大學(xué)機(jī)械制圖-CAD-及其答案4幾何元素間的相對關(guān)系市公開課特等獎市賽課微課一等獎?wù)n件

第四章幾何元素間相對關(guān)系第1頁本節(jié)討論直線與平面、平面與平面相對位置關(guān)系及其投影，包含以下內(nèi)容：

1)平行關(guān)系：直線與平面平行，兩平面平行；

2)相交關(guān)系：直線與平面相交，兩平面相交；

直線、平面相對位置3)垂直關(guān)系：直線與平面垂直，兩平面垂直；

第2頁基本要求（一）平行問題1．熟悉線、面平行，面、面平行幾何條件；

2．熟練掌握線、面平行，面、面平行投影特征及作圖方法。（二）相交問題1．熟練掌握特殊位置線、面相交（其中直線或平面投影含有積聚性）交點(diǎn)求法和作兩個面交線（其中一平面投影含有積聚性）。

2．熟練掌握普通位置線、面相交求交點(diǎn)方法；掌握普通位置面、面相交求交線作圖方法。

3．掌握利用重影點(diǎn)判別投影可見性方法。（三）垂直問題

掌握線面垂直、面面垂直投影特征及作圖方法。（四）點(diǎn)、線、面綜合題

1．熟練掌握點(diǎn)、線、面基本作圖方法；

2．能對普通畫法幾何綜合題進(jìn)行空間分析，了解綜合題普通解題步驟和方法。

第3頁一、直線與平面平行幾何條件若平面外一條直線與平面內(nèi)一條直線平行，則該直線與該平面平行。這是處理直線與平面平行作圖問題依據(jù)。相關(guān)線、面平行作圖問題有：判別已知線面是否平行；作直線與已知平面平行；包含已知直線作平面與另一已知直線平行。

例題1

例題2二、平面與平面平行幾何條件若一個平面內(nèi)相交二直線與另一個平面內(nèi)相交二直線對應(yīng)平行，則此兩平面平行。這是兩平面平行作圖依據(jù)。兩面平行作圖問題有：判別兩已知平面是否相互平行；過一點(diǎn)作一平面與已知平面平行；已知兩平面平行，完成其中一平面所缺投影。

例題3

例題4

例題54.1平行關(guān)系：直線與平面平行、兩平面平行第4頁定理:若一直線平行于平面上某一直線，則該直線與此平面必相互平行。一、直線和平面平行

第5頁因?yàn)閑f∥bd，e′f′∥b′d′，即EF∥BD，且BD是ABC平面上一直線，所以，直線EF平行于ABC平面。

例判斷直線EF是否平行于平面ABC。第6頁例過已知點(diǎn)k，作一條水平線平行于△ABC平面。步驟：1）在ABC平面內(nèi)作一水平線AD；2）過點(diǎn)K作KL∥AD；3）直線KL即為所求。第7頁例如圖所表示，過點(diǎn)C作平面平行于已知直線AB。（1）過點(diǎn)C作CD∥AB（即作cd∥ab，c/d/∥a/b/）；（2）再過點(diǎn)C作任意直線CE則相交兩直線CD、CE所決定平面即為所求。

作圖步驟：第8頁二、平面與平面平行

假如一平面上兩條相交直線分別平行于另一平面上兩條相交直線，則此兩平面平行。

因?yàn)椋篈B∥A1B1，BC∥B1C1，所以：平面ABC和平面A1B1C1相平行第9頁例過K點(diǎn)作一平面，是其與平面ABC平行解

只要過K點(diǎn)作兩條相交直線分別平行于△ABC兩條邊，則這兩條相交直線所確定平面就是所求平面作圖步驟：1）作KL∥BC(k

l

∥b

c

,kl∥bc);2)作KD∥AC(k

d

∥a

c

,kd∥ac);3)平面KDL即為所求。第10頁例判別△ABC與△DEF是否平行？（1）在△DEF內(nèi)過點(diǎn)E作兩條直線EM和EN，使e/m/∥b/c/，e/n/∥a/b/；（2）然后作出em和en，因?yàn)閑m∥bc，en∥ab，所以△ABC∥△DEF。作圖步驟：第11頁[例題3]試判斷兩平面是否平行m

