2023屆江蘇省蘇州市高三年級上冊數(shù)學(xué)高考模擬卷答案附答案

高考模擬

試卷副標(biāo)題

考試范圍：XXX；考試時間：100分鐘；命題人：XXX

注意事項：

1.答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息

2.請將答案正確填寫在答題卡上

第I卷（選擇題）

請點擊修改第I卷的文字說明

一、單選題（共0分）

1.設(shè)全集U=R,A=或x>2},8={y|y=W，xeR},則（gA）U8=（）

A.{x|x<-l}B.{x|-l<x,O}C.2}D.{x|x>-l}

2.已知復(fù)數(shù)2=-工+且i,則L+5?等于（）.

22z

A.-1B.0C.D.-i-73i

3.米斗是我國古代官倉，糧棧、米行必備的用具，是稱量糧食的量器.如圖是一種米

斗，可盛米10升（1升=1000cm3）,已知盛米部分的形狀為正四棱臺，且上口寬為

18cm,下口寬為24cm,則高約為（）

A.18.8cmB.20.4cmC.22.5cmD.24.2cm

4.直線/：依+0y=0和圓C：V+-2ox-2/?y=0在同一坐標(biāo)系的圖形只能是

5.（l+xy+（l+xy+…+（l+x）9的展開式中/的系數(shù)是（）

A.84B.120C.122D.210

6.已知函數(shù)/(x)=2cos2,+V+l,若在［0,可上的值域是1,|,則實數(shù)a的

取值范圍為（）

A?嗚兀24225

B.二■兀，大兀C.-71,4-00D.-7r,-7t

3333

7.下列不等式正確的是（其中e、2.718為自然對數(shù)的底數(shù)，兀。3.14,山2。0.69）

()

亢-34gtosl2

A.晨凌”B.--<eln2C.-------<2&D.sinl<-

"<兀3cos2+l兀

，2

8.已知橢圓點+v方=1,>6>0))的焦點為《，尸”P是橢圓上一點，且

2PF\-PF；=\PF\\-\PF；\,若△耳「心的內(nèi)切圓的半徑r滿足|P用=3rsinN耳名尸，則

（其中e為橢圓C的離心率）的最小值為（）

7b

A而RAW0回2>/2?

A?---D.-3-/--L?---D.

101077

二、多選題（共0分）

9.設(shè)等比數(shù)列｛4｝的公比為4,其前〃項和為S“，前〃項積為T“，且滿足條件q>1,

。2022，“2023>1，（4（）22一］），（〃2023一1）<。，則下列選項正確的是（）

A.為遞減數(shù)列B.S2022+1<^2023

C.4）22是數(shù)列｛0”中的最大項D.GMS>1

10.已知編號為1,2,3的三個盒子，其中1號盒子內(nèi)裝有兩個1號球，一個2號球

和一個3號球；2號盒子內(nèi)裝有兩個1號球，一個3號球；3號盒子內(nèi)裝有三個1號

球，兩個2號球.若第一次先從1號盒子內(nèi)隨機抽取1個球，將取出的球放入與球同

編號的盒子中，第二次從該盒子中任取一個球，則下列說法正確的是（）

試卷第2頁，共6頁

A.在第一次抽到2號球的條件下，第二次抽到1號球的概率為:

2

B.第二次抽到3號球的概率為二

C.如果第二次抽到的是1號球，則它來自2號盒子的概率最大

D.如果將5個不同的小球放入這三個盒子內(nèi)，每個盒子至少放1個，則不同的放法

有300種

11.己知點8（1,0）,G（0,l）,拋物線C：V=4x.過點G的直線/與C交于

P（x”X）,。（馬,力）兩點，直線ARA。分別與C交于另一點E,F,則下列說法中正確

的是（）

A.%+＞2=＞跖

B.直線EF的斜率為4

C.若△POE的面積為氈（。為坐標(biāo)原點），則聲與麗的夾角為J

66

D.若M為拋物線C上位于x軸上方的一點，=則當(dāng)r取最大值時，

^ABM的面積為2

12.若點P是棱長為2的正方體A8CO-A4GA表面上的動點，點M是棱AR的中

點，貝（I（）

A.當(dāng)點P在底面ABC。內(nèi)運動時，三棱錐尸-G2M的體積為定值;

