廣東省廣州市荔灣區(qū)育才中學(xué)2023-2024學(xué)年九年級(jí)下學(xué)期月考數(shù)學(xué)試卷（3月份）

2023-2024學(xué)年廣東省廣州市荔灣區(qū)育才中學(xué)九年級(jí)（下）月考數(shù)學(xué)試卷（3月份）一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.下面四個(gè)幾何體中，俯視圖為四邊形的是(

)A. B. C. D.2.實(shí)數(shù)a在數(shù)軸上的位置如圖所示，則下列說(shuō)法正確的是(

)A.a的相反數(shù)是2 B.a的絕對(duì)值是2 C.a的倒數(shù)等于2 D.a的絕對(duì)值大于23.下列運(yùn)算正確的是(

)A. B.

C. D.4.如圖，邊長(zhǎng)為a，b的長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為14，面積為10，則的值為(

)

A.140 B.70 C.35 D.245.如表記錄了甲、乙、丙、丁四名跳高運(yùn)動(dòng)員最近幾次選拔賽成績(jī)的平均數(shù)與方差：甲乙丙丁平均數(shù)185180185180方差根據(jù)表中數(shù)據(jù)，要從中選擇一名成績(jī)好且發(fā)揮穩(wěn)定的運(yùn)動(dòng)員參加比賽，應(yīng)該選擇(

)A.丁 B.丙 C.乙 D.甲6.若拋物線的頂點(diǎn)在第一象限，則m的取值范圍為(

)A. B. C. D.7.在平面中，下列命題為真命題的是(

)A.四邊相等的四邊形是正方形 B.對(duì)角線相等的四邊形是菱形

C.四個(gè)角相等的四邊形是矩形 D.對(duì)角線互相垂直的四邊形是平行四邊形8.若一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)第一、二、四象限，則下列不等式中總是成立的是(

)A. B. C. D.9.如圖，在?ABCD中，，，的平分線交BC于點(diǎn)E，交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，，垂足為G，，則的周長(zhǎng)為(

)A.8 B. C.10 D.10.如圖所示，四邊形ABCD中，，，則BD的長(zhǎng)為(

)

A. B. C. D.二、填空題：本題共6小題，每小題3分，共18分。11.如果二次根式有意義，那么x的取值范圍是______.12.已知直線，將一塊含角的直角三角板ABC按如圖方式放置，其中A，B兩點(diǎn)分別落在直線m，n上，若，則的度數(shù)為_(kāi)_____

13.2020年，中國(guó)GDP總量達(dá)到1015986億元.數(shù)據(jù)1015986用科學(xué)記數(shù)法表示為_(kāi)_____.14.如圖，中，，，點(diǎn)D是斜邊AB的中點(diǎn)，那么的度數(shù)為_(kāi)_____.

15.如圖，正方形ABCD和正方形CEFG邊長(zhǎng)分別為a和b，正方形CEFG繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，用a和b的代數(shù)式表示：______.

16.關(guān)于二次函數(shù)在的取值范圍內(nèi)，函數(shù)y的最小值用含a的式子表示，下列結(jié)論：

①當(dāng)時(shí)，函數(shù)y的最小值是；

②當(dāng)時(shí)，函數(shù)y的最小值是；

③當(dāng)時(shí)，函數(shù)y的最小值是；

④當(dāng)時(shí)，函數(shù)y的最小值是

其中正確的有______填序號(hào)即可三、計(jì)算題：本大題共1小題，共8分。17.解方程組四、解答題：本題共8小題，共64分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。18.本小題8分

如圖，AC是菱形ABCD的對(duì)角線，點(diǎn)E、F分別在邊AB、AD上，且

求證：≌

19.本小題8分

已知：

化簡(jiǎn)A；

若a是方程的一個(gè)根，求A的值.20.本小題8分

第十五屆中國(guó)“西博會(huì)”將于2014年10月底在成都召開(kāi)，現(xiàn)有20名志愿者準(zhǔn)備參加某分會(huì)場(chǎng)的工作，其中男生8人，女生12人．

