隨機(jī)控制系統(tǒng)仿真

隨機(jī)控制系統(tǒng)仿真按照原則，控制系統(tǒng)可分為確定性系統(tǒng)和隨機(jī)系統(tǒng)兩大類。確定性系統(tǒng)：系統(tǒng)參數(shù)、指令、干擾均為已知量隨機(jī)系統(tǒng)：系統(tǒng)參數(shù)、指令、干擾都是隨機(jī)的隨機(jī)系統(tǒng)在一定條件下可以簡(jiǎn)化為確定性系統(tǒng)。如果系統(tǒng)的一次行為不能代表多次運(yùn)行性能，則該系統(tǒng)不能簡(jiǎn)化為確定性系統(tǒng)，此時(shí)，必須按隨機(jī)系統(tǒng)進(jìn)行仿真。多數(shù)武器系統(tǒng)為隨機(jī)系統(tǒng)。引言隨機(jī)系統(tǒng)仿真的目的是獲取狀態(tài)變量、輸出等的統(tǒng)計(jì)特性。第2頁(yè),共65頁(yè)，2024年2月25日，星期天7.1概率和隨機(jī)過(guò)程一、隨機(jī)控制系統(tǒng)系統(tǒng)模型：若a、b為零陣，x0為已知確定值，則該系統(tǒng)為確定性系統(tǒng)。若a、b、u（t）、x0均為不確定的，則該系統(tǒng)為隨機(jī)系統(tǒng)。第3頁(yè),共65頁(yè)，2024年2月25日，星期天二、基本概念1、隨機(jī)事件：可能發(fā)生，可能不發(fā)生的事件。2、隨機(jī)過(guò)程：隨機(jī)系統(tǒng)狀態(tài)變量和輸出的變化過(guò)程。這是一組曲線。既含有一次實(shí)驗(yàn)中x隨t變化的過(guò)程，也包含多次實(shí)驗(yàn)在相同時(shí)刻x的值。3、樣本函數(shù)：隨機(jī)過(guò)程任一條狀態(tài)變量或輸出變量曲線。

{xi(t)}Li=1是隨機(jī)過(guò)程。

xk(t)、x1(t)是樣本函數(shù)4、隨機(jī)變量：某時(shí)刻的狀態(tài)變量或輸出變量稱為隨機(jī)變量。第4頁(yè),共65頁(yè)，2024年2月25日，星期天隨機(jī)過(guò)程樣本函數(shù)隨機(jī)變量第5頁(yè),共65頁(yè)，2024年2月25日，星期天三、連續(xù)隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)特性1、概率密度p(y)：每個(gè)y值發(fā)生的可能性。2、概率分布函數(shù)：變量值小于或等于y的隨機(jī)變量的概率。3、均值（一階矩/數(shù)學(xué)期望）：E（y）E(y1+y2+…+yn)=E(y1)+E(y2)+…+E(yn)第6頁(yè),共65頁(yè)，2024年2月25日，星期天4、均方值E（y2）與均方根sqrt（E(y2)）5、方差σ2y與方差根σy：表示隨機(jī)變量偏離均值的程度。方差又稱二階中心矩。

σ2y=E(y-E(y))2=E(y2)-E2(y)σ2(y1+y2+…+yn)=σ2(y1)+σ2(y2)+…+σ2(yn)隨機(jī)系統(tǒng)仿真的目的是獲取狀態(tài)變量、輸出等的統(tǒng)計(jì)特性。第7頁(yè),共65頁(yè)，2024年2月25日，星期天

用仿真方法獲取隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)特性時(shí)，隨機(jī)變量只有有限個(gè)數(shù)值，此時(shí)，各統(tǒng)計(jì)特性的計(jì)算公式為：均值：均方值：方差：第8頁(yè),共65頁(yè)，2024年2月25日，星期天四、典型概率分布1、均勻分布概率密度：

