新教材高中數(shù)學(xué)函數(shù)的概念與性質(zhì)章末復(fù)習(xí)教學(xué)案新人教A版必修第一冊(cè)

第3章函數(shù)的概念與性質(zhì)

知識(shí)系統(tǒng)整合

規(guī)律方法收藏

1.同一函數(shù)的判定方法

(1)定義域相同；

(2)對(duì)應(yīng)關(guān)系相同(兩點(diǎn)必須同時(shí)具備).

2.函數(shù)解析式的求法

⑴定義法；

(2)換元法；

⑶待定系數(shù)法；

(4)解方程(組)法；

(5)賦值法.

3.函數(shù)的定義域的求法

⑴已給出函數(shù)解析式：函數(shù)的定義域是使解析式有意義的自變量的取值集合.

(2)實(shí)際問題：求函數(shù)的定義域既要考慮解析式有意義，還應(yīng)考慮使實(shí)際問題有意義.

⑶復(fù)合函數(shù)問題

①若函數(shù)/"(X)的定義域?yàn)椋踑,b］,函數(shù)/［g(x)］的定義域應(yīng)由aWg(x)Wb解出；

②若函數(shù)F［g(x)］的定義域?yàn)椋踑,6］,則函數(shù)f(x)的定義域?yàn)楹瘮?shù)g(x)在［a,6］上的值域.

注意：①函數(shù)f(x)中的x與函數(shù)中的g(x)地位相同.

②定義域所指永遠(yuǎn)是x的范圍.

4.函數(shù)值域的求法

⑴配方法(二次或四次)；

(2)判別式法；

(3)換元法;

(4)函數(shù)的單調(diào)性法.

5.判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟

⑴設(shè)司，田是所研究區(qū)間內(nèi)任意兩個(gè)自變量的值，且水及；

⑵判定?(不)與Ax?)的大小：作差比較或作商比較；

(3)根據(jù)單調(diào)性定義下結(jié)論.

6.函數(shù)奇偶性的判定方法

首先考查函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，再看函數(shù)/'(—X)與f(x)之間的關(guān)系：①若函

數(shù)F(一x)=f(x),則F(X)為偶函數(shù)；若函數(shù)f(—x)=—f(x),則/(X)為奇函數(shù)；②若H—

X)—F(x)=O,則f(x)為偶函數(shù)；若/'(x)+f(—x)=0,則f(x)為奇函數(shù)；③若44=1(『(一

“一出

x)WO),則f(x)為偶函數(shù)；若＜&=—1(『(一x)WO),則F(x)為奇函數(shù).

以一組

7.嘉函數(shù)的圖象特征

(1)募函數(shù)的圖象一定會(huì)出現(xiàn)在第一象限內(nèi)，一定不會(huì)出現(xiàn)在第四象限內(nèi)，圖象最多只能

同時(shí)出現(xiàn)在兩個(gè)象限內(nèi)，至于是否在第二、三象限內(nèi)出現(xiàn)，則要看塞函數(shù)的奇偶性.

(2)幕函數(shù)的圖象在第一象限內(nèi)的變化規(guī)律為：在第一象限內(nèi)直線x=l的右側(cè)，圖象從下

到上，相應(yīng)的指數(shù)由小到大，直線x=l的左側(cè)，圖象從下到上，相應(yīng)的指數(shù)由大到小.

8.函數(shù)的應(yīng)用

解決函數(shù)應(yīng)用題關(guān)鍵在于理解題意，提高閱讀能力.一方面要加強(qiáng)對(duì)常見函數(shù)模型的理解,

弄清其產(chǎn)生的實(shí)際背景，把數(shù)學(xué)問題生活化；另一方面，要不斷拓寬知識(shí)面，增加間接的生

活閱歷，諸如了解一些物價(jià)、行程、產(chǎn)值、利潤(rùn)、環(huán)保等實(shí)際問題，及有關(guān)角度、面積、體

積、造價(jià)的問題，培養(yǎng)實(shí)際問題數(shù)學(xué)化的意識(shí)和能力.

