2024年上海市 長寧區(qū)九年級數(shù)學(xué)中考二模試題

第頁上海市長寧區(qū)2023學(xué)年第二學(xué)期初三數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量調(diào)研試卷（考試時間：100分鐘滿分：150分）考生注意：1．本試卷含三個大題，共25題，答題時，考生務(wù)必按答題要求在答題紙規(guī)定的位置上作答，在草稿紙、本調(diào)研卷上答題一律無效。2．除第一、二大題外，其余各題如無特別說明，都必須在答題紙相應(yīng)位置上寫出證明或計算的主要步驟。一、選擇題（本大題共6題，每題4分，滿分24分）【每小題只有一個正確選項，在答題紙相應(yīng)題號的選項上用2B鉛筆正確填涂】1．下列是最簡二次根式的是（）A．B．C．D．2．關(guān)于一元二次方程根的情況，正確的是（）A．有兩個相等的實數(shù)根B．有兩個不相等的實數(shù)根C．有且只有一個實數(shù)根D．沒有實數(shù)根3．下列函數(shù)中，函數(shù)值y隨自變量x的值增大而增大的是（）A．B．C．D．4．為了解某公司的收入水平，隨機(jī)挑選五人的月工資進(jìn)行抽樣調(diào)查，月工資（單位：元）分別是3000，4000，5000，6000，50000，那么能夠較好的反映他們收入平均水平的是（）A．中位數(shù)B．標(biāo)準(zhǔn)差C．平均數(shù)D．眾數(shù)5．如圖，己知點A、B、C、D都在上，，下列說法錯誤的是（）A．B．C．D．6．下列命題是假命題的是（）A．對邊之和相等的平行四邊形是菱形B．一組鄰邊上的高相等的平行四邊形是菱形C．一條對角線平分一組對角，另一條對角線平分一個內(nèi)角的四邊形是菱形D．被一條對角線分割成兩個等腰三角形的平行四邊形是菱形二、填空題（本大題共12題，每題4分，滿分48分）7．計算：___________．8．截至2023年底，全國高鐵營業(yè)里程約為45000公里，這個數(shù)45000用科學(xué)記數(shù)法表示為___________．9．函數(shù)的定義域為___________．10．方程的解是___________．11．已知方程，如果設(shè)，那么原方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于y的整式方程為________________．12．如果二次函數(shù)的圖像向右平移3個單位后經(jīng)過原點，那么m的值為___________．13．在1，2，3中任取兩個不重復(fù)的數(shù)字組成一個兩位數(shù)，那么這個兩位數(shù)是素數(shù)的概率是___________．14．為了解某校六年級300名學(xué)生來校的方式，隨機(jī)調(diào)查了該校六年級50名學(xué)生同一天來校的方式，并繪制了如圖所示的餅狀圖，那么估計該校六年級300名學(xué)生中這一天步行來學(xué)校的共有___________名．15．如圖，在中，點D在邊AB上，且，點E是AC的中點，聯(lián)結(jié)DE，設(shè)向量，，如果用、表示，那么___________．16．如圖，正方形ABCD中，點E在對角線BD上，點F在邊CD上（點F不與點C重合），且，那么的值為___________．17．在中，，將繞著點C旋轉(zhuǎn)，點A、點B的對應(yīng)點分別是點D、點E，如果點A在DE的延長線上，且，那么的余弦值為___________．18．我們把以三角形的重心為圓心的圓叫做該三角形的重心圓．如圖，在中，，如果的重心圓與該三角形各邊的公共點一共有4個，那么它的半徑r的取值范圍是___________．三、解答題（本大題共7題，滿分78分）【將下列各題的解答過程，做在答題紙的相應(yīng)位置上】19．（本題滿分10分）計算：20．（本題滿分10分）解方程組：21．（本題滿分10分，第（1）小題5分，第（2）小題5分）如圖，經(jīng)過平行四邊形ABCD的頂點B、C、D，點O在邊AD上，．（1）求平行四邊形ABCD的面積；（2）求的正弦值．22．