湖北省隨州一中2023-2024學(xué)年高三下學(xué)期一?？荚嚁?shù)學(xué)試題含解析

湖北省隨州一中2023-2024學(xué)年高三下學(xué)期一?？荚嚁?shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．如圖，正四面體的體積為，底面積為，是高的中點(diǎn)，過的平面與棱、、分別交于、、，設(shè)三棱錐的體積為，截面三角形的面積為，則（）A．， B．，C．， D．，2．在中，，則=（）A． B．C． D．3．已知函數(shù)（）的部分圖象如圖所示，且，則的最小值為（）A． B．C． D．4．設(shè)點(diǎn)，，不共線，則“”是“”（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分又不必要條件5．若集合，則=（）A． B． C． D．6．已知函數(shù)，則不等式的解集是（）A． B． C． D．7．如圖，四邊形為平行四邊形，為中點(diǎn)，為的三等分點(diǎn)（靠近）若，則的值為（）A． B． C． D．8．已知雙曲線，為坐標(biāo)原點(diǎn)，、為其左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在的漸近線上，，且，則該雙曲線的漸近線方程為（）A． B． C． D．9．小王因上班繁忙，來不及做午飯，所以叫了外賣.假設(shè)小王和外賣小哥都在12：00~12：10之間隨機(jī)到達(dá)小王所居住的樓下，則小王在樓下等候外賣小哥的時(shí)間不超過5分鐘的概率是（）A． B． C． D．10．馬林●梅森是17世紀(jì)法國著名的數(shù)學(xué)家和修道士，也是當(dāng)時(shí)歐洲科學(xué)界一位獨(dú)特的中心人物，梅森在歐幾里得、費(fèi)馬等人研究的基礎(chǔ)上對(duì)2p﹣1作了大量的計(jì)算、驗(yàn)證工作，人們?yōu)榱思o(jì)念梅森在數(shù)論方面的這一貢獻(xiàn)，將形如2P﹣1（其中p是素?cái)?shù)）的素?cái)?shù)，稱為梅森素?cái)?shù).若執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的梅森素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)是（）A．3 B．4 C．5 D．611．設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列，，.則這個(gè)數(shù)列的前7項(xiàng)和等于（）A．12 B．21 C．24 D．3612．若，則實(shí)數(shù)的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．某學(xué)習(xí)小組有名男生和名女生.若從中隨機(jī)選出名同學(xué)代表該小組參加知識(shí)競(jìng)賽，則選出的名同學(xué)中恰好名男生名女生的概率為___________．14．某校名學(xué)生參加軍事冬令營活動(dòng)，活動(dòng)期間各自扮演一名角色進(jìn)行分組游戲，角色按級(jí)別從小到大共種，分別為士兵、排長、連長、營長、團(tuán)長、旅長、師長、軍長和司令.游戲分組有兩種方式，可以人一組或者人一組.如果人一組，則必須角色相同；如果人一組，則人角色相同或者人為級(jí)別連續(xù)的個(gè)不同角色.已知這名學(xué)生扮演的角色有名士兵和名司令，其余角色各人，現(xiàn)在新加入名學(xué)生，將這名學(xué)生分成組進(jìn)行游戲，則新加入的學(xué)生可以扮演的角色的種數(shù)為________.15．在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，若，且，則面積的最大值為________.16．設(shè)滿足約束條件，則的取值范圍是______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）表示，中的最大值，如，己知函數(shù)，.（1）設(shè)，求函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；（2）試探討是否存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)恒成立？若存在，求的取值范圍；若不存在，說明理由.18．（12分）在底面為菱形的四棱柱中，平面.（1）證明：平面；（2）求二面角的正弦值.19．（12分）在極坐標(biāo)系中，已知曲線，．（1）求曲線、的直角坐標(biāo)方程，并判斷兩曲線的形狀；（2）若曲線、交于、兩點(diǎn)，求兩交點(diǎn)間的距離．20．（12分）設(shè)函數(shù).（1）解不等式；（2）記的最大值為，若實(shí)數(shù)、、滿足，求證：.21．（12分）已知，，（1）求的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；（2）已知銳角的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且，，求邊上的高的最大值．22．（10分）某公司打算引進(jìn)一臺(tái)設(shè)備使用一年，現(xiàn)有甲、乙兩種設(shè)備可供選擇.甲設(shè)備每臺(tái)10000元，乙設(shè)備每臺(tái)9000元.此外設(shè)備使用期間還需維修，對(duì)于每臺(tái)設(shè)備，一年間三次及三次以內(nèi)免費(fèi)維修，三次以外的維修費(fèi)用均為每次1000元.該公司統(tǒng)計(jì)了曾使用過的甲、乙各50臺(tái)設(shè)備在一年間的維修次數(shù)，得到下面的頻數(shù)分布表，以這兩種設(shè)備分別在50臺(tái)中的維修次數(shù)頻率代替維修次數(shù)發(fā)生的概率.維修次數(shù)23456甲設(shè)備5103050乙設(shè)備05151515（1）設(shè)甲、乙兩種設(shè)備每臺(tái)購買和一年間維修的花費(fèi)總額分別為和，求和的分布列；（2）若以數(shù)學(xué)期望為決策依據(jù)，希望設(shè)備購買和一年間維修的花費(fèi)總額盡量低，且維修次數(shù)盡量少，則需要購買哪種設(shè)備？請(qǐng)說明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】