p(y)=1/(b-a)，a<=y<=b=0，其他概率分布函數(shù)：

P(y)=0，y<=a=(y-a)/(b-a)，a<y<=b=1，y>b

均值：E（y）=(a+b)/2，方差：σ2y=(b-a)2/12。第9頁(yè),共65頁(yè)，2024年2月25日，星期天2、正態(tài)分布：自然界中最常見(jiàn)的一種分布。又稱高斯分布，鐘形分布。σ2y為方差，m為均值。概率密度：第10頁(yè),共65頁(yè)，2024年2月25日，星期天中心極限定理：正態(tài)概率分布隨機(jī)變量可以用無(wú)數(shù)個(gè)任意分布的相互獨(dú)立的隨機(jī)變量合成。在工程上，可用10~12個(gè)互相獨(dú)立的均勻分布合成一個(gè)正態(tài)分布。概率分布函數(shù)：第11頁(yè),共65頁(yè)，2024年2月25日，星期天五、隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特性平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程：統(tǒng)計(jì)特性不隨時(shí)間變化。各態(tài)歷經(jīng)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程：一個(gè)樣本函數(shù)的時(shí)間統(tǒng)計(jì)特性等于隨機(jī)過(guò)程統(tǒng)計(jì)特性。常見(jiàn)的隨機(jī)過(guò)程都是各態(tài)歷經(jīng)的平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，故可用樣本函數(shù)的統(tǒng)計(jì)特性來(lái)表征隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特性。第12頁(yè),共65頁(yè)，2024年2月25日，星期天1、均值：yk(t)為樣本，Y(t)為隨機(jī)過(guò)程。2、方差：第13頁(yè),共65頁(yè)，2024年2月25日，星期天3、自相關(guān)函數(shù)：衡量隨機(jī)過(guò)程功率強(qiáng)弱的尺度。反映Y（t1）與Y（t2）的相關(guān)性。RY(t1，t2)大，則Y(t)變化平緩，可預(yù)見(jiàn)性大，RY(t1，t2)小，則Y(t)變化劇烈，可預(yù)見(jiàn)性小。第14頁(yè),共65頁(yè)，2024年2月25日，星期天4、功率譜密度（能量譜密度）是RY(t1，t2)的傅氏變換，反映Y（t）中不同頻率的能量。5、白色隨機(jī)過(guò)程：

最簡(jiǎn)單的隨機(jī)過(guò)程

最理想的隨機(jī)過(guò)程均值：E（yk）=0，方差：σ2，自相關(guān)函數(shù)：Ry(τ)=σ2δ(τ)

功率譜密度：Sy(ω)=σ2，各頻率分量能量相等，帶寬無(wú)限。白色隨機(jī)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)及功率譜密度第15頁(yè),共65頁(yè)，2024年2月25日，星期天六、隨機(jī)過(guò)程作用下線性系統(tǒng)的響應(yīng)1、輸入輸出的時(shí)域關(guān)系系統(tǒng)模型為脈沖響應(yīng)函數(shù)h（t）y(t)與x(t)為卷積關(guān)系均方值：表明輸出的均方值與輸入的自相關(guān)函數(shù)有關(guān)對(duì)白色隨機(jī)過(guò)程：第16頁(yè),共65頁(yè)，2024年2月25日，星期天2、輸入輸出的頻域關(guān)系系統(tǒng)模型為傳遞函數(shù)Sy(ω)=|H(jω)|2

Sx(ω)若Sx(ω)=σ2

，|H(jω)|2不為常值，則y(t)為有色噪聲。例：H(jω)=1/（jωT+1)，Sx(ω)=σ2

則，y(t)為有色噪聲。第17頁(yè),共65頁(yè)，2024年2月25日，星期天白色隨機(jī)過(guò)程作用下線性系統(tǒng)的頻域響應(yīng)第18頁(yè),共65頁(yè)，2024年2月25日，星期天7.2隨機(jī)控制系統(tǒng)仿真的專門問(wèn)題隨機(jī)數(shù)產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)概率分布的轉(zhuǎn)變隨機(jī)數(shù)概率功率譜密度的轉(zhuǎn)變系統(tǒng)隨機(jī)參數(shù)誤差的產(chǎn)生系統(tǒng)隨機(jī)初值的產(chǎn)生系統(tǒng)隨機(jī)干擾的產(chǎn)生第19頁(yè),共65頁(yè)，2024年2月25日，星期天一、隨機(jī)數(shù)產(chǎn)生產(chǎn)生偽隨機(jī)數(shù)序列=>改變概率分布、功率譜密度=>加入隨機(jī)系統(tǒng)=>進(jìn)行仿真1、公式：計(jì)算機(jī)產(chǎn)生偽隨機(jī)序列，乘同余法公式：x(i+1)=(λ*x(i))(modμ)其中：λ=2k/2，且λ=8N+/-3，K為字長(zhǎng)，N為整數(shù)。