（本題滿分10分，第（1）小題3分，第（2）小題3分，第（3）小題4分）春節(jié)期間甲乙兩家商店各自推出優(yōu)惠活動商店優(yōu)惠方式甲所購商品按原價打八折乙所購商品按原價每滿300元減80元設(shè)顧客在甲乙兩家商店購買商品的原價都為x元，請根據(jù)條件回答下列問題：（1）如果顧客在甲商店購買商品選擇優(yōu)惠活動后實際付款y元，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式（不必寫出函數(shù)定義域）；（2）購買原價在500元以下的商品時，如果分別選擇甲商店的優(yōu)惠活動和乙商店的優(yōu)惠活動后，實際付款金額相等，求x的值；（3）顧客購買原價在900元以下的商品時，如果選擇乙商店的優(yōu)惠活動比選擇甲商店的優(yōu)惠活動更合算，求x的取值范圍．23．（本題滿分12分，第（1）小題5分，第（2）小題7分）己知：在梯形ABCD中，，點E在邊AD上（點E不與點A、D重合），點F在邊CD上，且．（1）求證：；（2）聯(lián)結(jié)EF，與BD交于點G，如果，求證：四邊形BEDF為等腰梯形．24．（本題滿分12分，第（1）小題4分，第（2）小題8分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線與x軸分別交于點A、B（點A在點B左側(cè)），與y軸交于點，其對稱軸為直線．（1）求該拋物線的表達(dá)式；（2）點F是上述拋物線上位于第一象限的一個動點，直線AF分別與y軸、線段BC交于點D、E．①當(dāng)時，求CD的長；②聯(lián)結(jié)AC，如果的面積是面積的3倍，求點F的坐標(biāo)．25．（本題滿分14分，第（1）小題4分，第（2）小題10分）己知在中，，點O為邊AB上一點，以點O為圓心，OA為半徑作，交邊AC于點D（點D不與點A、C重合）．圖1備用圖備用圖（1）當(dāng)時，判斷點B與的位置關(guān)系，并說明理由；（2）過點C作，交OD延長線于點E．以點E為圓心，EC為半徑作，延長CE，交于點．①如圖1，如果與的公共弦恰好經(jīng)過線段EO的中點，求CD的長；②聯(lián)結(jié)、OC，如果與的一條邊平行，求的半徑長．上海市長寧區(qū)2023學(xué)年第二學(xué)期初三數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量調(diào)研試卷（考試時間：100分鐘滿分：150分）考生注意：1．本試卷含三個大題，共25題，答題時，考生務(wù)必按答題要求在答題紙規(guī)定的位置上作答，在草稿紙、本調(diào)研卷上答題一律無效。2．除第一、二大題外，其余各題如無特別說明，都必須在答題紙相應(yīng)位置上寫出證明或計算的主要步驟。一、選擇題（本大題共6題，每題4分，滿分24分）【每小題只有一個正確選項，在答題紙相應(yīng)題號的選項上用2B鉛筆正確填涂】1．下列是最簡二次根式的是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】本題考查最簡二次根式知識點①被開方數(shù)中各因式的指數(shù)都為1；②被開方數(shù)不含分母.被開方數(shù)同時符合上述兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式.【詳解】由最簡二次根式知識點，判斷得到A，B，D不是最簡二次根式。A中，B中，D中，答案為C2．關(guān)于一元二次方程根的情況，正確的是（）A．有兩個相等的實數(shù)根B．有兩個不相等的實數(shù)根C．有且只有一個實數(shù)根D．沒有實數(shù)根【答案】B【分析】本題考查一元二次方程根的情況，根據(jù)一元二次方程判別式與根情況的關(guān)系，列代數(shù)式求解即可．，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)，方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)，方程沒有實數(shù)根．【詳解】經(jīng)過計算得，△＞0，所以選B3．