2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用1.7定積分的簡單應(yīng)用學(xué)案含解析新人教A版選修2-2

PAGE1.7定積分的簡潔應(yīng)用內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)學(xué)科素養(yǎng)1.會應(yīng)用定積分求兩條或多條曲線圍成的圖形的面積；2.能利用定積分解決物理中的變速直線運動的路程、變力做功問題；學(xué)會用數(shù)學(xué)工具解決物理問題，進(jìn)一步體會定積分的價值.培育直觀想象訓(xùn)練邏輯思維提升數(shù)學(xué)運算授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第29頁[基礎(chǔ)相識]學(xué)問點一定積分在幾何中的應(yīng)用eq\a\vs4\al(預(yù)習(xí)教材P56－58，思索并完成以下問題)怎樣利用定積分求不分割型圖形的面積？提示：求由曲線圍成的面積，要依據(jù)圖形，確定積分上、下限，用定積分來表示面積，然后計算定積分即可．學(xué)問梳理(1)當(dāng)x∈[a，b]時，若f(x)＞0，由直線x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲線y＝f(x)所圍成的曲邊梯形的面積S＝_eq\i\in(a,b,)_f(x)dx.(2)當(dāng)x∈[a，b]時，若f(x)＜0，由直線x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲線y＝f(x)所圍成的曲邊梯形的面積S＝－_eq\i\in(a,b,)_f(x)dx.(3)如圖，當(dāng)x∈[a，b]時，若f(x)＞g(x)＞0，由直線x＝a，x＝b(a≠b)和曲線y＝f(x)，y＝g(x)所圍成的平面圖形的面積S＝_eq\i\in(a,b,)_[f(x)－g(x)]dx.學(xué)問點二變速直線運動的路程eq\a\vs4\al(預(yù)習(xí)教材P58，思索并完成以下問題)變速直線運動的路程和位移相同嗎？提示：不同．路程是標(biāo)量，位移是矢量，路程和位移是兩個不同的概念．學(xué)問梳理(1)當(dāng)v(t)≥0時，求某一時間段內(nèi)的路程和位移均用eq\i\in(t1,t2,)v(t)dt求解．(2)當(dāng)v(t)＜0時，求某一時間段內(nèi)的位移用eq\i\in(t1,t2,)v(t)dt求解，這一時段的路程是位移的相反數(shù)，即路程為－eq\i\in(t1,t2,)v(t)dt.做變速直線運動的物體所經(jīng)過的路程s，等于其速度函數(shù)v＝v(t)(v(t)≥0)在時間區(qū)間[a，b]上的定積分，即S＝_eq\i\in(a,b,)_v(t)dx.學(xué)問點三變力做功問題eq\a\vs4\al(預(yù)習(xí)教材P59，思索并完成以下問題)恒力F沿與F相同的方向移動了s，力F做的功為W＝Fs，那么變力做功問題怎樣解決？提示：與求曲邊梯形的面積一樣，物體在變力F(x)作用下運動，沿與F相同的方向從x＝a到x＝b(a＜b)，可以利用定積分得到W＝eq\i\in(a,b,)F(x)dx.學(xué)問梳理假如物體在變力F(x)的作用下做直線運動，并且物體沿著與F(x)相同的方向從x＝a移動到x＝b(a＜b)，那么變力F(x)所做的功為_eq\i\in(a,b,)_F(x)dx.[自我檢測]1．由直線x＝0、x＝eq\f(2π,3)、y＝0與曲線y＝2sinx所圍成的圖形的面積等于()A．3 B.eq\f(3,2)C．1 D.eq\f(1,2)解析：答案：A2．已知自由落體的速率v＝gt，則落體從t＝0到t＝t0所走的路程為()A.eq\f(1,3)gteq\o\al(2,0)B．gteq\o\al(2,0)C.eq\f(1,2)gteq\o\al(2,0)D.eq\f(1,6)gteq\o\al(2,0)解析：假如變速直線運動的速度為v＝v(t)(v(t)≥0)，那么從時刻t＝a到t＝b所經(jīng)過的路程是eq\i\in(a,b,)v(t)dt，答案：C3．若兩曲線y＝x2與y＝cx3(c＞0)圍成的圖形的面積是eq\f(2,3)，則c＝________.解析：由x2＝cx3，得x＝0或x＝eq\f(1,c)，答案：eq\f(1,2)授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第29頁究一求圖形面積[例1]求曲線y＝2x－x2，y＝2x2－4x所圍成圖形的面積．[解析]畫出圖形如圖中陰影部分所示，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝2x－x2，,y＝2x2－4x))得x1＝0，x2＝2，故陰影部分的面積S＝eq\i\in(0,2,)[(2x－x2)－(2x2－4x)]dx＝eq\i\in(0,2,)(6x－3x2)dx＝(3x2－x3)|eq\o\al(2,0)＝4.方法技巧(1)對于簡潔圖形的面積求解，我們可干脆運用定積分的幾何意義．先確定積分上、下限，一般為兩交點的橫坐標(biāo)，再確定被積函數(shù)，一般是上方曲線與下方曲線對應(yīng)函數(shù)的差．