第三講 索羅增長(zhǎng)模型

一國(guó)若想從最低級(jí)的野蠻狀態(tài)過渡到最高程度的豐饒，所需要的僅僅是和平、輕松的稅收和可以容忍的公正原則的執(zhí)行，其他一切都可以從事物的自然進(jìn)程中產(chǎn)生。——亞當(dāng).斯密第三講索羅增長(zhǎng)模型5/13/20241問題提出什么因素決定了經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)？經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)的一般趨勢(shì)是什么？為什么國(guó)家或地區(qū)之間存在著收入差異？窮國(guó)能否趕上富國(guó)？5/13/20242一、索羅模型簡(jiǎn)評(píng)幾乎對(duì)所有有關(guān)增長(zhǎng)的分析，索羅模型是起點(diǎn)。索羅模型的主要結(jié)論：長(zhǎng)期人均產(chǎn)出惟一來源于技術(shù)進(jìn)步；實(shí)物資本的積累既不能解釋不同時(shí)間上人均產(chǎn)出的巨大增長(zhǎng)，也無法解釋地域上不同人均產(chǎn)出的巨大差距。主要缺陷：模型把收入差異的其他潛在來源或者當(dāng)作外生，因而無法用模型解釋（如技術(shù)進(jìn)步）；或者當(dāng)作不存在（如資本產(chǎn)生正的外部性）。5/13/20243以后所介紹的增長(zhǎng)模型都有相同的一般均衡結(jié)構(gòu)：家庭擁有經(jīng)濟(jì)中的所有投入和資產(chǎn)，家庭自主決策。企業(yè)雇傭投入品進(jìn)行生產(chǎn)。家庭出售投入品，企業(yè)出售產(chǎn)品，形成市場(chǎng)。5/13/20244二、索羅模型的假設(shè)1、投入與產(chǎn)出索羅模型關(guān)注四個(gè)變量：產(chǎn)出Y、資本K、勞動(dòng)L，以及知識(shí)或勞動(dòng)的有效性A。生產(chǎn)函數(shù)：Y(t)=F(K(t),A(t)L(t))式中t表示時(shí)間。AL被稱為有效勞動(dòng)。以勞動(dòng)力增加的形式引入的技術(shù)進(jìn)步被稱為勞動(dòng)增加型技術(shù)進(jìn)步，或者被稱為哈羅德中性。5/13/20245二、索羅模型的假設(shè)1、投入與產(chǎn)出思考：如果知識(shí)進(jìn)入的形式不是Y=F(K,AL)（哈羅德中性），而是Y=F(AK,L)（索洛中性）或Y=AF(K,L)（?？怂怪行裕Y(jié)果會(huì)有何不同？可以證明只有勞動(dòng)增進(jìn)型技術(shù)進(jìn)步被證明與穩(wěn)態(tài)的存在相一致5/13/20246第一，每種投入的邊際產(chǎn)品為正且遞減。第二，規(guī)模報(bào)酬不變。F(λK,λAL)=λF(K,AL)第三，稻田條件：滿足這三個(gè)條件的生產(chǎn)函數(shù)被稱為新古典生產(chǎn)函數(shù)。因此，索羅增長(zhǎng)模型又被稱為新古典增長(zhǎng)模型。2、關(guān)于生產(chǎn)函數(shù)的假設(shè)5/13/20247根據(jù)規(guī)模報(bào)酬不變假設(shè)可以得到于是生產(chǎn)函數(shù)可以寫出以下集約形式（intensiveform)：y=f(k)其中y=Y/AL單位有效勞動(dòng)的產(chǎn)出，k=K/AL單位有效勞動(dòng)的資本模型的集約形式5/13/20248稻田條件意味著，在資本存量充分小時(shí)資本的邊際產(chǎn)出十分大，當(dāng)資本存量很大時(shí)，其會(huì)變得很小。其作用在于確保經(jīng)濟(jì)的路徑不發(fā)散。即根據(jù)假設(shè)1得到：假設(shè)的含義5/13/20249邊際產(chǎn)出資本的邊際產(chǎn)出有效勞動(dòng)的邊際產(chǎn)出勞動(dòng)的邊際產(chǎn)出如果市場(chǎng)是完全競(jìng)爭(zhēng)的，并且不存在外部性，資本獲得其邊際產(chǎn)出每單位有效勞動(dòng)的資本獲得的總產(chǎn)出是kf’(k)5/13/202410曲線的斜率即為資本的邊際產(chǎn)出。遞減的斜率反映了遞減的資本邊際報(bào)酬。（假定外生不變的儲(chǔ)蓄率s，c表示消費(fèi)）kf(k)0新古典生產(chǎn)函數(shù)f(k)sf(k)f(k)sf(k)c圖形表示5/13/202411資本、勞動(dòng)和知識(shí)的存量隨時(shí)間的變化而變化。瞬時(shí)增長(zhǎng)率的定義：勞動(dòng)增長(zhǎng)率為n：技術(shù)進(jìn)步率為g：t時(shí)勞動(dòng)力：t時(shí)技術(shù)存量：產(chǎn)出在消費(fèi)和投資之間分割，那么儲(chǔ)蓄等于投資。儲(chǔ)蓄率s為外生且不變，資本折舊率為δ。資本變化＝投資－折舊。3、生產(chǎn)投入的演化5/13/202412三、模型的動(dòng)態(tài)學(xué)1、k的動(dòng)態(tài)學(xué)在索羅模型中，勞動(dòng)和技術(shù)是外生的，因此，我們重點(diǎn)分析資本的變化。單位有效勞動(dòng)資本存量的變化：每單位有效勞動(dòng)的實(shí)際投資有效折舊：為保持k在現(xiàn)有水平所必須進(jìn)行的投資。k增加k下降k不變5/13/2024132、穩(wěn)態(tài)穩(wěn)態(tài)：如果所有變量都以某一固定不變的速度增長(zhǎng)或者均為零增長(zhǎng)的狀況，即平衡增長(zhǎng)（balancedgrowth):如果各主要的總量指標(biāo)彼此間保持相同的比例，這樣的經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)成為平衡增長(zhǎng)。在我們討論的大多數(shù)增長(zhǎng)模型中，穩(wěn)定狀態(tài)的路徑也是平衡增長(zhǎng)的路徑。5/13/2024142、穩(wěn)態(tài)單位有效勞動(dòng)資本存量的變化：kf(k)f(k)sf(k)(n＋g+δ)kk*A索洛－斯旺模型在A點(diǎn)，實(shí)際投資與有效折舊相等，資本存量不變，經(jīng)濟(jì)達(dá)到穩(wěn)態(tài)：?jiǎn)挝挥行趧?dòng)的k*,y*,c*固定不變。消費(fèi)為：c*＝f(k*)-sf(k*)=f(k*)-(n+g+δ）k*5/13/2024152、穩(wěn)態(tài)穩(wěn)態(tài)均衡圖示因?yàn)閗*