B.當(dāng)時，線段4尸長度的最大值為4

C.當(dāng)直線AP與平面ABC。所成的角為45。時，點尸的軌跡長度為40+萬

D.直線。M被正方體ABCO-A4cA的外接球所截得的線段的長度為華

第II卷（非選擇題）

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三、填空題（共0分）

13.重慶八中某次數(shù)學(xué)考試中，學(xué)生成績X服從正態(tài)分布（105,*）.若

P（9既收120）=1,則從參加這次考試的學(xué)生中任意選取3名學(xué)生，至少有2名學(xué)生

的成績高于120的概率是.

14.用max{a,。}表示a"兩個數(shù)中的最大值，設(shè)函數(shù)/（x）=max］兇,》。＞0）,若

恒成立，則加的最大值是.

15.在四面體F4BC中，PA±AB,PA1AC,NB4c=120。，設(shè)

AB^AC=-AP=42,則該幾何體的外接球的體積為

2

16.已知函數(shù)"x)=|lnx—l|,0<X1<e<%<e2,函數(shù)〃x)的圖象在點J(xj)

和點N(NJ(W))的兩條切線互相垂直，且分別與y軸交于P,Q兩點，則后的取值

范圍是.

四、解答題(共o分)

17.已知正項數(shù)列｛q｝的前〃項和S,,,且%+J=2S“.

(1)證明：數(shù)列｛S,2｝為等差數(shù)列；

T1111L

⑵記I,=3+丁+不+…+不，證明(,<2〃.

J]d2d3

18.記銳角^ABC的內(nèi)角A,8,C的對邊分別為a,6,c,已知"生舁=.鄴A：。.

cosBcosC

⑴求證：B=C；

(2)若asinC=l,求三+”的最大值.

19.隨著人臉識別技術(shù)的發(fā)展，“刷臉支付”成為了一種便捷的支付方式，但是這種支

付方式也帶來了一些安全性問題.為了調(diào)查不同年齡層的人對“刷臉支付”所持的態(tài)

度，研究人員隨機抽取了300人，并將所得結(jié)果統(tǒng)計如下表所示.

年齡[20,30)[30,40)[40,50)[50,60)[60,70]

頻數(shù)30751056030

持支持態(tài)度2466904218

(1)完成下列2x2列聯(lián)表，并判斷是否有99.9%的把握認(rèn)為年齡與所持態(tài)度具有相關(guān)

性;

年齡在50周歲以上(含50周

年齡在50周歲以下總計

歲)

試卷第4頁，共6頁

持支持態(tài)度

不持支持態(tài)度

總計

（2）以（1）中的頻率估計概率，若在該地區(qū)所有年齡在50周歲以上（含50周歲）的人

中隨機抽取4人，記X為4人中持支持態(tài)度的人數(shù)，求X的分布列以及數(shù)學(xué)期望；

⑶己知某地區(qū)“萬嘉”連鎖超市在安裝了“刷臉支付”儀器后，使用“刷臉支付”的人數(shù)y

與第x天之間的關(guān)系統(tǒng)計如下表所示，且數(shù)據(jù)的散點圖呈現(xiàn)出很強的線性相關(guān)的特

征，請根據(jù)表中的數(shù)據(jù)用最小二乘法求y與x的回歸直線方程y^bx+a.

i1234567

第七天24812222638

使用人數(shù)X)1%為%%%

17

參考數(shù)據(jù)：Zx，％=5588,Z%=294.

P(K2>k]0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

EU-^)(z-y)

n(^ad-bcyA---f--

參考公式：K2B=---------a--=--y---bx.

(a+b)(c+")(a+c)(6+d)'￡(七-亍『

1=1

20.已知三棱錐P-ABC（如圖一）的平面展開圖（如圖二）中，四邊形A8C3為邊

長等于血的正方形，△母和△BCF均為正三角形，在三棱錐P-MC中:

B

圖一圖二

(1)證明：平面尸AC_L平面ABC；

(2)若點M在棱曰上運動，當(dāng)直線與平面PAC所成的角最大時，求二面角

M—BC—A的余弦值.

