲）考試大綱解析

目錄

專(zhuān)題1函數(shù)、極限、連續(xù)

第1部分考試內(nèi)容

第2部分考試要求

第3部分考試大綱詳解

專(zhuān)題2一元函數(shù)微分學(xué)

第1部分考試內(nèi)容

第2部分考試要求

第3部分考試大綱詳解

專(zhuān)題3一元函數(shù)積分學(xué)

第1部分考試內(nèi)容

第2部分考試要求

第3部分考試大綱詳解

專(zhuān)題4向量代數(shù)和空間解析幾何

第1部分考試內(nèi)容

第2部分考試要求

第3部分考試大綱詳解

專(zhuān)題5多元函數(shù)微分學(xué)

第1部分考試內(nèi)容

第2部分考試要求

第3部分考試大綱詳解

專(zhuān)題6多元函數(shù)積分學(xué)

第1部分考試內(nèi)容

第2部分考試要求

第3部分考試大綱詳解

專(zhuān)題7無(wú)窮級(jí)數(shù)

第1部分考試內(nèi)容

第2部分考試要求

第3部分考試大綱詳解

專(zhuān)題8常微分方程

第1部分考試內(nèi)容

第2部分考試要求

第3部分考試大綱詳解

附錄中國(guó)科學(xué)院大學(xué)601高等數(shù)學(xué)

（甲）考試大綱

專(zhuān)題1函數(shù)、極限、連續(xù)

第1部分考試內(nèi)容

函數(shù)的概念及表示法函數(shù)的有界性、單調(diào)性、周期性和奇偶性復(fù)合函

數(shù)、反函數(shù)、分段函數(shù)和隱函數(shù)基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形

數(shù)列極限與函數(shù)極限的概念無(wú)窮小和無(wú)窮大的概念及其關(guān)系無(wú)窮小的

性質(zhì)及無(wú)窮小的比較極限的四則運(yùn)算極限存在的單調(diào)有界準(zhǔn)則和夾逼

準(zhǔn)則兩個(gè)重要極限：

，

函數(shù)連續(xù)的概念函數(shù)間斷點(diǎn)的類(lèi)型初等函數(shù)的連續(xù)性閉區(qū)間上連續(xù)

函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)的一致連續(xù)性概念

第2部分考試要求

（1）理解函數(shù)的概念，掌握函數(shù)的表示法，并會(huì)建立簡(jiǎn)單應(yīng)用問(wèn)題中

的函數(shù)關(guān)系式.

（2）理解函數(shù)的有界性、單調(diào)性、周期性和奇偶性.掌握判斷函數(shù)這些

性質(zhì)的方法.

（3）理解復(fù)合函數(shù)的概念，了解反函數(shù)及隱函數(shù)的概念.會(huì)求給定函數(shù)

的復(fù)合函數(shù)和反函數(shù).

（4）掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形.

（5）理解極限的概念，理解函數(shù)左極限與右極限的概念，以及函數(shù)極

限存在與左、右極限之間的關(guān)系.

（6）掌握極限的性質(zhì)及四則運(yùn)算法則，會(huì)運(yùn)用它們進(jìn)行一些基本的判

斷和計(jì)算.

（7）掌握極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則，并會(huì)利用它們求極限.掌握利用兩個(gè)重

要極限求極限的方法.

（8）理解無(wú)窮小、無(wú)窮大的概念，掌握無(wú)窮小的比較方法，會(huì)用等價(jià)

無(wú)窮小求極限.

（9）理解函數(shù)連續(xù)性的概念（含左連續(xù)與右連續(xù)），會(huì)判別函數(shù)間斷

點(diǎn)的類(lèi)型.

（10）掌握連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和初等函數(shù)的連續(xù)性，熟悉閉區(qū)間上連

續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（有界性、最大值和最小值定理、介值定理等），并會(huì)應(yīng)

用這些性質(zhì).

（11）理解函數(shù)一致連續(xù)性的概念.

第3部分考試大綱詳解

一、函數(shù)

1．函數(shù)的定義

設(shè)數(shù)集DR，則稱(chēng)映射：D→R為定義在D上的函數(shù)，簡(jiǎn)記為

，其中x稱(chēng)為自變量，y稱(chēng)為因變量．D稱(chēng)為定義域，記作

，即．

2．函數(shù)的表示方法

（1）表格法

（2）圖形法

（3）解析法（公式法）

二、函數(shù)的性質(zhì)

1．有界性

（1）上界：若存在K1，對(duì)任意有，則稱(chēng)函數(shù)在Ｉ上有

上界，而K1稱(chēng)為函數(shù)在Ｉ上的一個(gè)上界.

（2）下界：若存在K2，對(duì)任意有，則稱(chēng)函數(shù)在Ｉ上有

下界，而K2稱(chēng)為函數(shù)在Ｉ上的一個(gè)下界.

（3）有界：若對(duì)任意，存在M＞0，總有，則稱(chēng)在I上

有界.

2．單調(diào)性

（1）單調(diào)遞增當(dāng)時(shí)，.

（2）單調(diào)遞減當(dāng)時(shí)，.

3．周期性

（1）定義（T為正數(shù)）.

（2）最小正周期函數(shù)所有周期中最小的周期稱(chēng)為最小正周期.

4．奇偶性

f（x）的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則：

（1）偶函數(shù)f（－x）＝f（x），圖形關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng).

（2）奇函數(shù)f（－x）＝－f（x），圖形關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng).

三、反函數(shù)、復(fù)合函數(shù)、隱函數(shù)

1．反函數(shù)

（1）定義

設(shè)函數(shù)f：D→f（D）是單射，則它存在逆映射f－1：f（D）→D，稱(chēng)此

映射f－1為函數(shù)f的反函數(shù).

（2）特點(diǎn)

①當(dāng)f在D上是單調(diào)遞增函數(shù)，f－1在f（D）上也是單調(diào)遞增函數(shù)；

②當(dāng)f在D上是單調(diào)遞減函數(shù)，f－1在f（D）上也是單調(diào)遞減函數(shù)；

③f的圖像和f－1的圖像關(guān)于直線(xiàn)y＝x對(duì)稱(chēng)，如圖1－1所示．

圖1－1

2．復(fù)合函數(shù)

（1）復(fù)合函數(shù)概念

設(shè)函數(shù)y＝f（u）的定義域?yàn)?，函?shù)u＝g（x）的定義域?yàn)?，且其?/p>

域，則函數(shù)稱(chēng)為由函數(shù)u＝g（x）與函數(shù)y＝

f（u）構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)，它的定義域?yàn)椋兞縰稱(chēng)為中間變量.

注：函數(shù)g與函數(shù)f構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)，即按“先g后f”的次序復(fù)合的函

數(shù)，記為，即.

（2）構(gòu)成復(fù)合函數(shù)的條件

g與f能構(gòu)成復(fù)合函數(shù)的條件是：函數(shù)g的值域Rg必須包含于函數(shù)f的

定義域Df，即.

3．隱函數(shù)

如果變量ｘ，ｙ滿(mǎn)足一個(gè)方程，在一定條件下，當(dāng)ｘ取區(qū)間I任

一值時(shí)，相應(yīng)地總有滿(mǎn)足該方程的唯一的ｙ存在，則稱(chēng)方程在

區(qū)間I確定了一個(gè)隱函數(shù)．

四、基本初等函數(shù)

1．初等函數(shù)定義

由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次的四則運(yùn)算和有限次的函數(shù)復(fù)合步驟

所構(gòu)成并可用一個(gè)式子表示的函數(shù)，稱(chēng)為初等函數(shù).

2．基本初等函數(shù)性質(zhì)和圖形

（1）冪函數(shù)

①表達(dá)式：；

②定義域：使有意義的全體實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合；

③性質(zhì)：

a．當(dāng)n＞0時(shí)，圖象過(guò)點(diǎn)（0，0）和（1，1），在區(qū)間上是增函

數(shù);

b．當(dāng)n＜0時(shí)，圖象過(guò)點(diǎn)（1，1），在區(qū)間上是減函數(shù)

④圖像：圖像如圖1－2所示：

圖1－2

（2）指數(shù)函數(shù)

①表達(dá)式：；

②定義域：R；

③值域：

④性質(zhì)：

a．當(dāng)a＞1時(shí)，圖象過(guò)點(diǎn)（0，1），在R上是增函數(shù)；

b．當(dāng)0＜a＜1時(shí)，圖象過(guò)點(diǎn)（0，1），在R上是減函數(shù)．

⑤圖像：圖像如圖1－3所示：

圖1－3

（3）對(duì)數(shù)函數(shù)

①表達(dá)式：；

②定義域：；

③值域：R

④性質(zhì)：

a．當(dāng)a＞1時(shí)，圖象過(guò)點(diǎn)（1，0），在上是增函數(shù)；

b．當(dāng)0＜a＜1時(shí)，圖象過(guò)點(diǎn)（1，0），在上是減函數(shù)．

⑤圖像：圖像如圖1－4所示：

圖1－4

（4）三角函數(shù)

表1－1三角函數(shù)的性質(zhì)和圖像

（5）反三角函數(shù)

表1－2反三角函數(shù)的性質(zhì)和圖像

五、極限

1．?dāng)?shù)列極限

設(shè)為一數(shù)列，如果存在常數(shù)a，對(duì)于任意給定的正數(shù)，總存在正整

數(shù)N，使得當(dāng)n＞N時(shí)，不等式都成立，則稱(chēng)常數(shù)a是數(shù)列的

極限，又稱(chēng)數(shù)列收斂于a，記為．

2．函數(shù)極限的定義

（1）函數(shù)的極限

在自變量的某個(gè)變化過(guò)程中，如果對(duì)應(yīng)的函數(shù)值無(wú)限接近于某個(gè)確定的

數(shù)，則這個(gè)確定的數(shù)就稱(chēng)為在這一變化過(guò)程中函數(shù)的極限.