μ=2n，且0<μ<2k，n為整數(shù)2、特點(diǎn)（1）偽隨機(jī)序列，周期為μ/4（2）均勻分布，值域：0—2n-1第20頁(yè),共65頁(yè)，2024年2月25日，星期天3、統(tǒng)計(jì)特性（1）概率密度：p（x）=1/μ，0<=x<=μ=0，x〈0或x〉μ（2）均值：E（x）=μ/2（3）方差：σ2x=μ2/12（4）自相關(guān)函數(shù)：Rx(τ)=0，|τ|>T=μ2（1-τ/T）/12，|τ|<=T第21頁(yè),共65頁(yè)，2024年2月25日，星期天當(dāng)ω較小時(shí)，Sx（ω

）近似為常值（5）功率譜密度：在ω<π/T頻帶內(nèi)，可將隨機(jī)數(shù)序列看作白色隨機(jī)過(guò)程。第22頁(yè),共65頁(yè)，2024年2月25日，星期天例：設(shè)計(jì)算機(jī)的字長(zhǎng)為32位，用乘同余法產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)序列。解：取μ=2^30，N=8192，λ=8*N+3=65539，x（1）=11111。

編程序計(jì)算隨機(jī)數(shù)序列。運(yùn)行該程序，得到隨機(jī)數(shù)序列。隨機(jī)數(shù)序列隨機(jī)數(shù)序列（局部放大）第23頁(yè),共65頁(yè)，2024年2月25日，星期天令隨機(jī)數(shù)產(chǎn)生周期為T=0.01s，畫(huà)出其時(shí)間曲線，如下圖。隨機(jī)數(shù)的時(shí)間曲線隨機(jī)數(shù)的時(shí)間曲線（局部）第24頁(yè),共65頁(yè)，2024年2月25日，星期天乘同余法產(chǎn)生的偽隨機(jī)序列的自相關(guān)函數(shù)由圖可知，

τ=0時(shí)，Rx(τ)最大，為9.6077e+016，即：μ2T/12τ>T時(shí)，Rx(τ)=0其自相關(guān)函數(shù)的最大值為：Rx（0）=μ2T/12=9.6077e+016τ>0.01時(shí)，Rx(τ)=0第25頁(yè),共65頁(yè)，2024年2月25日，星期天乘同余法產(chǎn)生的偽隨機(jī)序列的功率譜密度功率譜密度：Sx（0）=μ

^2*T/12=9.607679205057059e+014低頻時(shí)，Sx（ω

）近似為常值。T越小，為常值的頻帶越大。第26頁(yè),共65頁(yè)，2024年2月25日，星期天二、隨機(jī)數(shù)概率分布的改變多數(shù)情況下需要將均勻分布改為正態(tài)分布。中心極限定理：正態(tài)概率分布隨機(jī)變量可以用無(wú)數(shù)個(gè)任意分布的相互獨(dú)立的隨機(jī)變量合成。在工程上，可用10~12個(gè)互相獨(dú)立的均勻分布合成一個(gè)正態(tài)分布。第27頁(yè),共65頁(yè)，2024年2月25日，星期天1、產(chǎn)生值域?yàn)椋?，2k-1）的均勻分布隨機(jī)數(shù)序列{x1(i)}。2、將該序列標(biāo)稱化，值域變?yōu)椋?，1）方法：x1(i)*1/(2k-1)3、均值移位，值域變?yōu)椋?0.5，0.5）方法：x1(i)-0.5此時(shí)，E（x）=0，σ2x=1/12

重復(fù)1-3步，產(chǎn)生n個(gè)不相關(guān)的均勻分布隨機(jī)數(shù)序列，記為{x2(i)}、{x3(i)}……{xn(i)}

。4、用上述n個(gè)不相關(guān)的均勻分布隨機(jī)數(shù)序列構(gòu)成一個(gè)正態(tài)分布隨機(jī)數(shù)序列。第28頁(yè),共65頁(yè)，2024年2月25日，星期天序列1：x11,x21,……xm1序列2：x12,x22,……xm2...序列n：x1n,x2n,……xmn一般，取n=12，則合成的隨機(jī)數(shù)序列E（x）=0，σ2x=1……合成：x1,x2,……xn第29頁(yè),共65頁(yè)，2024年2月25日，星期天三、隨機(jī)數(shù)功率譜密度的改變利用線性系統(tǒng)做成形濾波器Sy(ω)=|H(jω)|2*μ2T/12，其中，Sy(ω)為需要的功率譜密度，

