初中數(shù)學(xué)中考數(shù)學(xué)各類考點(diǎn)分項(xiàng)專解附8 相似三角形的常見(jiàn)模型

學(xué)霸班主任精編2022年中考數(shù)學(xué)相似三角形的常見(jiàn)模型1.了解相似三角形的性質(zhì)定理與判定定理；2.能利用相似三角形的性質(zhì)定理和判定定理解決簡(jiǎn)單問(wèn)題.1.相似三角形的判定；2.能構(gòu)成相似三角形的常見(jiàn)模型.《模型分析》相似三角形是初中幾何中的重要的內(nèi)容，常常與其它知識(shí)點(diǎn)結(jié)合以綜合題的形式呈現(xiàn)，其變化很多，是中考的?？碱}型。如果大家平時(shí)注重解題方法，熟練掌握基本解題模型，再遇到相似三角形的問(wèn)題就信心更足了．本專題重點(diǎn)講解相似三角形的六大基本模型．在添加輔助線時(shí)，所添加輔助線往往能夠構(gòu)造出一組或多組相似三角形，或得到成比例的線段或出等角，等邊，從而為證明三角形相似或進(jìn)行相關(guān)的計(jì)算找到等量關(guān)系．相似基本模型專題探究之一線三等角【知識(shí)點(diǎn)睛】常見(jiàn)基本類型：同側(cè)型（通常以等腰三角形或者等邊三角形為背景）異側(cè)型模型性質(zhì)應(yīng)用：一般地：當(dāng)動(dòng)點(diǎn)E一般地：當(dāng)動(dòng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到底邊的中點(diǎn)時(shí)，CF有最大值模型構(gòu)造：圖中已存在“一線三等角”，則直接應(yīng)用模型結(jié)論解題.圖中存在“一線兩等角”，補(bǔ)上“一等角”，構(gòu)造模型解題.圖中某直線上只存在1個(gè)角，補(bǔ)上“兩等角”，構(gòu)造模型解題.如果直線上只有1個(gè)角，要補(bǔ)成“一線三等角”時(shí)，該角通常是特殊角（30°、45°、60°）特征：構(gòu)造特殊角的等角時(shí)，一般是在“定線”上做含特殊角的直角三角形。“一線三等角”得到的相似，通常用外邊的兩等角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例求解長(zhǎng)度.相似常見(jiàn)模型之平行相似【知識(shí)點(diǎn)睛】A字圖及其變型“斜A型”當(dāng)DE∥BC當(dāng)DE∥BC時(shí)△ADE∽△ABC性質(zhì)：當(dāng)∠ADE=∠ACB時(shí)△ADE∽△ACB性質(zhì)：變型☆：斜A型在圓中的應(yīng)用：如圖可得：△PAB∽△PCD☆：“A☆：“A字圖”最值應(yīng)用A字圖中作動(dòng)態(tài)矩形求最大面積時(shí)，通常當(dāng)MN為△ABC中位線，矩形面積達(dá)到最大值！當(dāng)∠A=∠C時(shí)當(dāng)∠A=∠C時(shí)△AJB∽△CJD性質(zhì)：當(dāng)AB∥CD時(shí)△AOB∽△DOC性質(zhì)：變型☆：“蝴蝶型”常見(jiàn)應(yīng)用☆：“蝴蝶型”常見(jiàn)應(yīng)用常出現(xiàn)在“圓”中，直接由相交弦得到，求角度相關(guān)此時(shí)注意“同弧所對(duì)圓周角相等”的應(yīng)用出現(xiàn)在“手拉手模型”中，用于證明“兩直線垂直”或者“兩直線成一固定已知角度”☆：☆：A字圖與8字圖相似模型均是由“平行”直接得到的，∴有“∥”，多想此兩種模型常見(jiàn)“∥”的引入方式：直接給出平行的已知條件平行四邊形、矩形、菱形、正方形、梯形等幾何圖形中自帶的平行由很多中點(diǎn)構(gòu)造的“中位線”的平行根據(jù)線段成比例的條件或結(jié)論自己構(gòu)造平行輔助線知識(shí)點(diǎn)睛知識(shí)點(diǎn)睛一、相似的有關(guān)概念1．相似形具有相同形狀的圖形叫做相似形．相似形僅是形狀相同，大小不一定相同．相似圖形之間的互相變換稱為相似變換．2．相似圖形的特性兩個(gè)相似圖形的對(duì)應(yīng)邊成比例，對(duì)應(yīng)角相等．3．相似比兩個(gè)相似圖形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例．二、相似三角形的概念1．相似三角形的定義對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的三角形叫做相似三角形．如圖，與相似，記作，符號(hào)讀作“相似于”．2．相似比相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比叫做相似比．全等三角形的相似比是1．“全等三角形”一定是“相似形”，“相似形”不一定是“全等形”．三、相似三角形的性質(zhì)1．相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等如圖，與相似，則有．2．