近代教案資料

環(huán)與域環(huán)是具有兩種代數(shù)運算的代數(shù)系，它是近世代數(shù)中一個重要分支，本章介紹環(huán)的一些初步理論。加群與環(huán)的定義抽象群的代數(shù)運算到現(xiàn)在為止我們都用乘法的符號來表示，但是我們知道，一個代數(shù)運算作什么符號來表示是沒有關(guān)系的，一個交換群的代數(shù)運算，在某種場合之下，用加法的符號來表示更為方便。定義一個交換群叫做加群.假如我們把這個群的代數(shù)運算叫做加法,并且用符號+來表示。因此加群的加法適合結(jié)合律，個元的和有意義，這個和我們有時用符號來表示：一個加群的唯一的一個單位元我們用0來表示，并把它叫做零元。元的逆元我們用來表示，并且把它叫做的負元，元我們簡寫成。由這兩個群的定義及交換群的性質(zhì)，有以下計算規(guī)則：是加群，那么是子群。定義一個集合叫做一個環(huán)。滿足下列條件：（，+）是一個加群;是半群;兩個分配律成立。記例1整數(shù)集關(guān)于數(shù)的加法、乘法作成一個環(huán)，稱為整數(shù)環(huán)。偶數(shù)集2關(guān)于數(shù)的加法、乘法也作成一個環(huán)，稱為偶數(shù)環(huán)。同樣有理數(shù)集Q，實數(shù)集，復(fù)數(shù)集C關(guān)于數(shù)的加法、乘法都作成一個環(huán)。我們通常把數(shù)集關(guān)于數(shù)的加法、乘法所作成的環(huán)稱為數(shù)環(huán)。例2數(shù)環(huán)上全體階矩陣所組成的集合關(guān)于矩陣的加法、乘法作成一個環(huán)，稱為R上的階全陣環(huán)。例3數(shù)環(huán)上全體一元多項式組成的集合[x]關(guān)于多項式的加法、乘法作成一個環(huán)，稱為上的一元多項式環(huán)。例4設(shè)是一個加群，0是其零元，規(guī)定：，則作成一個環(huán)，這個環(huán)稱為零環(huán)。例5設(shè)是虛數(shù)單位}，證明；Z{i}關(guān)于數(shù)的加法、乘法作成一個環(huán)。此環(huán)稱為高斯整環(huán)。例6證明：商集關(guān)于加法運算與乘法運算作成一個環(huán)。此環(huán)稱為模的剩余類環(huán)。下面給出環(huán)的一些基性質(zhì)：因為環(huán)是一個加群，所以上面關(guān)于加群的性質(zhì)都成立，即由于兩個分配律及負元的定義,還有:。交換律、單位元、零因子、整環(huán)下面我們討論一些特殊的環(huán)。一、交換環(huán)定義一個環(huán)R叫做一個交換環(huán)，如果。在一個交換環(huán)里，對于任意正整數(shù)及任意元都有定義一個環(huán)R有一個元叫做單位元，若。則稱R是有單位元的環(huán)。一般情況下，一個環(huán)不一定是交換環(huán)，也不一定存在單位元，如上述的全陣環(huán)是一個非交換環(huán)，偶數(shù)環(huán)是一個無單位元的環(huán)。而整數(shù)環(huán)是一個交換環(huán)且有單位元。即存在可交換的有單位元的環(huán)。一個環(huán)如果有單位元，則單位元是唯一的，記1（區(qū)別于數(shù)1）。如果R有兩個單位元,則。在有單位的環(huán)里，規(guī)定。同時規(guī)定一個元（對乘法來說）的逆元如下.定義一個有單位元的環(huán)，如果。則叫做的逆元。一個有逆元的逆元是唯一的（如果有的話）。如果有兩個逆元，則有,。一個有單位元的環(huán)中的元未必有逆元,如整數(shù)環(huán)是一個有單位的環(huán),但除外其它的元都沒有逆元。全陣環(huán)的可逆陣有逆元,非可逆陣則沒有逆元。