21.已知《(-2,0),2(2,0),點尸滿足|P甲|=2,記點尸的軌跡為E,

(1)求軌跡E的方程；

(2)若直線/過點心且法向量為萬=(。,1),直線與軌跡E交于尸、。兩點.

①過戶、。作y軸的垂線上4、QB,垂足分別為A、B,記|尸。|=H48],試確定力的

取值范圍；

②在x軸上是否存在定點M,無論直線/繞點K怎樣轉(zhuǎn)動，使標(biāo)?詼=0恒成立？如

果存在，求出定點〃；如果不存在，請說明理由.

22.已知函數(shù)f(x)=xe，+手，g(x)=ln(a-x),己知x=0是函數(shù)y=xg(x)的極值點.

(1)求曲線f(x)在。，/⑴)處的切線方程，并判斷函數(shù).“X)的零點個數(shù)；

⑵若對任意的xe(O,田)，xe-lnx21+日恒成立，求實數(shù)％的取值范圍；

⑶設(shè)函數(shù)心)=上答.證明：力。)<1.

試卷第6頁，共6頁

參考答案：

1.D

【分析】化簡集合8,再根據(jù)補集和并集的定義計算即可.

【詳解】函數(shù)y=W，xeR的函數(shù)值的集合為{Hyzo},所以B={”0},

又A={x|x4—1或x>2},所以?A={x|-l<xV2},

故選：D.

2.D

【分析】利用z計算出即可得到答案

Z

【詳解】因為Z=」+且i,所以

22

[_2_2卜1-后）__2_2"_」_西

z-1+V^i（―1+>^i1—>/3ij422

,i6

z=------1，

22

所以，+元=-l_6i,

z

故選：D

3.C

【分析】設(shè)該米斗的高為4cm,結(jié)合臺體體積公式可求A.

【詳解】設(shè)該米斗的高為//cm,由臺體的體積公式可得gx（18、242+鬧3不卜〃=10000,

3x1000030000

解得/?=X22.5.

182+242+7182X2421332

故選：C.

4.A

【分析】利用排除法：先判斷出直線的斜率-9<0,排除c,D.再由直線與圓相切得到A

b

正確，B錯誤.

【詳解】??咽C的方程可化為：（x-d+（y_勾2=您+從,

圓心C（a力），半徑7=正+<,

答案第1頁，共22頁

又直線/的方程可化為：y=--x.

b

由4個選項的圓心C都在第三象限,

a<0,b<0,.?.排除選項C,D.

b

a2+b2

又圓心C到直線的距離”=-yja2+b~-r,

yJa2+b2

直線/與圓C相切，故選項A正確，選項B錯誤.

故選：A.

5.D

【分析】由二項展開式的通項即可求出每一個V的系數(shù)，求和得出答案，或者根據(jù)

C：+C：T=C；M，快速計算結(jié)果.

［詳解1V(a+勾"的通項為(reN,O<r<n),

(l+x)3的通項為C；產(chǎn)，，=c；r,

(1+X)3的展開式中V的系數(shù)為C；,

同理得(1+X)4展開式中丁的系數(shù)為cj,…，(l+x)9展開式中V的系數(shù)為C；,

故(1+X)3+(1+X)4+…+(l+x)9展開式中d的系數(shù)為：

C；+C：+C；+C：+C；+C；+《=1+4+10+20+35+56+84=210

(也可以根據(jù)性質(zhì)：C；+C：i=C嘉，因為C；=C：,故

C；+C：+C；+或+C；+C；+Cj=C：+C：+C；+或+C；+C；+Cj=C；o=210)

故選：D.

6.B

57T7t

【分析】利用換元法將“X)在［0間上的值域為U-轉(zhuǎn)化為y=cosr+2在-,a+-上的

值域為1，|,然后結(jié)合余弦函數(shù)的單調(diào)性列不等式求解即可.

【詳解】?/"(x)=cos(x+q)+2,令f=x+g,則re+y,y=cos/+2,因為

cos—+2=—=cos—+2,COSTT+2=1,y=cosf+2的值域為1,1-,所以

323-I2

答案第2頁，共22頁

/兀,57r〃力/口27r/44

7r<a+—<——<a<—.

