第7講隨機模型與計算機模擬

第七講隨機模型與計算機模擬12隨機人口模型背景

一個人的出生和死亡是隨機事件一個國家或地區(qū)平均生育率平均死亡率確定性模型一個家族或村落出生概率死亡概率隨機性模型對象X(t)~時刻t的人口,隨機變量.Pn(t)~概率P(X(t)=n),n=0,1,2,…研究Pn(t)的變化規(guī)律；得到X(t)的期望和方差3若X(t)=n,對t到t+t的出生和死亡概率作以下假設(shè)1)出生一人的概率與t成正比，記bnt;出生二人及二人以上的概率為o(t).2)死亡一人的概率與t成正比，記dnt;死亡二人及二人以上的概率為o(t).3)出生和死亡是相互獨立的隨機事件。

bn與n成正比，記bn=n,

~出生概率；dn與n成正比，記dn=n，

~死亡概率。進一步假設(shè)模型假設(shè)4建模為得到Pn(t)P(X(t)=n),的變化規(guī)律，考察Pn(t+t)=P(X(t+t)=n).事件X(t+t)=n的分解X(t)=n-1,t內(nèi)出生一人X(t)=n+1,t內(nèi)死亡一人X(t)=n,t內(nèi)沒有出生和死亡其它(出生或死亡二人，出生且死亡一人，……)概率Pn(t+t)Pn-1(t),bn-1t

Pn+1(t),dn+1t

Pn(t),1-bnt-dnt

o(t)5~一組遞推微分方程——求解的困難和不必要(t=0時已知人口為n0)轉(zhuǎn)而考察X(t)的期望和方差bn=n，dn=n微分方程建模6X(t)的期望求解基本方程n-1=kn+1=k7求解比較：確定性指數(shù)增長模型X(t)的方差E(t)-

(t)-=r

D(t)E(t)+

(t)Et0n0,

D(t)X(t)大致在E(t)

2

(t)范圍內(nèi)（

(t)~均方差）r~增長概率r~平均增長率8目的內(nèi)容學(xué)習(xí)計算機模擬的基本過程與方法。1、模擬的概念。3、計算機模擬實例。2、產(chǎn)生隨機數(shù)的計算機命令。9模擬的概念

模擬就是利用物理的、數(shù)學(xué)的模型來類比、模仿現(xiàn)實系統(tǒng)及其演變過程，以尋求過程規(guī)律的一種方法。

模擬的基本思想是建立一個試驗?zāi)Ｐ?，這個模型包含所研究系統(tǒng)的主要特點．通過對這個實驗?zāi)Ｐ偷倪\行，獲得所要研究系統(tǒng)的必要信息10模擬的方法1、物理模擬：對實際系統(tǒng)及其過程用功能相似的實物系統(tǒng)去模仿。例如，軍事演習(xí)、船艇實驗、沙盤作業(yè)等。物理模擬通?；ㄙM較大、周期較長，且在物理模型上改變系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和系數(shù)都較困難。而且，許多系統(tǒng)無法進行物理模擬，如社會經(jīng)濟系統(tǒng)、生態(tài)系統(tǒng)等。11在實際問題中，面對一些帶隨機因素的復(fù)雜系統(tǒng)，用分析方法建模常常需要作許多簡化假設(shè)，與面臨的實際問題可能相差甚遠，以致解答根本無法應(yīng)用。這時，計算機模擬幾乎成為唯一的選擇。在一定的假設(shè)條件下，運用數(shù)學(xué)運算模擬系統(tǒng)的運行，稱為數(shù)學(xué)模擬?，F(xiàn)代的數(shù)學(xué)模擬都是在計算機上進行的，稱為計算機模擬。2、數(shù)學(xué)模擬計算機模擬可以反復(fù)進行，改變系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和系數(shù)都比較容易。