學(xué)科思想培優(yōu)

一、函數(shù)的定義域

函數(shù)的定義域是指函數(shù)y=f(x)中自變量x的取值范圍.確定函數(shù)的定義域是進(jìn)一步研究

函數(shù)其他性質(zhì)的前提，而研究函數(shù)的性質(zhì)，利用函數(shù)的性質(zhì)解決數(shù)學(xué)問題是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要

組成部分.所以熟悉函數(shù)定義域的求法，對(duì)于函數(shù)綜合問題的解決起著至關(guān)重要的作用.

3v2

[典例1](1)函數(shù)f(x)=Y=+(3x—l)°的定義域是()

(2)已知函數(shù)尸/'(x+l)的定義域是[—2,3],則尸f(2x—1)的定義域是()

"5"

A.0,-B.[-1,4]

C.[-5,5]D.[-3,7]

1—x〉0,

解析(1)由題意，得

(2)設(shè)〃=x+l,由-2W^3,得一1WX+1W4,所以尸廣(〃)的定義域?yàn)閇―1,4],再由

55

一lW2x—1W4,解得OWAg,即函數(shù)尸F(xiàn)(2x—1)的定義域是0,

答案(1)D(2)A

二、分段函數(shù)問題

所謂分段函數(shù)是指在定義域的不同子區(qū)間上的對(duì)應(yīng)關(guān)系不同的函數(shù).分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù)

而非幾個(gè)函數(shù)，其定義域是各子區(qū)間的并集，值域是各段上值域的并集.分段函數(shù)求值等問

題是高考?？嫉膯栴}.

2x-\-a,XI,

［典例2］已知實(shí)數(shù)aWO,函數(shù)F(x)=

一x一2a,

若Hl—&=F(l+a),則乃的值為.

解析①當(dāng)1—水1,即a>0時(shí)，此時(shí)a+l>l,

3

由=f(l+a),得2(1—a)-\-a=—(1+a)~2a,解得司=一］(舍去)；

②當(dāng)1—a>l,即水0時(shí)，此時(shí)a+l〈l,由F(1—a)=F(l+a),得一(1—a)—2d=2(1+向

33

+%解得a=—這符合題意.綜上所述，-3=--

答案W

三、函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性

單調(diào)性是函數(shù)的一個(gè)重要性質(zhì)，某些數(shù)學(xué)問題，通過函數(shù)的單調(diào)性可將函數(shù)值間的關(guān)系轉(zhuǎn)

化為自變量之間的關(guān)系進(jìn)行研究，從而達(dá)到化繁為簡(jiǎn)的目的，特別是在比較大小、證明不等

式、求值或求最值、解方程(組)等方面應(yīng)用十分廣泛.

奇偶性是函數(shù)的又一重要性質(zhì)，利用奇偶函數(shù)圖象的對(duì)稱性可以縮小問題研究的范圍，常

能使求解的問題避免復(fù)雜的討論.

［典例3］定義在(-1,1)上的函數(shù)f(x)滿足：

①對(duì)任意的x,ye(-l,1),均有f(x)+?5)=石喪力;②當(dāng)xe(—1,0)時(shí)，f(x)〉0.

(1)判定函數(shù)/<x)的奇偶性；

(2)判定函數(shù)『(x)在(一1,0)上的單調(diào)性.

解(1)令x=y=0,得2F(0)=f(0),.*./(0)=0.

再令y=-x,得/*(x)+廣(一x)=廣(0)=0,

:?f(一必=—f{x},

???f(x)在(-1,1)上是奇函數(shù).

(2)設(shè)一IXxi〈劉<0,貝lj加一矛DO.

E—X1

f(xj—f(xi)=f(x/+F(—xi)

1—X1X2

???一1〈矛1*0,

l+^i>0,1+^2>0,且0<荀至〈1,

X2~Xl

Xi蒞<1,------------>0.

l-XlX2

*.*X2—X\—1~\~X1X2=(X2—1)+不(吊—1)

=(1+xi)(X2—1)<0,

X2—X1

:?0〈生一荀<1—矛1E,.,.0<---------<1.

