重慶市烏江新高考協(xié)作體高三下學(xué)期開學(xué)數(shù)學(xué)試題

20232024學(xué)年（下）期初（開學(xué)）學(xué)業(yè)質(zhì)量聯(lián)合調(diào)研抽測高三數(shù)學(xué)試題（分數(shù)：150分，時間：120分鐘）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.2022年2月27日，長征八號遙二運載火箭搭載22顆衛(wèi)星成功發(fā)射，創(chuàng)造中國航天“一箭多星”的最高紀錄，打破了長征六號火箭創(chuàng)造的“一箭20星”紀錄．據(jù)測算：在不考慮空氣阻力的條件下，火箭的最大速度（單位：）和燃料的質(zhì)量M（單位：kg）、火箭的質(zhì)量（除燃料外）m（單位：kg）的關(guān)系是．為使火箭的最大速度達到9000m/s，則燃料質(zhì)量與火箭質(zhì)量之比約為（參考數(shù)據(jù)）（）A.18 B.19 C.20 D.21【答案】B【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)、對數(shù)運算公式計算即可求得結(jié)果.【詳解】令，得到，即，所以，即，故選：B.2.在平面直角坐標系中，銳角頂點在坐標原點，始邊為x軸正半軸，終邊與單位圓交于點，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)單位圓以及角度范圍，可得，然后根據(jù)三角函數(shù)定義，可得，最后根據(jù)兩角和正弦公式，二倍角公式，簡單計算，可得結(jié)果.【詳解】由題可知：，又為銳角所以，根據(jù)三角函數(shù)的定義：所以由所以故選：A【點睛】本題考查三角函數(shù)的定義以及兩角和正弦公式，還考查二倍角的正弦、余弦公式，難點在于公式的計算，識記公式，簡單計算，屬基礎(chǔ)題.3.已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn＝，令Tm＝|am+am+1+…am+4|（m∈N*），則Tm的最小值為（）A.9 B.8 C.5 D.3【答案】C【解析】【分析】先求出等差數(shù)列的通項公式，再根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，即可分析到的最小值．【詳解】解：由等差數(shù)列的前n項和，當(dāng)時，當(dāng)時，所以

當(dāng)，也成立，所以．

根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號．

故選：C．4.已知為虛數(shù)單位，則（）A B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的四則運算即可求解.【詳解】因為，故選：.5.下列函數(shù)中，在定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又單調(diào)遞增的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)選取特殊值可排除AB，利用偶函數(shù)的定義可以排除C，根據(jù)奇函數(shù)和復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性質(zhì)判斷D.【詳解】對于A選項，因為的定義域為，但，，故，所以函數(shù)不是奇函數(shù)，不符合條件，A錯誤；對于B選項，函數(shù)的定義域為，，，，函數(shù)在不是增函數(shù)，不符合條件，B錯誤；對于C選項，函數(shù)的定義域為，，函數(shù)為偶函數(shù)，不符合條件，C錯誤；D選項，因為函數(shù)的定義域為，，所以函數(shù)為奇函數(shù)，將函數(shù)式變?yōu)?，因為函?shù)在單調(diào)遞增，且，所以函數(shù)在單調(diào)遞增，且，所以函數(shù)在單調(diào)遞減，且，所以隨著增大，函數(shù)的函數(shù)值也增大，即是單調(diào)遞增函數(shù)，符合條件.故選：D.6.已知函數(shù)，，，，則，，的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】可判斷函數(shù)上單調(diào)遞增，且，所以.