μ2T/12為偽隨機(jī)序列的功率譜密度。

則根據(jù)Sy(ω)可求出線性系統(tǒng)的頻率特性H(jω)。第30頁(yè),共65頁(yè)，2024年2月25日，星期天四、仿真中一些隨機(jī)參數(shù)的產(chǎn)生1、參數(shù)誤差及隨機(jī)初值的產(chǎn)生

二者均為正態(tài)分布，所給參數(shù)為最大允許誤差ΔA。任務(wù)：根據(jù)最大允許誤差產(chǎn)生隨機(jī)參數(shù)誤差或隨機(jī)初值序列。第31頁(yè),共65頁(yè)，2024年2月25日，星期天分析：由正態(tài)分布的性質(zhì)，一般認(rèn)為最大允許誤差

ΔA>=4σ，

σ為隨機(jī)序列的方差根。即：隨機(jī)序列的方差為（取等號(hào)情況）：

σ2=（ΔA/4）2（1）若產(chǎn)生12個(gè)值域?yàn)椋?b，b）的獨(dú)立的均勻分布隨機(jī)序列，其方差均為

σ2=b2/3則合成后所得正態(tài)分布序列的方差為

σ2=4b2（2)考慮（1）式，則有

b=ΔA/8即：所產(chǎn)生的均勻分布序列的值域?yàn)椋?ΔA/8，ΔA/8）第32頁(yè),共65頁(yè)，2024年2月25日，星期天2、隨機(jī)干擾的產(chǎn)生隨機(jī)干擾既要求概率統(tǒng)計(jì)特性，又要求頻譜特性。一般認(rèn)為隨機(jī)干擾的頻譜可通過(guò)實(shí)測(cè)或分析得到，即是已知的，故可通過(guò)下述方法產(chǎn)生隨機(jī)干擾。第一步，產(chǎn)生白色隨機(jī)過(guò)程（在一定頻帶內(nèi)）。第二步，根據(jù)隨機(jī)干擾的頻譜設(shè)計(jì)成形濾波器。第三步，將白色隨機(jī)過(guò)程作用于成形濾波器，得到有色隨機(jī)過(guò)程。第33頁(yè),共65頁(yè)，2024年2月25日，星期天7.3MonteCarlo法

適用于線性或非線性隨機(jī)系統(tǒng)仿真，使用時(shí)限制條件少，但仿真工作量大。通過(guò)對(duì)仿真所得數(shù)據(jù)進(jìn)行處理得到系統(tǒng)狀態(tài)變量和輸出的統(tǒng)計(jì)特性。第34頁(yè),共65頁(yè)，2024年2月25日，星期天蒙特卡羅方法的基本思想

二十世紀(jì)四十年代中期，由于科學(xué)技術(shù)的發(fā)展和電子計(jì)算機(jī)的發(fā)明，蒙特卡羅方法作為一種獨(dú)立的方法被提出來(lái)，并首先在核武器的試驗(yàn)與研制中得到了應(yīng)用。但其基本思想并非新穎，人們?cè)谏a(chǎn)實(shí)踐和科學(xué)試驗(yàn)中就已發(fā)現(xiàn)，并加以利用。兩個(gè)例子

例1.蒲豐氏問(wèn)題

例2.射擊問(wèn)題（打靶游戲）基本思想第35頁(yè),共65頁(yè)，2024年2月25日，星期天例1.蒲豐氏問(wèn)題

為了求得圓周率π值，在十九世紀(jì)后期，有很多人作了這樣的試驗(yàn)：將長(zhǎng)為2l的一根針任意投到地面上，用針與一組相間距離為2a（

l＜a）的平行線相交的頻率代替概率P，再利用準(zhǔn)確的關(guān)系式：

求出π值其中Ｎ為投計(jì)次數(shù)，n為針與平行線相交次數(shù)。這就是古典概率論中著名的蒲豐氏問(wèn)題。第36頁(yè),共65頁(yè)，2024年2月25日，星期天

