2024年廣西高三數(shù)學(xué)4月模擬調(diào)研聯(lián)考試卷附答案解析

2024年廣西高三數(shù)學(xué)4月模擬調(diào)研聯(lián)考試卷（考試時(shí)間：120分鐘滿分：150分）2024.04注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．3．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在試卷上無效．一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知集合，則（

）A． B． C． D．2．已知，為虛數(shù)單位，則（

）A． B． C． D．3．抽樣統(tǒng)計(jì)某位學(xué)生8次的數(shù)學(xué)成績(jī)分別為，則該學(xué)生這8次成績(jī)的分位數(shù)為（

）A．85 B．85.5 C．87 D．88.54．被除的余數(shù)為（

）A．2 B．4 C．6 D．85．函數(shù)的圖象大致為（

）A．B．C．D．6．已知圓，當(dāng)圓心C到直線的距離最大時(shí)，實(shí)數(shù)的值是（

）A． B． C．－3 D．37．“升”是我國(guó)古代發(fā)明的量糧食的一種器具，升裝滿后沿升口刮平，稱為“平升”．已知某種升的形狀是正四棱臺(tái)，上、下底面邊長(zhǎng)分別為和，高為（厚度不計(jì)），則該升的1平升約為（

）（精確到）

A． B． C． D．8．已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則a的最小值為（

）A． B． C．e D．二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．（答案有兩個(gè)選項(xiàng)只選一個(gè)對(duì)得3分，錯(cuò)選不得分；答案有三個(gè)選項(xiàng)只選一個(gè)對(duì)得2分，只選兩個(gè)都對(duì)得4分，錯(cuò)選不得分）9．平面直角坐標(biāo)系中，的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，則（

）A． B．銳角三角形C．的面積為 D．的外接圓半徑大于210．如圖，在平面四邊形ABCD中，△BCD是等邊三角形，AB⊥BD且AB＝BD，M是AD的中點(diǎn)．沿BD將△BCD翻折，折成三棱錐C﹣ABD，連接BM，翻折過程中，下列說法正確的是（