設(shè)，取與重合時(shí)的情況，計(jì)算出以及的值，利用排除法可得出正確選項(xiàng).【詳解】如圖所示，利用排除法，取與重合時(shí)的情況.不妨設(shè)，延長到，使得．，，，，則，由余弦定理得，，，又，，當(dāng)平面平面時(shí)，，，排除B、D選項(xiàng)；因?yàn)?，，此時(shí)，，當(dāng)平面平面時(shí)，，，排除C選項(xiàng).故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查平行線分線段成比例定理、余弦定理、勾股定理、三棱錐的體積計(jì)算公式、排除法，考查了空間想象能力、推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．2、B【解析】

在上分別取點(diǎn),使得,可知為平行四邊形，從而可得到，即可得到答案．【詳解】如下圖，，在上分別取點(diǎn),使得,則為平行四邊形，故,故答案為B.【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量的線性運(yùn)算，考查了學(xué)生邏輯推理能力，屬于基礎(chǔ)題．3、A【解析】

是函數(shù)的零點(diǎn)，根據(jù)五點(diǎn)法求出圖中零點(diǎn)及軸左邊第一個(gè)零點(diǎn)可得．【詳解】由題意，，∴函數(shù)在軸右邊的第一個(gè)零點(diǎn)為，在軸左邊第一個(gè)零點(diǎn)是，∴的最小值是．故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的周期性，考查函數(shù)的對(duì)稱性．函數(shù)的零點(diǎn)就是其圖象對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)．4、C【解析】

利用向量垂直的表示、向量數(shù)量積的運(yùn)算，結(jié)合充分必要條件的定義判斷即可.【詳解】由于點(diǎn)，，不共線，則“”；故“”是“”的充分必要條件.故選：C.【點(diǎn)睛】本小題主要考查充分、必要條件的判斷，考查向量垂直的表示，考查向量數(shù)量積的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.5、C【解析】

求出集合，然后與集合取交集即可．【詳解】由題意，，，則，故答案為C.【點(diǎn)睛】本題考查了分式不等式的解法，考查了集合的交集，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．6、B【解析】

由導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)單調(diào)性解不等式即可.【詳解】函數(shù)，可得，時(shí)，，單調(diào)遞增，∵，故不等式的解集等價(jià)于不等式的解集．．∴．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性解不等式，屬于中檔題.7、D【解析】

使用不同方法用表示出，結(jié)合平面向量的基本定理列出方程解出．【詳解】解：，又解得，所以故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量的基本定理及其意義，屬于基礎(chǔ)題．8、D【解析】

根據(jù)，先確定出的長度，然后利用雙曲線定義將轉(zhuǎn)化為的關(guān)系式，化簡后可得到的值，即可求漸近線方程.【詳解】如圖所示：因?yàn)?，所以，又因?yàn)椋裕?，所以，所以，所以，所以，所以漸近線方程為.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)雙曲線中的長度關(guān)系求解漸近線方程，難度一般.注意雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離等于虛軸長度的一半.9、C【解析】

設(shè)出兩人到達(dá)小王的時(shí)間，根據(jù)題意列出不等式組，利用幾何概型計(jì)算公式進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)小王和外賣小哥到達(dá)小王所居住的樓下的時(shí)間分別為，以12：00點(diǎn)為開始算起，則有，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，如圖所示：圖中陰影部分表示該不等式組的所表示的平面區(qū)域，所以小王在樓下等候外賣小哥的時(shí)間不超過5分鐘的概率為：.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了幾何概型中的面積型公式，考查了不等式組表示的平面區(qū)域，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.10、C【解析】

模擬程序的運(yùn)行即可求出答案．【詳解】解：模擬程序的運(yùn)行，可得：p＝1，S＝1，輸出S的值為1，滿足條件p≤7，執(zhí)行循環(huán)體，p＝3，S＝7，輸出S的值為7，滿足條件p≤7，執(zhí)行循環(huán)體，p＝5，S＝31，輸出S的值為31，滿足條件p≤7，執(zhí)行循環(huán)體，p＝7，S＝127，輸出S的值為127，滿足條件p≤7，執(zhí)行循環(huán)體，p＝9，S＝511，輸出S的值為511，此時(shí)，不滿足條件p≤7，退出循環(huán)，結(jié)束，故若執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的梅森素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)是5，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查程序框圖，屬于基礎(chǔ)題．11、B【解析】