下列函數(shù)中，函數(shù)值y隨自變量x的值增大而增大的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】本題考查正反比例函數(shù)，一次函數(shù)，二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)【詳解】A選項，在對稱軸右側(cè)，函數(shù)值y隨自變量x的值增大而增大，左側(cè)不滿足題意，故A錯；B選項，反比例函數(shù)，過二四象限，在各自象限內(nèi)，函數(shù)值y隨自變量x的值增大而增大，但在x取0時，不滿足題意，故B錯；C選項，正比例函數(shù)，k＜0，函數(shù)值y隨自變量x的值增大而減小，故C錯；D選項，一次函數(shù)，k＞0，函數(shù)值y隨自變量x的值增大而增大，故D正確。正確答案為D4．為了解某公司的收入水平，隨機(jī)挑選五人的月工資進(jìn)行抽樣調(diào)查，月工資（單位：元）分別是3000，4000，5000，6000，50000，那么能夠較好的反映他們收入平均水平的是（）A．中位數(shù)B．標(biāo)準(zhǔn)差C．平均數(shù)D．眾數(shù)【答案】A【分析】本題考查學(xué)生對統(tǒng)計的一些概念的理解【詳解】根據(jù)中位數(shù)的定義先確定從小到大或者從大到小排列，能夠較好的反映他們收入平均水平；標(biāo)準(zhǔn)差：方差的算數(shù)平方根叫做這組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差，用“s”表示，即方差、標(biāo)準(zhǔn)差都反映一組數(shù)據(jù)波動大?。黄骄鶖?shù)：一般地，如果有個數(shù)那么，叫做這n個數(shù)的平均數(shù)；眾數(shù)：在一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).根據(jù)定義，容易得到答案為A5．如圖，己知點A、B、C、D都在上，，下列說法錯誤的是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】本題考查圓中的弦，弧，圓心角之間的相關(guān)關(guān)系及垂徑定理等知識點【詳解】由OB⊥AC，及垂徑定理得A正確；由BC=CD，得到∠BOC=∠DOC，又因為OB⊥AC，所以∠AOB=∠BOC所以∠AOB=∠BOC=∠DOC，所以B正確；由題目條件無法得到C選項結(jié)果，C錯誤；由垂徑定理推論得到OC⊥BD，D正確。本題答案為C6．下列命題是假命題的是（）A．對邊之和相等的平行四邊形是菱形B．一組鄰邊上的高相等的平行四邊形是菱形C．一條對角線平分一組對角，另一條對角線平分一個內(nèi)角的四邊形是菱形D．被一條對角線分割成兩個等腰三角形的平行四邊形是菱形【答案】D【分析】本題考查菱形的判定【詳解】對邊之和相等的平行四邊形是菱形。∵平行四邊形中，對邊相等，∴對邊之和相等，即得到鄰邊相等，∴四邊都相等，所以為菱形。這種說法是正確的。一組鄰邊上的高相等的平行四邊形是菱形?！呤瞧叫兴倪呅斡忠唤M鄰邊上的高相等∴可以得到三角形全等，所以得到鄰邊相等，所以為菱形。這種說法是正確的。C．一條對角線平分一組對角，另一條對角線平分一個內(nèi)角的四邊形是菱形。由三角形全等及邊角關(guān)系可得鄰邊相等，所以為菱形。這種說法是正確的。D．被一條對角線分割成兩個等腰三角形的平行四邊形是菱形。可以看反例，如果AB=AC=DC，此時滿足題意，但很明顯不是菱形。這種說法是錯誤的。本題答案為D二、填空題（本大題共12題，每題4分，滿分48分）7．計算：___________．【答案】【分析】本題考查公式【詳解】答案為8．截至2023年底，全國高鐵營業(yè)里程約為45000公里，這個數(shù)45000用科學(xué)記數(shù)法表示為___________．【答案】【分析】本題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法，解題的關(guān)鍵是正確表示和的值．由科學(xué)記數(shù)法的表示方法，表示出和的值，得到答案．【詳解】答案為9．函數(shù)的定義域為___________．【答案】【分析】本題考查函數(shù)有意義的條件，及分式有意義的條件【詳解】由分母≠0，得到答案所以答案為10．方程的解是___________．【答案】【分析】本題考查無理方程的解法，及驗根【詳解】由題意，兩邊平方得所以答案為11．