2023-2024學(xué)年重慶市名校聯(lián)盟高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷（含解析）

第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2023-2024學(xué)年重慶市名校聯(lián)盟高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.(1?iA.1?i B.1+3i 2.已知向量a=(1,x)，b=(?1A.?3 B.0 C.43 3.用斜二測(cè)畫(huà)法作一個(gè)邊長(zhǎng)為6的正方形，則其直觀圖的面積為(

)A.36 B.182 C.94.若|a|=2，|b|=1，且aA.30° B.60° C.120°5.在△ABC中，cosC=23，AC=4A.19 B.13 C.126.中國(guó)國(guó)家館，以城市發(fā)展中的中華智慧為主題，表現(xiàn)出了“東方之冠，鼎盛中華，天下糧倉(cāng)，富庶百姓”的中國(guó)文化精神與氣質(zhì).如圖，現(xiàn)有一個(gè)與中國(guó)國(guó)家館結(jié)構(gòu)類似的正四棱臺(tái)ABCD?A1B1C1D1，上下底面的中心分別為O1和A.2023 B.28237.如圖，在△ABC中，AD=23AC，BPA.?3 B.3 C.2 D.8.已知△ABC中，AB=AC=5，BC=6，點(diǎn)DA.27 B.0 C.?716 二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.下列說(shuō)法不正確的是(

)A.若直線a?面α，直線b?面α，則直線a，直線b無(wú)公共點(diǎn)

B.若直線l/?/面α，則直線l與面α內(nèi)的直線平行或異面

10.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，下列敘述正確的是A.a=3，b=4，A=150°，有兩解

B.若acosB=bcosA，則△ABC為等腰三角形

11.“奔馳定理”因其幾何表示酷似奔馳的標(biāo)志得來(lái)，是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論.奔馳定理與三角形四心(重心、內(nèi)心、外心、垂心)有著神秘的關(guān)聯(lián).它的具體內(nèi)容是：已知M是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，△BMC，△AMC，△AMB的面積分別為A.若SA：SB：SC=1：1：1，則M為△ABC的重心

B.若M為△ABC的內(nèi)心，則BC?MA+AC?MB+三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.復(fù)數(shù)3+4i與?5?2i分別表示向量OA與13.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，asinA+bsi14.在三棱錐A?BCD中，∠ABD=∠AB四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.(本小題13分)

如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，截去三棱錐A1?AB16.(本小題15分)

已知向量a=(1,3)，b=(?2,0)．

(1)17.(本小題15分)

某景區(qū)為打造景區(qū)風(fēng)景亮點(diǎn)，欲在一不規(guī)則湖面區(qū)域(陰影部分)上A，B兩點(diǎn)之間建一條觀光通道，如圖所示.在湖面所在的平面(不考慮湖面離地平面的距離，視湖面與地平面為同一平面)內(nèi)距離點(diǎn)B50米的點(diǎn)C處建一涼亭，距離點(diǎn)B70米的點(diǎn)D處再建一涼亭，測(cè)得∠ACB=∠ACD，cos∠ACB=1018.(本小題17分)

定義在封閉的平面區(qū)域D內(nèi)任意兩點(diǎn)的距離的最大值稱為平面區(qū)域D的“直徑”.如圖，已知銳角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)A，B，C在半徑為1的圓上，角的對(duì)邊分別為a，b，c，若acosBcosA+b=2c．

(1)求角19.(本小題17分)

如圖，在△ABC中，∠ABC為鈍角，AB=22，BC=263，sin∠CAB=13.過(guò)點(diǎn)B作AB的垂線，交AC于點(diǎn)D，E為BD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接AE，

答案和解析1.【答案】C

【解析】解：(1?i)(2+i)2.【答案】A

【解析】解：∵向量a=(1,x)，b=(?1,3)，

∴2a+b=2(1,x)3.【答案】C

【解析】解：根據(jù)題意，原圖為邊長(zhǎng)為6的正方形，其面積S=6×6=36，

則其直觀圖的面積S′=4.【答案】B

【解析】解：若|a|=2，|b|=1，且a⊥(a?4b)，設(shè)向量a，b的夾角為θ，θ∈[0°,180°]5.【答案】A

【解析】【分析】本題主要考查了余弦定理的應(yīng)用，熟練掌握余弦定理是解本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．

先根據(jù)余弦定理求出AB【解答】

解：在△ABC中，cosC=23，AC=4，BC=36.【答案】B

【解析】解：如圖，

過(guò)A1作A1E⊥AC，垂足為E，則A1E⊥平面ABCD，

過(guò)E作EF⊥AB，垂足為F，連接EF，則EF為A1F在底面上的射影，

∵可得A1F⊥AB．

在正四棱臺(tái)ABC7.【答案】B

【解析】【分析】

本題考查了平面向量基本定理的應(yīng)用問(wèn)題，解題時(shí)應(yīng)根據(jù)向量的加法與減法運(yùn)算將向量進(jìn)行分解，是基礎(chǔ)題．