如果元有逆元,那么這個唯一的逆元用表示。且規(guī)定:,則有下列公式成立,。二、零因子在整數(shù)環(huán)中，有即，而在全陣環(huán)中，同理在中，當不是素數(shù)時，，則，但。定義在一個環(huán)R里,存在但有,則稱是環(huán)R的一個左零因子,是R的一個右零因子。當R是一個交換環(huán)時,左零因子也是右零因子,在非交換環(huán)中,左零因子不一個定是右零因子。如整數(shù)環(huán)不存在零因子,當是素數(shù)時,也不存在零因子.如果一個環(huán)R存在零因子,則稱R是有零因子環(huán),當R不存在零因子時,稱R是無零因子環(huán).如全陣環(huán)是非交換且有零因子的環(huán)。零因子是否存在與消去律是否成立有直接關(guān)系。定理無零因子環(huán)滿足左(右)消去律證明:如果,設(shè)因為是無零因子環(huán),所以,即。如果,設(shè)有。反之,如果,則由消去律成立有,所以是無零因子環(huán)。推論在一個環(huán)里,如果有一個消去律成立,則另一個消去律也成立。證明:由一個消去律成立,得是無零因子環(huán),因此有另一個消去律成立.三、整環(huán)以上我們討論了一個環(huán)可能附加的三種條件:可交換;有單位元;無零因子,當然一個環(huán)不一定同時具有三種附加條件,但也有一些環(huán)同時具有上述三種條件,如整數(shù)環(huán)。定義一個環(huán)滿足下列條件:乘法適合交換環(huán);有單位元1;無零因子,則叫做一個整環(huán)。如整數(shù)環(huán);數(shù)域;數(shù)域上的一元多項式環(huán)都是整環(huán),而偶數(shù)環(huán);整數(shù)環(huán)上的全陣環(huán)、模12的剩余類環(huán)都不是整環(huán).例P895證明:(R,+)是加群(對加法運算:封閉;結(jié)合律;有0元;有負元;可交換);是半群(對乘法運算:封閉;結(jié)合律);兩個分配律是環(huán).對乘法有:交換律;有單位元;無零因子是整環(huán)。作業(yè):P892,3除環(huán)、域一個環(huán)的任一個元不一定有逆元,下面討論的除零以外的元都有逆元的環(huán).如={},規(guī)定:.則是一個環(huán),且的唯一的一個元有逆元。但當環(huán)至少含有兩個元時,則情況就不同了。中存在的非零元,且有,所以0沒有逆元。而Q對普通的加法與乘法來說作成的環(huán)除0元以外,其余的任一元都有逆元。一、除環(huán)定義一個環(huán)滿足下列條件:至少含非零元;有一個單位元;的每一個非零元都有逆元.則稱是除環(huán)(體,斜域)。定義一個交換除環(huán)稱為域。除環(huán)與域具有下列性質(zhì):1、設(shè)環(huán)至少含有兩個元素,則是除環(huán)則中全體非零元素組成的集合關(guān)于乘法作成群;2、根據(jù)除環(huán)的定義,是除環(huán)對加法是一個交換群(加群);對乘法是群;兩個分配律成立。3、除環(huán)是無零因子環(huán);(因為,若,則)4、在除環(huán)中中,,方程都有解;(因為當時,上述方程中都有唯一解,而0不是上述方程的解;當時,上述方程只有零解)5、一個至少含有兩個元素的且沒有零因子的有限環(huán)是除環(huán)(證明留作習(xí)題);6、一個交換除環(huán)是域,是加群;分配律成立；7、一個有限整環(huán)是域。例一個模的剩余類環(huán)是域是素數(shù);證明:若是素數(shù),要證是域。因為是有單位元[1]的有限交換環(huán),所以只要無零因子。,設(shè),則,于是,因為是素數(shù),所以即,因此無零因子。若,則||=1,從而不是域。若不是素數(shù)而是合數(shù),則有零因子,從而不是域,因此若是域,則是素數(shù)。