相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例如圖，與相似，則有（為相似比）．3．相似三角形的對(duì)應(yīng)邊上的中線，高線和對(duì)應(yīng)角的平分線成比例，都等于相似比．如圖1，與相似，是中邊上的中線，是中邊上的中線，則有（為相似比）．圖1如圖2，與相似，是中邊上的高線，是中邊上的高線，則有（為相似比）．圖2如圖3，與相似，是中的角平分線，是中的角平分線，則有（為相似比）．圖34．相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比．如圖4，與相似，則有（為相似比）．應(yīng)用比例的等比性質(zhì)有．圖45．相似三角形面積的比等于相似比的平方．如圖5，與相似，是中邊上的高線，是中邊上的高線，則有（為相似比）．進(jìn)而可得．圖5四、相似三角形的判定1．平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似．2．如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似．可簡(jiǎn)單說(shuō)成：兩角對(duì)應(yīng)相等，兩個(gè)三角形相似．3．如果一個(gè)三角形的兩邊和另一個(gè)三角形的兩邊對(duì)應(yīng)成比例，并且?jiàn)A角相等，那么這兩個(gè)三角形相似．4．如果一個(gè)三角形的三條邊與另一個(gè)三角形的你對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)三角形相似．可簡(jiǎn)單地說(shuō)成：三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩個(gè)三角形相似．5．如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)直角三角形相似．6．直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形相似（常用但要證明）7．如果一個(gè)等腰三角形和另一個(gè)等腰三角形的頂角相等或一對(duì)底角相等，那么這兩個(gè)等腰三角形相似；如果它們的腰和底對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)等腰三角形也相似．五、相似證明中的比例式或等積式、比例中項(xiàng)式、倒數(shù)式、復(fù)合式證明比例式或等積式的主要方法有“三點(diǎn)定形法”．1．橫向定型法欲證，橫向觀察，比例式中的分子的兩條線段是和，三個(gè)字母恰為的頂點(diǎn)；分母的兩條線段是和，三個(gè)字母恰為的三個(gè)頂點(diǎn)．因此只需證．2．縱向定型法欲證，縱向觀察，比例式左邊的比和中的三個(gè)字母恰為的頂點(diǎn)；右邊的比兩條線段是和中的三個(gè)字母恰為的三個(gè)頂點(diǎn)．因此只需證．3．中間比法由于運(yùn)用三點(diǎn)定形法時(shí)常會(huì)碰到三點(diǎn)共線或四點(diǎn)中沒(méi)有相同點(diǎn)的情況，此時(shí)可考慮運(yùn)用等線，等比或等積進(jìn)行變換后，再考慮運(yùn)用三點(diǎn)定形法尋找相似三角形．這種方法就是等量代換法．在證明比例式時(shí)，常用到中間比．比例中項(xiàng)式的證明，通常涉及到與公共邊有關(guān)的相似問(wèn)題。這類問(wèn)題的典型模型是射影定理模型，模型的特征和結(jié)論要熟練掌握和透徹理解．倒數(shù)式的證明，往往需要先進(jìn)行變形，將等式的一邊化為1，另一邊化為幾個(gè)比值和的形式，然后對(duì)比值進(jìn)行等量代換，進(jìn)而證明之．復(fù)合式的證明比較復(fù)雜．通常需要進(jìn)行等線代換（對(duì)線段進(jìn)行等量代換），等比代換，等積代換，將復(fù)合式轉(zhuǎn)化為基本的比例式或等積式，然后進(jìn)行證明．六、相似證明中常見(jiàn)輔助線的作法在相似的證明中，常見(jiàn)的輔助線的作法是做平行線構(gòu)造成比例線段或相似三角形，同時(shí)再結(jié)合等量代換得到要證明的結(jié)論．常見(jiàn)的等量代換包括等線代換、等比代換、等積代換等．如圖：平分交于，求證：．證法一：過(guò)作，交的延長(zhǎng)線于．∴，．∵，∴．∴．∵，∴．點(diǎn)評(píng)：做平行線構(gòu)造成比例線段，利用了“A”型圖的基本模型．證法二；過(guò)作的平行線，交的延長(zhǎng)線于．∴，∴．∵，∴．點(diǎn)評(píng)：做平行線構(gòu)造成比例線段，利用了“X”型圖的基本模型．七、相似證明中的面積法面積法主要是將面積的比，和線段的比進(jìn)行相互轉(zhuǎn)化來(lái)解決問(wèn)題．常用的面積法基本模型如下：如圖：．如圖：．如圖：．八、相似證明中的基本模型“A”字型1.圖①字型DE//BC，結(jié)論：，2.