【詳解】在上單調(diào)遞增，且，所以.故選：B【點睛】本題主要考查了函數(shù)單調(diào)性的判定，指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，利用單調(diào)性比大小等知識，考查了學(xué)生的運算求解能力.7.已知點是雙曲線右支上一點，、分別是雙曲線的左、右焦點，為的內(nèi)心，若成立，則雙曲線的漸近線方程為A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)圓與的三邊、、分別相切于點，連接,，，可看作三個高均為圓半徑的三角形利用三角形面積公式，代入已知式，化簡可得，再結(jié)合雙曲線的定義與漸近線方程可得所求．【詳解】如圖，設(shè)圓與的三邊、、分別相切于點，連接，則，，，它們分別是，，的高，，，，其中是的內(nèi)切圓的半徑．，，兩邊約去得：，，根據(jù)雙曲線定義，得，，，，，可得雙曲線的漸近線方程為,即為，故選A．【點睛】本題主要考查雙曲線的定義以及雙曲線的漸近線，著重考查了雙曲線的基本性質(zhì)、三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)，屬于中檔題．解與雙曲線性質(zhì)有關(guān)的問題時要結(jié)合圖形進行分析，既使不畫出圖形，思考時也要聯(lián)想到圖形，當(dāng)涉及頂點、焦點、實軸、虛軸、漸近線等雙曲線的基本量時，要理清它們之間的關(guān)系，挖掘出它們之間的內(nèi)在聯(lián)系.8.已知函數(shù)，若，，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用奇函數(shù)得到，再判斷，利用二次求導(dǎo)判斷在上單調(diào)遞增，從而可判斷.【詳解】因為，所以在上是奇函數(shù).所以對求導(dǎo)得，令，則當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，則時，，即，所以在上單調(diào)遞增.因為，所以，因為在上單調(diào)遞增，所以.令，則所以當(dāng)時，單調(diào)遞減；當(dāng)時，單調(diào)遞增.所以，而，即，所以，即.所以，即，則所以所以，即.故選：A【點睛】關(guān)鍵點睛：構(gòu)造函數(shù)，判斷.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求的.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得2分.9.已知函數(shù)=，下列結(jié)論不正確的是（

）A.定義域為 B.定義域為C.定義域為 D.定義域為【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的定義，求得的取值范圍.【詳解】若函數(shù)有意義，需滿足，即，則，即的定義域為；故選：ABD10.對于實數(shù)a，b，c，下列命題是真命題的為（）A.若a＞b，則B.若a＞b，則ac2≥bc2C.若a＞0＞b，則a2＜﹣abD.若c＞a＞b＞0，則【答案】BD【解析】【分析】通過特例法可證錯誤；由不等式的性質(zhì)可證正確.【詳解】A．根據(jù)a＞b，取a＝1，b＝﹣1，則不成立，故A錯誤；B．∵a＞b，∴由不等式的基本性質(zhì)知ac2≥bc2成立，故B正確；C．由a＞0＞b，取a＝1，b＝﹣1，則a2＜﹣ab不成立，故C錯誤；D．∵c＞a＞b＞0，∴（a﹣b）c＞0，∴ac﹣ab＞bc﹣ab，即a（c﹣b）＞b（c﹣a），∵c﹣a＞0，c﹣b＞0，∴，故D正確．故選：BD．【點睛】本題考查由不等式的性質(zhì)判斷不等式是否正確，命題真假的判斷，屬于基礎(chǔ)題11.若存在實常數(shù)和，使得函數(shù)和對其定義域上的任意實數(shù)都滿足和恒成立，則稱直線為和的“隔離直線”，已知函數(shù)，，，下列命題正確的是（）A.與有“隔離直線”B.和之間存在“隔離直線”，且的取值范圍為C.和之間存在“隔離直線”，且的取值范圍是D.和之間存在唯一的“隔離直線”【答案】ABD【解析】【分析】對于A，取直線，討論與的符號判斷A；對于B，C，令隔離直線為，利用二次不等式恒成立計算判斷B，C；對于D，函數(shù)與有公共點，求出在點處的切線，再證明此切線與圖象關(guān)系作答.