浙江省寧波市寧波九校2023-2024學年高二上學期1月期末數(shù)學試題

寧波市2023學年第一學期期末九校聯(lián)考高二數(shù)學試題第I卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.拋物線的焦點坐標為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，結合拋物線的幾何性質(zhì)，即可求解.【詳解】由拋物線，可得拋物線的開口向上，且，所以，所以拋物線的焦點坐標為.故選：A.2.直線的橫截距為（）A.1 B. C. D.3【答案】B【解析】【分析】令，求出的值，即可得解.【詳解】由直線，令，則.故選：B.3.已知是可導函數(shù)，如圖所示，直線是曲線在處的切線，令，是的導函數(shù)，則（）A.0 B.1 C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出，再根據(jù)圖象求出，，代入計算即可．【詳解】由圖可知：過，所以，又過，所以，即．而，所以故選：A．4.下列說法正確的是（）A.事件A與事件B互斥，則它們的對立事件也互斥．B.若，且，則事件A與事件B不是獨立事件．C.若事件A，B，C兩兩獨立，則．D.從2個紅球和2個白球中任取兩個球，記事件{取出的兩個球均為紅色}，{取出的兩個球顏色不同}，則A與B互斥而不對立．【答案】BD【解析】【分析】AC可舉出反例排除；B選項利用對立事件概率公式計算，根據(jù)獨立事件概率公式驗證；D選項根據(jù)互斥和對立的定義判定.【詳解】A選項，投擲兩枚骰子，出現(xiàn)的數(shù)字之和為10為事件，出現(xiàn)的數(shù)字之和為11為事件，則事件A與事件B互斥，事件的對立事件為出現(xiàn)的數(shù)字之和不為10，事件的對立事件為出現(xiàn)的數(shù)字之和不為11，則不互斥，比如出現(xiàn)數(shù)字之和均為9，故A錯誤；B選項，由題意得，，則事件A與事件B不是獨立事件，故B正確；C選項，假設有一個均勻的正四面體，一面涂有紅色，一面涂有黃色，一面涂有藍色，另一面涂有紅、黃、藍色，隨機取一面觀察其中的顏色.事件“出現(xiàn)紅色”，；事件“出現(xiàn)黃色”，；事件“出現(xiàn)藍色”，；我們很容易得到，，，但是，，，故C錯誤；D選項，2個紅球分別為紅1、紅2；2個白球分別為白1、白2.則包含以下基本事件，（紅1，紅2），（紅1，白1），（紅1，白2），（紅2，白1），（紅2，白2），（白1，白2）.事件包含以下基本事件：（紅1，紅2）；事件包含以下基本事件：（紅1，白1），（紅1，白2），（紅2，白1），（紅2，白2），顯然A與B互斥而不對立，故D正確.故選：.5.已知雙曲線的離心率為，其中一條漸近線（斜率大于0）與圓交于M，N兩點，且則（）A.1 B. C.2 D.4【答案】C【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的離心率求出漸近線方程，再借助點到直線距離公式求出弦心距，進而列出弦長求解即可得出結果.【詳解】雙曲線的離心率為，得，解得：于是雙曲線的漸近線方程為，即，圓的圓心，半徑，當漸近線（斜率大于0）時，即為時，點到此直線的距離為，又因為弦長，解得：.故選：C.6.電信網(wǎng)絡詐騙作為一種新型犯罪手段，己成為社會穩(wěn)定和人民安全的重大威脅．2023年11月17日外交部發(fā)言人毛寧表示，一段時間以來，中緬持續(xù)加強打擊電信詐騙等跨境違法犯罪合作，取得顯著成效．此前公安部通過技術手段分析電信詐騙嚴重的地區(qū)，在排查過程，若某地區(qū)有10人接到詐騙，則對這10人隨機進行核查，只要有一人被騙取錢財，則將該地區(qū)確定為“詐騙高發(fā)區(qū)”．假設每人被騙取錢財?shù)母怕蕿榍蚁嗷オ毩?，若當時，至少排查了9人才確定該地區(qū)為“詐騙高發(fā)區(qū)”的概率取得最大值，則的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)相互獨立事件同時發(fā)生的概率寫出概率公式，再用導數(shù)的方法確定的值.【詳解】設至少排查了9人才確定該地區(qū)為“詐騙高發(fā)區(qū)”的概率為，則.因為：.由，得：.所以在上遞增，在上遞減.所以當時，取得最大值.即.故選：B7.