圖②反字型∠ADE=∠B，結(jié)論：3.圖③雙字型DE//BC，結(jié)論：，4.圖④內(nèi)含正方形字形，結(jié)論（為正方形邊長(zhǎng)）圖①圖②圖③圖④例1.如圖，在△ABC中，D，E分別是AB和AC上的點(diǎn)，且DE∥BC，＝，DE＝6，則BC的長(zhǎng)為（）A．8 B．9 C．10 D．12【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得＝，再根據(jù)＝，DE＝6，即可得出＝，進(jìn)而得到BC長(zhǎng)．【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝，又∵＝，DE＝6，∴＝，∴BC＝10，故選：C．根據(jù)平行線和公共角對(duì)應(yīng)角相等，導(dǎo)出三角形相似.例2.如圖，、是的邊、上的點(diǎn)，且，求證：.【答案】∵∴∵∴∽∴【解析】由邊乘積導(dǎo)出對(duì)應(yīng)邊成比例.反A字型需要注意對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角的識(shí)別.例3.如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E，Q分別在AB，AC，BC上，且DE∥BC，AQ交DE于點(diǎn)P．求證：DPBQ=【答案】證明：在△ABQ和△ADP中，∵DP∥BQ，∴△ADP∽△ABQ，∴DPBQ=AP同理在△ACQ和△APE中，PEQC=AP∴DPBQ【解析】可證明△ADP∽△ABQ，△ACQ∽△ADP，從而得出DPBQ以上兩個(gè)題目為雙A字模型，注意相同比例的等量代換.例4.如圖，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，矩形DEFG的頂點(diǎn)位于△ABC的邊上，設(shè)EF＝x，S四邊形DEFG＝y(tǒng)．（1）填空：自變量x的取值范圍是0＜x＜12；（2）求出y與x的函數(shù)表達(dá)式；（3）請(qǐng)描述y隨x的變化而變化的情況．【分析】（1）根據(jù)題意即可得到結(jié)論；（2）利用勾股定理和等腰三角形的三線合一求得BN、AN，再利用△ADG∽△ABC，得出比例線段，利用x表示出MN，進(jìn)一步利用矩形的面積求的函數(shù)解析式；列表取值，描點(diǎn)畫(huà)出圖象；（3）根據(jù)以上三種表示方式回答問(wèn)題即可．【解答】解：（1）0＜x＜12；故答案為：0＜x＜12；（2）如圖，過(guò)點(diǎn)A作AN⊥BC于點(diǎn)N，交DG于點(diǎn)M，∵AB＝AC＝10，BC＝12，AN⊥BC，∴BN＝CN＝6，AN＝＝8，∵DG∥BC，∴∠ADG＝∠ABC，∠AGD＝∠ACB，∴△ADG∽△ABC，，即，∴MN＝8﹣x．∴y＝EF?MN＝x（8﹣x）＝﹣x2+8x＝﹣（x﹣6）2+24；（3）當(dāng)0＜x＜6時(shí)，y隨x的增大而增大；當(dāng)x＝6時(shí)，y的值達(dá)到最大值24，當(dāng)6＜x＜12時(shí)，y隨x的增大而減?。毩?xí)1.如圖，在一塊三角形區(qū)域ABC中，∠C＝60°，AD是△ABC的高，BC＝10米，AD＝8米．現(xiàn)要在這個(gè)三角形區(qū)域內(nèi)建造一個(gè)矩形水池EFHG，如圖的方案是點(diǎn)G，H在BC邊上，點(diǎn)E在AB邊上，點(diǎn)F在AC邊上．（1）設(shè)EG＝x，當(dāng)x取何值時(shí)，水池EFHG的面積為15米2？（2）該水池的面積能不能為25米2？（3）實(shí)際施工時(shí)，發(fā)現(xiàn)在BC上距C點(diǎn)3米處有一棵大樹(shù)，問(wèn)：這棵大樹(shù)是否位于最大矩形水池的邊上？在或不在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）根據(jù)矩形的對(duì)邊平行可得EF∥BC，然后求出△AEF和△ABC相似，再利用相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比列式表示出EF，再根據(jù)矩形的面積公式列式計(jì)算即可得解；（2）根據(jù)面積等于25列出方程，利用根的判別式判斷即可；（3）根據(jù)二次函數(shù)的最值問(wèn)題求出面積最大時(shí)的x的值，再利用∠C的正切值求出CH的長(zhǎng)度，然后與3米比較即可判斷．【解答】解：（1）∵四邊形EFHG是矩形，∴EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴＝，即＝，解得EF＝，∴水池EFHG的面積＝x?