1—X1X2

???x￡(—1,0)時(shí)，f(x)>0,且，X)為奇函數(shù),

???x￡(0,1)時(shí)，F(xiàn)(x)〈0,

/.f(.X2)—(矛1)<0,即f(x2)<f(xi).

???F(x)在(一1,0)上單調(diào)遞減.

四、函數(shù)圖象及應(yīng)用

函數(shù)的圖象是函數(shù)的重要表示方法，它具有明顯的直觀性，通過函數(shù)的圖象能夠掌握函數(shù)

重要的性質(zhì)，如單調(diào)性、奇偶性等.反之，掌握好函數(shù)的性質(zhì)，有助于函數(shù)圖象正確地畫出.函

數(shù)圖象廣泛應(yīng)用于解題過程中，利用數(shù)形結(jié)合解題具有直觀、明了、易懂的優(yōu)點(diǎn).

[典例4]設(shè)函數(shù)f(x)=3—2|x|—1(-3WxW3).

(1)證明：函數(shù)F(x)是偶函數(shù)；

(2)畫出這個(gè)函數(shù)的圖象；

(3)指出函數(shù)廣(x)的單調(diào)區(qū)間，并說明在各個(gè)單調(diào)區(qū)間上Ax)的單調(diào)性；

(4)求函數(shù)的值域.

解(1)證明：??,函數(shù)Ax)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

且f{—x)=(―A)2—2|—x\—1

=x-21x\—\=f(<x),

即f{-x)=f(x),/.f(x)是偶函數(shù).

(2)當(dāng)0WxW3時(shí)，

f{x}=x—2x—l=(^―I)2—2.

當(dāng)一3W水0時(shí),f{x)=x+2x—1=(x+1)2—2.

](x—以一2(0<xW3),

即F(x)=2

[(x+1)—2(—3Wx<0).

根據(jù)二次函數(shù)的作圖方法，可得函數(shù)圖象如下圖.

(3)函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間為［—3,-1),［-1,0),［0,1),［1,3］.

f(x)在區(qū)間［—3,—1)和［0,1)上單調(diào)遞減，

在［—1,0)和［1,3］上單調(diào)遞增.

(4)當(dāng)0WxW3時(shí)，函數(shù)/1(x)=(x—1產(chǎn)—2的最小值為一2,最大值為a3)=2；

當(dāng)一3Wx〈0時(shí)，函數(shù)F(x)=(x+1產(chǎn)-2的最小值為一2,最大值為『(一3)=2.故函數(shù)F(x)

的值域?yàn)椋邸?,2］.

五、塞函數(shù)的圖象問題

對(duì)于給定的幕函數(shù)圖象，能從函數(shù)圖象的分布、變化趨勢(shì)、對(duì)稱性等方面研究函數(shù)的定義

域、值域、單調(diào)性、奇偶性等性質(zhì).注意圖象與函數(shù)解析式中指數(shù)的關(guān)系，能夠根據(jù)圖象比

較指數(shù)的大小.

［典例5］如圖是幕函數(shù)y=x",y=x",y=x°,y=x’在第一象限內(nèi)的圖象，則a,b,c,

d的大小關(guān)系為()

A.a<b<長(zhǎng)d

B.a〈b〈d〈c

C.從a<c〈d

D.從a<d〈c

解析由幕函數(shù)的圖象特征可知，在第一象限內(nèi)直線X=1的右側(cè)，圖象從下到上，相應(yīng)

的指數(shù)由小到大.故選A.

答案A

六、函數(shù)模型及其應(yīng)用

建立恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型解決實(shí)際問題的步驟：

(1)對(duì)實(shí)際問題進(jìn)行抽象概括，確定變量之間的主被動(dòng)關(guān)系，并用x,y分別表示；

(2)建立函數(shù)模型，將變量y表示為x的函數(shù)，此時(shí)要注意函數(shù)的定義域；

(3)求解函數(shù)模型，并還原為實(shí)際問題的解.

［典例6］已知A,6兩城市相距100km,在兩地之間距離A城市xkm的，處修建一垃圾

處理廠來(lái)解決46兩城市的生活垃圾和工業(yè)垃圾.為保證不影響兩城市的環(huán)境，垃圾處理廠

與市區(qū)距離不