已知A，B，C是拋物線上的三點，且，若，則點A到直線BC的距離的最大值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】將代入拋物線方程，得到，得到，設，由求出，設直線的方程為，聯(lián)立拋物線方程，得到兩根之和，兩根之積，從而得到，得到直線恒過定點，求出距離最大值.【詳解】將代入中得，，解得，故，設，由題意得，其中，，故，即，故，即，設直線的方程為，聯(lián)立拋物線方程得，，則，故，解得，所以直線的方程為，恒過定點，故點A到直線BC的距離最大值.為取等號，，因為，以，滿足,故選：C8.若存在正實數(shù)，使得等式成立，其中為自然對數(shù)的底數(shù)，則實數(shù)的取值范圍（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】化簡題目所給等式，分離常數(shù)，通過構造函數(shù)法，結合導數(shù)來求得的取值范圍.【詳解】依題意存在正實數(shù)x，y，使得等式成立，，當時，，不符合題意，所以令，，，構造函數(shù)，，其中對數(shù)函數(shù)在上遞增，反比例函數(shù)在上遞增，所以在上遞增，且，所以在區(qū)間，，單調(diào)遞減；在區(qū)間，，單調(diào)遞增.所以的最小值為.要使有解，則，①，當時，①成立；當時，所以的取值范圍是.故選：B.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.下列說法正確的是（）A.三個向量共面，即它們所在的直線共面．B.若為空間的一個基底，則構成空間的另一個基底．C.若直線l的方向向量，平面的法向量為，則直線．D.設為平面與平面的法向量，若，則平面與平面所成角的大小為．【答案】BD【解析】【分析】由共線向量的定義判斷A；利用空間向量基底定義判斷B；根據(jù)直線與平面位置關系的向量要求判斷C；根據(jù)面面角的定義判斷D.【詳解】對于A選項，三個向量共面，根據(jù)向量可以任意平移，可知它們所在的直線可能共面，也可能異面，故A錯誤；對于B選項，若為空間的一個基底，則不共面，假設共面，則存在使得，則有，解得不存在這樣值，則不共面，則構成空間的另一個基底，故B正確；對于C選項，直線l的方向向量，平面的法向量為，則，則，若，則，但選項中沒有條件，有可能會出現(xiàn)，故C錯誤；對于D選項，為平面與平面的法向量，若，根據(jù)平面與平面夾角范圍為，所以平面與平面所成角的大小為，故D正確，故選：BD.10.已知兩組樣本數(shù)據(jù)和的均值和方差分別為，和，若且，則（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】選項A，根據(jù)平均數(shù)公式和且即可判斷；選項B利用公式計算即可；選項D分別寫出，然后結合與即可.【詳解】因為，，所以，即，故A正確；由，所以，B選項正確；由，，又，，所以所以，故D選項正確，C錯誤.故選：ABD.11.已知函數(shù)，則（）A. B.在單調(diào)遞增C.有最小值 D.的最大值為【答案】ABD【解析】【分析】利用導數(shù)，函數(shù)的變化趨勢等方法對選項逐一判斷即可．詳解】已知函數(shù)，對于A選項：，正確；對于B選項：當時，，所以，所以在單調(diào)遞增，正確；對于C選項：當時，，故沒有最小值，不正確；對于D選項：的最小正周期為，是偶函數(shù)，定義域為．故只需研究即可．由B選項知：在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，的最大值為，正確．故選：ABD．12.菱形內(nèi)接于橢圓，其周長的值可以取到（）A. B. C. D.10【答案】BC【解析】【分析】設出對角線的斜率，表示出菱形的頂點坐標，最后使用兩點間距離公式計算周長即可.【詳解】如圖，將菱形內(nèi)接于橢圓，設，，當直線的斜率不存在或為0時，菱形的四個頂點與橢圓的四個頂點重合，此時顯然周長為；當直線的斜率存在且不為0時，設的方程為，的方程為，設菱形周長為，聯(lián)立方程組，，可得，顯然，不妨設點A在第一象限，B在第二象限，解得，代入橢圓中得到，即，同理可求，則由兩點間距離公式得，令，則，可得，因為，則，可得，即，綜上所述：，易得，10，不在此范圍內(nèi)，故排除A,D，，，在此范圍內(nèi)，得到B,C正確.故選：BC【點睛】方法點睛：與圓錐曲線有關的最值問題的兩種解法（1）數(shù)形結合法：根據(jù)待求值的幾何意義，充分利用平面圖形的幾何性質(zhì)求解．（2）構建函數(shù)法：先引入變量，構建以待求量為因變量的函數(shù)，再求其最值，常用基本不等式或?qū)?shù)法求最值（注意：有時需先換元后再求最值）．