（2）函數(shù)f（x）極限的兩種情形

①自變量x趨于有限值時(shí)函數(shù)的極限

a．定義

設(shè)函數(shù)f（x）在點(diǎn)的某一去心鄰域內(nèi)有定義.如果存在常數(shù)A，對(duì)于任

意給定的正數(shù)（不論它多么?。偞嬖谡龜?shù)使得當(dāng)x滿(mǎn)足不等式

時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f（x）都滿(mǎn)足不等式則常數(shù)A稱(chēng)

為函數(shù)f（x）當(dāng)時(shí)的極限，記作.

注：定義中表示，所以時(shí)f（x）有沒(méi)有極限，與

f（x）在點(diǎn)是否有定義并無(wú)關(guān)系.

e．時(shí)極限存在的充分必要條件

左極限及右極限各自存在并且相等．

②自變量x趨于無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限

a．定義

設(shè)函數(shù)f（x）當(dāng)|x|大于某一正數(shù)時(shí)有定義．如果存在常數(shù)A，對(duì)于任意

給定的正數(shù)ε（不論它多么?。?，總存在著正數(shù)X，使得當(dāng)x滿(mǎn)足不等

式|x|＞X時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f（x）都滿(mǎn)足不等式，則常數(shù)A就

稱(chēng)為函數(shù)f（x）當(dāng)時(shí)的極限，記作

b．簡(jiǎn)單表述

3．函數(shù)極限的性質(zhì)

（1）唯一性

如果存在，則這極限唯一．

（2）局部有界性

如果則存在常數(shù)M＞0和＞0，使得當(dāng)時(shí)，有|f（x）|

≤M．

（3）局部保號(hào)性

①如果且A＞0（或A＜0），則存在常數(shù)使得當(dāng)

時(shí)，有

②如果，則存在著的某一去心鄰域當(dāng)時(shí)，有

．

③如果在的某去心鄰域內(nèi)f（x）≥0（或f（x）≤0），而且則

A≥0（或A≤0）．

4．四則運(yùn)算法則

如果，則

（1）

（2）

（3）若，則

六、極限存在準(zhǔn)則及兩個(gè)重要極限

1．極限存在準(zhǔn)則

（1）夾逼準(zhǔn)則

①夾逼準(zhǔn)則1

如果數(shù)列及滿(mǎn)足下列條件：

a．從某項(xiàng)起，即當(dāng)時(shí)，有；

b．，則數(shù)列的極限存在，且．

②夾逼準(zhǔn)則2

如果

a．當(dāng)（或）時(shí)，；

b．，

則存在，且等于A．

（2）單調(diào)有界準(zhǔn)則

單調(diào)有界數(shù)列必有極限．

2．兩個(gè)重要極限

七、無(wú)窮小與無(wú)窮大

1．無(wú)窮小

如果函數(shù)f（x）當(dāng)（或）時(shí)的極限為零，則稱(chēng)函數(shù)f（x）

為當(dāng)（或）時(shí)的無(wú)窮?。貏e地，以零為極限的數(shù)列稱(chēng)

為時(shí)的無(wú)窮?。?/p>

（1）相關(guān)無(wú)窮小的定義

①高階無(wú)窮小

如果，則β是比α高階的無(wú)窮小，記作．

②低階無(wú)窮小

③同階無(wú)窮小

如果，則β與α是同階無(wú)窮?。?/p>

④k階無(wú)窮小

如果，則β是關(guān)于α的k階無(wú)窮?。?/p>

⑤等價(jià)無(wú)窮小

如果，則β與α是等價(jià)無(wú)窮小，記作．

（2）常用的等價(jià)無(wú)窮小

2．無(wú)窮大

設(shè)函數(shù)f（x）在的某一去心鄰域內(nèi)有定義（或|x|大于某一正數(shù)時(shí)有定

義）．如果對(duì)于任意給定的正數(shù)M（不論它多么大），總存在正數(shù)

（或正數(shù)X），只要x適合不等式（或|x|＞X），對(duì)應(yīng)的函數(shù)

值f（x）總滿(mǎn)足不等式|f（x）|＞M，則稱(chēng)函數(shù)是當(dāng)

時(shí)的無(wú)窮大．

八、函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)

1．函數(shù)的連續(xù)性

（1）連續(xù)

設(shè)函數(shù)y＝f（x）在點(diǎn)x0的某一鄰域內(nèi)有定義，如果

則稱(chēng)函數(shù)y＝f（x）在點(diǎn)x0連續(xù)．

（2）左連續(xù)和右連續(xù)

①左連續(xù)

如果存在且等于f（x0），即，則稱(chēng)函數(shù)f（x）在點(diǎn)

x0左連續(xù)．

②右連續(xù)

如果存在且等于f（x0），即，則稱(chēng)函數(shù)f（x）在

點(diǎn)x0右連續(xù)．

2．函數(shù)的間斷點(diǎn)

（1）第一類(lèi)間斷點(diǎn)

①可去間斷點(diǎn)：在間斷點(diǎn)處函數(shù)左右極限相等．

②跳躍間斷點(diǎn)：在間斷點(diǎn)處函數(shù)左右極限不相等．

（2）第二類(lèi)間斷點(diǎn)

①無(wú)窮間斷點(diǎn)：在間斷點(diǎn)處函數(shù)極限為無(wú)窮大（或無(wú)窮小）．

②振蕩間斷點(diǎn)：在趨近間斷點(diǎn)的過(guò)程中，函數(shù)值在某個(gè)區(qū)間內(nèi)變動(dòng)無(wú)限

多次．

九、連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算與初等函數(shù)的連續(xù)性

1．連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商的連續(xù)性

設(shè)函數(shù)f（x）和g（x）在點(diǎn)x0連續(xù)，則它們的和（差）、積及

商（當(dāng)時(shí)）都在點(diǎn)x0連續(xù)．

2．初等函數(shù)的連續(xù)性

（1）基本初等函數(shù)在它們的定義域內(nèi)都是連續(xù)的．

（2）一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的．定義區(qū)間，就是包含

在定義域內(nèi)的區(qū)間．

十、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

1．函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)

如果函數(shù)f（x）在開(kāi)區(qū)間（a，b）內(nèi)連續(xù)，在右端點(diǎn)b左連續(xù)，在左端

點(diǎn)a右連續(xù)，則函數(shù)f（x）就是在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)．

2．閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

（1）有界性與最大值最小值定理

①定理

在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上有界且一定能取得它的最大值和最小

值．

②最大值與最小值

對(duì)于在區(qū)間I上有定義的函數(shù)f（x），如果有，使得對(duì)于任一

，都有

則稱(chēng)是函數(shù)f（x）在區(qū)間I上的最大值（最小值）．

（2）零點(diǎn)定理與介值定理

①零點(diǎn)

如果，則稱(chēng)為函數(shù)f（x）的零點(diǎn)．

②零點(diǎn)定理

設(shè)函數(shù)f（x）在閉區(qū)間上連續(xù)，且f（a）與f（b）異號(hào)（即f（a）

·f（b）＜0），則在開(kāi)區(qū)間（a，b）內(nèi)至少有一點(diǎn)ξ，使．

③介值定理

設(shè)函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，且在這區(qū)間的端點(diǎn)取不同的函數(shù)

值

則對(duì)于A與B之間的任意一個(gè)數(shù)C，在開(kāi)區(qū)間（a，b）內(nèi)至少有一點(diǎn)ξ，

使得

3．一致連續(xù)性

（1）一致連續(xù)性定義

設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間I上有定義．如果對(duì)于任意給定的正數(shù)ε，總存在正

數(shù)δ，使得對(duì)于區(qū)間I上的任意兩點(diǎn)x1、x2，當(dāng)時(shí)，有

則稱(chēng)函數(shù)f（x）在區(qū)間I上一致連續(xù)．

（2）一致連續(xù)與連續(xù)的關(guān)系

如果函數(shù)f（x）在區(qū)間I上一致連續(xù)，則f（x）在區(qū)間I上一定連續(xù)；當(dāng)

f（x）在區(qū)間I上連續(xù)，f（x）在區(qū)間I上不一定一致連續(xù)．

（3）一致連續(xù)性定理

如果函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，則它在該區(qū)間上一致連續(xù)．

專(zhuān)題2一元函數(shù)微分學(xué)

第1部分考試內(nèi)容

導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的幾何意義和物理意義函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的

關(guān)系平面曲線(xiàn)的切線(xiàn)和法線(xiàn)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算復(fù)

合函數(shù)、反函數(shù)、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的求法參數(shù)方程所確定的函數(shù)的求導(dǎo)

方法高階導(dǎo)數(shù)的概念高階導(dǎo)數(shù)的求法微分的概念和微分的幾何意義

函數(shù)可微與可導(dǎo)的關(guān)系微分的運(yùn)算法則及函數(shù)微分的求法一階微分形

式的不變性微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用微分中值定理洛必達(dá)法則泰勒

公式函數(shù)的極值函數(shù)最大值和最小值函數(shù)單調(diào)性函數(shù)圖形的凹凸

性、拐點(diǎn)及漸近線(xiàn)函數(shù)圖形的描繪弧微分及曲率的計(jì)算

第2部分考試要求

（1）理解導(dǎo)數(shù)和微分的概念，理解導(dǎo)數(shù)與微分的關(guān)系，理解導(dǎo)數(shù)的幾

何意義，會(huì)求平面曲線(xiàn)的切線(xiàn)方程和法線(xiàn)方程，了解導(dǎo)數(shù)的物理意義，

會(huì)用導(dǎo)數(shù)描述一些物理量，掌握函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系。

