專題01 活用幾何基本圖形解題事半功倍（原卷版）

專題01活用幾何基本圖形，解題事半功倍幾何題目圖形千變?nèi)f化，但有一些經(jīng)典圖形經(jīng)常在這些題目里直接或間接到的出現(xiàn).因此，靈活掌握和運(yùn)用這些圖形是學(xué)好幾何的必備技能.一、基本圖形1.“8字”形結(jié)論：∠A+∠B=∠C+∠D；2.雙垂直結(jié)論：∠CAD=∠CBE；結(jié)論：∠A=∠BCD，∠B=∠ACD；結(jié)論：∠CAD=∠CBE.3.與角平分線有關(guān)的三個(gè)重要結(jié)論（1）雙內(nèi)角平分線條件：∠1=∠2，∠3=∠4，結(jié)論：∠BOC=90°+∠A；證明：∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∠BOC+∠2+∠4=180°，即：∠A+2∠2+2∠4=180°，∠2+∠4=90°－∠A，∴∠BOC=180°－（∠2+∠4）=90°+∠A；（2）一內(nèi)角平分線，一外角平分線條件：∠1=∠2，∠3=∠4，結(jié)論：∠O=∠A；證明：∠4=∠2+∠O，2∠4=2∠2+∠A，可得：∠O=∠A；（3）雙外角平分線條件：∠1=∠2，∠3=∠4，結(jié)論：∠BOC=90°－∠A；證明：∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∠BOC+∠2+∠4=180°，即：∠A+180°－2∠2+180°－2∠4=180°，∠2+∠4=90°+∠A，∴∠BOC=180°－（∠2+∠4）=90°－∠A；4.四邊形外角∠1與∠2是四邊形ABCD的外角，結(jié)論：∠1+∠2=∠A+∠B；5.飛鏢模型∠BOC=∠A+∠B+∠C6.與面積相關(guān)如上圖所示，D、E、F分別是△ABC各邊的中點(diǎn)結(jié)論：圖中，S△AOF=S△AOE=S△BOF=S△COE=S△BOD=S△COD二、典例解析【例1-1】（2020·安徽淮南月考）如圖，BP是△ABC中∠ABC的平分線，CP是∠ACB的外角的平分線，如果∠ABP=20°，∠ACP=50°，則∠A=().A．60° B．80° C．70° D．50°【例1-2】（2020·平原縣月考）如圖，在四邊形ABCD中，∠A＋∠D＝α，∠ABC的平分線與∠BCD的平分線交于點(diǎn)P，則∠P＝()A．90°－α B．90°＋α C．α D．360°－α【變式1-1】（2020·陜西西安·高新一中月考）已知，如圖，∠XOY=90°，點(diǎn)A、B分別在射線OX、OY上移動(dòng)，BE是∠ABY的平分線，BE的反向延長(zhǎng)線與∠OAB的平分線相交于點(diǎn)C，試問∠ACB的大小是否發(fā)生變化？如果保持不變，請(qǐng)給出證明；如果隨點(diǎn)A、B移動(dòng)發(fā)生變化，請(qǐng)求出變化范圍．【變式1-2】（2020·武城縣月考）如圖①，△ABC中，BD平分∠ABC，且與△ABC的外角∠ACE的角平分線交于點(diǎn)D．（1）若∠ABC=75°，∠ACB=45°，求∠D的度數(shù)；（2）若把∠A截去，得到四邊形MNCB，如圖②，猜想∠D、∠M、∠N的關(guān)系，并說明理由．【例2-1】（2020·廣東模考）如圖所示，∠的度數(shù)是（）A．10° B．20° C．30° D．40°【例2-2】（2020·霍林郭勒市月考）如圖1所示，稱“對(duì)頂三角形”，其中，∠A＋∠B＝∠C＋∠D利用這個(gè)結(jié)論，完成下列填空.(1)如圖(2)，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝；(2)如圖（3），∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝；(3)如圖（4），∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝；(4)如圖（5），∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7＝．【變式1-1】（1）如圖1我們稱之為“8字形”，請(qǐng)直接寫出∠A，∠B，∠C，∠D之間的數(shù)量關(guān)系：；（2）如圖2，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7＝度；（3）如圖3所示，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，猜想∠B，∠P，∠D之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【變式1-2】（2020·廣東廣州月考）如圖，已知BC與DE交于點(diǎn)M，則∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數(shù)為_______．【例3】（2020·安徽淮南月考）某零件如圖所示，圖紙要求∠A=90°，∠B=32°，∠C=21°，當(dāng)檢驗(yàn)員量得∠BDC=145°，就斷定這個(gè)零件不合格，你能說出其中的道理嗎？【變式3-1】（2020·山西鹽湖期末）探究與發(fā)現(xiàn)：如圖1所示的圖形，像我們常見的學(xué)習(xí)用品--圓規(guī)．我們不妨把這樣圖形叫做“規(guī)形圖”，（1）觀察“規(guī)形圖”，試探究∠BDC與∠A、∠B、∠C之間的關(guān)系，并說明理由；（2）請(qǐng)你直接利用以上結(jié)論，解決以下三個(gè)問題：①如圖2，把一塊三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的兩條直角邊XY、XZ恰好經(jīng)過點(diǎn)B、C，∠A=40°，則∠ABX+∠ACX等于多少度；