33933

故選：B.

7.C

【分析】分別構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)性即可求解.

=7T-37T

【詳解】對于A,由3e2<九=----<In—=7t-21n兀<3-21n3,

23

考慮函數(shù)f(x)”-2bir,x>2,

因為/'(x)=±2>0,所以/(x)在(2,”)上為增函數(shù)，

X

所以“兀)>/(3),兀-21n兀>3-21n3,即3e三>兀，故A錯誤;

對于B,由半<eln2=20cmeln2=(&)'vein(夜了，

考慮函數(shù)g(x)=x-elnx,X>e,

因為g，(x)==>0,所以g(x)在(e,+8)上為增函數(shù)，

X

所以g(x)>g(e)=0,所以x>elnx在(e,+<?)上恒成立，

因為(a丫=2夜>2.8>e,所以(友丫>eln(0)’，即2后>|eln2成立,

所以逑〉eln2,故B錯誤；

3

2

gtoslgCosle2

對干C市------<2ve=——---<4\/e=———<—

打」G田cos2+lcos2+l?cos2l]，

24

考慮函數(shù)〃(/)==，0<x<l,

x

因為h\x)=(x_?e：<0,所以/?(x)在(0,1)上為減函數(shù)，

X

I

八cosl

[e8sl2

e*r<4五

因為。<5=COS5〈COS1<1,所以嬴7<T=*/e,cos2+1，

42

cosl

所以二一<2五，故C正確；

cos2+1

對于D,顯然sin1>sin45。=立，

2兀

2

所以sinl>±,故D錯誤.

兀

故選：C

答案第3頁，共22頁

8.B

【分析】由已知即向量數(shù)量積定義可得應(yīng)用余弦定理求得

2

\PFt\\PF,\=^b,根據(jù)等面枳法可得r=二包一，再由正弦定理列方程求離心率，結(jié)合目

33(〃+c)

標(biāo)式、基本不等式求其最小值，注意等號成立條件.

【詳解】由題設(shè)2國.麗=2|西H西卜。$4打；=|2同?]啕，故cos/6

又4/>"[0,兀)，則/耳P瑪=；TT,

由余弦定理知：

"所」修『+1尸馬12T耳外「_(|P4I+IP9)2一2|西||尸鳥|—|丹瑪|2

2\PF^PF1\2\PF^PF1\

4(a2-c2)]_4戶]_1

==r

~2\PFt\\PF2\~2\PFt\\PF2\~2

所以IWI|PEI=g〃，而=-|P/<\\PF,\sinZF^PF^—h1,

31223

因為△耳尸鳥的內(nèi)切圓的半徑『，故與性=g，(|W|+|P/"+WK|)=(a+c)r,

所以(a+c)r=@/,貝卜=衛(wèi)二，

33(〃+c)

|—|_2c_|P用

由忸耳|=3rsinN4名尸，即sin&PF一四一sin々F,P一，

3

所以匣1=半，整理得7?2+46-3=(76-3)3+1)=0且0<6<1,

a+cV3

所以e=,，

999m

Y+21e_a2+9，"+a[Na3而，當(dāng)且僅當(dāng)。=3時等號成立，

7b一一7A/^-2而一2而一10

所以目標(biāo)式最小值為處.

10

故選：B

9.AC

【分析】根據(jù)題意先判斷出數(shù)列｛4｝的前2022項大于1,而從第2023項開始都小于1.再

答案第4頁，共22頁

對四個選項一一驗證:

對于A：利用公比的定義直接判斷；對于B：由外。23<1及前〃項和的定義即可判斷；對于

C：前〃項積為的定義即可判斷；對于D：先求出4045=為限"04n由生023<1即可判斷.

%022-1>0-

【詳解】由（%）22一1）.（限一1）<0可得：見。22T和出。23-1異號，即1八或

.%)23T<。

—1<°

“2023—1>°

而4>19。2022.“2023>1，可得〃2022和“2023I司號，且一'個大于1,―"個小于1.