第Ⅱ卷三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.若直線l的一個方向向量是，則直線l的傾斜角是________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)直線的方向向量可得直線的斜率，然后可求直線的傾斜角.【詳解】因為直線l的方向向量為，所以直線的斜率為，即直線的傾斜角的大小是.故答案為：.14.已知點，動點P滿足直線與的斜率之積為，則點P的軌跡方程___________．【答案】【解析】【分析】設，根據(jù)斜率的乘積為列式運算可得軌跡方程.【詳解】設，則，，，所以，即，整理得，所以點的軌跡方程為，.故答案為：，.15.已知正方體邊長為1，，平面BED，平面，平面交于一點M，則點M到平面的距離為___________．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)給定的正方體建立空間直角坐標系，利用平面基本事實確定點位置，并求出其坐標，利用點到平面距離的向量求法求解即得.【詳解】令，連接，顯然平面平面，平面平面，則，建立如圖所示的空間直角坐標系，令，則，在平面內(nèi)，直線方程為，直線方程為，聯(lián)立解得，在平面內(nèi)，直線方程為，直線的方程為，聯(lián)立解得，令，則，，由，得，解得，即點，，，設平面的法向量，則，令，得，于是點M到平面的距離，而正方體的棱長為1，所以點M到平面的距離為.故答案為：.【點睛】思路點睛：確定三個平面的公共點，利用平面的基本事實，先求出其中兩個平面的交線，再求出另兩個平面的交線即可.16.對任意，函數(shù)恒成立，則a的取值范圍為___________．【答案】【解析】【分析】變形為，構造，求導得到單調(diào)性進而恒成立，故，分當和兩種情況，結合單調(diào)性和最值，得到，得到答案.【詳解】由題意得，因為，所以，即，令，則恒成立，因為，令得，，單調(diào)遞增，令得，，單調(diào)遞減，且當時，恒成立，當時，恒成立，因為，所以恒成立，故，當時，，此時滿足恒成立，當，即時，由于在上單調(diào)遞增，由得，令，，則，當時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減，故在處取得極大值，也是最大值，，故，即，所以，a的取值范圍是.故答案為：【點睛】導函數(shù)求解參數(shù)取值范圍，當函數(shù)中同時出現(xiàn)指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)，通常使用同構來進行求解，本題難點是兩邊同時乘以，變形得到，從而構造進行求解.四、解答題：本題共6題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知圓及圓內(nèi)一點，P為圓M上動點，以P為圓心，PA為半徑的圓P．（1）當且P在第一象限時，求圓P的方程；（2）若圓P與圓恒有公共點，求r的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，得到，得出軸，求得，進而得到圓的標準方程；（2）根據(jù)題意，得到，結合題意，得到對任意的恒成立，列出不等式組，即可求解.【小問1詳解】解：由圓，可得圓心，半徑，又由且時，，可得軸，所以，則，因為P在第一象限，所以，所以圓P的方程為.【小問2詳解】解：由圓，可得圓心坐標，因為，所以，要使得圓P與圓恒有公共點，且圓心距為，所以對任意的恒成立，則滿足，解得，即實數(shù)的取值范圍為.18.用分層隨機抽樣從某校高二年級800名學生的數(shù)學成績（滿分為100分，成績都是整數(shù)）中抽取一個樣本量為100的樣本，其中男生成績數(shù)據(jù)40個，女生成績數(shù)據(jù)60個．再將40個男生成績樣本數(shù)據(jù)分為6組：，繪制得到如圖所示的頻率分布直方圖．（1）估計男生成績樣本數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)；（2）若成績不低于80分的為“優(yōu)秀”成績，用樣本的頻率分布估計總體，估計高一年級男生中成績優(yōu)秀人數(shù)；（3）已知男生成績樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別為71和187.75，女生成績樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別為73.5和119，求總樣本的平均數(shù)和方差．