n

mnr

rss

結(jié)論：兩平面平行第12頁[例題4]已知定平面由平行兩直線AB和CD給定。試過點(diǎn)K作一平面平行于已知平面。em

n

mnf

e

fsr

s

rk

k第13頁[例題5]試判斷兩平面是否平行。結(jié)論：因?yàn)镻H平行SH，所以兩平面平行第14頁用跡線表示兩平面平行

第15頁第16頁4.2直線與平面交點(diǎn)、兩平面交線一、直線與平面相交只有一個交點(diǎn)二、兩平面交線是直線三、特殊位置線面相交四、普通位置平面與特殊位置平面相交五、直線與普通位置平面相交六、兩普通位置平面相交直線與平面、平面與平面不平行則必相交。直線與平面相交有交點(diǎn)，交點(diǎn)既在直線上又在平面上，因而交點(diǎn)是直線與平面共有點(diǎn)。兩平面交線是直線，它是兩平面共有線。求線面交點(diǎn)、面面交線實(shí)質(zhì)是求共有點(diǎn)、共有線投影。第17頁一、直線與平面相交只有一個交點(diǎn)直線與平面相交只有一個交點(diǎn)，它是直線與平面共有點(diǎn)。第18頁二、平面與平面相交兩平面交線是一條直線，這條直線為兩平面所共有第19頁三、直線與平面相交1、直線與特殊位置平面相交2、特殊位置直線與普通位置平面相交3、普通位置直線與普通位置平面相交

當(dāng)平面或直線投影有積聚性時，交點(diǎn)兩個投影有一個可直接確定，另一個投影可用在直線上或平面上取點(diǎn)方法求出。

第20頁1、直線與特殊位置平面相交因?yàn)樘厥馕恢闷矫婺硞€投影有積聚性，交點(diǎn)可直接求出。第21頁判斷直線可見性特殊位置線面相交，依據(jù)平面積聚性投影，能直接判別直線可見性。第22頁例：求直線MN與平面ABC交點(diǎn)K并判別可見性?？臻g及投影分析平面ABC是一正垂面，其V投影積聚成一條直線，該直線與m

n

交點(diǎn)即為K點(diǎn)V投影。1)求交點(diǎn)2)判別可見性由V投影可知，K

M

段在平面上，故H投影上km為可見。還可經(jīng)過重影點(diǎn)判別可見性。作圖第23頁2、特殊位置直線與平面相交第24頁km(n)b●m

n

c

b

a

ac空間及投影分析直線MN為鉛垂線，其水平投影積聚成一個點(diǎn)，故交點(diǎn)K水平投影也積聚在該點(diǎn)上。1)求交點(diǎn)2)判別可見性點(diǎn)Ⅰ位于平面上，在前；點(diǎn)Ⅱ位于MN上，在后。故k

2

為不可見。1

(2

)k

●2●1●●作圖用面上取點(diǎn)法第25頁3、普通位置直線與普通位置平面相交

以正垂面為輔助平面求線面交點(diǎn)

示意圖以鉛垂面為輔助平面求線面交點(diǎn)

示意圖判別可見性

示意圖第26頁1

2

以正垂面為輔助平面求線面交點(diǎn)QV21kk

步驟：1．過EF作正垂平面Q。2．求Q平面與ΔABC交線ⅠⅡ。3．求交線ⅠⅡ與EF交點(diǎn)K。示意圖第27頁ABCQ過MN作正垂面QMN以正垂面為輔助平面求線面交點(diǎn)示意圖第28頁12以鉛垂面為輔助平面求線面交點(diǎn)。PH1

步驟：1．過EF作鉛垂平面P。2．求P平面與ΔABC交線ⅠⅡ。3．求交線ⅠⅡ與EF交點(diǎn)K。k

k2

示意圖第29頁CAB過MN作鉛垂面PNMPEFK以鉛垂面為輔助平面求線面交點(diǎn)示意圖第30頁f

e

e直線EF與

ABC相交，判別可見性。利用重影點(diǎn)判別可見性124

3

（

）kk

34示意圖(

)2

1

第31頁直線EF與平面ΔABC相交，判別可見性示意圖ⅠⅡⅢ1

(2

)(4)3利用重影點(diǎn)。判別可見性Ⅳ第32頁四、平面和平面相交求兩平面交線問題能夠看作是求兩個共有點(diǎn)問題,求交線方法主要有：1、直接法2、輔助平面法3、穿點(diǎn)法第33頁1、直接法nlmm

l

n

bacc

a

b

PBCacbPHA第34頁判斷平面可見性第35頁兩平面之一含有積聚性求交線在兩平面之一有積聚性情況下，能夠在沒有積聚性那個平面上取兩條直線，分別求這兩條直線與有積聚性那個平面交點(diǎn)，則這兩個交點(diǎn)連線就是兩平面交線。第36頁例4求普通位置平面ABC與鉛垂面DEF交線解

由圖可見，只要求出上△ABC兩條直線AB、AC和△DEF交點(diǎn)M、N，就能夠求得兩平面交線。第37頁作圖步驟：1）利用積聚性求AB與△DEF交點(diǎn)M(m,m