在域中,,我們將這兩個相等的元素記作,并稱除以的商。這樣可以得到域中元素的一些計算方法:設(shè)則;;;例P931(由定義證明)證明滿足：加群;有非零元;有單位元1;交換律、結(jié)合律、分配律成立;每個非零元都有逆元.各種環(huán)之間的關(guān)系:域以后我們用的最多的是整環(huán)和域。無零因子環(huán)的特征在一個環(huán)、域中,是否存在,使。如,若是素數(shù),則是一個除環(huán),因此也是域,在這個域里有,但在中,這樣的元不存在在。這是因為,一個環(huán),對加法運算是加群,因此是一個群,每一個元都有階,若元的階很大,則,都有,若的階是有限整數(shù),則。對于一個環(huán)的非零元是否有是由的階而定的。而一個群的不同的元的階是不同的?？赡苁怯行┰怯邢薜?有些是無限的,但在一個沒有零因子的環(huán)里就不同了。定理1在一個無零因子環(huán)里,所有的非零元對加法來說階都是一樣的。證明如果的每個非零元的階都是無限的,則結(jié)論成立。若有某個非零元的階是有限整數(shù),另一個非零元,則,,而是無零因子環(huán),,即:的階的階。同理的階的階.所以中所有非零元的階均相等。定義一個無零因子環(huán)的非零元的相同(對加法來說)階叫做環(huán)的特征,記。(若環(huán)的每個元的階都是無限的,則稱的特征為零,即,因為對于一個環(huán)來說非零元的特征不可能是零)定理2設(shè)是一個環(huán)，且，則：當是有單位元的環(huán)時，是滿足的最小正整數(shù)；當是無零因子環(huán)時，是素數(shù)。證明設(shè)是使的最小正整數(shù)，則，，所以是滿足足條件的最小正整數(shù)。設(shè),那么對的一個非零元有,,而,與是無零因子環(huán)矛盾。推論整環(huán)、除環(huán)、域的特征或是無限(0)或是一個素數(shù)。在一個特征是的交換環(huán)里,。作業(yè)：P932,3,P971子環(huán)、環(huán)的同態(tài)定義一個環(huán)(除環(huán)、整環(huán)、域)的一個非空子集對于環(huán)(除環(huán)、整環(huán)、域)的加法與乘法運算來說構(gòu)成環(huán)(除環(huán)、整環(huán)、域),則稱是環(huán)的子環(huán)(子除環(huán)、子整環(huán)、子域),是的擴環(huán),記。對于任意的環(huán),都有兩個子環(huán):{0}與。這兩個子環(huán)稱為的平凡子環(huán),且,則稱是的非平凡子環(huán).若,且則稱是的真子環(huán),記作。由子環(huán)的的定義與子群,子半群的判別方法,我們得到:定理1設(shè)是一個環(huán),是的非空子集,則是的子環(huán)；設(shè)是一個子除環(huán)(域),是的非空子集,則是的子除環(huán)(域)。例1。例2實數(shù)域上的一元多項式環(huán)中,所有常數(shù)組成的集合是的一個子環(huán);所有常數(shù)項為零的一元多項式組成的集合也是的子環(huán)。例3在實數(shù)域上的2階全陣環(huán)中,則及都是的子環(huán)。例4一個環(huán)的可以同每一個元可交換的元作成的集合構(gòu)成一個子環(huán)(證明留作習(xí)題).這個子環(huán)稱為環(huán)的中心。由子環(huán)的定義,有定理2設(shè)是的子環(huán),是的子環(huán),則是的子環(huán).注意:當是的子環(huán)時,與在：是否可交換、有無零因子、有無單位元等性質(zhì)上有一定的聯(lián)系，但是并不完全一致。