根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得，由等差數(shù)列求和公式可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)閿?shù)列是等差數(shù)列，，所以，即，又，所以，，故故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，性質(zhì)，等差數(shù)列的和，屬于中檔題.12、A【解析】

將化成以為底的對(duì)數(shù)，即可判斷的大小關(guān)系；由對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可判斷出與1的大小關(guān)系，從而可判斷三者的大小關(guān)系.【詳解】依題意，由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得.又因?yàn)?，?故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，考查了對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，考查了對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì).兩個(gè)對(duì)數(shù)型的數(shù)字比較大小時(shí)，底數(shù)相同，則構(gòu)造對(duì)數(shù)函數(shù)，結(jié)合對(duì)數(shù)的單調(diào)性可判斷大小；若真數(shù)相同，則結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像或者換底公式可判斷大?。蝗粽鏀?shù)和底數(shù)都不相同，則可與中間值如1,0比較大小.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

從7人中選出2人則總數(shù)有，符合條件數(shù)有，后者除以前者即得結(jié)果【詳解】從7人中隨機(jī)選出2人的總數(shù)有，則記選出的名同學(xué)中恰好名男生名女生的概率為事件，∴故答案為：【點(diǎn)睛】組合數(shù)與概率的基本運(yùn)用，熟悉組合數(shù)公式14、【解析】

對(duì)新加入的學(xué)生所扮演的角色進(jìn)行分類討論，分析各種情況下個(gè)學(xué)生所扮演的角色的分組，綜合可得出結(jié)論.【詳解】依題意，名學(xué)生分成組，則一定是個(gè)人組和個(gè)人組.①若新加入的學(xué)生是士兵，則可以將這個(gè)人分組如下；名士兵；士兵、排長、連長各名；營長、團(tuán)長、旅長各名；師長、軍長、司令各名；名司令.所以新加入的學(xué)生可以是士兵，由對(duì)稱性可知也可以是司令；②若新加入的學(xué)生是排長，則可以將這個(gè)人分組如下：名士兵；連長、營長、團(tuán)長各名；旅長、師長、軍長各名；名司令；名排長.所以新加入的學(xué)生可以是排長，由對(duì)稱性可知也可以是軍長；③若新加入的學(xué)生是連長，則可以將這個(gè)人分組如下：名士兵；士兵、排長、連長各名；連長、營長、團(tuán)長各名；旅長、師長、軍長各名；名司令.所以新加入的學(xué)生可以是連長，由對(duì)稱性可知也可以是師長；④若新加入的學(xué)生是營長，則可以將這個(gè)人分組如下：名士兵；排長、連長、營長各名；營長、團(tuán)長、旅長各名；師長、軍長、司令各名；名司令.所以新加入的學(xué)生可以是營長，由對(duì)稱性可知也可以是旅長；⑤若新加入的學(xué)生是團(tuán)長，則可以將這個(gè)人分組如下：名士兵；排長、連長、營長各名；旅長、師長、軍長各名；名司令；名團(tuán)長.所以新加入的學(xué)生可以是團(tuán)長.綜上所述，新加入學(xué)生可以扮演種角色.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查分類計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，解答的關(guān)鍵就是對(duì)新加入的學(xué)生所扮演的角色進(jìn)行分類討論，屬于中等題.15、【解析】

利用正弦定理將角化邊得到，再由余弦定理得到，根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系表示出，最后利用面積公式得到，由基本不等式求出的取值范圍，即可得到面積的最值；【詳解】解：∵在中，，∴，∴，∴，∴.∵，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，∴，∴面積的最大值為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理、余弦定理解三角形，三角形面積公式的應(yīng)用，以及基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題.16、【解析】

