平面向量的數(shù)量積（精講）

10.2平面向量的數(shù)量積（精講）一．向量的夾角1.定義：已知兩個非零向量和，O是平面上的任意一點，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝，eq\o(OB,\s\up6(→))＝，則∠AOB＝θ叫做向量與的夾角．2.范圍：向量夾角θ的范圍是0°≤θ≤180°．只有兩個向量的起點重合時所對應的角才是兩向量的夾角二．向量的數(shù)量積已知兩個非零向量與，它們的夾角為θ，把數(shù)量||·||·cosθ叫做向量與的數(shù)量積(或內積)，記作·，即·＝||||cosθ．規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0．三．投影向量如圖，在平面內任取一點O，作OM＝，ON＝，過點M作直線ON的垂線，垂足為M1，則OM1就是向量a在向量b上的投影向量，記為OM1四．向量數(shù)量積的運算律·＝·.(λ)·＝λ(·)＝·(λ)．(＋)·＝·＋·．五．平面向量數(shù)量積的有關結論已知非零向量＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a與b的夾角為θ結論幾何表示坐標表示模||＝||＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))夾角cosθ＝cosθ＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)))a⊥b的充要條件·＝0x1x2＋y1y2＝0|a·b|與|a||b|的關系|·|≤|||||x1x2＋y1y2|≤eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2))一．求非零向量，的數(shù)量積的3種方法方法適用范圍定義法已知或可求兩個向量的模和夾角基底法直接利用定義法求數(shù)量積不可行時，可選取合適的一組基底，利用平面向量基本定理將待求數(shù)量積的兩個向量分別表示出來，進而根據(jù)數(shù)量積的運算律和定義求解坐標法①已知或可求兩個向量的坐標；②已知條件中有(或隱含)正交基底，優(yōu)先考慮建立平面直角坐標系，使用坐標法求數(shù)量積二．求平面向量模的2種方法公式法利用||＝及(±)2＝||2±2·＋||2，把向量模的運算轉化為數(shù)量積運算幾何法利用向量的幾何意義，即利用向量加、減法的平行四邊形法則或三角形法則作出向量，再利用余弦定理等方法求解三．求平面向量夾角的2種方法定義法當，是非坐標形式，求與的夾角θ時，需求出·及||，||或得出它們之間的關系，由cosθ＝求得坐標法若已知＝(x1，y1)與＝(x2，y2)，〈，〉∈[0，π]則cos〈，〉＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))·\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)))考點一平面向量的數(shù)量積運算【例11】（2023·江西景德鎮(zhèn)·統(tǒng)考三模）若向量與向量的夾角為，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為，，所以，，，.故選：B.【例12】．（2022秋·黑龍江雞西·高三校考階段練習）已知向量，的夾角為，且，，則（

）A．10 B． C．14 D．【答案】B【解析】，故.故選：B【一隅三反】1．（2023·陜西西安·西安市第三十八中學?？寄M預測）若向量，，則（

）A． B． C．40 D．46【答案】D【解析】因為，所以．故選：D2．（2023秋·湖北武漢·高三武漢市第六中學?？茧A段練習）平面向量，，，則與的夾角是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設與的夾角為，則，即，解得，因為，所以.故選：D3．（2023秋·河北張家口·高三統(tǒng)考開學考試）已知，，則的值為（