＝，當(dāng)面積為15米2時(shí)，＝15，整理得，x2﹣8x+12＝0，解得x1＝2，x2＝6，答：x＝2米或6米時(shí)，水池EFHG的面積為15米2；（2）假設(shè)水池的面積能為25米2，則＝25，整理得，x2﹣8x+20＝0，∵△＝b2﹣4ac＝（﹣8）2﹣4×1×20＝64﹣80＝﹣16＜0，∴方程沒(méi)有實(shí)數(shù)解，故水池的面積不能為25米2；（3）∵水池EFHG的面積＝＝﹣（x2﹣8x）＝﹣（x﹣4）2+20，∴當(dāng)x＝4時(shí)，水池的面積最大，∵∠C＝60°，∴CH＝x÷tan60°＝4÷＝＜3，∴大樹(shù)能位于最大矩形水池的邊GH上．本題難度稍微大一點(diǎn)，綜合性比較強(qiáng)，涉及到二次函數(shù)的內(nèi)容，學(xué)生需要計(jì)算功底比較扎實(shí).“8”字型1.圖①“8”字型AB//CD，結(jié)論：，2.圖②“反8”字型∠A=∠C，結(jié)論：、四點(diǎn)共圓3.圖③“雙8”字型AB//CD，結(jié)論：，4.圖④“、8”字型AB//CD//EF，結(jié)論：5.圖⑤，結(jié)論：、圖①圖②圖③圖④圖⑤例1.如圖，?ABCD中，E是CD的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，BE與AD交于點(diǎn)F．證明：△ABF∽△CEB．【分析】根據(jù)平行四邊形對(duì)角相等可得∠A＝∠C，對(duì)邊平行可得AB∥CD，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等得到∠ABF＝∠E，然后利用兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似即可證明．【解答】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠A＝∠C，AB∥CD，∵AB∥CD，∴∠ABF＝∠E，在△ABF和△CEB中，∠A＝∠C，∠ABF＝∠E，∴△ABF∽△CEB．練習(xí)1.如圖，△ABC中，AD、BE是兩條中線，則S△EDC：S△ABC＝（）A．1：2 B．2：3 C．1：3 D．1：4【分析】在△ABC中，AD、BE是兩條中線，可得DE是△ABC的中位線，即可證得△EDC∽△ABC，然后由相似三角形的面積比等于相似比的平方，即可求得答案．【解答】解：∵△ABC中，AD、BE是兩條中線，∴DE是△ABC的中位線，∴DE∥AB，DE＝AB，∴△EDC∽△ABC，∴S△EDC：S△ABC＝（）2＝．故選：D．此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及平行四邊形的性質(zhì)．此題難度不大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．例2.如圖，在?ABCD中，∠ABC的平分線BF分別與AC、AD交于點(diǎn)E、F．（1）求證：AB＝AF；（2）當(dāng)AB＝3，BC＝5時(shí)，求的值．【分析】（1）由在?ABCD中，AD∥BC，利用平行線的性質(zhì)，可求得∠2＝∠3，又由BF是∠ABC的平分線，易證得∠1＝∠3，利用等角對(duì)等邊的知識(shí)，即可證得AB＝AF；（2）易證得△AEF∽△CEB，利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，即可求得的值．【解答】解：（1）如圖，在?ABCD中，AD∥BC．∴∠2＝∠3，∵BF是∠ABC的平分線，∴∠1＝∠2，∴∠1＝∠3，∴AB＝AF；（2）∵∠AEF＝∠CEB，∠2＝∠3，∴△AEF∽△CEB，∵AF＝AB＝3，∴＝＝，∴＝．練習(xí)1.如圖，在正方形ABCD中，CE⊥DF于O點(diǎn)，假設(shè)正方形的邊長(zhǎng)1，CF＝x．（1）試求四邊形ADOE的面積；（2）當(dāng)F是BC的中點(diǎn)時(shí)，求四邊形ADOE的面積的值．【分析】（1）先得△CBE≌△DCF，則S△CBE＝S△DCF＝x，再由△COF∽△CBE求得S△COF，則S四邊形ADOE＝1﹣S△CBE﹣S△DCF﹣S△COF．（2）當(dāng)F是BC的中點(diǎn)時(shí)，x＝，代入（1）中所求的表達(dá)式求得四邊形ADOE的面積的值．【解答】解：（1）易知△CBE≌△DCF，得BE＝CF＝x，EC2＝1+x2，．又△COF∽△CBE，所以S△CBE：S△COF＝CE2：FC2＝（1+x2）：x2，得．所以．（2）當(dāng)F是BC的中點(diǎn)時(shí)，，此時(shí)．以上兩個(gè)題目是A字型和8字型的綜合題目，需要將兩種模型的特點(diǎn)結(jié)合使用，題目分析思路相對(duì)比較復(fù)雜.例3.如圖，點(diǎn)E在矩形ABCD的邊AD上，且∠EBC＝∠ECB．（1）求證：AE＝ED；（2）連接BD交CB于點(diǎn)F，求△BCF和△DEF的面積之比．【分析】（1）根據(jù)HL證明Rt△ABE≌Rt△DCE即可．（2）利用相似三角形的性質(zhì)即可解決問(wèn)題．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AB＝CD，∠A＝∠CDE＝90°，∵∠EBC＝∠ECB，∴EB＝EC，∴Rt△ABE≌Rt△DCE（HL），∴AE＝ED．