當是交換環(huán)時,是交換環(huán),當是交換環(huán)時,未必是交換環(huán),如例3中的環(huán)是非交換環(huán),而其中心是可交換環(huán);當是無零因子環(huán)時,則也是無零因子環(huán),當有無零因子環(huán)時,未必是有零因子環(huán),如例4中是有零因子的環(huán),而其子環(huán)是無零因子環(huán);當有單位元時,可以沒有單位元,如整數(shù)環(huán)有單位元1,便其子環(huán)(偶數(shù)環(huán))沒有單位元;而例3的全陣環(huán)有單位I,但其子環(huán)沒有單位;當有單位元時,可以沒有單位元,如例3中沒有單位元,但其子環(huán)有單位元;當與都有單位元時,它們的單位元可以不同,如例3中全陣環(huán)有單位元I,但其子環(huán)有單位元。例5一個環(huán)的兩個子環(huán)的交是子環(huán)。定義設(shè)都是環(huán),是環(huán)到環(huán)1的映射,若保持運算,即有則稱是到1的同態(tài)映射。若是單射,則稱是單同態(tài);若滿射,則稱是滿同態(tài),并稱與1同態(tài),記～1;若是雙射,則稱同構(gòu),并稱與1同構(gòu),記。特別,當1=時,與同態(tài)(同構(gòu))又稱自同態(tài)(自同構(gòu)).例1如是環(huán)到1的同態(tài),稱零同態(tài);是Z到的滿同態(tài);是到的滿同態(tài)。定理3設(shè)是到1的滿同態(tài)。(1)是環(huán)，則也是環(huán)；(2)若是環(huán)，0是的零元，則是1的零元；(4)若是環(huán)，(課本定理1為它的特例);(5)若是環(huán)，則；(6)若環(huán)可交換，則1可交換；(7)環(huán)有單位元，則1有單位元，且1的單位元為。其余性質(zhì)不一定保持,如零因子等。若兩個環(huán)是同構(gòu)的,則它們的代數(shù)性質(zhì)完全一樣,我們有定理4若兩個環(huán),則：是整環(huán)(除環(huán)、域)1是整環(huán)(除環(huán)、域)引理設(shè)在集合與1之間存在一個一一映射,并且有加法和乘法運算,那么可替1規(guī)定加法和乘法,使與1同構(gòu)。證明設(shè)在給定的映射之下,的元與1的元對應(yīng),規(guī)定:若,則,若,則,則這樣規(guī)定的法則是1的加法和乘法運算,且是到1的同構(gòu)映射,所以與1同構(gòu)。定理5(挖補定理)設(shè)是環(huán)的一個子環(huán),在里的補足集合(-S)與另一個環(huán)沒有共同元素,且。則存在一個與同構(gòu)的環(huán),且是的子環(huán)。證明設(shè),,,在同構(gòu)映射之下,令,則易證是到的同構(gòu)映射,因為是環(huán),由定理3得也是環(huán),且是的子環(huán)。作業(yè),P1011,2補充題:1、設(shè)是交換環(huán),令,證明是的子環(huán)。2、證明，是整數(shù)環(huán)Z的子環(huán)，并求。多項式環(huán)設(shè)是有單位元的交換環(huán)(整環(huán)),是的子環(huán)(子整環(huán))且含有的單位元.在中取出一個元,有意義且是的一個元。定義設(shè)是有單位元1的交換環(huán)(整環(huán)),，一個可以寫成形式的的元叫做上的的一個多項式,叫做多項式的系數(shù)。表示上的的多項式組成的集合,在上規(guī)定加法、乘法運算如下:則構(gòu)成一個環(huán)。定義叫做上的的多項式環(huán)。的計算正是高等代數(shù)中多項式的計算,那么對于任意的來說,不全為零,可能有。定義設(shè)是有單位元的交換環(huán)(整環(huán)),的一個元叫做上的一個未定元,如果在里找不到不全為零的元使。若是上的未定元,則稱為上的一元多項式環(huán)。