）．A． B．3 C． D．2【答案】A【解析】由得，.，∴．故選：A.4．（2023秋·江蘇南京·高三南京市第九中學?？茧A段練習）設向量，則向量與的夾角為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為，所以，，所以，又，所以.故選：D.考點二平面向量數(shù)量積的應用【例21】（2023·江西贛州·統(tǒng)考模擬預測）已知向量，，且在方向上的投影數(shù)量是，則.【答案】【解析】因為，，所以，因為在方向上的投影數(shù)量是，所以，即，顯然，即，整理得，解得或（舍去），所以.故答案為：【例22】（2023·福建福州·福州四中?？寄M預測）已知點，則在上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意，，，則，，，，則在上的投影向量為.故選：C【例23】（2023秋·湖北·高三校聯(lián)考階段練習）已知向量，滿足，則向量在向量上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，所以向量在向量上的投影向量為，故選：B【例24】（2023·上海嘉定·?？既＃┮阎c垂直，，且與的夾角是鈍角，則在方向上的投影為.【答案】【解析】設，因為，與垂直，所以，即，又，所以，即，解得或，因為與的夾角是鈍角，所以，所以，則在方向上的投影為.故答案為：.【例25】（2023·福建泉州·統(tǒng)考模擬預測）已知向量，，則與的夾角為.【答案】【解析】由向量，，得，則，，，因此，而，所以.故答案為：【一隅三反】1．（2023·江西贛州·統(tǒng)考模擬預測）已知向量，，且在方向上的投影是，則.【答案】【解析】依題意，（其中），解得.故答案為：2．（2023·安徽六安·安徽省舒城中學校考模擬預測）已知，則在上的投影為.【答案】/【解析】因為，所以，，所以，，，設向量與的夾角為，，那么在上的投影為|故答案為：.3．（2023秋·湖北·高三孝感高中校聯(lián)考開學考試）若向量，，且，則與的夾角為.【答案】【解析】將兩邊平方可得，又，解得；所以，又，則與的夾角的余弦值為，則與的夾角為.故答案為：4．（2023春·江蘇無錫）（多選）下列選項中正確的是（

）A．設向量，，若，共線，則B．已知點，向量，點是線段的三等分點，則點的坐標是C．若，，則在方向上的投影向量的坐標為D．若平面向量，滿足，則的最大值是5【答案】ACD【解析】對于A，由共線，則，解得，故A正確；對于B，由向量，，則，設，則，由是線段的三等分點，則或，可得或，解得或，故B錯誤；對于C，設與的夾角為，在方向上的投影向量，其坐標為，故C正確；對于D，，設與的夾角為，由，則，當時，取得最大值為，故D正確.故選：ACD.考點三平面向量的綜合運用【例31】（2023秋·江蘇南通·高三校考開學考試）（多選）在中，，點在線段上，下列結論正確的是（

）A．B．若是中線，則C．若是角平分線，則D．若，則是線段的三等分點【答案】BC【解析】對于A，在中，，，，由余弦定理得，又，，故A錯誤；對于B：若是中線，，即，，故B正確；對于：若是角平分線，則，即，解得，故C正確；對于D：若為線段的三等分點，則或，即或，，或，或，故D錯誤．故選：BC．【例32】（2023·全國·高三專題練習）已知平面非零向量滿足，則的最小值為（

）A．2 B．4 C．8 D．16【答案】C【解析】設非零向量，的夾角為.，所以，由兩邊平方得：，，，即，即，，，即當時，取得最小值，最小值為8.故選：C．【例33】（2023·江西九江·統(tǒng)考一模）已知、為單位向量，則向量與夾角的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設，則，，則，令，因為，所以，，當且僅當時取等號，又，所以，所以向量與夾角的最大值為．故選：A．【一隅三反】1．（2024秋·內蒙古呼和浩特·高三統(tǒng)考開學考試）正六邊形的邊長是2，則（

）A． B． C． D．12【答案】D【解析】為坐標原點，所在直線分別為軸，建立平面直角坐標系，則，故.故選：D2．（2023秋·山東臨沂·高三?？茧A段練習）在中，已知向量，，則的值為（

）A．0 B． C． D．【答案】C【解析】由向量，，可得，，且，所以.故選：C.3．（2024秋·貴州·高三統(tǒng)考開學考試）設為的外心，，，則．【答案】【【解析】如圖所示，過點分別作的垂線，垂足分別為，則在方向上的投影向量為，在方向上的投影向量為，因為為的外心，所以，，，，所以．故答案為：.4．（2023·江西九江·統(tǒng)考一模）已知、為單位向量，則向量與夾角的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設，則，，則，令，因為，所以，，當且僅當時取等號，又，所以，所以向量與夾角的最大值為．故選：A．5．（2023·全國·高三專題練習）已