（2）解：∵BC＝AD，AE＝ED，∴BC＝2DE，∵DE∥BC，∴△DEF∽△BCF，∴＝（）2＝．練習(xí)1.如圖，在四邊形ABCD中，∠B＝90°，對(duì)角線AC平分∠BAD，AC2＝AB?AD．（1）求證：AC⊥CD；（2）若點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，連接CE，∠AEC＝134°，求∠BCD的度數(shù)．【分析】（1）只要證明△BAC∽△CAD，看到∠B＝∠ACD＝90°解決問(wèn)題；（2）首先證明∠D＝∠ECD＝67°，再利用相似三角形的性質(zhì)推出∠ACB＝∠D＝67°即可解決問(wèn)題；【解答】（1）證明：∵AC2＝AB?AD，∴＝，∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠CAD，∴△BAC∽△CAD，∴∠B＝∠ACD＝90°，∴AC⊥CD．（2）∵∠ACD＝90°，AE＝ED，∴EC＝EA＝ED，∴∠D＝∠ECD，∵∠AEC＝∠D+∠ECD＝134°，∴∠ECD＝∠D＝67°，∵△ABC∽△ACD，∴∠ACB＝∠D＝67°，∴∠BCD＝67°+90°＝157°．練習(xí)2.如圖，直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，對(duì)角線AC⊥BD，垂足為E，AD=BD，過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB交AD于F，求證：（1）AF=BE；（2）AF2=AE?EC．【答案】證明：（1）∵EF∥AB，∴△DFE∽△DAB．∴．又∵DA=DB，∴DF=DE．∴DA-DF=DB-DE，即AF=BE．（2）∵AB⊥BC，∴△ABC為直角三角形．又∵AC⊥BD，∴△BCE∽△ABE．∴，即EB2=AE?EC．又∵AF=EB，∴AF2=AE?EC．【解析】（1）根據(jù)平行構(gòu)造相似三角形，利用相似三角形的性質(zhì)解答；（2）因?yàn)锳B⊥BC，所以△ABC為直角三角形，又因?yàn)锳C⊥BD，所以可知△BCE∽△ABE，利用相似三角形的性質(zhì)即可解答．以上題目為在梯形當(dāng)中三角形相似問(wèn)題的典型考查.一線三等角型結(jié)論：出現(xiàn)兩個(gè)相似三角形圖①圖②圖③圖④例1.如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，點(diǎn)D在BC所在的直線上運(yùn)動(dòng)，作∠ADE＝45°（A，D，E按逆時(shí)針?lè)较颍酎c(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動(dòng)，DE交AC于E．①求證：△ABD∽△DCE；②當(dāng)△ADE是等腰三角形時(shí)，求AE的長(zhǎng)．【分析】①由∠ADB+∠BAD＝135°，∠ADB+∠CDE＝135°，得出∠BAD＝∠CDE，推出△ABD∽△DCE；②分三種情況討論，（1）當(dāng)AD＝AE時(shí)，∠ADE＝∠AED＝45°時(shí)，得到∠DAE＝90°，點(diǎn)D、E分別與B、C重合；（2）當(dāng)AD＝DE時(shí)，由①知△ABD∽△DCE；（3）當(dāng)AE＝DE時(shí)，有∠EAD＝∠ADE＝45°＝∠C，得到∠ADC＝∠AED＝90°，于是得到DE＝AE＝AC＝1．【解答】①證明：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠B＝∠C＝45°，∴∠BAD+∠ADB＝135°，∵∠ADE＝45°，∴∠ADB+∠EDC＝135°，∴∠BAD＝∠EDC，∴△ABD∽△DCE；②分三種情況：（1）當(dāng)AD＝AE時(shí)，∠ADE＝∠AED＝45°時(shí)，∴∠DAE＝90°，點(diǎn)D、E分別與B、C重合，∴AE＝AC＝2；（2）當(dāng)AD＝DE時(shí)，由①知△ABD∽△DCE，∵AD＝DE，△ABD≌△DCE，∴AB＝CD＝2，∴BD＝CE＝，∴AE＝AC﹣CE＝4﹣；（3）當(dāng)AE＝DE時(shí)，有∠EAD＝∠ADE＝45°＝∠C，∴∠ADC＝∠AED＝90°，∴AE＝DE＝AC＝1．練習(xí)1.一般來(lái)說(shuō)，依據(jù)數(shù)學(xué)研究對(duì)象本質(zhì)屬性的相同點(diǎn)和差異點(diǎn)，將數(shù)學(xué)對(duì)象分為不同種類的數(shù)學(xué)思想叫做“分類”的思想；將事物進(jìn)行分類，然后對(duì)劃分的每一類分別進(jìn)行研究和求解的方法叫做“分類討論”法，請(qǐng)你依據(jù)分類的思想和分類討論的方法解決下列問(wèn)題：在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，點(diǎn)D在BC所在的直線上運(yùn)動(dòng)，作∠ADE＝45°（A、D、E按逆時(shí)針?lè)较颍?）