小題壓軸題專練19-立體幾何（線面角2）-2022屆高三數(shù)學一輪復(fù)習

小題壓軸題專練19—立體幾何（線面角2）一．單選題1．在正三棱柱中，則與平面所成角的余弦值為A． B． C． D．2．如圖，在等腰直角三角形中，，點為的中點．現(xiàn)將沿折起至△，使△為鈍角三角形，設(shè)直線與平面所成的角為，直線與平面所成的角為，直線與平面所成的角為，則，，的大小關(guān)系為A． B． C． D．3．如圖，在正三棱柱中，底面邊長為，側(cè)棱長為，且，點是的中點，則直線與側(cè)面所成角的正切值的最小值是A． B． C． D．4．已知四面體中，，，兩兩垂直，，與平面所成角的正切值為，則點到平面的距離為A． B． C． D．5．一副三角板由一塊有一個內(nèi)角為的直角三角形和一塊等腰直角三角形組成，如圖所示，，，，．現(xiàn)將兩塊三角板拼接在一起，取中點與中點，則下列直線與平面所成的角不為定值的是A． B． C． D．6．已知正三棱柱的底面邊長為，且該三棱柱外接球的表面積為，若為底面的中心，則與平面所成角的大小為A． B． C． D．7．在所有棱長都相等的直三棱柱中，，分別為棱，的中點，則直線與平面所成角的余弦值為A． B． C． D．8．如圖，四棱錐中，平面，，，，，，是中點，是線段上的點，設(shè)與平面所成角為，則的最大值為A． B． C． D．二．多選題9．已知正方體的棱長為2，點，在平面內(nèi)，若，，則A．點的軌跡是一個圓 B．點的軌跡是一個圓 C．的最小值為 D．與平面所成角的正弦值的最大值為10．已知圖1中，，，，是正方形各邊的中點，分別沿著，，，把，，，向上折起，使得每個三角形所在的平面都與平面垂直，再順次連接，得到一個如圖2所示的多面體，則A．是正三角形 B．平面平面 C．直線與平面所成角的正切值為 D．當時，多面體的體積為11．正方體中，為棱的中點，則下列說法正確的是A．平面 B．平面 C．直線與平面所成的正切值為 D．平面截正方體所得截面為等腰梯形12．如圖，設(shè)，分別是正方體的棱上兩點，且，，則下列說法中正確的是A．異面直線與所成的角為 B．三棱錐的體積為定值 C．平面與平面所成的二面角大小為 D．直線與平面所成的角為三．填空題13．如圖，在棱長為2的正方體中，點是的中點，動點在底面內(nèi)（包括邊界），若平面，則與底面所成角的正切值的取值范圍是．14．如圖，，平面外有一點，，點到角的兩邊，的距離都等于，則與平面所成角的正切值為．15．在三棱錐中，，，，點在平面內(nèi)，且，設(shè)直線與平面所成角為，則的值為．16．已知長方體的體積為40，外接球表面積為，，，點在線段上運動（含端點位置），記直線與平面的所成角為，則的取值范圍為．

小題壓軸題專練19—立體幾何（線面角2）答案1．解：取中點，連接，，是等邊三角形，，平面，平面，，又，平面，平面，平面，為與平面所成的角，設(shè)，則，，．故選：．2．解：，△為鈍角三角形，為鈍角，，又，到平面的距離等于到平面的距離，記為，則，，，，又，，都是銳角，．故選：．3．解：取的中點，連接、，則，由正三棱柱的性質(zhì)可知，面面，而面面，面．取的中點，連接、，為的中點，，面，即點在面上的投影為點，即為直線與側(cè)面所成角．在中，，，，當且僅當時，等號成立．直線與側(cè)面所成角的正切值的最小值為．故選：．4解：取的中點，連接，過作交于，，是的中點，，，，，，，又，平面，又平面，平面平面，又平面平面，，平面，故為與平面所成的角，，，，，故，又，，．故選：．5．解：，分別為，的中點，，則，又，，而，平面，，與平面所成的角分別為和，相等為，根據(jù)直線與平面所成角的定義可知，與平面所成的角為，故只有與平面所成的角不為定值．故選：．6．解：取中點，過作平面，交于，則的中點是該三棱柱外接球的球心，正三棱柱的底面邊長為，，該三棱柱外接球的表面積為，該三棱柱外接球的半徑，，平面，是與平面所成角，．．