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5/13/2024163、穩(wěn)態(tài)時(shí)的增長(zhǎng)：平衡增長(zhǎng)在穩(wěn)態(tài)，k收斂于k*，單位有效勞動(dòng)的產(chǎn)出也不變：根據(jù)單位有效工人產(chǎn)出的定義可以計(jì)算出總產(chǎn)出的增長(zhǎng)速度：同樣方法可以計(jì)算出每個(gè)工人的產(chǎn)出Y/L、人均資本K/L和人均消費(fèi)C/L具有相同的增長(zhǎng)率：g。資本增長(zhǎng)率消費(fèi)C=（1-s）Y，因此，消費(fèi)和產(chǎn)出具有相同的增長(zhǎng)率，等于n+g。結(jié)論：索羅模型意味著，無論起點(diǎn)在何處，經(jīng)濟(jì)總會(huì)收斂于一個(gè)平衡增長(zhǎng)路徑：模型中的每個(gè)變量都以一個(gè)不變的速率增長(zhǎng)。5/13/2024173、穩(wěn)態(tài)時(shí)的增長(zhǎng)：平衡增長(zhǎng)當(dāng)k=k*時(shí)，模型中的各個(gè)變量將如何變動(dòng)？5/13/202418四、儲(chǔ)蓄率變化的影響下面考察政策控制變量s的變動(dòng)的影響:對(duì)穩(wěn)態(tài)均衡的影響；兩個(gè)穩(wěn)態(tài)均衡之間的動(dòng)態(tài)路徑；對(duì)長(zhǎng)期增長(zhǎng)的影響程度；對(duì)長(zhǎng)期增長(zhǎng)的影響持續(xù)時(shí)間。5/13/202419四、儲(chǔ)蓄率變化的影響f(k)kf(k)s1f(k)(n+g+δ)kk1*y1*s2f(k)k2*y2*儲(chǔ)蓄率上升意味著更多的資源用于投資，實(shí)際投資線向上移動(dòng)。導(dǎo)致實(shí)際投資大于有效折舊，因此，k持續(xù)上升到新的穩(wěn)態(tài)值（不是立即跳躍到）。k1*k2*k1．儲(chǔ)蓄率變化的比較靜態(tài)均衡

5/13/202420四、儲(chǔ)蓄率變化的影響2．儲(chǔ)蓄率變化的動(dòng)態(tài)影響

(1)對(duì)k的影響：先增加，并逐步收斂于新的更高水平。kt5/13/202421四、儲(chǔ)蓄率變化的影響2．儲(chǔ)蓄率變化的動(dòng)態(tài)影響