因為4>1,所有。2022>1，。2023<1,即數(shù)列｛4｝的前2022項大于1,而從第2023項開始

都小于1.

對于A：公比4=&生<1,因為4>1,所以為減函數(shù)，所以｛叫為遞減數(shù)列.故

a2O22

A正確；

對于B:因為死儂<1,所以％）23二%心一當(dāng)0<1，所以Sg+1>S期3.故B錯誤;

對于C：等比數(shù)列｛《,｝的前”項積為7,且數(shù)列｛4｝的前2022項大于1,而從第2023項開

始都小于1,所以與儂是數(shù)列｛力?｝中的最大項.故C正確；

對于D：。耳5=2a3…°4045

=%（謝（4打一（4產(chǎn)）

r4045cl+2+3+…4044

=%q

「4045—2022x4045

=6q

因為〃0223<1，所以。畋3=〈I，即小5<1.故D錯誤.

故選：AC

10.AB

【分析】計算條件概率判斷A；利用全概率公式計算判斷B；利用貝葉斯公式求解判斷

答案第5頁，共22頁

C；求出不同元素的分組分配種數(shù)判斷D作答.

【詳解】記第一次抽到第i號球的事件分別為4（，=1，2,3）,則有

「（A）=；,P（A2）=P（4）=；,

對于A,在第一次抽到2號球的條件下，則2號球放入2號盒子內(nèi)，因此第二次抽到1號

球的概率為P=j2=；1，A正確；

對于B,記第二次在第，號盒內(nèi)抽到3號球的事件分別為與《=1,2,3）,而A，4,A兩兩互

斥，和為。，

p（即A）=；,尸（4|&）=；,「（”|&）=看，記第二次抽到3號球的事件為B,

3311111]11

P（B）=Y^AB）=Y[P^-P（B\A^=-x--x-+-x-=—,B正確；

/=]iii2444+464o

對于C,記第二次在第i號盒內(nèi)抽到1號球的事件分別為G（i=l,2,3）,而A，4,4兩兩互

斥，和為C,

p（GIA）=g，P（Gia）=T，尸（GIA）=g,記第二次抽到1號球的事件為C,

331111111

,

p（c）=￡p（AC,）=￡[m）-/（c;IA）]=-x-+-x-+-x-=->

/=1j=iZZ4Z4ZZ

第二次的球取自盒子的編號與第一次取的球的號數(shù)相同，

1111

—y——y—

p（Alc）Jd）=yP（AJC）J⑷

'P（C）12-P（C）14

22

11

一x—

p（41c）=㈤=1,即第二次抽到的是1號球，則它來自1號盒子的

2

概率最大，C不正確；

C2c2

對于D,把5個不同的小球分成3組的不同分組方法數(shù)是（6+卡）種，

A2

將每一種分組方法分成的小球放在3個盒子中有A；種不同放法，

c|c

由分步乘法計數(shù)原理得不同的放法種數(shù)是（C；+。A；=150種，D不正確.

A?

故選：AB

答案第6頁，共22頁

11.ACD

【分析】A選項：尸。（孫必）直線PQ的方程為4萬-（凹+%）、+乂必=0，由直線

也過點G（O,1）得%+%=%%即可解決；

B選項：設(shè)《學(xué)》3），/（今,為）得直線尸￡的方程為4》-（乂+%）丫+乂%=0直線正過

點A（-1,O）得y%=4,同理必乂=4即可解決；

22

C選項：0A.礪吟.『”3，＞書=4得利反=5，設(shè)NPOE=a,

網(wǎng)網(wǎng)cosa=5,又％呢=竽得tana。即可；

D選項：過“作垂直拋物線C的準(zhǔn)線x=-1于點。，由拋物線定義得/=.I,,c直

sinZ.MAD

線AM與拋物線相切時，f最大，設(shè)直線40f=%（犬+1）.得/=±1,加（1,2）即可.

22

【詳解】A選項：易知斗=%,占=卷，

所以直線PQ的方程為4x-（M+%）y+y%=0,（利用兩點式求解直線尸。的方程）

因為直線PQ過點G（0,l）,

所以y+%=%%，A正確.