若從這20人中隨機(jī)選取一人作為聯(lián)絡(luò)員，求選到女生的概率；

若該分會(huì)場(chǎng)的某項(xiàng)工作只在甲、乙兩人中選一人，他們準(zhǔn)備以游戲的方式?jīng)Q定由誰(shuí)參加，游戲規(guī)則如下：將四張牌面數(shù)字分別為2，3，4，5的撲克牌洗勻后，數(shù)字朝下放于桌面，從中任取2張，若牌面數(shù)字之和為偶數(shù)，則甲參加，否則乙參加．試問(wèn)這個(gè)游戲公平嗎？請(qǐng)用樹(shù)狀圖或列表法說(shuō)明理由．21.本小題8分

如圖，MN是的直徑，，點(diǎn)A在上，，B為的中點(diǎn)，P是直徑MN上一動(dòng)點(diǎn)．

利用尺規(guī)作圖，確定當(dāng)最小時(shí)P點(diǎn)的位置不寫(xiě)作法，但要保留作圖痕跡

求的最小值．22.本小題8分

某商店在2019年至2021年期間銷售一種禮盒年，該商店用3500元購(gòu)進(jìn)了這種禮盒并且全部售完，2021年，這種禮盒的進(jìn)價(jià)比2019年下降了11元/盒，該商店用2400元購(gòu)進(jìn)了與2019年相同數(shù)量的禮盒也全部售完，禮盒的售價(jià)均為60元/盒.

年這種禮盒的進(jìn)價(jià)是多少元/盒？

若該商店每年銷售這種禮盒所獲利潤(rùn)的年增長(zhǎng)率相同，問(wèn)年增長(zhǎng)率是多少？23.本小題8分

如圖，直線與反比例函數(shù)交于點(diǎn)，并與x軸，y軸交于點(diǎn)C，

求b，m的值；

連接OA，求的值；

點(diǎn)D在y軸的負(fù)半軸上，若以點(diǎn)D、C、B組成的三角形與相似，求點(diǎn)D的坐標(biāo).24.本小題8分

已知：正方形ABCD邊長(zhǎng)為點(diǎn)P為邊AD上的動(dòng)點(diǎn)，以直線BP為對(duì)稱軸翻折得如圖連接CQ，取CQ中點(diǎn)M，連接

當(dāng)翻折后，若點(diǎn)Q剛好落在對(duì)角線BD上，求此時(shí)AP的長(zhǎng)度；

當(dāng)點(diǎn)P由A運(yùn)動(dòng)到D時(shí)，求點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡的長(zhǎng)度；

如果將“點(diǎn)P為線段AD上的動(dòng)點(diǎn)”改為“點(diǎn)P為射線AD上的動(dòng)點(diǎn)”，其它條件不變，那么當(dāng)為等腰三角形時(shí)，求此時(shí)AP的長(zhǎng)度.25.本小題8分

已知拋物線的頂點(diǎn)C位于x軸下方.

求證：拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；

若拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)A，在B的左側(cè)，直線BC與y軸交于點(diǎn)D，且將繞點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一定角度后，點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，此時(shí)點(diǎn)O恰好也在y軸上，求拋物線的解析式.

答案和解析1.【答案】D

【解析】解：A、圓柱的俯視圖是圓；

B、三棱錐的俯視圖是三角形；

C、三棱柱的俯視圖是三角形；

D、正方體的俯視圖是四邊形．

故選

俯視圖是指從物體上面看，所得到的圖形．

本題考查了幾何體的三種視圖，掌握定義是關(guān)鍵．主視圖、左視圖、俯視圖是分別從物體正面、左面和上面看，所得到的圖形．2.【答案】D

【解析】解：由數(shù)軸可知，，

a的相反數(shù)，所以A不正確，

a的絕對(duì)值，所以B不正確，

a的倒數(shù)不等于2，所以C不正確，

D正確．

故選：

根據(jù)數(shù)軸確定a的取值范圍，選擇正確的選項(xiàng)．

本題考查的是數(shù)軸和實(shí)數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題，靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵．3.【答案】D

【解析】解：A、，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B、應(yīng)為，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C、應(yīng)為，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D、，正確．