【詳解】對于A，取直線，當(dāng)時，，即成立，當(dāng)時，令，，則在遞減，在上遞增，，，即成立，直線是與的“隔離直線”，A正確；對于B，C，令和的“隔離直線”為，則，，則，有，，有，當(dāng)時，不等式成立，當(dāng)時，的對稱軸，而時，，則，即，顯然滿足此不等式，有，而，解得，同理，，B正確，C不正確；對于D，因，即和的圖象有公共點，若和有隔離直線，則該直線必過點，設(shè)過點的直線方程為，即，由，，即恒成立，則，解得，即這條直線為，令，求導(dǎo)得：，當(dāng)時，，當(dāng)時，，即在上遞減，在上遞增，，即，，和之間存在唯一的“隔離直線”，D正確.故選：ABD【點睛】思路點睛：涉及函數(shù)不等式恒成立問題，可以探討函數(shù)的最值，借助函數(shù)最值轉(zhuǎn)化解決問題.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知向量，，則___________.【答案】2【解析】【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標運算求解.【詳解】由題意可得：.故答案為：2.13.函數(shù)的圖象如圖，則的值為______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)圖象可確定最小正周期，由此可得，由此可求得結(jié)果.【詳解】由圖象可知：最小正周期，，.故答案為：.14.如圖，在棱長為的正方體中，，在線段上，，分別在線段，上，且，，，動點在平面內(nèi)，若，與平面的所成角相等，則線段長的最小值是______．【答案】【解析】【分析】第一步：利用線面角的定義確定直線，與平面的所成角；第二步：根據(jù)第一步中兩角相等推出；第三步：在平面中以線段的中點為坐標原點建立平面直角坐標系，利用條件得出點的軌跡為一個圓，然后利用幾何意義求出線段的最小值.【詳解】因為，且，故，又因為，且，所以平面，因為，同理可得平面，所以，與平面所成角分別為，，則．又因為，，且，所以，又因為，所以．在平面中，以線段所在直線為軸，其垂直平分線為軸建立平面直角坐標系，則，，，設(shè)，由可得，，化簡整理得，所以點在圓心為，半徑為的圓上，此時線段長的最小值是．故答案為：.【點睛】思路點睛：立體幾何壓軸題可以從以下方面入手：(1)涉及線面角、面面角的一般根據(jù)定義找角，然后利用所給角的特征，推出條件，再利用解析幾何的知識求解.(2)涉及球的外接問題的，一般要求找球心和截面幾何圖形的圓心，利用球心與圓心的連線垂直截面，進而根據(jù)勾股定理列等式，再利用解析幾何的知識求解.(3)涉及幾何體的體積問題的，一般是用割補法求解.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知圓過點和點，圓心在直線上.（1）求圓的方程，并寫出圓心坐標和半徑的值；（2）若直線經(jīng)過點，且被圓截得的弦長為4，求直線的方程.【答案】（1）圓：，圓心，（2）或【解析】【分析】（1）設(shè)圓的方程為，由圓心所在直線和圓過點和點可得方程組，求解即可；（2）由被圓所截弦長可得圓心到直線l的距離d，后由點到直線距離公式可得答案，但要注意直線斜率不存在的情況.【小問1詳解】設(shè)圓的方程為，則，解得，所以圓的方程為：，圓心為，半徑為；【小問2詳解】由（1）知，圓心到直線的距離為，于是當(dāng)直線的斜率不存在時，直線方程為，符合題意；當(dāng)直線斜率存在時，不妨設(shè)直線方程為，即，令，解得，直線方程是，綜上所述，直線的方程是：或.16.遺傳學(xué)在培育作物新品種中有著重要的應(yīng)用．已知某種農(nóng)作物植株有，，三種基因型，根據(jù)遺傳學(xué)定律可知，個體自交產(chǎn)生的子代全部為個體，個體自交產(chǎn)生的子代全部為個體，個體自交產(chǎn)生的子代中，，，，個體均有，且其數(shù)量比為．假設(shè)每個植株自交產(chǎn)生的子代數(shù)量相等，且所有個體均能正常存活．（1）現(xiàn)取個數(shù)比為的，，植株個體進行自交，從其子代所有植株中任選一株，已知該植株的基因型為，求該植株是由個體自交得到的概率；（2）已知基因型為AA的植株具備某種優(yōu)良性狀且能保持該優(yōu)良性狀的穩(wěn)定遺傳，是理想的作物新品種．