已知方程，如果設(shè)，那么原方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于y的整式方程為________________．【答案】【分析】本題考查分式方程的整體換元，及分式方程化為整式方程的方法【詳解】由題意得，原方程可以化為去分母得所以答案為12．如果二次函數(shù)的圖像向右平移3個單位后經(jīng)過原點，那么m的值為___________．【答案】-9【分析】本題考查二次函數(shù)圖像的平移知識點，根據(jù)左加右減，及經(jīng)過原點，求得m的值【詳解】向右平移3個單位后的解析式為，代入點（0,0），解得答案求得m的值為-913．在1，2，3中任取兩個不重復(fù)的數(shù)字組成一個兩位數(shù)，那么這個兩位數(shù)是素數(shù)的概率是___________．【答案】【分析】本題考查概率知識點及簡單應(yīng)用，考查素數(shù)知識點【詳解】兩位數(shù)共有12,21,13,31,23,32這些，共6個，其中素數(shù)有13，31,23共,3個，所以概率為，答案為14．為了解某校六年級300名學(xué)生來校的方式，隨機(jī)調(diào)查了該校六年級50名學(xué)生同一天來校的方式，并繪制了如圖所示的餅狀圖，那么估計該校六年級300名學(xué)生中這一天步行來學(xué)校的共有___________名．【答案】90【分析】本題主要考查統(tǒng)計部分知識點，及餅狀圖【詳解】由餅狀圖可得，抽樣中的步行學(xué)生比例為30％，所以300名學(xué)生中步行的學(xué)生為300×30％=90名15．如圖，在中，點D在邊AB上，且，點E是AC的中點，聯(lián)結(jié)DE，設(shè)向量，，如果用、表示，那么___________．【答案】【分析】本題考查向量的運算，及三角形法則的應(yīng)用，過程見詳解【詳解】由題意得16．如圖，正方形ABCD中，點E在對角線BD上，點F在邊CD上（點F不與點C重合），且，那么的值為___________．【答案】【分析】本題主要考查正方形背景下的相似三角形的判定，及對應(yīng)邊成比例，進(jìn)而求得比例線段的值【詳解】∵正方形ABCD，得∠BAC=45°，又∠EAF=45°，∴∠BAE+∠EAC=∠EAC+∠CAF=45°∴∠BAE=∠CAF∵∠ABD=∠ACF=45°∴△ABE∽△ACF∴∴的值為17．在中，，將繞著點C旋轉(zhuǎn)，點A、點B的對應(yīng)點分別是點D、點E，如果點A在DE的延長線上，且，那么的余弦值為___________．【答案】【分析】本題主要考查圖形的運動：旋轉(zhuǎn)知識點?！驹斀狻坑尚D(zhuǎn)性質(zhì)得CA=CD，CB=CE，∠A=∠D，∠DCE=∠ACB=90°∵CE∥AB，∴∠A=∠ACE，又∠ACE=∠CAE∴∠CED=2∠ACE∠CED+∠A=90°，即3∠A=90°，∠A=30°∴∠CAE=30°，的余弦值為18．我們把以三角形的重心為圓心的圓叫做該三角形的重心圓．如圖，在中，，如果的重心圓與該三角形各邊的公共點一共有4個，那么它的半徑r的取值范圍是___________．【答案】或【分析】本題考查重心知識點，圓與三角形交點個數(shù)問題。需要分類進(jìn)行討論?！驹斀狻吭O(shè)重心為G，重心圓為，由等腰三角形ABC，作AD⊥BC，交BC于點D，由勾股定理解得AD=6，由重心性質(zhì)得AG：DG=2:1，所以AG=4，DG=2由勾股定理得BG=，過點G作GH⊥AB于點H，由△AGH∽△ABD，得到GH=①當(dāng)過點A時，r=AG=4；②當(dāng)過點B時，r=BG=；③當(dāng)與AB，AC相切時，r=GH=。三、解答題（本大題共7題，滿分78分）【將下列各題的解答過程，做在答題紙的相應(yīng)位置上】19．（本題滿分10分）計算：【答案】4【分析】本題考查實數(shù)的運算知識點。需要對分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，分母有理化，絕對值運算，0次冪運算要熟練掌握，運算基本功扎實，這個題目容易答對?！驹斀狻拷猓?420．（本題滿分10分）解方程組：【答案】.【分析】本題考查解二元二次方程組知識點。熟練掌握因式分解及消元法是解題的關(guān)鍵。