稱為上的一元多項式。叫做這個多項式的次數(shù)(零多項式?jīng)]有次數(shù))。對于給定的來說,未必含有的未定元。如或為整數(shù)環(huán),是高斯整環(huán),則的任意元有,所以在上無未定元。定理1給定了一個有單位元的交換環(huán),一定存在上的未定元,因此也就有上的多項式環(huán)存在。證明(分三步證明這個定理)令,并規(guī)定:易證作成一個有單位元的交換環(huán).零元是,的負元是,單位元是。2、令,則是到的一個映射,且,若,即,于是,從而是單射。又有：因此是到的單同態(tài)。令,則是的子環(huán),且。由構(gòu)造知,。由挖補定理,存在環(huán)使。由于環(huán)是有單位的交換環(huán),從而也是有單位的交換環(huán),且的單位元就是的單位元。3、令,用歸納法可證:下面證明是上的未定元。設(shè)在中，，，則在中有：即，從而。因此是上的未定元。以上所說的多項式的概念可加以推廣。我們看一個有單位元的環(huán)和它的一個子環(huán),包含的單位元,我們從中取出個元來,那么我們可以作上的的多項式環(huán),然后作上的的多項式環(huán)。這樣下去,可以得到,這個環(huán)包含所有可以寫成:(1)(但只有有限個)形式的元。定義一個可以寫成(1)形式的元叫做上的的一個多項式.叫做多項式的系數(shù)。環(huán)叫做上的的多項式環(huán)。這個環(huán)我們也用符號表示。在環(huán)里,兩個多項式相加、相乘與數(shù)域上多元多項式的運算相同。因此我們可以類似的定義元多項式與多項式環(huán).定義的個未定元叫做上的無關(guān)未定元。如果任何一個上的的多項式都不會等于零,除非這個多項式所有的系數(shù)都等于零。定理2給定了一個有單位元的交換環(huán)同一個整數(shù),一定有上的無關(guān)未定元存在,因此也就有上的多項式環(huán)存在。此定理可用歸納法證明。定理3設(shè)與都是有單位元的交換環(huán)上的多項式環(huán),是上的無關(guān)未定元,是上的任意元,那么與同態(tài)。證明令,可證明是到的同態(tài)映射。例1設(shè)F是一個域,證明:是上的向量空間。例2設(shè)是模11的剩余類環(huán),在中計算:([5]3+[2]-[7])([7]4-[6]3+[3]+[4])。解([5]3+[2]-[7])([7]4-[6]3+[3]+[4])=[3]+[3]+[2]4+[7]3+[6]2-[2]+[5]作業(yè):P1091,2理想我們已經(jīng)知道什么叫做子環(huán),這一節(jié)我們要討論一種特別重要的子環(huán),就是理想子環(huán)。這種子環(huán)在環(huán)論里的地位同不變子群在群論中地位類似。定義設(shè)是一個環(huán),是的子加群(),若有,則稱是的左理想;若有,則稱是的右理想;若即是的左理想,也是的右理想,則稱是的(雙側(cè))理想。記。若,且,則稱是的真理想。由理想的定義可知,理想一定是子環(huán),而子環(huán)不一定是理想.例1是的右理想,而不是左理想;是的左理想而不是右理想;即不是左理想也不是右理想。(P1136)例2任一個環(huán)都有兩個理想:{0}(零理想)與(稱為單位理想)。有的環(huán)除了這兩個理想外沒有其它的理想,如定理1一個除環(huán)只有兩個理想,就是零理想與單位理想。證明設(shè)是的一個理想而不是零理想,那么,因為是理想,由定義,因而的任意元,也就是說。因此理想這個概念對于除環(huán)與域沒有多大用處。一般來說,一個環(huán)除了以上兩個理想外還有其它的理想。例3一個交換環(huán),那么一個固定的元的所有倍數(shù)作成的一個理想。時，；等于環(huán)上的多項式環(huán),時，。