）A．存在某個(gè)位置，使得CM與BD所成角為銳角B．棱CD上總恰有一點(diǎn)N，使得MN∥平面ABCC．當(dāng)三棱錐C﹣ABD的體積最大時(shí)，AB⊥BCD．∠CMB一定是二面角C﹣AD﹣B的平面角11．拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)（點(diǎn)在軸的下方），則下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則中點(diǎn)到軸的距離為4B．弦的中點(diǎn)的軌跡為拋物線C．若，則直線的斜率D．的最小值等于9三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．已知向量的夾角為，，則．13．已知，則.14．設(shè)分別為橢圓的左?右焦點(diǎn)，為橢圓的上頂點(diǎn)，直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為.若，則橢圓的離心率為.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，公差為整數(shù)，，且，，成等比數(shù)列.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.16．11分制乒乓球比賽規(guī)則如下：在一局比賽中，每?jī)汕蚪粨Q發(fā)球權(quán)，每贏一球得1分，先得11分且至少領(lǐng)先2分者勝，該局比賽結(jié)束；當(dāng)某局比分打成10∶10后，每球交換發(fā)球權(quán)，領(lǐng)先2分者勝，該局比賽結(jié)束.現(xiàn)有甲、乙兩人進(jìn)行一場(chǎng)五局三勝、每局11分制的乒乓球比賽，比賽開始前通過拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣來確定誰先發(fā)球.假設(shè)甲發(fā)球時(shí)甲得分的概率為，乙發(fā)球時(shí)甲得分的概率為，各球的比賽結(jié)果相互獨(dú)立，且各局的比賽結(jié)果也相互獨(dú)立.已知第一局目前比分為10∶10.(1)求再打兩個(gè)球甲新增的得分X的分布列和均值；(2)求第一局比賽甲獲勝的概率；(3)現(xiàn)用估計(jì)每局比賽甲獲勝的概率，求該場(chǎng)比賽甲獲勝的概率.17．已知四棱錐中，，，，，，(1)求證：(2)求直線PC與平面PBD所成角的正弦值.18．已知雙曲線G的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，離心率為，左、右頂點(diǎn)分別為，.(1)求的方程；(2)過右焦點(diǎn)的直線l與G的右支交于M，N兩點(diǎn)，若直線與交于點(diǎn)．（i）證明：點(diǎn)在定直線上：（ii）若直線與交于點(diǎn)，求證：．19．已知函數(shù)，若存在恒成立，則稱是的一個(gè)“下界函數(shù)”．(1)如果函數(shù)為的一個(gè)“下界函數(shù)”，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)設(shè)函數(shù)，試問函數(shù)是否存在零點(diǎn)？若存在，求出零點(diǎn)個(gè)數(shù)；若不存在，請(qǐng)說明理由．1．B【分析】解出一元二次不等式和指數(shù)不等式，再根據(jù)交集含義即可.【詳解】，，則，故選：B.2．C【分析】利用復(fù)數(shù)的除法化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，利用復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式可求得的值.【詳解】因?yàn)?，則，故.故選：C.3．D【分析】將題設(shè)中的數(shù)據(jù)按由小到大排列后可求分位數(shù).【詳解】8次的數(shù)學(xué)成績(jī)由小到大排列為：，因，故分位數(shù)為，故選：D.4．B【分析】由，寫出的展開式，即可求出被除的余數(shù).【詳解】因?yàn)?，其中能被整除，又，所以被除的余?shù)為.故選：B5．D【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性排除A,再根據(jù)函數(shù)在處函數(shù)值的正負(fù)排除B和C,得出結(jié)果.【詳解】,為偶函數(shù),排除A.,排除B和C.故選:D.6．B【分析】圓心，半徑，直線恒過定點(diǎn)，當(dāng)直線與垂直時(shí)，圓心到直線的距離最大，由斜率公式求得的斜率，再由垂直關(guān)系可得答案．【詳解】因?yàn)閳A的方程為：，化為標(biāo)準(zhǔn)方程得：，所以圓心為，半徑，直線恒過定點(diǎn)，當(dāng)直線與垂直時(shí)，圓心到直線的距離最大，由斜率公式得直線的斜率為：，由垂直關(guān)系的斜率公式得：，解得，故選：B．7．B【分析】應(yīng)用棱臺(tái)的體積公式求1平升，即可得答案.【詳解】由題設(shè)，上底面積為，下底面積為，所以1平升為，約為.故選：B8．A【分析】在上恒成立，即，構(gòu)造函數(shù)，，求導(dǎo)得到其單調(diào)性，得到，得到，求出答案.【詳解】由題意得在上恒成立，，故，即，令，，則在上恒成立，故在上單調(diào)遞減，故，故，故a的最小值為.故選：A9．CD【分析】根據(jù)正弦定理、余弦定理、三角形的面積公式等知識(shí)確定正確答案.【詳解】，所以，由正弦定理得，故A錯(cuò)誤；由余弦定理，得，所以角是鈍角，故B錯(cuò)誤；由，得，的面積為，故C正確；設(shè)的外接圓半徑為，則，故D正確.故選：CD10．BC【分析】對(duì)A：根據(jù)線面垂直的判斷定理證明BD⊥平面CME，可證CM⊥BD；對(duì)B：根據(jù)線面平行的判定定理分析證明；對(duì)C：根據(jù)錐體的體積公式分析可知:當(dāng)CE⊥平面ABD，三棱錐C﹣ABD的體積最大，進(jìn)而根據(jù)線面垂直的判斷和定義分析說明；對(duì)D：根據(jù)二面角的平面角的定義理解分析.【詳解】對(duì)A，取BD中點(diǎn)E，連接CE，ME，如圖，因△BCD是正三角形，有CE⊥BD，而M是AD的中點(diǎn)，有ME∥AB，而AB⊥BD，則ME⊥BD，CE∩ME＝E，CE，ME?平面CME，于是得BD⊥平面CME，CM?平面CME，所以CM⊥BD，A不正確；對(duì)B，取CD的中點(diǎn)N，連MN，因M是AD的中點(diǎn)，則MN∥AC，AC?平面ABC，MN?