這樣求面積問題就轉(zhuǎn)化為運用微積分基本定理計算定積分問題了．留意區(qū)分定積分與利用定積分計算曲線所圍圖形的面積：定積分可正、可負(fù)、可為零，而平面圖形的面積總是非負(fù)的．(2)圖形面積需分割求解的解題技巧由兩條或兩條以上的曲線圍成的較為困難的圖形，在不同的區(qū)間上位于上方和下方的曲線可能不同．求解時，依據(jù)圖形，求出需用到的曲線交點的橫坐標(biāo)，將積分區(qū)間細(xì)化，分別求出相應(yīng)區(qū)間上平面圖形的面積再求和，留意在每個區(qū)間上被積函數(shù)均是“上減下”．跟蹤探究1.求由曲線y＝x2＋1，直線x＋y＝3，x軸，y軸所圍成的平面圖形的面積．解析：作出曲線y＝x2＋1，直線x＋y＝3的草圖，如圖所示，所求面積為圖中陰影部分的面積，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝3，,y＝x2＋1))得第一象限中交點的橫坐標(biāo)為1，故所求面積S＝S1＋S2＝eq\i\in(0,1,)(x2＋1)dx＋eq\i\in(1,3,)(3－x)dx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x3＋x))|eq\o\al(1,0)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x－\f(1,2)x2))|eq\o\al(3,1)＝eq\f(10,3).探究二定積分在物理中的應(yīng)用[例2]一點在直線上從時刻t＝0(單位：s)起先以速度v(t)＝t2－4t＋3(單位：m/s)運動，求：(1)該點在t＝4s時的路程；(2)該點在t＝4s時的位移．[解析](1)由v(t)＝t2－4t＋3＝(t－1)(t－3)，得當(dāng)0≤t≤1或3≤t≤4時，v(t)≥0；當(dāng)1≤t≤3時，v(t)≤0，所以在t＝4s時的路程為s＝eq\i\in(0,1,)(t2－4t＋3)dt－eq\i\in(1,3,)(t2－4t＋3)dt＋eq\i\in(3,4,)(t2－4t＋3)dt＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)t3－2t2＋3t))|eq\o\al(1,0)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)t3－2t2＋3t))|eq\o\al(3,1)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)t3－2t2＋3t))|eq\o\al(4,3)＝4(m)．(2)在t＝4s時的位移為s1＝eq\i\in(0,4,)(t2－4t＋3)dt＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)t3－2t2＋3t))|eq\o\al(4,0)＝eq\f(4,3)(m)．方法技巧(1)求變速直線運動的物體的路程(位移)方法①用定積分計算做直線運動物體的路程，要先推斷速度v(t)在時間區(qū)間內(nèi)是否為正值；若v(t)＞0，則運動物體的路程為s＝eq\i\in(a,b,)v(t)dt；若v(t)＜0，則運動物體的路程為s＝eq\i\in(a,b,)|v(t)|dt＝－eq\i\in(a,b,)v(t)dt；②留意路程與位移的區(qū)分．(2)求變力做功的方法步驟①首先要明確變力的函數(shù)式F(x)，確定物體在力的方向上的位移；②利用變力做功的公式W＝eq\i\in(a,b,)F(x)dx計算；③留意必需將力與位移的單位換算為牛頓與米，功的單位才為焦耳．跟蹤探究2.一物體在力F(x)(單位：N)的作用下沿與力F相同的方向運動，力-位移曲線如圖所示．求該物體從x＝0處運動到x＝4(單位：m)處力F(x)做的功．解析：由力-位移曲線可知F(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(10，0≤x≤2，,3x＋4，2＜x≤4.))因此該物體從x＝0處運動到x＝4處力F(x)做的功W＝eq\i\in(0,2,)10dx＋eq\i\in(2,4,)(3x＋4)dx＝10x|eq\o\al(2,0)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)x2＋4x))|eq\o\al(4,2)＝46(J).授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第30頁[課后小結(jié)]對于簡潔圖形的面積求解，我們可干脆運用定積分的幾何意義，此時(1)確定積分上、下限，一般為兩交點的橫坐標(biāo)；(2)確定被積函數(shù)，一般是上曲線與下曲線對應(yīng)函數(shù)的差．這樣所求的面積問題就轉(zhuǎn)化為運用微積分基本定理計算定積分了．留意區(qū)分定積分與利用定積分計算曲線所圍圖形的面積：定積分可正、可負(fù)或為零；而平面圖形的面積總是非負(fù)的．[素養(yǎng)培優(yōu)]忽視路程與位移的區(qū)分而致誤易錯案例：一輛汽車以32m/s的速度行駛在馬路上，到某處須要減速停車，設(shè)汽車以加速度a＝－8m/s2勻減速剎車，則從起先剎車到停車，該汽車行駛的路程為()A．128m B．64mC．32m D．80m易錯分析：路程是