B選項：設(shè)E停,小，尸（掌％），

所以直線PE的方程為4》-（乂+%）丫+凹％=°，

因為直線PE過點同（-1,0）,所以y為=4,

同理可得力”=4,

k一_4_4一%必_]

所以"或”+為±+±y,+y2，故B錯誤.

44%乂

22

C選項：。戶.應(yīng)=今.毯+%力=5，（利用B選項中%為=4）

設(shè)NPOE=a,則仍.]詞cosa=5,

因為Sw=；|礪，詞sina=￥,

答案第7頁，共22頁

所以小=冬所以在與麗的夾角為看’故C正確.

D選項：易知8為拋物線的焦點，過M作用。垂直拋物線C的準(zhǔn)線尸-1于點

11

由拋物線的定義知，焉\AM\=\島AM\=.-，即r=.

\MB\\MD\smZMADsinZMAD

當(dāng)r取最大值時，取最小值，（正弦函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用）

即直線40與拋物線C相切.

設(shè)直線4W的方程為y=Mx+1）,

由得+（2產(chǎn)-4）X+&2=0,

所以A=（2公-4）-4公=0,解得A=±l,

此時公公+（242-4）x+氏2=0,即Y—2x+1=0,

所以x=l,又點〃在x軸上方，故M（l,2）,

所以工麗=94即|%|=；x2x2=2,故D正確.

故選：ACD

【點睛】思路點睛：直線與拋物線的位置關(guān)系有三種：相交、相切、相離.判斷方法：把

直線方程和拋物線方程聯(lián)立，當(dāng)?shù)玫降氖且辉畏匠虝r，根據(jù)△來判斷直線與拋物線的

位置關(guān)系，①若△>（）,則直線與拋物線相交；②若△=（）,則直線與拋物線相切；③若

A<0,則直線與拋物線相離.當(dāng)?shù)玫降氖且辉淮畏匠虝r，直線與拋物線交于一點，此時

直線與拋物線的對稱軸平行（或重合）

答案第8頁，共22頁

12.ACD

【分析】對A找到高不變，底面為定值，則體積不變，求出相關(guān)高與底面積即可，對B找

到尸點軌跡是矩形ABEF（除A點）與尸重合時AF最大，即可計算，對C找到點尸的三次軌

跡，第三次軌跡為四分之一圓，計算即可，對D建立空間直角坐標(biāo)系，利用點到直線距離

公式即可計算.

【詳解】對A選項，根據(jù)正方體上下底面平行得P到平面GRM的距離始終為2,因為M

11?

為AQ的中點，故。例=1,故梟3“=5'2、1=1,故/",”=丁2義1=§,故A正確;

對于B,分別取￡>2，CG中點E,F,連接EA,EF,FB

首先EF與C。平行且相等,CD與AB平行且相等，因此EF與AB平行且相等，則EFBA是平行

四邊形，

在同一平面內(nèi)，正方形AORA,易得

^ADE*DRM,ZEAD=AMDD,,

ZEAD+ZMDA=ZMDD+ZMDA=90",

所以ZAND=90°（N為AE,ZW的交點），

所以MD_LAE,又AB_Z平面,MDu平面AORA,

所以A8J_AEcAB=A,A84Eu平面TW/年，

答案第9頁，共22頁

所以MD_L平面ABFE，而MD_LAP,則Pe平面

所以P點軌跡是矩形ABEF（除A點）與F重合時AF最大，為J2?+2?+產(chǎn)=3，

故B錯誤，

對于C,直線AP與平面ABC。所成角為45°,若點P在平面OCGA和平面8CC向內(nèi),

NB|AB=45°,NQAO=45°最大，不成立；

在平面4）。必內(nèi),點尸的軌跡是AR=2及，

在平面A叫A,內(nèi)，點P的軌跡是用=2及，

在平面ABCR時，作PMJ_平面A8CC,如圖，

作PA7_L平面ABCD,-.-ZPAM=45°,:.PM=AM,

PM=AB.:.AM=AB,:.\P=AB

???點尸的軌跡是以A為圓心，以2為半徑的四分之一

???點尸的軌跡長度為3

???點P的軌跡總長度為"4立，故C正確；

對于D選項，首先作出如圖所示圖像，shouxian外接球半徑「=也*?貯=6,

2

直線ZW與球面的一個交點為。，另一交點設(shè)為H,

以A為原點建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，首先求出圓心。到直線。河的距離，因為棱長

為2,且M為AA中點,故M(0,1,2),￡>(0,2中),0(1,1,1),故礪=(1,0,—1),

|wd-MZ)|2

礪=(0,1,-2)/=飛,故圓心。到直線DM的距離

答案第10頁，共22頁

故D正確.