如圖1，若點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動(dòng)，DE交AC于E①求證：△ABD∽△DCE；②當(dāng)△ADE是等腰三角形時(shí)，求AE的長(zhǎng)；（2）如圖2，若點(diǎn)D在BC的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)，DE的反向延長(zhǎng)線與AC延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E′，是否存在點(diǎn)D，使得△ADE′是等腰三角形？若存在，求出CD與AE′的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)簡(jiǎn)要說(shuō)明理由．【分析】（1）①由∠ADB+∠BAD＝135°，∠ADB+∠CDE＝135°，得出∠BAD＝∠CDE，推出△ABD∽△DCE．②（ⅰ）當(dāng)AD＝AE時(shí)，∠ADE＝∠AED＝45°時(shí)，得到∠DAE＝90°，點(diǎn)D、E分別與B、C重合；（ⅱ）當(dāng)AD＝DE時(shí)，由①知△ABD∽△DCE；（ⅲ）當(dāng)AE＝DE時(shí)，有∠EAD＝∠ADE＝45°＝∠C，故∠ADC＝∠AED＝90°．三種情況討論．（2）存在，可證△ADC∽△AE′D，得到CD＝AC＝2，進(jìn)而得出AE′的長(zhǎng)．【解答】解：（1）①由∠BAC＝90°，AB＝AC，推出∠B＝∠C＝45°．由∠BAD+∠ADB＝135°，∠ADB+∠EDC＝135°得到∠BAD＝∠EDC．推出△ABD∽△DCE．②分三種情況：（ⅰ）當(dāng)AD＝AE時(shí)，∠ADE＝∠AED＝45°時(shí)，得到∠DAE＝90°，點(diǎn)D、E分別與B、C重合，所以AE＝AC＝2．（ⅱ）當(dāng)AD＝DE時(shí)，由①知△ABD∽△DCE，又∵AD＝DE，知△ABD≌△DCE．所以AB＝CD＝2，故BD＝CE＝2﹣2，所以AE＝AC﹣CE＝4﹣2．（ⅲ）當(dāng)AE＝DE時(shí)，有∠EAD＝∠ADE＝45°＝∠C，故∠ADC＝∠AED＝90°．所以AE＝DE＝AC＝1．故AE的長(zhǎng)為1；（2）存在（只有一種情況）．由∠ACB＝45°推出∠CAD+∠ADC＝45°．由∠ADE＝45°推出∠DAC+∠DE′A＝45°．從而推出∠ADC＝∠DE′A．證得△ADC∽△AE′D．所以＝，又∵AD＝DE′，∴CD＝AC＝2．∵△ADC∽△AE′D，∴＝，∴AD2＝AC?AE′，過(guò)點(diǎn)A做AH⊥BC于點(diǎn)H，則AH＝，DH＝2+，則AD2＝AH2+DH2，∴（）2+（2+）2＝2AE′，∴AE′＝4+2．注意角的轉(zhuǎn)化，一線三等角模型的辨別.例2.如圖，在△ABC和△CDE中，∠B=∠D=90°，C為線段BD上一點(diǎn)，且AC⊥CE．AB=3，DE=2，BC=6．求CD的長(zhǎng)．【答案】解：∵在△ABC中，∠B=90°，∴∠A+∠ACB=90°．∵AC⊥CE，∴∠ACB+∠ECD=90°．∴∠A=∠ECD．∵在△ABC和△CDE中，∠A=∠ECD，∠B=∠D=90°，∴△ABC∽△CDE，∴ABCD=∵AB=3，DE=2，BC=6，∴CD=1．【解析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，可得∠A+∠ACB，∠ACB+∠ECD，再根據(jù)余角的性質(zhì)，可得∠A=∠ECD根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)，可得ABCD練習(xí)1.如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝50，AC＝30，D，E，F(xiàn)分別是AC，AB，BC的中點(diǎn)．點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)沿折線DE﹣EF﹣FC﹣CD以每秒7個(gè)單位長(zhǎng)的速度勻速運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿BA方向以每秒4個(gè)單位長(zhǎng)的速度勻速運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)Q作射線QK⊥AB，交折線BC﹣CA于點(diǎn)G．點(diǎn)P，Q同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)P繞行一周回到點(diǎn)D時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q也隨之停止．