作出可行域，將目標(biāo)函數(shù)整理為可視為可行解與的斜率，則由圖可知或，分別計(jì)算出與，再由不等式的簡單性質(zhì)即可求得答案.【詳解】作出滿足約束條件的可行域，顯然當(dāng)時(shí)，z=0；當(dāng)時(shí)將目標(biāo)函數(shù)整理為可視為可行解與的斜率，則由圖可知或顯然，聯(lián)立，所以則或，故或綜上所述，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查分式型目標(biāo)函數(shù)的線性規(guī)劃問題，屬于簡單題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）個(gè)；（1）存在，.【解析】試題分析：（1）設(shè)，對(duì)其求導(dǎo)，及最小值，從而得到的解析式，進(jìn)一步求值域即可；（1）分別對(duì)和兩種情況進(jìn)行討論，得到的解析式，進(jìn)一步構(gòu)造，通過求導(dǎo)得到最值，得到滿足條件的的范圍．試題解析：（1）設(shè)，．．．．．．．．．．．．．1分令，得遞增；令，得遞減，．．．．．．．．．．．．．．．．．1分∴，∴，即，∴．．．．．．．．．．．．．3分設(shè)，結(jié)合與在上圖象可知，這兩個(gè)函數(shù)的圖象在上有兩個(gè)交點(diǎn)，即在上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（或由方程在上有兩根可得）（1）假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)恒成立，則，對(duì)恒成立，即，對(duì)恒成立，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分①設(shè)，令，得遞增；令，得遞減，∴，當(dāng)即時(shí)，，∴，∵，∴4．故當(dāng)時(shí)，對(duì)恒成立，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分當(dāng)即時(shí)，在上遞減，∴．∵，∴，故當(dāng)時(shí)，對(duì)恒成立．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分②若對(duì)恒成立，則，∴．．．．．．．．．．．11分由①及②得，．故存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)恒成立，且的取值范圍為．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)應(yīng)用.【思路點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)恒成立問題；利用導(dǎo)數(shù)來判斷函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)一步求最值；屬于難題．本題考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性.確定零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題：可利用數(shù)形結(jié)合的辦法判斷交點(diǎn)個(gè)數(shù)，如果函數(shù)較為復(fù)雜，可結(jié)合導(dǎo)數(shù)知識(shí)確定極值點(diǎn)和單調(diào)區(qū)間從而確定其大致圖象.方程的有解問題就是判斷是否存在零點(diǎn)的問題，可參變分離，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問題處理.恒成立問題以及可轉(zhuǎn)化為恒成立問題的問題，往往可利用參變分離的方法，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值處理．也可構(gòu)造新函數(shù)然后利用導(dǎo)數(shù)來求解.注意利用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法.18、（1）證明見解析；（2）【解析】

（1）由已知可證，即可證明結(jié)論；（2）根據(jù)已知可證平面，建立空間直角坐標(biāo)系，求出坐標(biāo)，進(jìn)而求出平面和平面的法向量坐標(biāo)，由空間向量的二面角公式，即可求解.【詳解】方法一：（1）依題意，且∴，∴四邊形是平行四邊形，∴，∵平面，平面，∴平面.（2）∵平面，∴，∵且為的中點(diǎn)，∴，∵平面且，∴平面，以為原點(diǎn)，分別以為軸、軸、軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，∴設(shè)平面的法向量為，則，∴，取，則.設(shè)平面的法向量為，則，∴，取，則.∴，設(shè)二面角的平面角為，則，∴二面角的正弦值為.方法二：（1）證明：連接交于點(diǎn)，因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪呅危詾橹悬c(diǎn)，又因?yàn)樗倪呅螢榱庑危詾橹悬c(diǎn)，∴在中，且，∵平面，平面，∴平面（2）略，同方法一.【點(diǎn)睛】本題主要考查線面平行的證明，考查空間向量法求面面角，意在考查直觀想象、邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，屬于中檔題.19、（1）表示一條直線，是圓心為，半徑為的圓；（2）.【解析】

（1）直接利用極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系可將曲線的方程化為直角坐標(biāo)方程，進(jìn)而可判斷出曲線的形狀，在曲線的方程兩邊同時(shí)乘以得，由可將曲線的方程化為直角坐標(biāo)方程，由此可判斷出曲線的形狀；（2）由直線過圓的圓心，可得出為圓的一條直徑，進(jìn)而可得出.【詳解】（1），則曲線的普通方程為，曲線表示一條直線；由，得，則曲線的直角坐標(biāo)方程為，即．所以，曲線是圓心為，半徑為的圓；（2）由（1）知，點(diǎn)在直線上，直線過圓的圓心．因此，是圓的直徑，．【點(diǎn)睛】本題考查曲線的極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程之間的轉(zhuǎn)化，同時(shí)也考查了直線截圓所得弦長的計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.20、（1）（2）證明見解析【解析】

（1）采用零點(diǎn)分段法：、、，由此求解出不等式的解集；（2）先根據(jù)絕對(duì)值不等式的幾何意義求解出的值，然后利用基本不等式及其變形完成證明.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，不等式為，解得當(dāng)時(shí)，不等式為，解得當(dāng)時(shí)，不等式為，解得∴原不等式的解集為（2）當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，∴，∴∵，∴，∴（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”）同理可得，∴∴（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”）【點(diǎn)睛】本題考查絕對(duì)值不等式的解法以及利用基本不等式證明不等式，難度一般.（1）常見的絕對(duì)值