（2）掌握導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，掌握基本初等

函數(shù)的求導(dǎo)公式。了解微分的四則運(yùn)算法則和一階微分形式的不變性，

會(huì)求函數(shù)的微分。

（3）了解高階導(dǎo)數(shù)的概念，會(huì)求簡(jiǎn)單函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)。

（4）會(huì)求分段函數(shù)的一階、二階導(dǎo)數(shù)。

（5）會(huì)求隱函數(shù)和由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的一階、二階導(dǎo)數(shù)

（6）會(huì)求反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。

（7）理解并會(huì)用羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒

定理。

（8）理解函數(shù)的極值概念，掌握用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和求函數(shù)極

值的方法，掌握函數(shù)最大值和最小值的求法及其簡(jiǎn)單應(yīng)用。

（9）會(huì)用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)圖形的凹凸性，會(huì)求函數(shù)圖形的拐點(diǎn)以及水

平、鉛直和斜漸近線(xiàn)，會(huì)描繪函數(shù)的圖形。

（10）掌握用洛必達(dá)法則求未定式極限的方法。

（11）了解曲率和曲率半徑的概念，會(huì)計(jì)算曲率和曲率半徑。

第3部分考試大綱詳解

一、導(dǎo)數(shù)和微分

（1）導(dǎo)數(shù)的定義

設(shè)函數(shù)y＝f（x）在點(diǎn)x0的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量x在x0處取得增

量Δx（點(diǎn)仍在該鄰域內(nèi)）時(shí)，相應(yīng)地，因變量取得增量

．當(dāng)Δx→0時(shí)，如果Δy與Δx之比的極限存在，則稱(chēng)函

數(shù)y＝f（x）在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，并稱(chēng)這個(gè)極限為函數(shù)y＝f（x）在點(diǎn)x0處的

導(dǎo)數(shù)，記為，即

又記作

（2）微分的定義

設(shè)函數(shù)y＝f（x）在某區(qū)間內(nèi)有定義，在這區(qū)間內(nèi)，如果函數(shù)

的增量

可表示為

其中A是不依賴(lài)于Δx的常數(shù)，則稱(chēng)函數(shù)在點(diǎn)是可微的，而AΔx

稱(chēng)為函數(shù)在點(diǎn)相應(yīng)于自變量增量Δx的微分，記作，即

（3）導(dǎo)數(shù)的幾何意義

函數(shù)y＝f（x）在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)f'（x0）在幾何上表示曲線(xiàn)y＝f（x）在點(diǎn)

M（x0，f（x0））處的切線(xiàn)的斜率，即，其中α是切線(xiàn)的傾

角．

（4）平面曲線(xiàn)的切線(xiàn)方程和法線(xiàn)方程

①切線(xiàn)方程

曲線(xiàn)y＝f（x）在點(diǎn)M（x0，y0）處的切線(xiàn)方程為

②法線(xiàn)方程

如果，法線(xiàn)方程為．

（5）導(dǎo)數(shù)的物理意義

①路程；

②速度；

③加速度．

（6）連續(xù)、可導(dǎo)、可微的關(guān)系

圖2－1

（7）導(dǎo)數(shù)和微分的四則運(yùn)算法則

表2－1

（8）復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則

如果u＝g（x）在點(diǎn)x可導(dǎo)，而y＝f（u）在點(diǎn)u＝g（x）可導(dǎo)，則復(fù)合函

數(shù)y＝f［g（x）]在點(diǎn)x可導(dǎo)，且其導(dǎo)數(shù)為

（9）基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式、微分公式

表2－2

（11）一階微分形式的不變性設(shè)都可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)

的微分為

二、高階導(dǎo)數(shù)

1．二階導(dǎo)數(shù)

函數(shù)y＝f（x）的導(dǎo)數(shù)仍然是x的函數(shù)．則把的導(dǎo)數(shù)稱(chēng)為

函數(shù)y＝f（x）的二階導(dǎo)數(shù)，記作，即．

2.n階導(dǎo)數(shù)

二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱(chēng)為三階導(dǎo)數(shù)，三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱(chēng)為四階導(dǎo)數(shù)，一般

地，（n－1）階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱(chēng)為n階導(dǎo)數(shù)，分別記作

或

3．簡(jiǎn)單函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)

（1）指數(shù)函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)

（2）正弦函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)

（3）余弦函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)

（4）的n階導(dǎo)數(shù)

（5）冪函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)（是任意常數(shù)）

特別：

三、特殊函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

1．分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

（1）對(duì)于不是分界點(diǎn)的區(qū)間，直接利用求導(dǎo)法則和公式進(jìn)行求導(dǎo)；

（2）判斷分界點(diǎn)x0處的可導(dǎo)性：

①若函數(shù)在x0點(diǎn)不連續(xù)，則它在x0點(diǎn)不可導(dǎo)；

②若函數(shù)在x0點(diǎn)連續(xù)，且在x0的鄰域內(nèi)（x0除外）可導(dǎo)，則

a．當(dāng)存在時(shí)，設(shè)其為A，函數(shù)f（x）在x0點(diǎn)可導(dǎo)，且；

b．當(dāng)不存在時(shí)，要用定義判斷；

c．當(dāng)與都存在，但不相等時(shí)，函數(shù)f（x）在x0點(diǎn)不可導(dǎo)．

2．隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

設(shè)y＝y(tǒng)（x）是由方程F（x，y）＝0所確定的可導(dǎo)函數(shù)，為求得，可

在方程F（x，y）＝0兩邊對(duì)x求導(dǎo)，可得到一個(gè)含有的方程，從中解

出即可．

3．由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

參數(shù)方程

（1）一階導(dǎo)數(shù)

其中，φ（t）和ψ（t）都可導(dǎo)，且．

（2）二階導(dǎo)數(shù)

其中，φ（t）和ψ（t）二階可導(dǎo)，且．

4．反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

如果函數(shù)x＝f（y）在區(qū)間Iy內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)，且，則它的反函數(shù)

在區(qū)間內(nèi)也可導(dǎo)，且

四、微分中值定理

1．羅爾定理

如果函數(shù)f（x）滿(mǎn)足：

（1）在[a，b]上連續(xù)；

（2）在（a，b）內(nèi)可導(dǎo)；

（3），

則在（a，b）內(nèi)至少有一點(diǎn)使得

2．拉格朗日中值定理

如果函數(shù)f（x）滿(mǎn)足：

（1）在[a，b]上連續(xù)；

（2）在（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，

則在（a，b）內(nèi)至少有一點(diǎn)，有

3．柯西中值定理

如果函數(shù)f（x）及F（x）滿(mǎn)足：

（1）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)；

（2）在開(kāi)區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)；

（3）對(duì)任意；

（4）F（b）≠F（a），

則在（a，b）內(nèi)至少有一點(diǎn)，有

4．泰勒定理

如果函數(shù)f（x）在x0處具有n階導(dǎo)數(shù)，則存在x0的一個(gè)鄰域，對(duì)于該鄰域

內(nèi)的任意x，有

其中

五、函數(shù)的極值、最大值和最小值

1．函數(shù)的極值及其求法

（1）極大值

設(shè)函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0的某鄰域U（x0）內(nèi)有定義，如果對(duì)于去心鄰域

內(nèi)的任一x，有，則稱(chēng)f（x0）是函數(shù)f（x）的一個(gè)極大值．

（2）極小值

設(shè)函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0的某鄰域U（x0）內(nèi)有定義，如果對(duì)于去心鄰域

內(nèi)的任一x，有，則稱(chēng)f（x0）是函數(shù)f（x）的一個(gè)極小值．

2．求f（x）的極值點(diǎn)和極值的步驟

若函數(shù)f（x）在所討論的區(qū)間內(nèi)連續(xù)，且除個(gè)別點(diǎn)外處處可導(dǎo)，則：

（1）求出導(dǎo)數(shù)；

（2）求出f（x）的全部駐點(diǎn)與不可導(dǎo)點(diǎn)；

（3）考察的符號(hào)在每個(gè)駐點(diǎn)或不可導(dǎo)點(diǎn)的左、右鄰近的情形，以

確定該點(diǎn)是否為極值點(diǎn)；如果是極值點(diǎn)，進(jìn)一步確定是極大值點(diǎn)還是極

小值點(diǎn)；

（4）求出各極值點(diǎn)的函數(shù)值，就得函數(shù)f（x）的全部極值．

3．函數(shù)單調(diào)性的判定方法

設(shè)函數(shù)y＝f（x）在[a，b]上連續(xù)，在（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，則：

（1）如果在（a，b）內(nèi)，且等號(hào)僅在有限多個(gè)點(diǎn)處成立，則y＝

f（x）在[a，b]上單調(diào)增加；

（2）如果在（a，b）內(nèi)，且等號(hào)僅在有限多個(gè)點(diǎn)處成立，則y

＝f（x）在[a，b]上單調(diào)減少．

４．最大值和最小值的求法

若f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間（a，b）內(nèi)除有限個(gè)點(diǎn)外可

導(dǎo)，且至多有有限個(gè)駐點(diǎn)，則：

（1）求出f（x）在（a，b）內(nèi)的駐點(diǎn)及不可導(dǎo)點(diǎn)；

（2）計(jì)算f（x）在上述駐點(diǎn)、不可導(dǎo)點(diǎn)處的函數(shù)值及f（a），f（b）；

（3）比較步驟（2）中各值的大小，其中最大的便是f（x）在[a，b]上

的最大值，最小的便是f（x）在[a，b]上的最小值．

六、凹凸性、拐點(diǎn)、漸近線(xiàn)