)；2）利用積聚性求AC與△DEF交點(diǎn)N(n,n

)；3）連接MN(mn,m

n

)就可得到兩平面交線；4）取直線AB和DF在V面上重影點(diǎn)1

(2

)，分辨可見性。由圖可見，點(diǎn)1在點(diǎn)2前面，故b

m

為可見，為m

l

不可見。因?yàn)檫^重影點(diǎn)兩線段投影之可見性必不相同，所以能夠確定其它各邊可見性。第38頁2用輔助平面求交線當(dāng)相交兩幾何元素都不垂直于投影面時，則不能利用積聚性求交點(diǎn)和交線。

第39頁用輔助平面求交點(diǎn)第40頁例：已知直線CD、EF、GH，要求作一條直線AB平行于CD，且與EF、DH相交。第41頁用輔助平面求交線第42頁用輔助面三面共點(diǎn)法求交線第43頁第44頁兩跡線平面相交第45頁普通位置平面和水平面相交第46頁當(dāng)兩個平面在圖紙區(qū)域不相交時第47頁4.3幾何元素垂直問題一、直角投影特征二、直線與平面相互垂直三、直線與直線相互垂直四、平面與平面相互垂直第48頁1、若直角中有一邊平行于某一投影面，則它在該投影面上投影仍為直角。2、反之，若一直角投影仍是直角，則被投影角最少有一邊平行于該投影面。

一、直角投影特征總之，相互垂直兩直線當(dāng)中，最少有一條直線平行于投影面時，這兩直線在該投影面上投影才會垂直。第49頁二、直線與平面垂直直線與平面垂直，則直線垂直平面上任意直線（相交或不相交）。反之，直線垂直平面上任意兩相交直線，則直線垂直該平面。第50頁第51頁定理1若一直線垂直于一平面、則直線水平投影必垂直于屬于該平面水平線水平投影；直線正面投影必垂直于屬于該平面正平線正面投影。knk

n

第52頁定理2（逆）若一直線水平投影垂直于屬于平面水平線水平投影；直線正面投影垂直于屬于平面正平線正面投影，則直線必垂直于該平面。第53頁[例題7]平面由

BDF給定，試過定點(diǎn)K作平面法線。a

cac

n

nkk

第54頁h

[例題8]試過定點(diǎn)K作特殊位置平面法線。hhhh

h

（a）（c）（b）第55頁[例題9]平面由兩平行線AB、CD給定，試判斷直線MN是否垂直于該平面。e

f

ef第56頁[例題11]試過點(diǎn)N作一平面，使該平面與V面夾角為60°，與H面夾角為45°。第57頁分析：平面法線與平面最大斜度線對同一投影面夾角互為余角第58頁直徑任取NM作圖過程|yM-yN||zM-zN|m

h

mnmk|zM-zN||yM-yN|30°45°mnm

n

k

hn

n第59頁例：求C點(diǎn)到直線AB距離。二、直線與直線垂直第60頁第61頁四、平面與平面垂直若直線垂直一平面，包含這直線一切平面都垂直于該平面。反之，從第一平面任意一點(diǎn)向第二平面所作垂線，必定在第一平面內(nèi)。第62頁繪制相互垂直平面兩種方法：1、使平面Q經(jīng)過垂直于平面P直線AB；2、使平面Q垂直于平面P上直線CD；第63頁g

[例題12]平面由

BDF給定，試過定點(diǎn)K作已知平面垂面。ha

cac

h

g第64頁[例題13]試判斷

ABC與相交兩直線KG和KH所給定平面是否垂直。f

fd

d結(jié)論：因?yàn)锳D直線不在

ABC平面上，所以兩平面不垂直。第65頁[例題14]試過定點(diǎn)A作直線與已知直線EF正交。第66頁EQ分析

過已知點(diǎn)A作平面垂直于已知直線EF，并交于點(diǎn)K，連接AK，AK即為所求。FAK第67頁作圖2

1a

efaf

e

1

22

1PV1

2k

k第68頁第69頁4.4平面上最大斜度線1．平面上投影面最大斜度線—平面上對某個投影面傾角最大直線。它與投影面傾角反應(yīng)該平面與投影面傾角。2．平面上對某投影面最大斜度線與該平面上對某投影面平行線相互垂直。3．平面上投影面最大斜度線有三組，即分別對正面投影面、水平投影面及側(cè)面投影面三組最大斜度線。（1）平面上對水平投影面最大斜度線（2）平面上對正面投影面最大斜度線（3）平面上對側(cè)面投影面最大斜度線

例題6

例題7

例題8

例題9第70頁P(yáng)CD

aE1

S

AE第71頁（1）平面上對水平投影面最大斜度線EF

AB平行于

H，EF垂直于

ABPEFBA第72頁（2）平面上對正面投影面最大斜度線CD

A