【點睛】方法點睛：空間中點到直線的距離公式:

設(shè)某空間直線的方向向量為『=（"?,〃,P）過點A（人0,%，Z。）；空間上的一點P（x，y，Z）令

D=（x-%,y—yo，z—Zo）,即表示由點A指向點尸的向量.

觀察S?戶=1對可一cos?

而IMCOS。與要求的距離"構(gòu)成以朋即切為斜邊的直角三角形.故

d=Vivi2-dvl-cos0）2=V|2j.

13.—

32

【分析】結(jié)合正態(tài)分布特點先求出P（X>120）,再由獨立重復(fù)試驗的概率公式即可求解.

【詳解】因?qū)W生成績符合正態(tài)分布N（105?2）,故P（X>120）J-P（9?k12。）=；,故

任意選取3名學(xué)生，至少有2名學(xué)生的成績高于120的概率為尸=+j=磊.

故答案為：

32

14.2

【分析】/（x）Zw-l恒成立，即/⑸2nzm-1,利用分段函數(shù)單調(diào)性，求函數(shù)最小值.

【詳解】/(x)=max{w，m(x>0),當(dāng)Ovxvl時，->|x|；當(dāng)x=l時，-=|x|；當(dāng)x>l

答案第II頁，共22頁

時，,<國.

X

1I

?>—,0n<x<1

由x>0,W=x,.?./(x)=/,圖像如圖所示,

x.x>\

可得/(x)在(0川上單調(diào)遞減，在［1,+8)上單調(diào)遞增，所以=則1之〃7-1,

即加《2,的最大值是2.

故答案為：2

?32

15.—冗

3

【分析】根據(jù)已知可得PAL平面ABC,則可將四面體內(nèi)接于圓柱體使得圓柱的外

接球與四面體RRC外接球相同，即可根據(jù)圓柱求得該幾何體的外接球的體積.

【詳解】解：如圖

四面體P48C中，PAYAB,PALAC,又ABDAC=A,AB,ACu平面ABC

所以PA_L平面ABC,則將四面體的C內(nèi)接于圓柱OH中，如下圖：

使得點P位于圓柱上底面圓上，"RC內(nèi)接于圓柱下底面，始終保持PAJ?平面ABC,

取線段中點為Oi，連接”C,QC

答案第12頁，共22頁

p

c

則圓柱外接球即四面體上ABC的外接球，則點0球心，半徑R=OC

因為A8=AC=』AP=V^,Nfi4c=120。，所以ZABC=ZAC8=30。

2

°_AB一氏一B

所以圓柱底面圓半徑r=CH,由正弦定理得勿=；^?赤=丁=內(nèi)2,則「=&

2

又O、H=；OH=；PA=6,所以R=qC="四+心=2

則外接球的體積丫=］4兀3?

32

故答案為：yK.

16.(3,+oo)

【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求得在M，N處的切線方程，并得到QH，|O@；根據(jù)切線

互相垂直可得入由=1，由此得至小黑=言詈，令，=lnx2,可得/")=言，利用分離

常數(shù)法可求得了⑺的范圍，即為后的范圍.

【詳解】當(dāng)0<x<e,時/(x)=l-lnx,=

???M(X，1—In%),二勺=---,

X

二在M處的切線方程為y-1+ln%=-—(x-xj,即y=-'x+2-lnX|,

%X

.?.QH=2-lnx；

當(dāng)e<x<e2,/(x)=lnx-l,廣(力」，

答案第13頁，共22頁

同理可求得：在N處的切線方程為:y=-x-2+\nx2,

x2

.?.|O0|=|ln^,-2|=2-lnx,,

OP_2-In%,_24-Inx

??,兩條切線互相垂直,2

OQ2-Inx22-Inx2

令Hln/,re(1,2)

心\2+/—(2—/)+44

/(Z)=-----=----------------=-1H--------9/￡(1,2),

'12-t2-t2-t

OP

則/⑺在(1,2)上單調(diào)遞增，.■J(/)?3,y>),即質(zhì)■e(3,+oo).