故選：

根據(jù)合并同類項(xiàng)，去括號(hào)與添括號(hào)的法則，完全平方公式公式，平方差公式，進(jìn)行解答．

本題考查合并同類項(xiàng)，去括號(hào)與添括號(hào)的法則，完全平方公式公式，平方差公式，熟記公式結(jié)構(gòu)是解題的關(guān)鍵．4.【答案】B

【解析】解：根據(jù)題意得：，，

；

故選：

由長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)和面積得出，，再把多項(xiàng)式分解因式，然后代入計(jì)算即可．

本題考查了分解因式、長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)和面積的計(jì)算；利用整體法求代數(shù)式的值是解題的關(guān)鍵．5.【答案】D

【解析】解：甲和丙的平均數(shù)大于乙和丁的平均數(shù)，

從甲和丙中選擇一人參加比賽，

甲的方差小于丙的方差，

選擇甲參賽，

故選：

首先比較平均數(shù)，平均數(shù)相同時(shí)選擇方差較小的運(yùn)動(dòng)員參加．

此題考查了平均數(shù)和方差，正確理解方差與平均數(shù)的意義是解題關(guān)鍵．6.【答案】B

【解析】解：由，

根據(jù)題意，，

解不等式，得，

解不等式，得；

所以不等式組的解集為

故選

利用的頂點(diǎn)坐標(biāo)公式表示出其頂點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)頂點(diǎn)在第一象限，所以頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都大于0列出不等式組．

本題考查頂點(diǎn)坐標(biāo)的公式和點(diǎn)所在象限的取值范圍，同時(shí)考查了不等式組的解法，難度較大．7.【答案】C

【解析】解：A、四邊相等的四邊形不一定是正方形，例如菱形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B、對(duì)角線相等的四邊形不是菱形，例如矩形，等腰梯形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C、四個(gè)角相等的四邊形是矩形，故此選項(xiàng)正確；

D、對(duì)角線互相垂直的四邊形不一定是平行四邊形，如右圖所示，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤．

故選：

分析是否為真命題，需要分別分析各題設(shè)是否能推出結(jié)論，從而利用排除法得出答案，不是真命題的可以舉出反例．

此題主要考查命題的真假判斷，正確的命題叫真命題，錯(cuò)誤的命題叫做假命題．判斷命題的真假關(guān)鍵是要熟悉課本中的性質(zhì)定理．8.【答案】D

【解析】解：一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)第一、二、四象限，

，，

，故A錯(cuò)誤，

，故B錯(cuò)誤，

不一定大于0，故C錯(cuò)誤．

，故D正確，

故選：

首先判斷a、b的符號(hào)，再一一判斷即可解決問(wèn)題．

本題考查一次函數(shù)與不等式，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)根據(jù)函數(shù)圖象的位置，確定a、b的符號(hào)，屬于中考?？碱}型．9.【答案】A

【解析】解：在?ABCD中，，，的平分線交BC于點(diǎn)E，

，，

，

，

，

是等腰三角形，

同理是等腰三角形，

；

，

；

在中，，，，可得：，

又，

，

的周長(zhǎng)等于16，

又?ABCD

∽，相似比為1：2，

的周長(zhǎng)為

故選：

本題意在綜合考查平行四邊形、相似三角形、和勾股定理等知識(shí)的掌握程度和靈活運(yùn)用能力，同時(shí)也體現(xiàn)了對(duì)數(shù)學(xué)中的數(shù)形結(jié)合思想的考查．在?ABCD中，，，的平分線交BC于點(diǎn)E，可得是等腰三角形，；是等腰三角形，，所以；在中，，，，可得，又是等腰三角形，，所以，所以的周長(zhǎng)等于16，又由?ABCD可得∽，相似比為1：2，所以的周長(zhǎng)為8，因此選