農(nóng)科院研究人員為了獲得更多的植株用于農(nóng)業(yè)生產(chǎn)，將通過誘變育種獲得的Aa植株進行第一次自交，根據(jù)植株表現(xiàn)型的差異將其子代中的個體人工淘汰掉后，再將剩余子代植株全部進行第二次自交，再將第二次自交后代中的個體人工淘汰掉后，再將剩余子代植株全部進行第三次自交……此類推，不斷地重復(fù)此操作，從第次自交產(chǎn)生的子代中任選一植株，該植株的基因型恰為AA的概率記為（且）①證明：數(shù)列為等比數(shù)列；②求，并根據(jù)的值解釋該育種方案的可行性．【答案】（1）（2）①證明見解析；②證明見解析【解析】【分析】（1）分析遺傳特性，求概率即可.（2）①找到易求的，再利用遞推關(guān)系求解即可.②發(fā)現(xiàn)當(dāng)實驗次數(shù)夠多時，概率趨近于1即可.【小問1詳解】由題意得若對植株進行自交，產(chǎn)生，，的概率比為，故在個數(shù)比為的，，植株個體進行自交時，其親代，，的概率比為，而親代進行自交，產(chǎn)生，，的概率比為，故概率為，【小問2詳解】①記第代的概率為，子一代進行自交時，子二代進行自交時，故可遞推出，易得，而令，而，則有，故數(shù)列為等比數(shù)列得證.②由上問知，且當(dāng)時，，故該方案可行.17.如圖，在長方體中，，，M為的中點．（1）證明：；（2）若，求直線與平面所成角的正弦值．【答案】（1）證明見解析（2）．【解析】【分析】（1）由題意以D為原點建立空間直角坐標系，再設(shè)，根據(jù)證明即可；（2）求解平面的法向量，再根據(jù)直線與平面的夾角公式求解即可.【小問1詳解】證明：以D為原點，以DA，DC，所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖空間直角坐標系，設(shè)，則，，，，，．因為，所以，即．【小問2詳解】時，，由（1）知，，．設(shè)平面的法向量為，則，得，令，則，，所以為平面的一個法向量．設(shè)直線與平面所成的角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為．18.中國最早用土和石片刻制成“土主”與“日暑”兩種計時工具，成為世界上最早發(fā)明計時工具的國家之一.銅器時代，使用青銅制的“漏壺”，東漢元初四年張衡發(fā)明了世界第一架“水運渾象”，元初郭守敬、明初詹希元創(chuàng)制“大明燈漏”與“五輪沙漏”，一直到現(xiàn)代的鐘表、手表等.現(xiàn)在有人研究鐘的時針和分針一天內(nèi)重合的次數(shù)，從午夜零時算起，假設(shè)分針走了會與時針重合，一天內(nèi)分針和時針重合次.（1）建立關(guān)于的函數(shù)關(guān)系；（2）求一天內(nèi)分針和時針重合的次數(shù).【答案】（1）.（2）22次.【解析】【分析】（1）計算出分針以及時針的旋轉(zhuǎn)的角速度，由題意列出等式，求得答案；（2）根據(jù)時針旋轉(zhuǎn)一天所需的時間，結(jié)合（1）的結(jié)果，列出不等式，求得答案.【小問1詳解】設(shè)經(jīng)過分針就與時針重合，為兩針一天內(nèi)重合的次數(shù).因為分針旋轉(zhuǎn)的角速度為，時針旋轉(zhuǎn)的角速度為，所以，即.【小問2詳解】因為時針旋轉(zhuǎn)一天所需的時間為（），所以，于是,故時針與分針一天內(nèi)只重合22次.19.我國南北朝時期的數(shù)學(xué)家祖沖之（公元429年500年）計算出圓周率的精確度記錄在世界保持了千年之久，德國數(shù)學(xué)家魯?shù)婪颍ü?540年1610年）用一生精力計算出了圓周率的35位小數(shù)，隨著科技的進步，一些常數(shù)的精確度不斷被刷新．例如：我們很容易能利用計算器得出函數(shù)的零點的近似值，為了實際應(yīng)用，本題中取的值為0.57．哈三中畢業(yè)生創(chuàng)辦的倉儲型物流公司建造了占地面積足夠大的倉庫，內(nèi)部建造了一條智能運貨總干線，其在已經(jīng)建立的直角坐標系中的函數(shù)解析式為，其在處的切線為，現(xiàn)計劃再建一條總干線，其中m為待定的常數(shù)．注明：本題中計算的最終結(jié)果均用數(shù)字表示．（1）求出的直線方程，并且證明：在直角坐標系中，智能運貨總干線上的點不在直線的上方；（2）在直