專訓(xùn)2-垂徑定理的四種應(yīng)用技巧

階段方法技巧訓(xùn)練（一）專訓(xùn)2垂徑定理的四種

應(yīng)用技巧習(xí)題課垂徑定理的巧用主要體現(xiàn)在求點(diǎn)的坐標(biāo)、解決最值問(wèn)題、解決實(shí)際問(wèn)題等．解題時(shí)，巧用弦的一半、圓的半徑和圓心到弦的垂線段三條線段組成的直角三角形，然后借助勾股定理，在這三個(gè)量中知道任意兩個(gè)，可求出第三個(gè)．1技巧巧用垂徑定理求點(diǎn)的坐標(biāo)1．如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)是

(10，0)，點(diǎn)B的坐標(biāo)是(8，0)，點(diǎn)C，D在以O(shè)A

為直徑的半圓M上，且四邊形OCDB是平行四

邊形，求點(diǎn)C的坐標(biāo)．如圖，連接CM，作MN⊥CD于N，CH⊥OA于H.∵四邊形OCDB為平行四邊形，B點(diǎn)的坐標(biāo)是(8，0)，∴CD＝OB＝8，CN＝MH，CH＝MN.又∵M(jìn)N⊥CD，∴CN＝DN＝

CD＝4.易知OA＝10，∴MO＝MC＝5.在Rt△MNC中，MN＝∴CH＝3，又OH＝OM－MH＝5－4＝1.∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1，3)．解：2技巧巧用垂徑定理解決最值問(wèn)題(對(duì)稱思想)2．如圖，AB，CD是半徑為5的⊙O的兩條弦，AB

＝8，CD＝6，MN是直徑，AB⊥MN于點(diǎn)E，

CD⊥MN于點(diǎn)F，P為直線EF上的任意一點(diǎn)，求

PA＋PC的最小值．解：如圖，易知點(diǎn)C關(guān)于MN的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)D，連接AD，交MN于點(diǎn)P，連接PC，易知此時(shí)PA＋PC最小且PA＋PC＝AD.過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AB于點(diǎn)H，連接OA，OC.易知AE＝4，CF＝3，由勾股定理易得OE＝3，OF＝4，∴DH＝EF＝7，又AH＝AE＋EH＝4＋3＝7.∴AD＝7.即PA＋PC的最小值為7.本題運(yùn)用了轉(zhuǎn)化思想，將分散的線段轉(zhuǎn)化為同一直線上的一條線段，然后運(yùn)用勾股定理求出線段的長(zhǎng)度．3技巧巧用垂徑定理計(jì)算3．如圖，CD為⊙O的直徑，CD⊥AB，垂足為點(diǎn)F，

AO⊥BC，垂足為E，BC＝2.(1)求AB的長(zhǎng)；(2)求⊙O的半徑．解：(1)連接AC，∵CD為⊙的直徑，CD⊥AB，∴AF＝BF，∴AC＝BC.延長(zhǎng)AO交⊙O于G，

則AG為⊙O的直徑，又AO⊥BC，∴BE＝CE，∴AC＝AB.∴AB＝BC＝2.(2)由(1)知AB＝BC＝AC，∴△ABC為等邊三角形，∵AE⊥BC，∴∠EAB＝∠CAE＝

∠CAB＝30°.即∠OAF＝30°，在Rt△OAF中，AF＝

，易得OA＝2，即⊙O的半徑為2.4技巧巧用垂徑定理解決實(shí)際問(wèn)題(建模思想)4．某地有一座拱橋，它的橋拱是圓弧形，橋下的

水面寬度為7.2米，拱頂高出水面2.4米，現(xiàn)有

一艘寬3米，船艙頂部為長(zhǎng)方形并高出水面2米

的貨船要經(jīng)過(guò)這里，此貨船能順利通過(guò)這座拱

橋嗎？解：如圖，設(shè)圓弧形橋拱AB所在圓的圓心為O，連接OA，OB，作OD⊥AB于點(diǎn)D，交⊙O于點(diǎn)C，交MN于點(diǎn)H，由垂徑定理可知，D為AB的中點(diǎn)．設(shè)OA＝r米，則OD＝OC－DC＝(r－2.4)米，AD＝

AB＝3.6米．在Rt△AOD中，OA2＝AD2＋OD2，即r2＝3.62＋(r－2.4)2，解得r＝3.9.在Rt△OHN中，OH＝