根據(jù)平面向量的基本定理，結(jié)合向量加法與減法的三角形法則，進(jìn)行化簡(jiǎn)運(yùn)算即可．

【解答】

解：∵AP=AB+BP，

BP=13BD

=13(AD?AB)

=13A8.【答案】D

【解析】解：由題意，以BC所在直線為x軸，線段BC的中垂線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示．

∵AB=AC=5，BC=6，D為AC中點(diǎn)，∴C(3,0)，A(0,4)，D(32,2)，

又點(diǎn)M在BC邊上運(yùn)動(dòng)，可設(shè)M(t,0)，其中t9.【答案】AC【解析】解：對(duì)于A：如圖：若直線a?面α，直線b?面α，a與b可以相交，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B：若直線l/?/面α，則l與面α沒(méi)有公共點(diǎn)，所以直線l與面α內(nèi)的直線平行或異面，故B正確；

對(duì)于C：有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，

由這些面所圍成的多面體叫做棱柱，故C錯(cuò)誤．

對(duì)于D：由棱臺(tái)的定義得：棱臺(tái)側(cè)棱延長(zhǎng)后交于一點(diǎn)，有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是梯形幾何體的側(cè)棱延長(zhǎng)后不一定交于一點(diǎn)，故D錯(cuò)誤．

故選：ACD．

對(duì)于A，畫(huà)出圖形即可判斷；對(duì)于B，根據(jù)直線l/?/面α，l與面10.【答案】CD【解析】解：A中，由a<b，可得A<B，而A=150°，所以B>150°，顯然這樣的三角形不存在，所以A不正確；

B中，由正弦定理可得ab=sinAsinB，而acosB=bcosA，即ab=cosBcosA，

所以sinAsinB=cosBcosA，即sinAcosA=sinBcosB，即sin2A=sin2B，

所以2A=2B或2A+2B=π，即A=B11.【答案】AB【解析】解：對(duì)于A，取BC的中點(diǎn)D，連接MD，AM，

由SA：SB：SC=1：1：1，則MA+MB+MC=0，

所以2MD=MB+MC=?MA，

所以A，M，D三點(diǎn)共線，且AM=23AD，

設(shè)E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點(diǎn)，同理可得CM=23CE，BM=23BF，

所以M為△ABC的重心，故A正確；

對(duì)于B，由M為△ABC的內(nèi)心，則可設(shè)內(nèi)切圓半徑為r，

則有SA=12BC?r，SB=12AC?r，SC=12AB?r，

所以12BC?r?MA+12AC?r?MB+12AB?r?MC=0，

即BC?MA+AC?MB+AB?MC=0，故B正確；

對(duì)于C，由M為△ABC的外心，則可設(shè)△ABC的外接圓半徑為R，

因?yàn)椤螧AC=45°，∠ABC=60°，

則有∠BMC=2∠BAC=90°，∠AMC=2∠ABC=120°，∠AMB=2∠ACB=150°，

所以SA12.【答案】?8【解析】解：根據(jù)題意，復(fù)數(shù)3+4i與?5?2i分別表示向量OA與OB，

則OA=(3,4)，OB=(?513.【答案】2【解析】解：由asinA+bsinC=bsinB+csinC及正弦定理可得a2+bc=b2+c2，

即bc14.【答案】72π【解析】解：由∠ABD=∠ABC=60°，BC=BD=32，AB=62，

在△ABC中，由余弦定理可得AC=AB2+BC2?2AB?BCcos60°

=(62)2+(32)2?2×62×32×cos15.【答案】解：(1)∵正方體棱長(zhǎng)為2，

∴VA1?ABD=13S△A【解析】(1)直接利用棱錐的體積公式即可求解；

(2)剩余的幾何體的面分別是一個(gè)△A16.【答案】解：(1)∵向量a=(1,3)，b=(?2,0)，

∴a?b=(1,3)?(?2,0)=(3,【解析】(1)推導(dǎo)出a?b=(3,3)，由此由求出a?b與a之間的夾角．17.【答案】解：(1)設(shè)∠ACB=∠ACD=θ，則∠BCD=2θ∈(0°,180°)，所以θ∈(0°,90°)，

因?yàn)閏osθ=105，所以sinθ=1?cos2θ=155，

所以sin2θ=2sinθ【解析】(1)由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和二倍角公式可求sin∠BCD，再由正弦定理即可求得；

(2)由(1)可求得sin∠CBD，在△B18.【答案】解：(1)由題意，acosB+bcosA=2ccosA，

由正弦定理可得，sinAcosB+sinBcosA=2sinCcosA，

即sin(A+B)=2sinCcosA，

又A+B=π?C，

從而sin(A+B)=sinC=2sinCcosA，

所以cos【解析】(1)由acosBcosA+b=2c得到acosB+bcosA=2c19.【答案】解：(1)由題意，可得∠CAB為銳角，

又sin∠CAB=13，

可得cos∠CAB=223，

在△ABC中，設(shè)角A，