一些人進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)，其結(jié)果列于下表：實(shí)驗(yàn)者年份投計(jì)次數(shù)π的實(shí)驗(yàn)值沃爾弗(Wolf)185050003.1596斯密思(Smith)185532043.1553?？怂?Fox)189411203.1419拉查里尼(Lazzarini)190134083.1415929第37頁(yè),共65頁(yè)，2024年2月25日，星期天例2.射擊問(wèn)題（打靶游戲）

設(shè)r表示射擊運(yùn)動(dòng)員的彈著點(diǎn)到靶心的距離，ｇ(r)表示擊中r處相應(yīng)的得分?jǐn)?shù)（環(huán)數(shù)），f(r)為該運(yùn)動(dòng)員的彈著點(diǎn)的分布密度函數(shù)，它反映運(yùn)動(dòng)員的射擊水平。該運(yùn)動(dòng)員的射擊成績(jī)?yōu)?/p>

用概率語(yǔ)言來(lái)說(shuō)，<g>是隨機(jī)變量ｇ(r)的數(shù)學(xué)期望，即第38頁(yè),共65頁(yè)，2024年2月25日，星期天

現(xiàn)假設(shè)該運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行了Ｎ次射擊，每次射擊的彈著點(diǎn)依次為r1，r2，…，rN，則Ｎ次得分g(r1)，g(r2)，…，g(rN)的算術(shù)平均值代表了該運(yùn)動(dòng)員的成績(jī)。換言之，為積分<g>的估計(jì)值，或近似值。在該例中，用Ｎ次試驗(yàn)所得成績(jī)的算術(shù)平均值作為數(shù)學(xué)期望<g>的估計(jì)值（積分近似值）。

第39頁(yè),共65頁(yè)，2024年2月25日，星期天基本思想

由以上兩個(gè)例子可以看出，當(dāng)所求問(wèn)題的解是某個(gè)事件的概率，或者是某個(gè)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，或者是與概率、數(shù)學(xué)期望有關(guān)的量時(shí)，通過(guò)某種試驗(yàn)的方法，得出該事件發(fā)生的頻率，或者該隨機(jī)變量若干個(gè)具體觀察值的算術(shù)平均值，通過(guò)它得到問(wèn)題的解。這就是蒙特卡羅方法的基本思想。當(dāng)隨機(jī)變量的取值僅為1或0時(shí)，它的數(shù)學(xué)期望就是某個(gè)事件的概率。或者說(shuō)，某種事件的概率也是隨機(jī)變量（僅取值為1或0）的數(shù)學(xué)期望。第40頁(yè),共65頁(yè)，2024年2月25日，星期天

因此，可以通俗地說(shuō)，蒙特卡羅方法是用隨機(jī)試驗(yàn)的方法計(jì)算積分，即將所要計(jì)算的積分看作服從某種分布密度函數(shù)f(r)的隨機(jī)變量ｇ(r)的數(shù)學(xué)期望

通過(guò)某種試驗(yàn)，得到Ｎ個(gè)觀察值r1，r2，…，rN（用概率語(yǔ)言來(lái)說(shuō)，從分布密度函數(shù)f(r)中抽?。蝹€(gè)子樣r1，r2，…，rN，），將相應(yīng)的Ｎ個(gè)隨機(jī)變量的值g(r1)，g(r2)，…，g(rN)的算術(shù)平均值

作為積分的估計(jì)值（近似值）。第41頁(yè),共65頁(yè)，2024年2月25日，星期天

為了得到具有一定精確度的近似解，所需試驗(yàn)的次數(shù)是很多的，通過(guò)人工方法作大量的試驗(yàn)相當(dāng)困難，甚至是不可能的。因此，蒙特卡羅方法的基本思想雖然早已被人們提出，卻很少被使用。本世紀(jì)四十年代以來(lái)，由于電子計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)，使得人們可以通過(guò)電子計(jì)算機(jī)來(lái)模擬隨機(jī)試驗(yàn)過(guò)程，把巨大數(shù)目的隨機(jī)試驗(yàn)交由計(jì)算機(jī)完成，使得蒙特卡羅方法得以廣泛地應(yīng)用，在現(xiàn)代化的科學(xué)技術(shù)中發(fā)揮應(yīng)有的作用。