1．凹凸性的判定定理

設(shè)f（x）在[a，b]上連續(xù)，在（a，b）內(nèi)具有一階和二階導(dǎo)數(shù)，則：

（1）若在（a，b）內(nèi)，則f（x）在[a，b]上的圖形是凹的；

（2）若在（a，b）內(nèi)，則f（x）在[a，b]上的圖形是凸的．

2．拐點(diǎn)

（1）定義

設(shè)y＝f（x）在區(qū)間I上連續(xù)，x0是I內(nèi)的點(diǎn)．如果曲線(xiàn)y＝f（x）在經(jīng)過(guò)

點(diǎn)（x0，f（x0））時(shí)，曲線(xiàn)的凹凸性改變了，則稱(chēng)點(diǎn)（x0，f（x0））為

這曲線(xiàn)的拐點(diǎn)．

（2）求函數(shù)的拐點(diǎn)

①求；

②令，解出方程在區(qū)間I內(nèi)的實(shí)根，并求出在區(qū)間I內(nèi)不存在

的點(diǎn)；

③對(duì)于②中求出的每一個(gè)實(shí)根或二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)x0，檢查在x0

左、右兩側(cè)鄰近的符號(hào)，則當(dāng)兩側(cè)的符號(hào)相反時(shí)，點(diǎn)（x0，f（x0））是

拐點(diǎn)，當(dāng)兩側(cè)的符號(hào)相同時(shí)，點(diǎn)（x0，f（x0））不是拐點(diǎn)．

3．漸近線(xiàn)

設(shè)曲線(xiàn)y＝f（x）：

（1）斜漸近線(xiàn)y＝kx＋b

特別地，當(dāng)k＝0時(shí)，曲線(xiàn)有水平漸近線(xiàn)y＝b．

（2）垂直漸近線(xiàn)

若（或者左、右極限趨于無(wú)窮），則垂直漸近線(xiàn)為．

4．函數(shù)圖形的描繪步驟

（1）確定函數(shù)y＝f（x）的定義域及函數(shù)所具有的某些特性（如奇偶

性、周期性等），并求出函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)；

（2）求出一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)在函數(shù)定義域內(nèi)的全部零點(diǎn)，并

求出函數(shù)f（x）的間斷點(diǎn)及和不存在的點(diǎn)，用這些點(diǎn)把函數(shù)的定

義域劃分成幾個(gè)部分區(qū)間；

（3）確定在這些部分區(qū)間內(nèi)和的符號(hào)，并由此確定函數(shù)圖形的

升降、凹凸和拐點(diǎn)；

（4）確定函數(shù)圖形的水平、鉛直漸近線(xiàn)以及其他變化趨勢(shì)；

（5）算出和的零點(diǎn)以及不存在的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，定出圖形

上相應(yīng)的點(diǎn)；為了把圖形描繪得準(zhǔn)確些，有時(shí)還需要補(bǔ)充一些點(diǎn)，然后

結(jié)合第三、四步中得到的結(jié)果，聯(lián)結(jié)這些點(diǎn)畫(huà)出函數(shù)y＝f（x）的圖

形．

七、洛必達(dá)法則

1．未定式

如果當(dāng)（或）時(shí)，函數(shù)f（x）與F（x）都趨于零或都趨于

無(wú)窮大，則極限可能存在、也可能不存在．通常稱(chēng)這種極限為

未定式，并分別簡(jiǎn)記為或．

2．洛必達(dá)法則

（1）時(shí)，的洛必達(dá)法則

①當(dāng)時(shí)，函數(shù)f（x）及F（x）都趨于零；

②在點(diǎn)a的某去心鄰域內(nèi)，都存在且；

③存在（或?yàn)闊o(wú)窮大），則

（2）時(shí)，的洛必達(dá)法則

①當(dāng)時(shí)，函數(shù)f（x）及F（x）都趨于零；

②當(dāng)時(shí)，都存在，且；

③存在（或?yàn)闊o(wú)窮大），則

注：對(duì)于或時(shí)的未定式，也有相應(yīng)的洛必達(dá)法則．

（3）使用洛必達(dá)法則的注意事項(xiàng)

①如果不是未定式，則不能應(yīng)用洛必達(dá)法則．

②其他還有一些0·∞、∞－∞、00、1∞、∞0型的未定式，也可通過(guò)或

型的未定式來(lái)計(jì)算．

③洛必達(dá)法則可以和其他求極限方法結(jié)合使用，可以應(yīng)用等價(jià)無(wú)窮小或

重要極限．

a．常用的等價(jià)無(wú)窮小

b．重要極限

八、曲率和曲率半徑

1．曲率及其計(jì)算公式

（1）平均曲率

設(shè)曲線(xiàn)C是光滑的，在曲線(xiàn)C上選定一點(diǎn)M0作為度量弧s的基點(diǎn)．設(shè)曲線(xiàn)

上點(diǎn)M對(duì)應(yīng)于弧s，在點(diǎn)M處切線(xiàn)的傾角為α，曲線(xiàn)上另外一點(diǎn)對(duì)應(yīng)于

弧在點(diǎn)處切線(xiàn)的傾角為，則弧段的長(zhǎng)度為．當(dāng)動(dòng)

點(diǎn)從M移動(dòng)到時(shí)切線(xiàn)轉(zhuǎn)過(guò)的角度為，則平均曲率．

（2）曲率

①曲率

平均曲率的極限又稱(chēng)曲線(xiàn)C在點(diǎn)M處的曲率，記作K，即

在存在的條件下，K可表示為

②直角坐標(biāo)方程的曲率公式

③參數(shù)方程

的曲率公式

2．曲率圓與曲率半徑

（1）曲率圓

設(shè)曲線(xiàn)y＝f（x）在點(diǎn)M（x，y）處的曲率為K（K≠0）．在點(diǎn)M處的曲

線(xiàn)的法線(xiàn)上，在凹的一側(cè)取一點(diǎn)D，使．以D為圓心，為半

徑作圓（圖2－2），這個(gè)圓稱(chēng)為曲線(xiàn)在點(diǎn)M處的曲率圓．

圖2－2

（2）曲率半徑

曲率圓的半徑稱(chēng)為曲線(xiàn)在點(diǎn)M處的曲率半徑．

（3）曲率K和曲率半徑的關(guān)系

專(zhuān)題3一元函數(shù)積分學(xué)

第1部分考試內(nèi)容

原函數(shù)和不定積分的概念不定積分的基本性質(zhì)基本積分公式定積分

的概念和基本性質(zhì)定積分中值定理變上限定積分定義的函數(shù)及其導(dǎo)

數(shù)牛頓－萊布尼茨公式不定積分和定積分的換元積分法與分部積分

法有理函數(shù)、三角函數(shù)的有理式和簡(jiǎn)單無(wú)理函數(shù)的積分廣義積分（無(wú)

窮限積分、瑕積分）定積分的應(yīng)用

第2部分考試要求

（1）理解原函數(shù)的概念，理解不定積分和定積分的概念。

（2）熟練掌握不定積分的基本公式，熟練掌握不定積分和定積分的性

質(zhì)及定積分中值定理。掌握牛頓－萊布尼茨公式。熟練掌握不定積分和

定積分的換元積分法與分部積分法。

（3）會(huì)求有理函數(shù)、三角函數(shù)有理式和簡(jiǎn)單無(wú)理函數(shù)的積分。

（4）理解變上限定積分定義的函數(shù)，會(huì)求它的導(dǎo)數(shù)。

（5）理解廣義積分（無(wú)窮限積分、瑕積分）的概念，掌握無(wú)窮限積

分、瑕積分的收斂性判別法，會(huì)計(jì)算一些簡(jiǎn)單的廣義積分。

（6）掌握用定積分表達(dá)和計(jì)算一些幾何量與物理量（平面圖形的面

積、平面曲線(xiàn)的弧長(zhǎng)、旋轉(zhuǎn)體的體積及側(cè)面積、截面面積為已知的立體

體積、功、引力、壓力）及函數(shù)的平均值。

第3部分考試大綱詳解

一、原函數(shù)、不定積分和定積分

1．原函數(shù)

如果在區(qū)間I上，可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，即對(duì)任意一，都有

，則函數(shù)就稱(chēng)為在區(qū)間I上的

一個(gè)原函數(shù)．

2．不定積分

（1）概念

在區(qū)間I上，函數(shù)的帶有任意常數(shù)項(xiàng)的原函數(shù)稱(chēng)為（或）

在區(qū)間I上的不定積分，記作，其中稱(chēng)為積分號(hào)，稱(chēng)為被積

函數(shù)，稱(chēng)為被積表達(dá)式，x稱(chēng)為積分變量．

（2）基本公式

（3）性質(zhì)

①性質(zhì)1

設(shè)函數(shù)的原函數(shù)存在，則

注：性質(zhì)1對(duì)于有限個(gè)函數(shù)都是成立的．

②性質(zhì)2

設(shè)函數(shù)的原函數(shù)存在，k為非零常數(shù)，則

3．定積分

（1）概念

設(shè)有常數(shù)I，對(duì)于任意正數(shù)ε，總存在一個(gè)正數(shù)δ，使得對(duì)于區(qū)間[a，b]的

任何分法，不論在中怎樣選取，只要

δ，總有成立，則稱(chēng)I是f（x）

在區(qū)間[a，b]上的定積分，記作．

（2）性質(zhì)