平面ABC，所以MN∥平面ABC，B正確；對(duì)C，因，要三棱錐C﹣ABD的體積最大，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)C到平面ABD距離最大，由選項(xiàng)A知，點(diǎn)C到直線BD的距離是二面角A﹣BD﹣C的平面角，當(dāng)∠CEM＝90°時(shí)，CE⊥平面ABD，即當(dāng)C到平面ABD距離最大為時(shí)，三棱錐C﹣ABD的體積最大，此時(shí)CE⊥ME，有CE⊥AB，而AB⊥BD，CE∩BD＝E，CE，BD?平面BCD，則有AB⊥平面BCD，BC?平面BCD，所以AB⊥BC，C正確；對(duì)D，若∠CMB是二面角C﹣AD﹣B的平面角，則AD⊥CM，因?yàn)镸為AD中點(diǎn)，故CA＝CD，這不一定成立，故D錯(cuò)誤．故選：BC．11．BCD【分析】根據(jù)焦半徑公式及中點(diǎn)坐標(biāo)公式判斷A，設(shè)直線方程為并聯(lián)立拋物線方程，應(yīng)用韋達(dá)定理，利用中點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)系表示出中點(diǎn)坐標(biāo)，消去可得軌跡判斷B，結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用兩點(diǎn)式斜率公式求解判斷C，由題可得，然后根據(jù)基本不等式求解判斷D.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，設(shè)，對(duì)于A，依題意，，解得，線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)，該點(diǎn)到軸的距離為，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，顯然直線不垂直于y軸，設(shè)直線：，由消去x得，，則，，，設(shè)線段中點(diǎn)坐標(biāo)為，則，消去可得，因此弦中點(diǎn)的軌跡為拋物線，B正確；對(duì)于C，顯然，由，得，，由選項(xiàng)B知，有，又，則，，因此直線的斜率，C正確；對(duì)于D，由選項(xiàng)B知，，則，因此，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取得等號(hào)，D正確.故選：BCD12．【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積公式求出答案.【詳解】因?yàn)?，所以，．故答案為?3．【分析】根據(jù)題意，利用三角函數(shù)的基本關(guān)系式和余弦的倍角公式，準(zhǔn)確運(yùn)算，即可求解.【詳解】因?yàn)椋傻?，所?故答案為：.14．##【分析】依據(jù)題意求出點(diǎn)坐標(biāo)，利用所給條件構(gòu)造齊次方程求解離心率即可.【詳解】由題意得，，，則，直線的斜率為，即，聯(lián)立方程組，，可得，而，故，代入直線中得，故,可得，由題意得，可得，化簡(jiǎn)得，即，化簡(jiǎn)得，同除得，且，解得.故答案為：15．(1)(2)【分析】(1)利用等比數(shù)列和等差數(shù)列的定義求解即可；(2)利用裂項(xiàng)相消求和.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，又因?yàn)椋?，成等比?shù)列，所以，即，所以，聯(lián)立解得，所以.（2）由（1）可得，所以.16．(1)分布列見解析，均值(2)(3)【分析】（1）易知的所有可能取值為，根據(jù)條件概率公式可求得對(duì)應(yīng)概率取值可得分布列和均值；（2）根據(jù)獲勝規(guī)則求出第一局比賽甲獲勝概率的表達(dá)式，解得；（3）由五局三勝制的規(guī)則，可知的所有可能取值為，求出對(duì)應(yīng)概率相加即可求得甲獲勝的概率為.【詳解】（1）依題意，的所有可能取值為設(shè)打成后甲先發(fā)球?yàn)槭录?，則乙先發(fā)球?yàn)槭录?，所以?所以的分布列為012故的均值為.（2）設(shè)第一局比賽甲獲勝為事件，則.由（1）知，，由全概率公式，得解得，即第一局比賽甲獲勝的概率.（3）由（2）知，故估計(jì)甲每局獲勝的概率均為，根據(jù)五局三勝制的規(guī)則，設(shè)甲獲勝時(shí)的比賽總局?jǐn)?shù)為，因?yàn)槊烤值谋荣惤Y(jié)果相互獨(dú)立，所以的所有可能取值為，因此可得；故該場(chǎng)比賽甲獲勝的概率.17．(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)線面平行的判定定理證明線面垂直，從而得到線線垂直；（2）利用幾何法找到線面所成角進(jìn)而求解或者利用空間向量求解.【詳解】（1）在梯形ABCD中，，，，，可算得，,所以,所以，在中，，，滿足，所以，又平面PBD，平面PBD，且，所以平面PBD，又因?yàn)槠矫鍼BD，所以；（2）由證明可知，平面PBD，因?yàn)槠矫鍭BCD，則平面平面ABCD，取BD中點(diǎn)O，連OP，OC，因?yàn)?，所以，而平面ABCD，且平面平面，平面PBD，所以就是PC與平面PBD所成的角，在中，易得，在中，，，計(jì)算可得，所以，所以求直線PC與平面PBD所成角的正弦值為解法由證明可知，平面PBD，因?yàn)槠矫鍭BCD，則平面平面ABCD，通過計(jì)算可得，建立以，為x軸，y軸的正方向，以過D與平面ABCD垂直的向量為在z軸的正方向建立如圖空間直角坐標(biāo)系，顯然z軸再平面PBD中且垂直于BD，則，，，，所以，，，設(shè)平面PBD的法向量為，則，即取，設(shè)直線PC與平面PBD所成角為，則，所以求直線PC與平面PBD所成角的正弦值為18．(1)(2)證明見解析【分析】（1）由點(diǎn)，的坐標(biāo)可知，結(jié)合離心率可得，即可得，即可得雙曲線方程；（2）設(shè)出，，可表示出直線與的方程，借助聯(lián)立直線l與G所得韋達(dá)定理計(jì)算即可得證點(diǎn)在定直線上；由雙曲線的對(duì)稱性可得點(diǎn)亦在該直線上，借助韋達(dá)定理，通過計(jì)算的值從而得證.【詳解】（1）由點(diǎn)，的坐標(biāo)可知，離心率為，故，所以，所以雙曲線方程為；（2）（?。┰O(shè)直線為：，聯(lián)立雙曲線得，消去得：，根據(jù)題意得：，設(shè)，，則，，，，故，直線：，因?yàn)樵谏?，所以，直線：，直線：，令，可得，解得，故點(diǎn)在直線上；（ⅱ）由雙曲線對(duì)稱性可知，點(diǎn)也在直線上，設(shè)，，點(diǎn)在直線上，所以，點(diǎn)在直線上，所以，，所以.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，注意的判斷；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達(dá)