設(shè)點(diǎn)P，Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒（t＞0）．（1）D，F(xiàn)兩點(diǎn)間的距離是25；（2）射線QK能否把四邊形CDEF分成面積相等的兩部分？若能，求出t的值；若不能，說(shuō)明理由；（3）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到折線EF﹣FC上，且點(diǎn)P又恰好落在射線QK上時(shí)，求t的值；（4）連接PG，當(dāng)PG∥AB時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出t的值．【分析】（1）由中位線定理即可求出DF的長(zhǎng)；（2）連接DF，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥AB于點(diǎn)H，由四邊形CDEF為矩形，QK把矩形CDEF分為面積相等的兩部分，根據(jù)△HBF∽△CBA，對(duì)應(yīng)邊的比相等，就可以求得t的值；（3）①當(dāng)點(diǎn)P在EF上（2≤t≤5時(shí)根據(jù)△PQE∽△BCA，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等，可以求出t的值；②當(dāng)點(diǎn)P在FC上（5≤t≤7）時(shí)，PB＝PF+BF就可以得到；（4）當(dāng)PG∥AB時(shí)四邊形PHQG是矩形，由此可以直接寫(xiě)出t．【解答】解：（1）Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝50，∵D，F(xiàn)是AC，BC的中點(diǎn)，∴DF為△ABC的中位線，∴DF＝AB＝25故答案為：25．（2）能．如圖1，連接DF，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥AB于點(diǎn)H，∵D，F(xiàn)是AC，BC的中點(diǎn)，∴DE∥BC，EF∥AC，四邊形CDEF為矩形，∴QK過(guò)DF的中點(diǎn)O時(shí)，即過(guò)矩形CDEF的中點(diǎn)，QK把矩形CDEF分為面積相等的兩部分此時(shí)QH＝OF＝12.5．由BF＝20，△HBF∽△CBA，得HB＝16．故t＝＝．（3）①當(dāng)點(diǎn)P在EF上（2≤t≤5）時(shí)，如圖2，QB＝4t，DE+EP＝7t，由△PQE∽△BCA，得．∴t＝4；②當(dāng)點(diǎn)P在FC上（5≤t≤7）時(shí)，如圖3，已知QB＝4t，從而PB＝＝＝5t，由PF＝7t﹣35，BF＝20，得5t＝7t﹣35+20．解得t＝7；（4）如圖4，t＝1；如圖5，t＝7．（注：判斷PG∥AB可分為以下幾種情形：當(dāng)0＜t≤2時(shí)，點(diǎn)P下行，點(diǎn)G上行，可知其中存在PG∥AB的時(shí)刻，如圖4；此后，點(diǎn)G繼續(xù)上行到點(diǎn)F時(shí)，t＝4，而點(diǎn)P卻在下行到點(diǎn)E再沿EF上行，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)P在EF上運(yùn)動(dòng)時(shí)不存在PG∥AB；5≤t≤7當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P，G均在FC上，也不存在PG∥AB；由于點(diǎn)P比點(diǎn)G先到達(dá)點(diǎn)C并繼續(xù)沿CD下行，所以在7＜t＜8中存在PG∥AB的時(shí)刻，如圖5當(dāng)8≤t≤10時(shí)，點(diǎn)P，G均在CD上，不存在PG∥AB）以上兩個(gè)題目為同一個(gè)題目的變形考察，學(xué)生注意熟練掌握.本模型是一線三等角的特殊模型——垂直型.母子型1.圖①內(nèi)角分線型，結(jié)論：；圖②外角分線型，結(jié)論：2.圖③斜射影定理型，結(jié)論：，3.圖④射影定理型，結(jié)論：（1），（2），（3）圖①圖②圖③圖④例1.閱讀理解：如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，求證：ABBD=ACCD小明在證明此題時(shí)，想通過(guò)證明三角形相似來(lái)解決，但發(fā)現(xiàn)圖中無(wú)相似三角形，于是過(guò)點(diǎn)B作BE∥AC交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，構(gòu)造△ACD∽△EBD，則ABBD=AC于是小明得出結(jié)論：在△ABC中，AD平分∠BAC，則ABBD=AC請(qǐng)完成小明的證明過(guò)程．