①性質(zhì)1

設(shè)α與β均為常數(shù)，則

注：性質(zhì)1對(duì)于任意有限個(gè)函數(shù)的線(xiàn)性組合也是成立的．

②性質(zhì)2

設(shè)a＜c＜b，則

注：不論a，b，c的相對(duì)位置如何，總有等式

成立．

③性質(zhì)3

如果在區(qū)間[a，b]上f（x）≡1，則

④性質(zhì)4

如果在區(qū)間[a，b]上f（x）≥0，則

a．推論1

如果在區(qū)間[a，b]上f（x）≤g（x），則

b．推論2

⑤性質(zhì)5

設(shè)M及m分別是函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]上的最大值及最小值，則

4．定積分中值定理

若函數(shù)f（x）在[a，b]上連續(xù)，則在[a，b]上至少存在一點(diǎn)，有

三、牛頓－萊布尼茨公式、換元積分法和分部積分法

1．牛頓－萊布尼茨公式

其中F（x）是連續(xù)函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]上的一個(gè)原函數(shù)．

2．不定積分的換元積分法與分部積分法

（1）不定積分的換元積分法

①第一類(lèi)換元法

設(shè)具有原函數(shù)，可導(dǎo)，則有換元公式

②第二類(lèi)換元法

設(shè)是單調(diào)的可導(dǎo)函數(shù)，并且又設(shè)具有原函

數(shù)，則有換元公式

其中的反函數(shù)．

（2）不定積分的分部積分法

①分部積分法

設(shè)函數(shù)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則兩個(gè)函數(shù)乘積的導(dǎo)數(shù)公式為

移項(xiàng)，得

對(duì)這個(gè)等式兩邊求不定積分，得

稱(chēng)為分部積分公式．

注：

②運(yùn)用分部積分法需注意

a．v要容易求得；

b．要比容易積出；

c．遵循“反對(duì)冪指三”原則：“反對(duì)冪指三”分別指反三角函數(shù)、對(duì)數(shù)函

數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)．“反對(duì)冪指三”原則是指在用分部積

分法計(jì)算積分時(shí)，若出現(xiàn)上面相關(guān)函數(shù)，把被積表達(dá)式按照“反對(duì)冪指

三”的積分次序，排在前面的看成“u”，排在后面的看成“dv”．

3．定積分的換元法和分部積分法

（1）定積分的換元積分法

①定理

設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，函數(shù)滿(mǎn)足條件：

a．；

b．上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且其值域，則有

該公式稱(chēng)為換元公式．

②應(yīng)用換元公式的注意事項(xiàng)

a．用把原來(lái)變量x代換成新變量t時(shí)，積分限也要換成相應(yīng)于新

變量t的積分限；

b．求出的一個(gè)原函數(shù)后，不必像計(jì)算不定積分那樣再

要把變換成原來(lái)變量x的函數(shù)，而只要把新變量t的上、下限分別代

入中然后相減即可；

c．換元公式也可反過(guò)來(lái)使用，即

d．在使用換元公式中，三角函數(shù)在去絕對(duì)值或者開(kāi)根號(hào)時(shí)要考慮上下

限區(qū)間．

（2）定積分的分部積分法

四、有理函數(shù)、三角函數(shù)有理式和簡(jiǎn)單無(wú)理函數(shù)的積分

1．有理函數(shù)的積分

對(duì)能化簡(jiǎn)成多個(gè)真分式之和的有理函數(shù)，先化簡(jiǎn)，然后對(duì)每個(gè)真分式分

別求積分，最后求出積分和．

2．三角函數(shù)有理式積分

（1）萬(wàn)能代換（令）

有關(guān)、、之間的轉(zhuǎn)化公式

令，則，．

（2）簡(jiǎn)單方法（三角變形，換元，分部）

3．簡(jiǎn)單無(wú)理函數(shù)的積分

如果被積函數(shù)中含有簡(jiǎn)單根式或可以令這個(gè)簡(jiǎn)單根式為u．

五、變上限定積分及其導(dǎo)數(shù)

如果函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，則積分上限的函數(shù)

在

[a，b]上可導(dǎo)，并且它的導(dǎo)數(shù)

六、反常積分及其審斂法

1．無(wú)窮限的反常積分

（1）上的反常積分

設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間上連續(xù)，任取t＞a，作定積分，再求

極限

這個(gè)對(duì)變上限定積分的算式稱(chēng)為函數(shù)f（x）在無(wú)窮區(qū)間上的反常

積分，記為，即

（2）上的反常積分

設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間上連續(xù)，任取t＜b，算式

稱(chēng)為函數(shù)f（x）在無(wú)窮區(qū)間上的反常積分，記為，即

（3）上的反常積分

①定義

設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間上連續(xù)，反常積分與反常積分

之和稱(chēng)為函數(shù)f（x）在無(wú)窮區(qū)間上的反常積分，記為

，即

②收斂和發(fā)散

設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間上連續(xù)，如果反常積分與反常積分

均收斂，則稱(chēng)反常積分收斂，并稱(chēng)反常積分

的值與反常積分的值之和為反常積分的值，否則就稱(chēng)

反常積分發(fā)散．

2．無(wú)窮限的反常積分審斂法

（1）定理1

設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間上連續(xù)，且若函數(shù)

在上有上界，則反常積分收斂．

（2）定理2（比較審斂原理）

設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，

①如果并且收斂，則

也收斂；

②如果并且發(fā)散，則

也發(fā)散．

（3）定理3（比較審斂法1）

設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間上連續(xù)，且

①如果存在常數(shù)M＞0及p＞1，使得

則反常積分

收斂；

②如果存在常數(shù)N＞0，使得

則反常積分

發(fā)散．

（4）定理4（極限審斂法1）

設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，＋∞）上連續(xù)，且．

①如果存在常數(shù)p＞1，使得，則反常積分

收斂；

②如果（或），則反常積分

發(fā)散．

（5）定理5

設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，＋∞）上連續(xù)．如果反常積分

收斂，則反常積分

也收斂．

3．瑕積分

無(wú)界函數(shù)的反常積分稱(chēng)為瑕積分．

（1）f（x）在上的反常積分

設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間上連續(xù)，點(diǎn)a為f（x）的瑕點(diǎn)．任取t＞a，作定

積分，再求極限

上式稱(chēng)為函數(shù)f（x）在區(qū)間上的反常積分，記為，即

（2）f（x）在上的反常積分

設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間上連續(xù)，點(diǎn)b為f（x）的瑕點(diǎn)．任取t＜b，算

式

稱(chēng)為函數(shù)f（x）在區(qū)間上的反常積分，記為，即

（3）f（x）在上的反常積分

①定義

設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間及區(qū)間上連續(xù)，點(diǎn)c為f（x）的瑕點(diǎn)．反

常積分與反常積分之和稱(chēng)為函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]上的

反常積分，記為，即

②收斂和發(fā)散

設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間及區(qū)間上連續(xù)，點(diǎn)c為f（x）的瑕點(diǎn)．如

果反常積分與反常積分均收斂，則稱(chēng)反常積分

收斂，并稱(chēng)反常積分的值與反常積分的值之和為反常

積分的值；否則，就稱(chēng)反常積分發(fā)散．

4．瑕積分的審斂法

（1）定理1（比較審斂法2）

設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b]上連續(xù)，且f（x）≥0，x＝a為f（x）的瑕

點(diǎn)．

①如果存在常數(shù)M＞0及q＜1，使得

則反常積分收斂；

②如果存在常數(shù)，使得

則反常積分發(fā)散．

（2）定理2（極限審斂法2）

設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，且為f（x）的瑕點(diǎn)．

①如果存在常數(shù)使得

存在，則反常積分收斂；

②如果

或

則反常積分發(fā)散．

七、定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用

1．平面圖形的面積

（1）直角坐標(biāo)情形

①設(shè)由曲線(xiàn)y＝f（x）及直線(xiàn)x＝a，x＝b（a＜b）與x軸所圍成的曲邊梯

形的面積是A，則：

a．當(dāng)f（x）≥0時(shí)

b．當(dāng)f（x）＜0時(shí)

②設(shè)由曲線(xiàn)y＝f（x）、y＝g（x）及直線(xiàn)x＝a，x＝b（a＜b）與x軸所

圍成的曲邊梯形的面積是A，則

注：根據(jù)區(qū)間來(lái)去絕對(duì)值符號(hào)．

（2）極坐標(biāo)情形

①曲邊扇形

由曲線(xiàn)及射線(xiàn)圍成的圖形稱(chēng)為曲邊扇形．

②極坐標(biāo)的面積公式

2．平面曲線(xiàn)的弧長(zhǎng)