本題考查勾股定理、相似三角形的知識(shí)，相似三角形的周長(zhǎng)比等于相似比．10.【答案】B

【解析】解：以A為圓心，AB長(zhǎng)為半徑作圓，延長(zhǎng)BA交于F，連接

，

，

，，

是的直徑，

，

故選：

以A為圓心，AB長(zhǎng)為半徑作圓，延長(zhǎng)BA交于F，連接在中，由勾股定理即可求出BD的長(zhǎng)．

本題考查了勾股定理，解題的關(guān)鍵是作出以A為圓心，AB長(zhǎng)為半徑的圓，構(gòu)建直角三角形，從而求解．11.【答案】

【解析】解：二次根式有意義，

，

故答案為：

根據(jù)二次根式有意義的條件列出關(guān)于x的不等式，求出x的取值范圍即可．

本題考查的是二次根式有意義的條件，熟知二次根式中的被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)是解題的關(guān)鍵．12.【答案】50

【解析】解：直線，

，

故答案為：50

根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

本題考查了平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．13.【答案】

【解析】解：

故答案為：

科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，n為整數(shù)．確定n的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，n的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值時(shí)，n是正整數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值時(shí)，n是負(fù)整數(shù)．

此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，n為整數(shù)，表示時(shí)關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值．14.【答案】

【解析】解：，點(diǎn)D是斜邊AB的中點(diǎn)，

，

，

，

故答案為：

先利用直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)可得，然后利用等腰三角形的性質(zhì)可得，從而利用角的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算即可解答．

本題考查了直角三角形斜邊上的中線，熟練掌握直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．15.【答案】

【解析】解：連接BD，EG，BE，DG的交點(diǎn)為M，

四邊形ABCD，四邊形CEFG為正方形，

，，，

，

≌，

，，

，

，

，

，

，

，，

，

，

故答案為：

由“SAS”可證≌，可得，，由勾股定理可得，，則，可得即可求解．

本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定，勾股定理，熟練運(yùn)用勾股定理是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．16.【答案】①②③

【解析】解：二次函數(shù)，

拋物線開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為直線，

①當(dāng)時(shí)，時(shí)，函數(shù)有最小值，函數(shù)y的最小值是，故①正確；

②當(dāng)時(shí)，時(shí)，函數(shù)有最小值，函數(shù)y的最小值是，故②正確；

③當(dāng)時(shí)，時(shí)，函數(shù)有最小值，函數(shù)y的最小值是；故③正確；

④當(dāng)時(shí)，時(shí)，函數(shù)有最小值，函數(shù)y的最小值是；故④錯(cuò)誤；

故答案為：①②③．

根據(jù)題目中的函數(shù)解析式和二次函數(shù)的性質(zhì)，可以得到該函數(shù)的對(duì)稱軸和開(kāi)口方向，然后根據(jù)，即可得到相應(yīng)的最值，從而可以解答本題．

本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)的最值，解答本題的關(guān)鍵是明確二次函數(shù)的性質(zhì)，求出相應(yīng)的最值．17.【答案】解：，

①②得：，

把代入①得：，

則方程組的解為

【解析】此題考查了解二元一次方程組，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法與加減消元法．

方程組利用加減消元法求出解即可．18.【答案】證明：是菱形ABCD的對(duì)角線，

，

在和中，

，

≌

【解析】本題考查了菱形對(duì)角線的性質(zhì)即一條對(duì)角線平分一組對(duì)角，以及全等三角形的判定方法，難度適中．

根據(jù)菱形對(duì)角線的性質(zhì)，可知一條對(duì)角線平分一組對(duì)角，即，再根據(jù)邊角邊即可證明≌19.【答案】解：

；

是方程的一個(gè)根，

【解析】利用分式的加減法計(jì)算法則進(jìn)行解答；

把代入已知方程，得到，然后代入化簡(jiǎn)后的A中求值即可．

本題主要考查了一元二次方程的解的定義，分式的加減法，分式的通分必須注意整個(gè)分子和整個(gè)分母，分母是多項(xiàng)式時(shí)，必須先分解因式，分子是多項(xiàng)式時(shí)，要把分母所乘的相同式子與這個(gè)多項(xiàng)式相乘，而不能只同其中某一項(xiàng)相乘．20.【答案】解：現(xiàn)有20名志愿者準(zhǔn)備參加某分會(huì)場(chǎng)的工作，其中男生8人，女生12人，