故選：．7．解：因為是所有棱長都相等的直三棱柱．該棱柱的上下底面是正三角形，側(cè)面都是正方形，設(shè)各棱長均為2，取的中點為原點，直線，分為，軸建立如圖所示的空間直角坐標系．則，0，，，1，，，，，1，．，，設(shè)平面的法向量，，，令，得．且．設(shè)所求角為，則，．故選：．8．解：如圖所示，作，垂足為，平面，平面，平面平面，又，平面．，平面．連接，則是與平面所成角為，作，連接，此時點到的距離最短，取得最小值，因此取得最大值．不妨設(shè)，則，可得，．則．故選：．9．解：對于選項，在正方體中，平面，平面，所以，故，則有，所以點的軌跡是以為圓心，1為半徑的圓，故選項正確；對于選項，在正方體中，平面，因為，則平面，故在上，所以的軌跡是線段，故選項錯誤；對于選項，的最小值即為求線段上的點到以為圓心，1為半徑的圓的最小距離，又圓心到線段的距離為，所以的最小值為，故選項正確；建立如圖所示的空間直角坐標系，因為點的軌跡是以為圓心，1為半徑的圓，故設(shè)，，，，則，0，，，0，，，0，，，2，，所以，，設(shè)平面的法向量為，則有，令，則，，故，設(shè)與平面所成的角為，則，當時，有最大值，故與平面所成角的正弦值的最大值為，故選項正確．故選：．10．解：取，的中點，，連結(jié)，，在圖1中，因為，，，是正方形各邊的中點，則，因為為的中點，所以，因為平面平面，平面平面，所以平面，所以平面，在圖1中，設(shè)正方形的邊長為，可得四邊形的邊長為，在圖1中，和均為等腰直角三角形，可得，所以，故四邊形是邊長為的正方形，因為，分別為，的中點，則且，，所以四邊形為矩形，所以，以為坐標原點，，，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，則，，，，，，，，，，，，，，，，0，，，，，，0，，對于選項，由空間中兩點間的距離公式可得，所以是正三角形，故選項正確；對于選項，，設(shè)平面的法向量為，則由，取，則，，設(shè)平面的法向量為，則有，取，則，所以，所以平面與平面不垂直，故選項錯誤；對于選項，，設(shè)直線與平面所成的角為，則，所以，故，故選項正確；對于選項，以為底面，以為高將幾何體補成長方體，則，，，分別為，，，的中點，因為，即，則，長方體的體積為，，因此多面體的體積為，故選項錯誤．故選：．11．解：正方體中，為棱的中點對于，，且平面，與平面相交，故錯誤；對于，與不垂直，不垂直于平面，故錯誤；對于，平面，平面平面，是直線與平面所成的角，設(shè)正方體中棱長為2，則，，直線與平面所成的正切值為，故正確；對于，取中點，連結(jié)，，則，平面截正方體所得截面為等腰梯形，故正確．故選：．12．解：因為，所以異面直線與所成的角為，為，故錯誤；三棱錐的體積為為定值，故正確；連接，，平面即為平面，平面平面，由正方體的結(jié)構(gòu)特征可得，，所以即為平面與平面所成的二面角的平面角，又，所以平面與平面所成的二面角大小為，故正確．在三棱錐中，設(shè)到平面的距離為，，即有，解得，直線與平面所成的角的正弦為，即直線與平面所成的角為，正確．故選：．13．解：如圖所示，取的中點，連接、、，則，，，、面，，、面，面面，平面，且點在底面上，點在線段上運動．連接、，則為直線與面所成的角，．在中，當點與點重合時，最長為2；當時，最短為，即，，．故答案為：，．14．解：由題意，過點做面于點，連接，，，則即與平面所成角，點到角的兩邊，的距離，都等于由面可得，又到角的邊的距離，可得，面，所以，同理可證得，又由題設(shè)條件可得，從而可得，故是角平分線，在中，，，由公股定理得，在中，，所以又，解得，在中，由公股定理解得，，故答案為．15．解：根據(jù)題意，作出三棱錐如圖所示，設(shè)為中點，連接，，設(shè)中點為，連接，，，是中點，，且，同理，，，是