蒙特卡洛（MonteCarlo）方法是一種應(yīng)用隨機數(shù)來進行計算機模擬的方法．此方法對研究的系統(tǒng)進行隨機觀察抽樣，通過對樣本值的觀察統(tǒng)計，求得所研究系統(tǒng)的某些參數(shù)．12返回用蒙特卡洛方法進行計算機模擬的步驟：[1]設(shè)計一個邏輯框圖，即模擬模型．這個框圖要正確反映系統(tǒng)各部分運行時的邏輯關(guān)系。[2]模擬隨機現(xiàn)象．可通過具有各種概率分布的模擬隨機數(shù)來模擬隨機現(xiàn)象．13產(chǎn)生模擬隨機數(shù)的計算機命令在Matlab軟件中，可以直接產(chǎn)生滿足各種分布的隨機數(shù)，命令如下：2．產(chǎn)生m

n階［０，１］均勻分布的隨機數(shù)矩陣：rand(m,n)產(chǎn)生一個［０，１］均勻分布的隨機數(shù)：rand1．產(chǎn)生m

n階［a，b］均勻分布U（a，b）的隨機數(shù)矩陣：

unifrnd(a,b,m,n)產(chǎn)生一個［a，b］均勻分布的隨機數(shù)：unifrnd(a,b)當只知道一個隨機變量取值在（a，b）內(nèi)，但不知道（也沒理由假設(shè)）它在何處取值的概率大，在何處取值的概率小，就只好用U（a，b）來模擬它。14ToMatlab（rnd）當研究對象視為大量相互獨立的隨機變量之和，且其中每一種變量對總和的影響都很小時，可以認為該對象服從正態(tài)分布。各種測量誤差、人的身高、體重等，都可近似看成服從正態(tài)分布。15若連續(xù)型隨機變量X的概率密度函數(shù)為其中>0為常數(shù)，則稱X服從參數(shù)為的指數(shù)分布。指數(shù)分布的期望值為

排隊服務(wù)系統(tǒng)中顧客到達率為常數(shù)時的到達間隔、故障率為常數(shù)時零件的壽命都服從指數(shù)分布。指數(shù)分布在排隊論、可靠性分析中有廣泛應(yīng)用。注意：Matlab中，產(chǎn)生參數(shù)為的指數(shù)分布的命令為exprnd()16設(shè)離散型隨機變量X的所有可能取值為0,1,2,…,且取各個值的概率為其中>0為常數(shù)，則稱X服從參數(shù)為的帕松分布。帕松分布在排隊系統(tǒng)、產(chǎn)品檢驗、天文、物理等領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用。帕松分布的期望值為17如相繼兩個事件出現(xiàn)的間隔時間服從參數(shù)為的指數(shù)分布，則在單位時間間隔內(nèi)事件出現(xiàn)的次數(shù)服從參數(shù)為的泊松分布．即單位時間內(nèi)該事件出現(xiàn)k次的概率為：反之亦然。指數(shù)分布與帕松分布的關(guān)系：(1)指兩個顧客到達商店的平均間隔時間是10個單位時間.即平均10個單位時間到達1個顧客.(2)指一個單位時間內(nèi)平均到達0.1個顧客例(1)顧客到達某商店的間隔時間服從參數(shù)為0.1的指數(shù)分布(2)該商店在單位時間內(nèi)到達的顧客數(shù)服從參數(shù)為0.1的帕松分布返回18投擲硬幣的計算機模擬1、產(chǎn)生服從U（0，1）的隨機數(shù)R12、將區(qū)間[0，1]兩等分：若，則對應(yīng)硬幣正面若，則對應(yīng)硬幣反面19擲骰子的計算機模擬1、產(chǎn)生服從U（0，1）的隨機數(shù)R22、將區(qū)間[0，1]六等份：若，則對應(yīng)骰子點數(shù)為1若，則對應(yīng)骰子點數(shù)為2若，則對應(yīng)骰子點數(shù)為3若，則對應(yīng)骰子點數(shù)為4若，則對應(yīng)骰子點數(shù)為5若，則對應(yīng)骰子點數(shù)為620初始化:i=0,k1=0,k2=0,k3=0i=i+1R2=?k1