以上兩個理想不是零理想也不是單位理想,一個只有零理想和單位理想的環(huán)稱為單環(huán)。所以除環(huán)和域就是單環(huán)。例4設(shè),則,。證明由，所以，從而，，存在使得，從而有，由是理想，所以有，可得給了一個環(huán),我們可以用以下的方法來作一些的理想。我們在里任意取出一個元來,利用我們作一個集合:則是的一個理想,且是包含的最小的理想。證明,,,有,所以是的理想.設(shè)也是的一個包含的理想,則,,所以,即,所以是最小的。定義稱為一個由生成的主理想,記.1、當是交換環(huán)時:；2、當有單位元時:；3、當有單位元的交換環(huán)時:；上述例3的,例4的。例5證明：整數(shù)環(huán)Z的每個理想都是主理想。證明設(shè)，且，則存在，則，若是中所有正整數(shù)組成的集合，則是自然數(shù)集的一個非空子集，則最小數(shù)原理存在最小數(shù)，對任意，由帶余除法有，因，所以，由的假設(shè)有，從而。即任一個理想都是主理想。主理想推廣:,是的任意個元,則是包含的最小理想。證明由例4知是理想,設(shè)也是的包含的理想,所以,從而,即。定義若,則稱是由生成的理想。記4、當是有單位元的交換環(huán)時:；例6設(shè)是整數(shù)環(huán),則中不是主理想,而有理數(shù)域上多項式環(huán)的理想是主理想。證明設(shè),那么,所以,由,由,所以。但是有單位元的交換環(huán),所以由4應(yīng)有,顯然此等式不成立。而,所以。例7設(shè)是交換環(huán),令,證明:。證明因為，所以，有,所以;,由是交換環(huán),有,所以,即。例8P1135證明由已知,因的理想是一個子環(huán),所以對加法來說也是子群,又因為對于加法來說是一個循環(huán)群,所以的子環(huán)對加法來說是一個循環(huán)群。即的理想只能是:；；；；易證都是的理想.所以的所有理想都是主理想.作業(yè):P1131,2,4剩余類環(huán)、同態(tài)與理想給了一個環(huán)與環(huán)的一個理想，就加法來說是一個加群，所以是可換群。是的一個不變子群，由第二章的討論，可將的陪集記，作為一個分類，我們把這些類叫做模的一個剩余類。由這個類決定了的元間的一個等價關(guān)系，這個等價關(guān)系用符號，因為是一個加群，所以一個類，即。把所有的剩余類組成一個集合記并規(guī)定以下兩個運算：，，可證明這兩個運算是的兩個代數(shù)運算。由此規(guī)定的運算可得一個與群論中平行的3個定理。定理1設(shè)是一個環(huán)，是的一個理想，是所有模的剩余類作成的集合，那么按上述的代數(shù)運算也是一個環(huán)，且與同態(tài)。證明設(shè)自然映射：，則易證(在群論中已證明自然映射是滿射且保持加法運算，由定義有，即保持乘法運算。從而是同態(tài)滿射)是到的同態(tài)滿射。所以與同態(tài)。因為一個環(huán)，所以也是環(huán)。定義叫做環(huán)的關(guān)于模的剩余類環(huán)；稱為R模A的剩余類。推論若R是變換環(huán)，則也是變換環(huán)；若R是的單位元的環(huán)，則也的單位元[1]。例1求整數(shù)環(huán)Z關(guān)于主理想的商環(huán)。解由商環(huán)的定義得此商環(huán)為例2求實數(shù)域上一元多項式環(huán)關(guān)于主理想的商環(huán)。解若,則有相同的常數(shù)項，而當有相同的常數(shù)項時有,可得此商環(huán)為。即所有常數(shù)項相同的多項式屬于同一類，常數(shù)項不同的不屬于同一類。例3求高斯整環(huán)關(guān)于主理想的商環(huán)。解設(shè)，則而同奇偶，所以有同奇偶；反之，若同奇偶，則存在整數(shù)使得，從而。所以當同奇偶時，；當一奇一偶，則，而所以。