【答案】（1）84（2）96人；（3）平均數(shù)和方差分別為72.5和148．【解析】【分析】（1）求出第80百分位數(shù)一定位內(nèi)，利用百分位數(shù)的公式計算出答案；（2）求出成績不低于80分的頻率，估計處高二年級男生中成績優(yōu)秀人數(shù)；（3）求出總樣本的平均數(shù)，利用整體方差和局部方差的相關公式求出答案.【小問1詳解】在內(nèi)的成績占比為，在內(nèi)的成績占比為，因此第80百分位數(shù)一定位內(nèi)．因為，所以估計第80百分位數(shù)約是84．【小問2詳解】成績不低于80分的頻率為，所以高二年級男生中成績優(yōu)秀人數(shù)估計為：，所以估計高二年級男生中成績優(yōu)秀人數(shù)為96人；【小問3詳解】設男生成績樣本平均數(shù)為，方差為，女生成績樣本平均數(shù)，方差為，總樣本的平均數(shù)為，方差為，．．所以總樣本的平均數(shù)和方差分別為72.5和148．19.如圖所示，在三棱錐中，側(cè)棱底面ABC，，M為棱PC的中點，N為棱BC的上的動點．（1）求證：．（2）若二面角的余弦值為，求的值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）利用線面垂直的性質(zhì)證明線線垂直即可.（2）建立空間直角坐標系，用面面角的向量求法求出參數(shù)即可.【小問1詳解】取PB中點D，連接AD，DM．因為，所以，因為底面ABC，所以，由，所以平面PAB，所以因為M為棱PC的中點，所以//，所以，面ADM，所以平面ADM，所以．【小問2詳解】以A為原點，建立如圖所示坐標系，則，，設，得，取平面AMC的法向量，令是平面AMN的一個法向量，則，即，令，則，由解得或（舍）．得，所以．20.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的極值點個數(shù)；（2）若函數(shù)存在極大值點，且使得恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）答案見解析（2）【解析】【分析】（1）對求導后，討論的范圍確定導函數(shù)的符號，從而確定函數(shù)的單調(diào)性，進而求出極值點的個數(shù)；（2）由（1）得，當時，存在極大值點，記為，且，根據(jù)已知的不等式構造函數(shù)，根據(jù)導數(shù)判斷的單調(diào)性從而得到，再構造函數(shù)，繼續(xù)利用導數(shù)判斷單調(diào)性，進而求出a的取值范圍.【小問1詳解】的定義域為，由題意得，令，則，①當時，恒成立，在遞增，當時，，當時，，在存在，使得，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，在處取得極大值，此時有一個極值點；②當時，令得，當時，，單調(diào)遞增，時，，單調(diào)遞減，所以，（i）當，即時，此時，在無單調(diào)增區(qū)間，所以此時無極值點；（ii）當，即時，當時，，當時，，在存在，使得，在存在，使得，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在處取得極小值，在處取得極大值，此時有兩個極值點.綜上所述，當時，有一個極值點；當時，有兩個極值點；當時，無極值點.【小問2詳解】由（1）得，當時，存在極大值點，記為，且，則，即，則，令，，即，，所以在單調(diào)遞增，由得，令，，所以在上單調(diào)遞減，所以，所以實數(shù)a的取值范圍.【點睛】關鍵點點睛：本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的極值點以及利用導數(shù)解決不等式恒成立時的參數(shù)的范圍問題.解決此類問題的關鍵在于構造函數(shù)，明確導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性以及極值之間的關系，將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，其中要注意分類討論.21.如圖所示，設拋物線，過拋物線E內(nèi)一點的兩條直線分別與拋物線交于A，C和B，D，且滿足，其中，當軸時，．（1）求拋物線E的方程；（2）當變化時，是否為定