（1）參數(shù)方程

其中在上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且不同時(shí)為零，則

（2）直角坐標(biāo)方程

y＝f（x）（a≤x≤b）

其中f（x）在[a，b]上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則

（3）極坐標(biāo)方程

其中在上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則

3．旋轉(zhuǎn)體的體積

（1）繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體的體積

由連續(xù)曲線(xiàn)y＝f（x）、直線(xiàn)x＝a、x＝b及x軸所圍成的曲邊梯形繞x軸

旋轉(zhuǎn)一周而成的立體，其體積公式

（2）繞y軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體的體積

①由連續(xù)曲線(xiàn)、直線(xiàn)y＝c、y＝d（c＜d）與y軸所圍成的曲邊梯

形，繞y軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體的體積公式

②由連續(xù)曲線(xiàn)y＝f（x）、直線(xiàn)x＝a、x＝b及x軸所圍成的曲邊梯形繞y

軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體，其體積公式

4．側(cè)面積

曲線(xiàn)y＝f（x）（f（x）≥0）和直線(xiàn)x＝a，x＝b（0≤a＜b）及x軸所圍成

區(qū)域繞x軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積為

5．平行截面面積為已知的立體的體積

設(shè)定軸為x軸，立體在過(guò)點(diǎn)x＝a、x＝b且垂直于x軸的兩個(gè)平面之間．以

A（x）表示過(guò)點(diǎn)x且垂直于x軸的截面面積．A（x）為已知的x的連續(xù)函

數(shù)，則

八、定積分在物理學(xué)上的應(yīng)用

1．變力沿直線(xiàn)所作的功

變力沿曲線(xiàn)L作的功為．

2．引力

質(zhì)量分別為m1、m2，相距為r的兩質(zhì)點(diǎn)間的引力的大小為

其中，G為引力系數(shù)，引力的方向沿著兩質(zhì)點(diǎn)的連線(xiàn)方向．

3．水壓力

（1）水深為h處的壓強(qiáng)為，其中是水的密度，g是重力加速度；

（2）面積為A的平板水平地放置在水深為h處，則平板一側(cè)所受的水壓

力為P＝p·A．

4．平均值

函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]上的平均值

專(zhuān)題4向量代數(shù)和空間解析幾何

第1部分考試內(nèi)容

向量的概念向量的線(xiàn)性運(yùn)算向量的數(shù)量積、向量積和混合積兩向量

垂直、平行的條件兩向量的夾角向量的坐標(biāo)表達(dá)式及其運(yùn)算單位向

量方向數(shù)與方向余弦曲面方程和空間曲線(xiàn)方程的概念平面方程、直

線(xiàn)方程平面與平面、平面與直線(xiàn)、直線(xiàn)與直線(xiàn)的夾角以及平行、垂直

的條件點(diǎn)到平面和點(diǎn)到直線(xiàn)的距離球面母線(xiàn)平行于坐標(biāo)軸的柱面旋

轉(zhuǎn)軸為坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)曲面的方程常用的二次曲面方程及其圖形空間曲

線(xiàn)的參數(shù)方程和一般方程空間曲線(xiàn)在坐標(biāo)面上的投影曲線(xiàn)方程

第2部分考試要求

（1）熟悉空間直角坐標(biāo)系，理解向量及其模的概念．

（2）熟練掌握向量的運(yùn)算（線(xiàn)性運(yùn)算、數(shù)量積、向量積），掌握兩向

量垂直、平行的條件．

（3）理解向量在軸上的投影，了解投影定理及投影的運(yùn)算。理解方向

數(shù)與方向余弦、向量的坐標(biāo)表達(dá)式，會(huì)用坐標(biāo)表達(dá)式進(jìn)行向量的運(yùn)算．

（4）熟悉平面方程和空間直線(xiàn)方程的各種形式，熟練掌握平面方程和

空間直線(xiàn)方程的求法．

（5）會(huì)求平面與平面、平面與直線(xiàn)、直線(xiàn)與直線(xiàn)之間的夾角，并會(huì)利

用平面、直線(xiàn)的相互關(guān)系（平行、垂直、相交等）解決有關(guān)問(wèn)題．

（6）會(huì)求空間兩點(diǎn)間的距離、點(diǎn)到直線(xiàn)的距離以及點(diǎn)到平面的距離．

（7）了解空間曲線(xiàn)方程和曲面方程的概念．

（8）了解空間曲線(xiàn)的參數(shù)方程和一般方程．了解空間曲線(xiàn)在坐標(biāo)平面

上的投影，并會(huì)求其方程．

（9）了解常用二次曲面的方程、圖形及其截痕，會(huì)求以坐標(biāo)軸為旋轉(zhuǎn)

軸的旋轉(zhuǎn)曲面及母線(xiàn)平行于坐標(biāo)軸的柱面方程．

第3部分考試大綱詳解

一、空間直角坐標(biāo)系

1．坐標(biāo)分解式

如圖4－1所示，，則

設(shè)

則

上式稱(chēng)為向量r的坐標(biāo)分解式，xi、yj和zk稱(chēng)為向量r沿三個(gè)坐標(biāo)軸方向的

分向量．

2．向徑

向量稱(chēng)為點(diǎn)M關(guān)于原點(diǎn)O的向徑．

圖4－1

二、向量

1．向量和向量的模

（1）向量的定義

既有大小，又有方向的這一類(lèi)量稱(chēng)為向量（或矢量）．

（2）向量的模

向量的大小稱(chēng)為向量的模．

2．向量的線(xiàn)性運(yùn)算

（1）向量的加法

①定義

設(shè)有兩個(gè)向量a與b，任取一點(diǎn)A，作，再以B為起點(diǎn)，作，連

接AC（圖4－2），則向量稱(chēng)為向量a與b的和，記作a＋b，即c＝a

＋b．

圖4－2

②運(yùn)算規(guī)律

a．交換律a＋b＝b＋a；

b．結(jié)合律（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）．

（2）向量的減法（差）

①負(fù)向量

a為一向量，與a的模相同而方向相反的向量稱(chēng)為a的負(fù)向量，記作－a．

②向量的差

向量b與a的差，即把向量－a加到向量b上，便得b與a的差b

－a．

③向量加法和減法的不等式

（3）向量與數(shù)的乘法

①定義

向量a與實(shí)數(shù)λ的乘積記作λa．

②乘積的模

模．

③乘積的運(yùn)算規(guī)律

a．結(jié)合律

b．分配律

3．兩向量的數(shù)量積

（1）定義

向量a與b的數(shù)量積等于|a|、|b|及它們的夾角θ的余弦的乘積，記作a·b，

即

（2）性質(zhì)

①；

②a·b＝0?a⊥b（a、b都為非零向量）．

（3）運(yùn)算規(guī)律

①交換律a·b＝b·a；

②分配律（a＋b）·c＝a·c＋b·c；

③結(jié)合律．

（4）兩向量夾角余弦的坐標(biāo)表示式

4．兩向量的向量積

（1）定義

，則稱(chēng)向量c為向量a與b的向量積，記作a×b，即c＝a×b，其中θ為a、b

間的夾角．

（2）方向

c的方向垂直于a與b所決定的平面．

（3）性質(zhì)

a．a(chǎn)×a＝0；

b．a(chǎn)×b＝0?a∥b（a、b都為非零向量）．

（4）運(yùn)算規(guī)律

a．b×a＝－a×b；

b．分配律（a＋b）×c＝a×c＋b×c；

c．結(jié)合律（λa）×b＝a×（λb）＝λ（a×b）（λ為數(shù)）．

（5）向量積的坐標(biāo)表示式

，則

即

5．兩向量垂直、平行的條件

（1）兩向量垂直的條件

a⊥b?a·b＝0（a、b都為非零向量）．

（2）兩向量平行的條件

當(dāng)向量時(shí)，向量相當(dāng)于，坐標(biāo)表示式為

即．

6．向量在軸上的投影

（1）定義

如圖4－3所示，點(diǎn)O及單位向量e確定u軸．任給向量r，作，再過(guò)點(diǎn)

M作與u軸垂直的平面交u軸于點(diǎn)，則稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)M在u軸上的投影，

向量稱(chēng)為向量r在u軸上的分向量．設(shè)，則數(shù)λ稱(chēng)為向量r在u軸

上的投影，記作或（r）u．

圖4－3

（2）符號(hào)表示

向量a在直角坐標(biāo)系Oxyz中的坐標(biāo)、、為a在三條坐標(biāo)軸上的投

影，即

或記作

（3）投影的運(yùn)算

①，其中為向量a與u軸的夾角；

②

③．

7．方向數(shù)與方向余弦

（1）方向數(shù)

直線(xiàn)的任一方向向量S的坐標(biāo)m、n和p稱(chēng)為這個(gè)直線(xiàn)的一組方向數(shù)．

（2）方向余弦

稱(chēng)為向量r的方向余弦，且．

8．用坐標(biāo)表達(dá)式進(jìn)行向量的運(yùn)算

（1）線(xiàn)性運(yùn)算

設(shè)，λ為實(shí)數(shù)，則

（2）向量積

，則

即

三、平面方程和空間直線(xiàn)方程

1．平面的點(diǎn)法式方程

（1）法線(xiàn)向量

如果一非零向量垂直于一平面，則稱(chēng)這向量為該平面的法線(xiàn)向量．

（2）平面的點(diǎn)法式方程

設(shè)平面上一點(diǎn)（）和它的一個(gè)法線(xiàn)向量n＝（A，B，C），其

平面方程表達(dá)式為

此表達(dá)式又稱(chēng)平面的點(diǎn)法式方程.

2．平面的—般方程

方程Ax＋By＋Cz＋D＝0稱(chēng)為平面的一般方程，其中x，y，z的系數(shù)就是

該平面的一個(gè)法線(xiàn)向量n的坐標(biāo)，即n＝（A，B，C）.