由此可得此商環(huán)為定理2一個環(huán)R與它的每一個商環(huán)同態(tài)。定理3(同態(tài)基本定理)設(shè)與1是兩個環(huán)，且～1，則同態(tài)映射的核是的一個理想，且1。證明（是的一個理想），有，，所以，設(shè)，則，所以，即是的一個理想。（1）令，因為由，所以有，即，映射與代表選擇無關(guān)。即是到1的一個映射，是滿射，，即使，所以是滿射，因有又因，有，所以到1的一個同構(gòu)映射。即1例1證明:證明令,容易證明是到的滿同態(tài),且,于是,由同態(tài)基本定理,證明二令,則由例2可知是到的自然同態(tài)映射,而其中的理想是,也就是說映射的核是,由同態(tài)基本定理得結(jié)論成立.定理4設(shè)是環(huán)到1的同態(tài)滿射，則：的子環(huán)的像1是1的子環(huán)；的理想的像是1的理想；1的子環(huán)1的逆像是的子環(huán)；1的理想的逆像是的理想。證明設(shè)是的像,那么使，即，因是子環(huán)，所以，即，同理有，因，所以，所以是子環(huán)。設(shè)是的像,那么由上述的證明,有，又，是滿射，，使，所以，因，所以，同理，所以是1的理想。設(shè)是的逆像,那么,有,即,有,即,所以是的子環(huán)。設(shè)是的逆像,那么由上述的證明,,有,有,所以有,,因是理想,,有,所以是的理想。設(shè)是環(huán)到環(huán)的同態(tài),由高代中已證明的有:是單同態(tài);是滿同態(tài)。例3除環(huán)到任意環(huán)的非零同態(tài)都是單同態(tài)。證明由定理3,除環(huán)到任意環(huán)的同態(tài)核都是除環(huán)的理想,而除環(huán)只有平凡理想,因此同態(tài)核是零理想,從而同態(tài)是單同態(tài)。作業(yè):最大理想定義一個環(huán)的一個不等于的理想叫做一個最大理想,如果除了同自己以外,沒有其它包含的理想?；蚨x設(shè)是環(huán)的一個真理想,若對于的理想,,則稱是的最大理想。由定義,中包含最大理想的理想只有兩個與。注意,環(huán)本身不是的最大理想。又若只有平凡理想,則零理想是的最大理想。例1(例1)設(shè),是素數(shù),證明:是最大理想。證明設(shè),又,且,所以存在但,即,所以,從而使,因,又,所以,即,所以。由例1可見,一個環(huán)可以有多個理想。而除環(huán)與域只有唯一的一個最大理想。引理1設(shè)是環(huán)的一個理想,則是的最大理想當且僅當剩余類環(huán)只有平凡理想。證明設(shè)是環(huán)到的同態(tài)滿射。是的最大理想,是的理想,且,那么由上一節(jié)定理3,在之下的的逆像是的理想,因為,而的逆像正好是,即,由有,所以,也就是。所以只有平凡理想。反之,設(shè)是包含的一個理想,且,因為是的一個理想,是到的同態(tài)滿射,由上一節(jié)定理3,的像是環(huán)的一個理想,由,得.因為只有平凡理想,所以,即=。引理2一個有單位元的交換環(huán)只有平凡理想,那么是一定是域。證明,有不是的零理想,由假設(shè)。因而,但的元都可以寫成的形式,所以,即的每個非零元都有逆元,所以是一個域。由引理1,引理2可得下列定理定理設(shè)是一個有單位元的交換環(huán),是的一個理想,是域是最大理想。證明若是域，則只有平凡理想，由引理1，是最大理想；反之，若I是最大理想，由引理1，只有平凡理想，而環(huán)R的單位元1所在的類[1]是剩余類環(huán)的單位，由R可交換得剩余類環(huán)可交換，由引理2，是域。這樣,給了一個有單位元的交換環(huán),只要找到的一個最大理想,就可以得到一個域。例2證明:是實數(shù)上一元多項式環(huán)的最大理想。證明由上一節(jié)例1