從這20人中隨機(jī)選取一人作為聯(lián)絡(luò)員，選到女生的概率為：；

如圖所示：

牌面數(shù)字之和為：5，6，7，5，7，8，6，7，9，7，9，8，

偶數(shù)為：4個(gè)，得到偶數(shù)的概率為：，

得到奇數(shù)的概率為：，

甲參加的概率<乙參加的概率，

這個(gè)游戲不公平．

【解析】直接利用概率公式求出即可；

利用樹(shù)狀圖表示出所有可能進(jìn)而利用概率公式求出即可．

此題主要考查了游戲公平性以及概率公式應(yīng)用，正確畫(huà)出樹(shù)狀圖是解題關(guān)鍵．21.【答案】解：如圖1所示，點(diǎn)P即為所求；

由可知，的最小值即為的長(zhǎng)，連接、OB、OA，

點(diǎn)為點(diǎn)A關(guān)于直線MN的對(duì)稱點(diǎn)，，

，

又為的中點(diǎn)，

，

，

，

又，

，

中，，即的最小值為

【解析】作點(diǎn)A關(guān)于MN的對(duì)稱點(diǎn)，連接，與MN的交點(diǎn)即為點(diǎn)P；

由可知，的最小值即為的長(zhǎng)，連接、OB、OA，先求，再根據(jù)勾股定理即可得出答案．

本題主要考查作圖-復(fù)雜作圖及軸對(duì)稱的最短路線問(wèn)題，熟練掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)和圓周角定理、圓心角定理是解題的關(guān)鍵．22.【答案】解：設(shè)2019年這種禮盒的進(jìn)價(jià)是x元/盒，則2021年這種禮盒的進(jìn)價(jià)是元/盒，

依題意，得：，

解得：，

經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解，且符合題意．

答：2019年這種禮盒的進(jìn)價(jià)是35元/盒．

年及2021年購(gòu)進(jìn)這種禮盒的數(shù)量為盒

設(shè)該商店每年銷售這種禮盒所獲利潤(rùn)的年增長(zhǎng)率為y，

依題意，得：，

解得：，不合題意，舍去

答：該商店每年銷售這種禮盒所獲利潤(rùn)的年增長(zhǎng)率為

【解析】設(shè)2019年這種禮盒的進(jìn)價(jià)是x元/盒，則2021年這種禮盒的進(jìn)價(jià)是元/盒，根據(jù)數(shù)量=總價(jià)單價(jià)結(jié)合2017年和2019年購(gòu)入禮盒數(shù)相同，即可得出關(guān)于x的分式方程，解之經(jīng)檢驗(yàn)后即可得出結(jié)論；

利用數(shù)量=總價(jià)單價(jià)可求出2019年及2021年購(gòu)進(jìn)這種禮盒的數(shù)量，設(shè)該商店每年銷售這種禮盒所獲利潤(rùn)的年增長(zhǎng)率為y，根據(jù)2019年及2021年獲得的利潤(rùn)，即可得出關(guān)于y的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論．

本題考查了一元二次方程的應(yīng)用以及分式方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程；找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程．23.【答案】解：將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)表達(dá)式得：，

將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式得：，解得：，

即，；

由知，直線AB的表達(dá)式為：，

則，則，，

過(guò)點(diǎn)O作于點(diǎn)H，則，

則，

則；

，

故當(dāng)以點(diǎn)D、C、B組成的三角形與相似時(shí)，存在∽或∽，

由點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)得，，，，，

則或，

即或，

解得：或16，

即點(diǎn)或

【解析】將點(diǎn)A的坐標(biāo)函數(shù)表達(dá)式，即可求解；

過(guò)點(diǎn)O作于點(diǎn)H，則，則，即可求解；

當(dāng)以點(diǎn)D、C、B組成的三角形與相似時(shí)，存在∽或∽，即可求解．

本題為反比例函數(shù)綜合題，涉及到三角形相似、解直角三角形、反比例函數(shù)的基本性質(zhì)等，其中，要分類求解，避免遺漏．24.【答案】解：如圖，

四邊形ABCD是正方形，

，，

以直線BP為對(duì)稱軸翻折得