【答案】解：過(guò)點(diǎn)B作BE∥AC交AD延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，∵BE∥AC，∴∠DBE=∠C，∠E=∠CAD，∴△BDE∽△CDA，∴BDDC又∵AD是角平分線，∴∠E=∠DAC=∠BAD，∴BE=AB，∴ABBD=AC【解析】先過(guò)點(diǎn)B作BE∥AC交AD延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，由于BE∥AC，利用平行線分線段成比例定理的推論、平行線的性質(zhì)，可得△BDE∽△CDA，∠E=∠DAC，再利用相似三角形的性質(zhì)可有BDDC=BEAC，而利用AD時(shí)角平分線又知∠E=∠DAC=∠練習(xí)1.如圖，D是△ABC的邊BC上一點(diǎn)，已知AB＝4，AD＝2，∠DAC＝∠B，若△ABC的面積為m，則△ACD的面積為m．【分析】首先證明△ACD∽△BCA，由相似三角形的性質(zhì)可得：△ACD的面積：△ABC的面積為1：4，因?yàn)椤鰽BC的面積為m，進(jìn)而求出△ACD的面積．【解答】解：∵∠DAC＝∠B，∠C＝∠C，∴△ACD∽△BCA，∵AB＝4，AD＝2，∴△ACD的面積：△ABC的面積為1：4，∵△ABC的面積為m，∴△ACD的面積為m，故答案為：m．注意畫(huà)輔助線構(gòu)造相似三角形，一般在利用角平分線構(gòu)造相似時(shí)，常會(huì)優(yōu)先考慮利用平行來(lái)構(gòu)造.例2.如圖，點(diǎn)C，D在線段AB上，△PCD是等邊三角形，且∠APB＝120°，求證：（1）△ACP∽△PDB，（2）CD2＝AC?BD．【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠PCD＝∠PDC＝∠CPD＝60°，于是推出∠ACP＝∠PDB＝120°，等量代換得到∠BPD＝∠CAP，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到結(jié)論；（2）由相似三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到PC＝PD＝CD，等量代換得到，即可得到結(jié)論．【解答】證明：（1）∵△PCD是等邊三角形，∴∠PCD＝∠PDC＝∠CPD＝60°，∴∠ACP＝∠PDB＝120°，∵∠APB＝120°，∴∠APC+∠BPD＝60°，∵∠CAP+∠APC＝60°∴∠BPD＝∠CAP，∴△ACP∽△PDB；（2）由（1）得△ACP∽△PDB，∴，∵△PCD是等邊三角形，∴PC＝PD＝CD，∴，∴CD2＝AC?BD．練習(xí)1.如圖，在四邊形ABCD中，∠B＝90°，對(duì)角線AC平分∠BAD，AC2＝AB?AD．（1）求證：AC⊥CD；（2）若點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，連接CE，∠AEC＝134°，求∠BCD的度數(shù)．【分析】（1）只要證明△BAC∽△CAD，看到∠B＝∠ACD＝90°解決問(wèn)題；（2）首先證明∠D＝∠ECD＝67°，再利用相似三角形的性質(zhì)推出∠ACB＝∠D＝67°即可解決問(wèn)題；【解答】（1）證明：∵AC2＝AB?AD，∴＝，∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠CAD，∴△BAC∽△CAD，∴∠B＝∠ACD＝90°，∴AC⊥CD．（2）∵∠ACD＝90°，AE＝ED，∴EC＝EA＝ED，∴∠D＝∠ECD，∵∠AEC＝∠D+∠ECD＝134°，∴∠ECD＝∠D＝67°，∵△ABC∽△ACD，∴∠ACB＝∠D＝67°，∴∠BCD＝67°+90°＝157°．本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)，用到的知識(shí)點(diǎn)為：①如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似（簡(jiǎn)敘為兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似）；②相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例．例3.如圖，在△ABC中，AB=AC，AD為BC邊上的中線，DE⊥AB于點(diǎn)E．(1)求證：△BDE∽△CAD．(2)若AB=13，BC=10，求線段DE的長(zhǎng)．【答案】(1)解：∵AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC，∠B=∠C，∵DE⊥AB，∴∠DEB=∠ADC，∴△BDE∽△CAD．(2)解：∵AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC，在Rt△ADB中，AD=AB2-B由(1)得BDAC=DE∴DE=6013練習(xí)1.如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于點(diǎn)D