【詳解】由=2\*GB3②得：∴原方程組化為：或解得：∴原方程組解為.21．（本題滿分10分，第（1）小題5分，第（2）小題5分）如圖，經(jīng)過平行四邊形ABCD的頂點B、C、D，點O在邊AD上，．（1）求平行四邊形ABCD的面積；（2）求的正弦值．【答案】（1）平行四邊形面積為24；（2）【分析】（1）本小題主要考查垂徑定理知識點及勾股定理知識點；（2）求正弦值，需要構(gòu)造直角三角形，計算需要的邊長即可求解。【詳解】（1）作，垂足為點，聯(lián)結(jié).∵平行四邊形中，∴∵在⊙O中，過圓心O，∴∵中，∴∵∴∴平行四邊形面積為.（2）作，垂足為點.∵平行四邊形中，，∴∵∴∴∵∴四邊形為矩形∴∴∵中，∴∴22．（本題滿分10分，第（1）小題3分，第（2）小題3分，第（3）小題4分）春節(jié)期間甲乙兩家商店各自推出優(yōu)惠活動商店優(yōu)惠方式甲所購商品按原價打八折乙所購商品按原價每滿300元減80元設(shè)顧客在甲乙兩家商店購買商品的原價都為x元，請根據(jù)條件回答下列問題：（1）如果顧客在甲商店購買商品選擇優(yōu)惠活動后實際付款y元，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式（不必寫出函數(shù)定義域）；（2）購買原價在500元以下的商品時，如果分別選擇甲商店的優(yōu)惠活動和乙商店的優(yōu)惠活動后，實際付款金額相等，求x的值；（3）顧客購買原價在900元以下的商品時，如果選擇乙商店的優(yōu)惠活動比選擇甲商店的優(yōu)惠活動更合算，求x的取值范圍．【答案】（1）（2）的值為400（3）的取值范圍為或【分析】（1）由題意，甲商店優(yōu)惠活動按原價打八折得到；由乙商店按原價每滿300元減80元，及實際付款金額相等，列出等量關(guān)系式，解答得到答案；本題主要考查學(xué)生的思維的嚴(yán)謹(jǐn)性，需要進(jìn)行分段討論，及不等關(guān)系的建立，很好的考查學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和實際應(yīng)用能力?！驹斀狻浚?）（2）（符合題意）答：的值為.（3）由題可知：當(dāng)時，，，；當(dāng)時，，，；或答：的取值范圍為或.23．（本題滿分12分，第（1）小題5分，第（2）小題7分）己知：在梯形ABCD中，，點E在邊AD上（點E不與點A、D重合），點F在邊CD上，且．（1）求證：；（2）聯(lián)結(jié)EF，與BD交于點G，如果，求證：四邊形BEDF為等腰梯形．【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）詳見解析；（2）詳見解析【詳解】（1），.，.，.，，即（2），.又，.，.，.與不平行，.24．（本題滿分12分，第（1）小題4分，第（2）小題8分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線與x軸分別交于點A、B（點A在點B左側(cè)），與y軸交于點，其對稱軸為直線．（1）求該拋物線的表達(dá)式；（2）點F是上述拋物線上位于第一象限的一個動點，直線AF分別與y軸、線段BC交于點D、E．①當(dāng)時，求CD的長；②聯(lián)結(jié)AC，如果的面積是面積的3倍，求點F的坐標(biāo)．【答案】（1）拋物線表達(dá)式為：（2）CD=5；（3）點F的坐標(biāo)（4,6）【分析】（1）由拋物線對稱軸及過點C，通過待定系數(shù)法得到拋物線解析式；因為F是拋物線上動點，設(shè)點F坐標(biāo)，通過添加輔助線，得到平行線，得到角相等，然后用銳角三角比得到比例式，進(jìn)而求得F的坐標(biāo)，及CD的長度；因為求F點坐標(biāo)，F(xiàn)又是拋物線上動點，設(shè)F坐標(biāo)，添加輔助線，得到線段平行，列出比例式，又由面積關(guān)系，得到線段的關(guān)系，列出等量關(guān)系，求解即可?！驹斀狻浚?）對稱軸為直線（2）①分別作，垂足為點；作，垂足為點.，可得，..設(shè)（符合要求）②分別作，垂足為點；作，垂足為點.設(shè)=1\*GB3①=2\*GB3②由=1\*GB3①=2\*GB3②，解得或（舍），.25．（本題滿分14分，第（1）小題4分，第（2）小題10分）己知