第42頁(yè),共65頁(yè)，2024年2月25日，星期天一、蒙特卡羅法仿真步驟1、建立隨機(jī)系統(tǒng)模型，產(chǎn)生隨機(jī)參數(shù)序列。2、改變隨機(jī)參數(shù)的值進(jìn)行仿真。多采用數(shù)值積分法。一般，每個(gè)隨機(jī)參數(shù)都要取不同的值仿真50次以上，以使結(jié)果可信。3、處理仿真結(jié)果，求狀態(tài)變量、輸出的統(tǒng)計(jì)特性。第43頁(yè),共65頁(yè)，2024年2月25日，星期天二、仿真結(jié)果處理設(shè)對(duì)某參數(shù)共仿真N次，每次計(jì)算M步。{yi1}：y11,y21,……yM1{yi2}：y12,y22,……yM2

...{yiN}：y1n,y2n,……yMN第44頁(yè),共65頁(yè)，2024年2月25日，星期天1、均值：2、方差：根據(jù)仿真結(jié)果求統(tǒng)計(jì)特性：均值、方差、概率密度及頻譜。第45頁(yè),共65頁(yè)，2024年2月25日，星期天3、概率密度：設(shè)Δyi為{yi}值域的分組區(qū)間，Δyi=(b–a)/LNyij為介于區(qū)間(yij-0.5Δyi，yij+0.5Δyi)中yij的個(gè)數(shù)，N為{yi}中yij的總數(shù)，即仿真次數(shù)。則，概率密度為：pi(yij)=Nyij/NΔyi4、頻譜：其中：j為虛單位，r為諧波次數(shù)，Ar為幅值。第46頁(yè),共65頁(yè)，2024年2月25日，星期天例

dotX(t)=(A+a)X(t)+(B+b)u(t)，

y(t)=CX(t)初值：X0+ΔX0ΔX0為初值誤差，正態(tài)分布，最大誤差為ΔA用MonteCarlo法仿真，求初值誤差ΔX0對(duì)輸出y(t)統(tǒng)計(jì)特性的影響。步驟1：產(chǎn)生正態(tài)分布的隨機(jī)數(shù)序列ΔX0；用乘同余法產(chǎn)生12個(gè)值域?yàn)椋?ΔA/8，ΔA/8）的均勻分布序列，然后合成即為正態(tài)分布的隨機(jī)數(shù)序列ΔX0。步驟2：取不同的ΔX0進(jìn)行仿真。采用數(shù)值積分法，仿真次數(shù)在50次以上。步驟3：數(shù)據(jù)處理，得出初值誤差對(duì)輸出的影響。第47頁(yè),共65頁(yè)，2024年2月25日，星期天仿真流程圖第48頁(yè),共65頁(yè)，2024年2月25日，星期天蒙特卡羅法的特點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)(1)能夠比較逼真地描述具有隨機(jī)性質(zhì)的事物的特點(diǎn)及物理實(shí)驗(yàn)過(guò)程。(2)受幾何條件限制小。(3)收斂速度與問(wèn)題的維數(shù)無(wú)關(guān)。(4)具有同時(shí)計(jì)算多個(gè)方案與多個(gè)未知量的能力。(5)誤差容易確定。(6)程序結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單易于實(shí)現(xiàn)。缺點(diǎn)(1)收斂速度慢。(2)誤差具有概率性。第49頁(yè),共65頁(yè)，2024年2月25日，星期天能夠比較逼真地描述具有隨機(jī)性質(zhì)的事物的特點(diǎn)及物理實(shí)驗(yàn)過(guò)程

從這個(gè)意義上講，蒙特卡羅方法可以部分代替物理實(shí)驗(yàn)，甚至可以得到物理實(shí)驗(yàn)難以得到的結(jié)果。用蒙特卡羅方法解決實(shí)際問(wèn)題，可以直接從實(shí)際問(wèn)題本身出發(fā)，而不從方程或數(shù)學(xué)表達(dá)式出發(fā)。它有直觀、形象的特點(diǎn)。第50頁(yè),共65頁(yè)，2024年2月25日，星期天受幾何條件限制小

在計(jì)算s維空間中的任一區(qū)域Ds上的積分無(wú)論區(qū)域Ds的形狀多么特殊，只要能給出描述Ds的幾何特征的條件，就可以從Ds中均勻產(chǎn)生N個(gè)，得到積分的近似值。其中Ds為區(qū)域Ds的體積。這是數(shù)值方法難以實(shí)現(xiàn)的。另外，在具有隨機(jī)性質(zhì)的問(wèn)題中，如考慮的系統(tǒng)形狀很復(fù)雜，難以用一般數(shù)值方法求解，而使用蒙特卡羅方法，不會(huì)有原則上的困難。第51頁(yè),共65頁(yè)，2024年2月25日，星期天收斂速度與問(wèn)題的維數(shù)無(wú)關(guān)