故答案為：(3,+?)).

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題解題關(guān)鍵是能夠利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得|明，|?？?將蜀表

示為關(guān)于變量f=In%的函數(shù)的形式，從而利用函數(shù)值域的求解方法求得結(jié)果.

17.(1)證明見解析

(2)證明見解析

【分析】⑴根據(jù)a?>2，求出S，，JSi'1，$/=1，得至U￡」｝是首項為

In1，〃一

1，公差為1的等差數(shù)列；

(2)在第一問的基礎(chǔ)上，求出S,,=4,再進行放縮，裂項相消求和，證明出不等式.

【詳解】(1)證明：Van+—=2S?,

an

1

.?.當(dāng)“22時，Sn-S?_t+=2S?,

一3〃一1

?,QS“+S〃_],

3〃一

???S.2—5,12=1.

1c

當(dāng)九=1時，q+—=2q,

.??％2=1,即5j=1,

答案第14頁，共22頁

故｛S」｝是首項為1,公差為1的等差數(shù)歹U；

(2)證明：由(1)知正項數(shù)列｛%,｝滿足S/=〃，

所以s“=冊；

122=2(冊-，2-1),

Sn\[n2冊冊+J九-1

T“——I-----i------1—,-----<2(1-0+\/2-1+\/3—^2+■—h>fn-J"-1)=2.>/n.

S\邑S3S.

即(<2〃.

18.(1)見解析;

喉

【分析】(1)運用兩角和與差正弦進行化簡即可;

(2)根據(jù)⑴中結(jié)論運用正弦定理得。sinC=2RsinAg=〃sinA=l,然后等量代換出

11

7+屏再運用降次公式化簡，結(jié)合內(nèi)角取值范圍即可求解.

sin(iA-B)sin(/l-C)

【詳解】(1)證明：由題知

cosBcosC

所以sin(A-B)cosC=sin(A一C)cosB,

所以sinAcosBcosC-cosAsinBcosC=sinAcosCcosB-cosAsinCcosB,

所以cosAsinBcosC=cosAsinCeosB

因為A為銳角，即cosAw0,

所以sin3cosC=sinCeosB,

所以tan8=tanC,

所以3=c.

(2)由(1)知：B=C,

所以sin3=sinC,

因為asinC=l,

所以'=sinC,

a

h

因為由正弦定理得：〃=2RsinAsinB=—,

答案第15頁，共22頁

所以〃sinC=2RsinA*—=力sinA=1,

2R

所以?=sinA,

b

因為A=—。=4一2。,

所以'=sinA=sin2C,

b

所以

11

R記

=sin2C+sin22C

l-cos2C

------------+(1—cos~2C)

2

、13

=-cos-2C——cos2C+—

22

因為AABC是銳角三角形，且3=C,

所以g<C<g,

42

TT

所以5<2C<〃，

所以T<cos2C<0,

當(dāng)cos2c=一時，二+J取最大值為§,

4ab16

所以1/京最i大值為：亮25.

19.（1）表格見解析，有

O

（2）分布列見解析，|

⑶，=0?85x+28.4.

【分析】（1）由頻數(shù)分布表直接填寫即可；結(jié)合正公式可判斷相關(guān)性；

（2）由頻數(shù)分布表可判斷支持態(tài)度的人數(shù)符合X~8（4,|）,結(jié)合二項分布的概率公式可

求X的分布列以及數(shù)學(xué)期望；

.Xx^-lx-y

（3）先求出D再由--------求出再由-匾求出〃，進而求出線性回

Zx；-7F

7

歸方程.

答案第16頁，共22頁

【詳解】（1）完成列聯(lián)表如下:

年齡在50周歲以上（含50周

年齡在50周歲以下總計

歲）

持支持態(tài)度60