（1）當(dāng)D＝0時(shí)，平面的一般方程成為Ax＋By＋Cz＝0，它表示一個(gè)通

過(guò)原點(diǎn)的平面；

（2）當(dāng)A＝0時(shí)，平面的一般方程成為By＋Cz＋D＝0，法線(xiàn)向量n＝

（0，B，C）垂直于x軸，方程表示一個(gè)平行于（或包含）x軸的平面；

同理，方程Ax＋Cz＋D＝0和Ax＋By＋D＝0分別表示平行于（或包含）

y軸和z軸的平面；

（3）當(dāng)A＝B＝0時(shí)，平面的一般方程成為Cz＋D＝0或z＝－，法線(xiàn)向

量n＝（0，0，C）同時(shí)垂直x軸和y軸，方程表示一個(gè)平行于（或重合

于）xOy面的平面．同理，方程Ax＋D＝0和By＋D＝0分別表示一個(gè)平

行于（或重合于）yOz面和xOz面的平面．

3．空間直線(xiàn)的—般方程

空間直線(xiàn)L可以看做是兩個(gè)平面的交線(xiàn)

的方程：A1x＋B1y＋C1z＋D1＝0

的方程：A2x＋B2y＋C2z＋D2＝0

直線(xiàn)L上的任—點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)同時(shí)滿(mǎn)足這兩個(gè)平面的方程，即

則稱(chēng)該方程組為空間直線(xiàn)的—般方程．

4．空間直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)式方程與參數(shù)方程

（1）方向向量

如果—個(gè)非零向量平行于—條已知直線(xiàn)，則稱(chēng)該向量為這條直線(xiàn)的方向

向量．

（2）直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)式方程

如果直線(xiàn)L上一點(diǎn)和它的一方向向量s＝（m，n，p），則直

線(xiàn)Ｌ的對(duì)稱(chēng)式方程（或點(diǎn)向式方程）為

（3）直線(xiàn)的參數(shù)方程

令直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)式方程

則稱(chēng)方程

為直線(xiàn)的參數(shù)方程．

四、夾角

1．平面與平面之間的夾角

（1）定義

兩平面的法線(xiàn)向量的夾角（銳角或直角）稱(chēng)為兩平面的夾角．

（2）計(jì)算公式

設(shè)平面的法線(xiàn)向量依次為和，則平面

的夾角應(yīng)是或兩者中的銳角,因此

，則

（3）結(jié)論

①互相垂直?；

②互相平行或重合?．

2．平面與直線(xiàn)之間的夾角

（1）定義

當(dāng)直線(xiàn)與平面不垂直時(shí)，直線(xiàn)和它在平面上的投影直線(xiàn)的夾角（0≤

＜），稱(chēng)為直線(xiàn)與平面的夾角．當(dāng)直線(xiàn)與平面垂直時(shí)，規(guī)定直線(xiàn)與平

面的夾角為．

（2）計(jì)算公式

設(shè)直線(xiàn)的方向向量為s＝（m，n，p），平面的法線(xiàn)向量為n＝（A，B，

C），直線(xiàn)與平面的夾角為，則，因此，

則

（3）結(jié)論

①直線(xiàn)與平面垂直?；

②直線(xiàn)與平面平行或直線(xiàn)在平面上?Am＋Bn＋Cp＝0．

3．直線(xiàn)與直線(xiàn)之間的夾角

（1）定義

兩直線(xiàn)的方向向量的夾角（銳角或直角）稱(chēng)為兩直線(xiàn)的夾角．

（2）計(jì)算公式

直線(xiàn)L1和L2的方向向量依次為和，則的夾角

應(yīng)是和兩者中的銳角，因此，則

（3）結(jié)論

①兩直線(xiàn)互相垂直?；

②兩直線(xiàn)互相平行或重合?．

五、距離

1．空間兩點(diǎn)間的距離

設(shè)點(diǎn)和點(diǎn)，則A、B兩點(diǎn)間的距離

2．點(diǎn)到直線(xiàn)的距離

平面上的點(diǎn)到平面直線(xiàn)Ax＋By＋C＝0的距離公式

3．點(diǎn)到平面的距離

點(diǎn)到平面Ax＋By＋Cz＋D＝0的距離公式

六、空間曲線(xiàn)及其方程

1．空間曲線(xiàn)的一般方程

設(shè)F（x，y，z）＝0和G（x，y，z）＝0是兩個(gè)曲面的方程，兩曲面的交

線(xiàn)為C,則空間曲線(xiàn)C的一般方程為

2．空間曲線(xiàn)的參數(shù)方程

稱(chēng)方程組

為空間曲線(xiàn)的參數(shù)方程．

3．空間曲線(xiàn)在坐標(biāo)面上的投影

以曲線(xiàn)C為準(zhǔn)線(xiàn)、母線(xiàn)平行于z軸（即垂直于xOy面）的柱面稱(chēng)為曲線(xiàn)C

關(guān)于xOy面的投影柱面，投影柱面與xOy面的交線(xiàn)稱(chēng)為空間曲線(xiàn)C在xOy

面上的投影曲線(xiàn)，又稱(chēng)投影．

七、曲面及其方程

1．曲面方程的概念

如果曲面S與三元方程F（x，y，z）＝0有下述關(guān)系：

（1）曲面S上任一點(diǎn)的坐標(biāo)都滿(mǎn)足F（x，y，z）＝0；

（2）不在曲面S上的點(diǎn)的坐標(biāo)都不滿(mǎn)足F（x，y，z）＝0，則方程

F（x，y，z）＝0就稱(chēng)為曲面S的方程.

2．曲面的分類(lèi)

（1）球面方程

①球心在點(diǎn)，半徑為R的球面的方程

②球面的一般方程

（2）旋轉(zhuǎn)曲面

①定義

以一條平面曲線(xiàn)繞其平面上的一條直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱(chēng)為旋轉(zhuǎn)曲

面，旋轉(zhuǎn)曲線(xiàn)和定直線(xiàn)依次稱(chēng)為旋轉(zhuǎn)曲面的母線(xiàn)和軸．

②分類(lèi)

a．圓錐面

直線(xiàn)L繞另一條與L相交的直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)一周，所得旋轉(zhuǎn)曲面稱(chēng)為圓錐面．

兩直線(xiàn)的交點(diǎn)稱(chēng)為圓錐面的頂點(diǎn)，兩直線(xiàn)的夾角稱(chēng)為圓錐面

的半頂角．

b．旋轉(zhuǎn)單葉雙曲面

將xOz坐標(biāo)面上的雙曲線(xiàn)

繞z軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)曲面稱(chēng)為旋轉(zhuǎn)單葉雙曲面（圖4－4），方程為

圖4－4

c．旋轉(zhuǎn)雙葉雙曲面

將xOz坐標(biāo)面上的雙曲線(xiàn)

繞x軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)曲面稱(chēng)為旋轉(zhuǎn)雙葉雙曲面（圖4－5），方程為

圖4－5

（3）柱面

①定義

直線(xiàn)L沿定曲線(xiàn)C平行移動(dòng)形成的軌跡稱(chēng)為柱面，定曲線(xiàn)C稱(chēng)為柱面的準(zhǔn)

線(xiàn)，動(dòng)直線(xiàn)L稱(chēng)為柱面的母線(xiàn)．

②分類(lèi)

a．圓柱面

凡是通過(guò)xOy面內(nèi)圓上一點(diǎn)M（x，y，0），且平行于z軸的直線(xiàn)l

都在這曲面上，稱(chēng)這曲面為圓柱面（圖4－6），圓稱(chēng)為準(zhǔn)線(xiàn)，

直線(xiàn)l稱(chēng)為母線(xiàn)．

圖4－6

b．拋物圓柱面

方程表示母線(xiàn)平行于z軸的柱面，它的準(zhǔn)線(xiàn)是xOy面上的拋物線(xiàn)

，該柱面稱(chēng)為拋物柱面（圖4－7）．

圖4－7

c．母線(xiàn)平行于x軸的柱面

只含y、z而缺x的方程B（y，z）＝0表示母線(xiàn)平行于x軸的柱面．

d．母線(xiàn)平行于y軸的柱面

只含x、z而缺y的方程G（x，z）＝0表示母線(xiàn)平行于y軸的柱面．

e．母線(xiàn)平行于z軸的柱面

只含x、y而缺z的方程F（x，y）＝0表示母線(xiàn)平行于z軸的柱面．

（4）二次曲面

①定義

把三元二次方程F（x，y，z）＝0所表示的曲面稱(chēng)為二次曲面．

②分類(lèi)

a．橢圓錐面；

b．橢球面；

c．單葉雙曲面；

d．雙葉雙曲面；

e．橢圓拋物面；

f．雙曲拋物面.

專(zhuān)題5多元函數(shù)微分學(xué)

第1部分考試內(nèi)容

多元函數(shù)的概念二元函數(shù)的幾何意義二元函數(shù)的極限和連續(xù)有界閉

區(qū)域上多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)和全微分的概念及求法全

微分存在的必要條件和充分條件多元復(fù)合函數(shù)、隱函數(shù)的求導(dǎo)法高階

偏導(dǎo)數(shù)的求法空間曲線(xiàn)的切線(xiàn)和法平面曲面的切平面和法線(xiàn)方向?qū)?/p>

數(shù)和梯度二元函數(shù)的泰勒公式多元函數(shù)的極值和條件極值拉格朗日

乘數(shù)法多元函數(shù)的最大值、最小值及其簡(jiǎn)單應(yīng)用全微分在近似計(jì)算中

的應(yīng)用

第2部分考試要求

（1）理解多元函數(shù)的概念、理解二元函數(shù)的幾何意義。

（2）理解二元函數(shù)的極限與連續(xù)性的概念及基本運(yùn)算性質(zhì)，了解二元

函數(shù)累次極限和極限的關(guān)系會(huì)判斷二元函數(shù)在已知點(diǎn)處極限的存在性

和連續(xù)性了解有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。

（3）理解多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)和全微分的概念了解二元函數(shù)可微、偏導(dǎo)數(shù)

存在及連續(xù)的關(guān)系，會(huì)求偏導(dǎo)數(shù)和全微分，了解二元函數(shù)兩個(gè)混合偏導(dǎo)

數(shù)相等的條件了解全微分存在的必要條件和充分條件，了解全微分形

式的不變性。

（4）熟練掌握多元復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的求法。

（5）熟練掌握隱函數(shù)的求導(dǎo)法則。

（6）理解方向?qū)?shù)與梯度的概念并掌握其計(jì)算方法。

（7）理解曲線(xiàn)的切線(xiàn)和法平面及曲面的切平面和法線(xiàn)的概念，會(huì)求它

們的方程。

（8）了解二元函數(shù)的二階泰勒公式。

（9）理解多元函數(shù)極值和條件極值的概念，掌握多元函數(shù)極值存在的

必要條件，了解二元函數(shù)極值存在的充分條件，會(huì)求二元函數(shù)的極值，

會(huì)用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值，會(huì)求簡(jiǎn)單多元函數(shù)的最大值、最小