②如圖3，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE=40°，∠DBE=130°，求∠DCE的度數(shù)；

③如圖4，∠ABD，∠ACD的10等分線相交于點(diǎn)G1、G2…、G9，若∠BDC=133°，∠BG1C=70°，求∠A的度數(shù)．【變式3-2】（2020·山東岱岳期末）如圖1六邊形的內(nèi)角和為度，如圖2六邊形的內(nèi)角和為度，則________．【例4】（2020·唐山市月考）如圖所示，在△ABC中，已知點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是BC，AD，CE的中點(diǎn)，S△ABC=4平方厘米，則S△BEF的值為（ ）A．2平方厘米 B．1平方厘米C．平方厘米 D．平方厘米【變式4-1】（2020·山東歷下期中）如圖，△ABC的面積為．第一次操作：分別延長(zhǎng)，，至點(diǎn)，，，使，，，順次連接，，，得到△．第二次操作：分別延長(zhǎng)，，至點(diǎn)，，，使，，，順次連接，，，得到△，…按此規(guī)律，要使得到的三角形的面積超過2020，最少經(jīng)過多少次操作（）A． B． C． D．【變式4-2】（2020·臺(tái)州市月考）在四邊形ABCD中，P是AD邊上任意一點(diǎn)，當(dāng)AP=AD時(shí)，與和之間的關(guān)系式為：________________；一般地，當(dāng)AP=AD（n表示正整數(shù)）時(shí)，與和之間關(guān)系式為：________________．【例5】（2020·慶云縣月考）探究與發(fā)現(xiàn)：（探究一）我們知道，三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和．那么，三角形的一個(gè)內(nèi)角與它不相鄰的兩個(gè)外角的和之間存在何種數(shù)量關(guān)系呢？已知：如圖①，∠FDC與∠ECD分別為ADC的兩個(gè)外角，試探究∠A與∠FDC+∠ECD的數(shù)量關(guān)系，并證明你探究的數(shù)量關(guān)系．（探究二）三角形的一個(gè)內(nèi)角與另兩個(gè)內(nèi)角的平分線所夾的鈍角之間有何種關(guān)系？已知：如圖②，在ADC中，DP、CP分別平分∠ADC和∠ACD，試探究∠A與∠P的數(shù)量關(guān)系，并證明你探究的數(shù)量關(guān)系．（探究三）若將ADC改成任意四邊形ABCD呢？已知：如圖3，在四邊形ABCD中，DP、CP分別平分∠ADC和∠BCD，試?yán)蒙鲜鼋Y(jié)論直接寫出∠A+∠B與∠P的數(shù)量關(guān)系．【變式5-1】（2020·河南宛城月考）問題情景：如圖1，中，有一塊直角三角板放置在上（點(diǎn)在內(nèi)），使三角板的兩條直角邊恰好分別經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)．試問與是否存在某種確定的數(shù)量關(guān)系？（1）特殊探究：若，則________度，_________度，_________度；（2）類比探索：請(qǐng)?zhí)骄颗c的關(guān)系；（3）類比延伸：如圖2，改變直角三角板的位置；使點(diǎn)在外，三角板的兩條直角邊仍然分別經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)，（2）中的結(jié)論是否仍然成立？若不成立，請(qǐng)直接寫出你的結(jié)論．【變式5-2】（2020·吉林寬城期末）將三角形紙片沿折疊，使點(diǎn)落在點(diǎn)處．（感知）如圖①，若點(diǎn)落在四邊形的邊上，則與之間的數(shù)量關(guān)系是．（探究）如圖②，若點(diǎn)落在四邊形的內(nèi)部，則與之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說明理由．（拓展）如圖③，若點(diǎn)落在四邊形的外部，，，則的大小為度．三、習(xí)題專練1.（2020·安徽淮南月考）如圖，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝_____．2．（2020·惠州市光正實(shí)驗(yàn)學(xué)校月考）如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC與∠BCD的平分線的交點(diǎn)E恰好在AD邊上，則∠BEC=（）A．∠A+∠D﹣45° B．（∠A+∠D）+45°C．180°﹣（∠A+∠D） D．∠A+∠D3.