由誤差定義可知，在給定置信水平情況下，蒙特卡羅方法的收斂速度為，與問(wèn)題本身的維數(shù)無(wú)關(guān)。維數(shù)的變化，只引起抽樣時(shí)間及估計(jì)量計(jì)算時(shí)間的變化，不影響誤差。也就是說(shuō)，使用蒙特卡羅方法時(shí)，抽取的子樣總數(shù)N與維數(shù)s無(wú)關(guān)。維數(shù)的增加，除了增加相應(yīng)的計(jì)算量外，不影響問(wèn)題的誤差。這一特點(diǎn)，決定了蒙特卡羅方法對(duì)多維問(wèn)題的適應(yīng)性。而一般數(shù)值方法，比如計(jì)算定積分時(shí)，計(jì)算時(shí)間隨維數(shù)的冪次方而增加，而且，由于分點(diǎn)數(shù)與維數(shù)的冪次方成正比，需占用相當(dāng)數(shù)量的計(jì)算機(jī)內(nèi)存，這些都是一般數(shù)值方法計(jì)算高維積分時(shí)難以克服的問(wèn)題。第52頁(yè),共65頁(yè)，2024年2月25日，星期天具有同時(shí)計(jì)算多個(gè)方案與多個(gè)未知量的能力（1）對(duì)于那些需要計(jì)算多個(gè)方案的問(wèn)題，使用蒙特卡羅方法有時(shí)不需要像常規(guī)方法那樣逐個(gè)計(jì)算，而可以同時(shí)計(jì)算所有的方案，其全部計(jì)算量幾乎與計(jì)算一個(gè)方案的計(jì)算量相當(dāng)。例如，對(duì)于屏蔽層為均勻介質(zhì)的平板幾何，要計(jì)算若干種厚度的穿透概率時(shí)，只需計(jì)算最厚的一種情況，其他厚度的穿透概率在計(jì)算最厚一種情況時(shí)稍加處理便可同時(shí)得到。（2）另外，使用蒙特卡羅方法還可以同時(shí)得到若干個(gè)所求量。例如，在模擬粒子過(guò)程中，可以同時(shí)得到不同區(qū)域的通量、能譜、角分布等，而不像常規(guī)方法那樣，需要逐一計(jì)算所求量。

第53頁(yè),共65頁(yè)，2024年2月25日，星期天誤差容易確定

（1）對(duì)于一般計(jì)算方法，要給出計(jì)算結(jié)果與真值的誤差并不是一件容易的事情，而蒙特卡羅方法則不然。根據(jù)蒙特卡羅方法的誤差公式，可以在計(jì)算所求量的同時(shí)計(jì)算出誤差。對(duì)干很復(fù)雜的蒙特卡羅方法計(jì)算問(wèn)題，也是容易確定的。（2）一般計(jì)算方法常存在著有效位數(shù)損失問(wèn)題，而要解決這一問(wèn)題有時(shí)相當(dāng)困難，蒙特卡羅方法則不存在這一問(wèn)題。第54頁(yè),共65頁(yè)，2024年2月25日，星期天程序結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，易于實(shí)現(xiàn)

在計(jì)算機(jī)上進(jìn)行蒙特卡羅方法計(jì)算時(shí)，程序結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，分塊性強(qiáng)，易于實(shí)現(xiàn)。第55頁(yè),共65頁(yè)，2024年2月25日，星期天7.4伴隨系統(tǒng)仿真法一、伴隨系統(tǒng)設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為dotX(t)=A(t)X(t)+B(t)u(t)y(t)=C(t)X(t)X(0)=X0，0<=t<=tf，

A：nxn，B：nxm，C：rxn則其伴隨系統(tǒng)為：第56頁(yè),共65頁(yè)，2024年2月25日，星期天：伴隨狀態(tài)，nx1：伴隨輸入，rx1：伴隨輸出，mx1：伴隨系統(tǒng)時(shí)間自變量第57頁(yè),共65頁(yè)，2024年2月25日，星期天二、伴隨系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