值，并會(huì)解決一些簡(jiǎn)單的應(yīng)用問(wèn)題。

（10）了解全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用

第3部分考試大綱詳解

一、多元函數(shù)

1．多元函數(shù)的概念

設(shè)D是Rn的一個(gè)非空子集，稱(chēng)映射f：D→R為定義在D上的n元函數(shù)，記

作

或

其中點(diǎn)集D稱(chēng)為該函數(shù)的定義域，x1，x2，…，xn稱(chēng)為自變量，u稱(chēng)為因

變量．當(dāng)n≥2時(shí)，n元函數(shù)就稱(chēng)為多元函數(shù)．

2．二元函數(shù)的幾何意義

二元函數(shù)z＝f（x，y）在空間直角坐標(biāo)系中表示的是一個(gè)曲面．

3．二元函數(shù)的極限

設(shè)二元函數(shù)f（P）＝f（x，y）的定義域?yàn)镈，P0（x0，y0）是D的聚

點(diǎn)．如果存在常數(shù)A，對(duì)于任意給定的正數(shù)ε，總存在正數(shù)δ，使得當(dāng)點(diǎn)

時(shí)，都有成立，則稱(chēng)常數(shù)A為

函數(shù)f（x，y）當(dāng)（x，y）→（x0，y0）時(shí)的極限，記作

4．二元函數(shù)的連續(xù)性

（1）連續(xù)性的定義

設(shè)二元函數(shù)f（P）＝f（x，y）的定義域?yàn)镈，P0（x0，y0）為D的聚

點(diǎn)，且．如果，則稱(chēng)函數(shù)f（x，y）在點(diǎn)

P0（x0，y0）處連續(xù)．

（2）二元函數(shù)累次極限和極限的關(guān)系

①若累次極限和，極限

都存在，則三者相等．

②若累次極限和存在但不相等，則極

限必不存在．

（3）有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

①有界性與最大值最小值定理

在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)，必定在D上有界，且能取得它的最

大值和最小值．

注：若f（P）在有界閉區(qū)域D上連續(xù)，則必定存在常數(shù)M＞0，使得對(duì)一

切，有；且存在，使得

②介值定理

在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)必取得介于最大值和最小值之間的任

何值．

③一致連續(xù)性定理

在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)必定在D上一致連續(xù)．

注：若f（P）在有界閉區(qū)域D上連續(xù)，則對(duì)于任意給定的正數(shù)ε，總存在

正數(shù)δ，使得對(duì)于D上的任意兩點(diǎn)P1，P2，只要當(dāng)|P1P2|＜δ時(shí)，都有

成立．

二、偏導(dǎo)數(shù)

1．偏導(dǎo)數(shù)的定義

設(shè)函數(shù)z＝f（x，y）在點(diǎn)（x0，y0）的某一鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)y固定在y0

而x在x0處有增量Δx時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)有增量

如果

存在，則稱(chēng)此極限為函數(shù)z＝f（x，y）在點(diǎn)（x0，y0）處對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)，

記作

函數(shù)z＝f（x，y）在點(diǎn)（x0，y0）處對(duì)y的偏導(dǎo)數(shù)定義為

記作

2．偏導(dǎo)函數(shù)

如果函數(shù)z＝f（x，y）在區(qū)域D內(nèi)每一點(diǎn)（x，y）處對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)都存

在，則該偏導(dǎo)數(shù)是x，y的函數(shù)，稱(chēng)為函數(shù)z＝f（x，y）對(duì)自變量x的偏

導(dǎo)函數(shù)，記作

同理，函數(shù)z＝f（x，y）對(duì)自變量y的偏導(dǎo)函數(shù)，記作

3．高階偏導(dǎo)數(shù)

設(shè)函數(shù)z＝f（x，y）在區(qū)域D內(nèi)具有偏導(dǎo)數(shù)于是在

D內(nèi)fx（x，y），fy（x，y）都是x，y的函數(shù)．如果這兩個(gè)函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)

也存在，則稱(chēng)它們是函數(shù)z＝f（x，y）的二階偏導(dǎo)數(shù)．按照對(duì)變量求導(dǎo)

次序的不同有下列四個(gè)二階偏導(dǎo)數(shù)

其中第二、三兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)稱(chēng)為混合偏導(dǎo)數(shù)．同樣可得三階、四階……以

及n階偏導(dǎo)數(shù)．二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱(chēng)為高階偏導(dǎo)數(shù)．

4．二元函數(shù)兩個(gè)混合偏導(dǎo)數(shù)相等的條件

如果函數(shù)z＝f（x，y）的兩個(gè)二階混合偏導(dǎo)數(shù)及在區(qū)域D內(nèi)連續(xù)，

則在該區(qū)域內(nèi)這兩個(gè)二階混合偏導(dǎo)數(shù)必相等．

三、全微分

1．全微分存在條件（二元函數(shù)可微、偏導(dǎo)數(shù)存在及連續(xù)的關(guān)系）

如果函數(shù)z＝f（x，y）的偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)（x，y）連續(xù)，則函數(shù)在該點(diǎn)

可微分．

2．全微分計(jì)算

（1）二元函數(shù)z＝f（x，y）的全微分：；

（2）三元函數(shù)u＝f（x，y，z）的全微分：．

3．全微分存在的必要條件和充分條件

（1）必要條件

如果函數(shù)z＝f（x，y）在點(diǎn)（x，y）可微分，則該函數(shù)在點(diǎn)（x，y）的

偏導(dǎo)數(shù)與必定存在，且函數(shù)z＝f（x，y）在點(diǎn)（x，y）的全微分為

．

（2）充分條件

如果函數(shù)z＝f（x，y）的偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)（x，y）連續(xù)，則函數(shù)在該

點(diǎn)可微分．

4．全微分形式不變性

設(shè)函數(shù)z＝f（u，ν）具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則有全微分

注：無(wú)論u和ν是自變量還是中間變量，函數(shù)z＝f（u，ν）的全微分形式

是一樣的，即復(fù)合函數(shù)的全微分

．

四、多元復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)法則

1．一元函數(shù)與多元函數(shù)復(fù)合的情形

如果函數(shù)及都在點(diǎn)t可導(dǎo)，函數(shù)z＝f（u，ν）在對(duì)應(yīng)點(diǎn)（u，

ν）具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)t可導(dǎo)，且有

2．多元函數(shù)與多元函數(shù)復(fù)合的情形

如果函數(shù)及都在點(diǎn)（x，y）具有對(duì)x及對(duì)y的偏導(dǎo)數(shù)，函

數(shù)z＝f（u，ν）在對(duì)應(yīng)點(diǎn)（u，ν）具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)z＝

在點(diǎn)（x，y）的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都存在，且有

3．其他情形

如果函數(shù)u＝φ（x，y）在點(diǎn)（x，y）具有對(duì)x及對(duì)y的偏導(dǎo)數(shù)，函數(shù)v＝

ψ（y）在點(diǎn)y可導(dǎo)，函數(shù)z＝f（u，v）在對(duì)應(yīng)點(diǎn)（u，v）具有連續(xù)偏導(dǎo)

數(shù)，則復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)（x，y）的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都存在，且

有

五、隱函數(shù)的求導(dǎo)法則

1．隱函數(shù)存在定理1

設(shè)函數(shù)F（x，y）在點(diǎn)P（x0，y0）的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且

，則方程F（x，y）＝0在點(diǎn)（x0，y0）的某一鄰域

內(nèi)恒能惟一確定一個(gè)連續(xù)且具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)y＝f（x），它滿(mǎn)足條

件y0＝f（x0），并有．

2．隱函數(shù)存在定理2

設(shè)函數(shù)F（x，y，z）在點(diǎn)P（x0，y0，z0）的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏導(dǎo)

數(shù)，且，，則方程F（x，y，z）＝0在點(diǎn)

（x0，y0，z0）的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個(gè)連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)

的函數(shù)z＝f（x，y），它滿(mǎn)足條件z0＝f（x0，y0），并有

3．隱函數(shù)存在定理3

設(shè)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)具有對(duì)各個(gè)變量的連續(xù)

偏導(dǎo)數(shù)，又，且偏導(dǎo)數(shù)所組成的函數(shù)行

列式（又稱(chēng)雅可比式）

在點(diǎn)不等于零，則方程組在點(diǎn)

的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一組連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函

數(shù)，滿(mǎn)足條件，并有

六、方向?qū)?shù)與梯度

1．方向?qū)?shù)

設(shè)函數(shù)f（x，y）在點(diǎn)可微分，則函數(shù)在該點(diǎn)沿任一方向l的方向

導(dǎo)數(shù)存在，且方向?qū)?shù)為

其中cosα和cosβ是方向l的方向余弦．

2．梯度

在二元函數(shù)的情形，設(shè)函數(shù)f（x，y）在平面區(qū)域D內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)

數(shù)，則對(duì)于每一點(diǎn)，都可定出一個(gè)向量這向

量稱(chēng)為函數(shù)f（x，y）在點(diǎn)的梯度，記作或，

即

其中稱(chēng)為向量微分算子.

3．方向?qū)?shù)與梯度關(guān)系

方向el是與方向l同向的單位向量，該向量與梯度在三種特殊情況下的關(guān)

系有：

（1）當(dāng)θ＝0，即方向el與梯度的方向相同時(shí)，函數(shù)f（x，y）

增加最快．函數(shù)在這個(gè)方向的方向?qū)?shù)達(dá)到最大值，此最大值就是梯度

的模，即

（2）當(dāng)θ＝π，即方向el與梯度的方向相反時(shí)，函數(shù)f（x，y）

減少最快，函數(shù)在這個(gè)方向的方向?qū)?shù)達(dá)到最小值，即

（3）當(dāng)