（2020·山東濰坊期末）如圖，點(diǎn)D是△ABC的邊BC的延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，∠ABC的平分線與∠ACD的平分線交于點(diǎn)A1，∠A1BC的平分線與∠A1CD的平分線交于點(diǎn)A2，依此類推…，已知∠A＝α，則∠A2020的度數(shù)為_____．（用含α的代數(shù)式表示）．4．（2020·信陽(yáng)市月考）如圖，BE、CF是△ABC的角平分線，∠BAC=80°，BE、CF相交于D，則∠BDC的度數(shù)是_______．5．（2020·惠州市月考）如圖，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=___________________度．6.（2020·商城縣月考）如圖，△ABC的兩個(gè)內(nèi)角平分線相交于點(diǎn)P，過點(diǎn)P向AB，AC兩邊作垂直線l1、l2，若∠1=40°，則∠BPC=_________．7.（2020·臨沭縣月考）如圖，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7＝_____．8.（2020·霍林郭勒市月考）如圖，BA1和CA1分別是△ABC的內(nèi)角平分線和外角平分線，BA2是∠A1BD的角平分線，CA2是∠A1CD的角平分線，BA3是∠A2BD的角平分線，CA3是∠A2CD的角平分線，若∠A1=α，則∠A2018為_____．9．（2020·四川師范大學(xué)附屬中學(xué)期中）如圖，已知△ABC中，∠A＝60°，點(diǎn)O為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且∠BOC＝140°，其中O1B平分∠ABO，O1C平分∠ACO，O2B平分∠ABO1，O2C平分∠ACO1，…，OnB平分∠ABOn﹣1，OnC平分∠ACOn﹣1，…，以此類推，則∠BO1C＝_____°，∠BO2017C＝_____°．10．（2020·重慶月考）如圖，分別為四邊形的邊的中點(diǎn)，并且圖中四個(gè)小三角形的面積之和為，即，則圖中陰影部分的面積為____．11．（2020·江蘇邗江期末）（1）如圖1，AB∥CD，點(diǎn)E是在AB、CD之間，且在BD的左側(cè)平面區(qū)域內(nèi)一點(diǎn)，連結(jié)BE、DE．求證：∠E=∠ABE+∠CDE．（2）如圖2，在（1）的條件下，作出∠EBD和∠EDB的平分線，兩線交于點(diǎn)F，猜想∠F、∠ABE、∠CDE之間的關(guān)系，并證明你的猜想．（3）如圖3，在（1）的條件下，作出∠EBD的平分線和△EDB的外角平分線，兩線交于點(diǎn)G，猜想∠G、∠ABE、∠CDE之間的關(guān)系，并證明你的猜想．12．（2020·莆田月考）如圖，點(diǎn)D為△ABC的邊BC的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)．（1）若∠A∶∠ABC=3∶4，∠ACD=140°，求∠A的度數(shù)；（2）若∠ABC的平分線與∠ACD的平分線交于點(diǎn)M，過點(diǎn)C作CP⊥BM于點(diǎn)P．試探究∠PCM與∠A的數(shù)量關(guān)系．13.（2019·全國(guó)月考）如圖，四邊形ABCD中，BE、DF分別平分四邊形的外角∠MBC和∠NDC，若∠BAD=α，∠BCD=β．（1）如圖①，若α＋β=150°，求∠MBC＋∠NDC的度數(shù)；（2）如圖①，若BE與DF相交于點(diǎn)G，∠BGD=30°，請(qǐng)寫出α、β所滿足的等量關(guān)系式；（3）如圖②，若α=β，判斷BE、DF的位置關(guān)系，并說明理由．14.（2020·貴州赫章期末）數(shù)學(xué)問題：如圖，在中，的等分線分別交于點(diǎn)根據(jù)等分線等分角的情況解決下列問題：（1）求的度數(shù)．（2）求的度數(shù)．（3）直接寫出的度數(shù)．

15.（2020·山西月考）綜合與實(shí)踐：閱讀下面的材料，并解決問題．（1）已知在中，，圖1，圖2，圖3中的的內(nèi)角平分線或外角平分線都交于點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出下列角的度數(shù)如圖1，_________；如圖2，_________；如圖3，_________；如圖4，，的三等分線交于點(diǎn)，，連接，則_________．（2）如圖5，點(diǎn)是兩條內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，求證：．（3）如圖6，在中，的三等分線分別與的平分線交于點(diǎn)，，若，，求的度數(shù)．

16.（2019·福建永安期末）（1）如圖1．在△ABC中，∠B=60°，∠DAC和∠ACE的角平分線交于