(2)對(duì)Y/L的影響：先暫時(shí)性的增加，但隨后收斂于原來的平衡增長(zhǎng)速度。

Y/L增長(zhǎng)率t5/13/202422四、儲(chǔ)蓄率變化的影響(2)對(duì)Y/L的影響：先暫時(shí)性的增加，但隨后收斂于原來的平衡增長(zhǎng)速度。

ln(Y/L)t結(jié)論：(1)儲(chǔ)蓄率的變化只會(huì)暫時(shí)性地影響增長(zhǎng)率，而不會(huì)永久性地影響。或者說，儲(chǔ)蓄率的變化只有水平效應(yīng)，而沒有增長(zhǎng)效應(yīng)。(2)只有技術(shù)進(jìn)步率的變化有增長(zhǎng)效應(yīng)。(3)政策含義：投入驅(qū)動(dòng)的增長(zhǎng)不會(huì)持續(xù)。5/13/202423四、儲(chǔ)蓄率變化的影響(3)對(duì)消費(fèi)的影響在穩(wěn)態(tài)，c*=f(k*)-(n+g+δ）k*當(dāng)MPK=n+g+δ時(shí)，消費(fèi)達(dá)到最大。使消費(fèi)達(dá)到最大化的資本存量被稱為資本的黃金律。f(k)kf(k)s1f(k)(n+g+δ)kk1*y1*s2f(k)k2*y2*5/13/202424黃金律和動(dòng)態(tài)無效率

過度儲(chǔ)蓄的經(jīng)濟(jì)被稱為動(dòng)態(tài)無效率，因?yàn)榻档蛢?chǔ)蓄率不僅提高了穩(wěn)態(tài)消費(fèi)，也提高了轉(zhuǎn)移過程中的消費(fèi)，即原來的人均消費(fèi)路徑在所有時(shí)點(diǎn)都位于另一條可行的路徑之下。k0(n+g+δ)kf(k)s1f(k)k1*c1*sgf(k)kg*cg*動(dòng)態(tài)無效率區(qū)域5/13/202425黃金律和動(dòng)態(tài)無效率ssgoldcgoldc*縱軸表示對(duì)應(yīng)于每一儲(chǔ)蓄率的人均消費(fèi)的穩(wěn)態(tài)水平。使人均穩(wěn)態(tài)消費(fèi)最大時(shí)的儲(chǔ)蓄率被稱為黃金律儲(chǔ)蓄率，以sgold表示。5/13/202426四、儲(chǔ)蓄率變化的影響穩(wěn)態(tài)時(shí)，人均資本和人均產(chǎn)出不變儲(chǔ)蓄率變化對(duì)產(chǎn)出的長(zhǎng)期影響變化得到產(chǎn)出的儲(chǔ)蓄率彈性產(chǎn)出的資本彈性3.儲(chǔ)蓄率變化對(duì)產(chǎn)出的長(zhǎng)期影響

產(chǎn)出的資本彈性等于資本收入在總收入中所占的份額。5/13/202427四、儲(chǔ)蓄率變化的影響在多數(shù)國(guó)家，支付給資本的收入份額約為1/3。則產(chǎn)出的儲(chǔ)蓄率彈性約為0.5。當(dāng)儲(chǔ)蓄率增加10%時(shí)，人均產(chǎn)出長(zhǎng)期內(nèi)僅變化5%。因此，儲(chǔ)蓄的顯著變化只會(huì)對(duì)平衡路徑上的產(chǎn)出產(chǎn)生中度的影響。5/13/202428四、儲(chǔ)蓄率變化的影響4．儲(chǔ)蓄率變化的影響時(shí)間注意“收斂系數(shù)”與s無關(guān)。舉例：假設(shè)，α=1/3，則λ=4%（表示k和y向k*和y*每年移動(dòng)剩余距離的4%），因此走完平衡增長(zhǎng)路徑距離（即消除與初始收入差距）的一半約需18年時(shí)間。因此，當(dāng)儲(chǔ)蓄率增加10%時(shí)，人均產(chǎn)出長(zhǎng)期內(nèi)僅變化5%。第1年增長(zhǎng)0.04(5%)=0.2%，18年后增長(zhǎng)0.5(5%)=2.5%。結(jié)論：儲(chǔ)蓄率變化對(duì)人均產(chǎn)出變化的作用較緩慢。5/13/202429五、絕對(duì)收斂與條件收斂資本的邊際產(chǎn)出遞減意味著有著更低人均資本的經(jīng)濟(jì)趨于在人均項(xiàng)上更快的增長(zhǎng)。絕對(duì)收斂：窮國(guó)有著更快的人均增長(zhǎng)率，因此窮國(guó)趨于追上富國(guó)。條件收斂：一個(gè)經(jīng)濟(jì)離其自身的穩(wěn)態(tài)值越遠(yuǎn)，增長(zhǎng)越快。巴羅認(rèn)為索洛模型預(yù)測(cè)了條件收斂。5/13/202430五、絕對(duì)收斂與條件收斂非穩(wěn)態(tài)圖示k*k增長(zhǎng)率>0增長(zhǎng)率<05/13/202431五、絕對(duì)收斂與條件收斂絕對(duì)收斂圖示增長(zhǎng)率>0增長(zhǎng)率<0kk*這表明k離k*越遠(yuǎn)，其增長(zhǎng)率（正或負(fù)）越大，λk<0?？梢宰C明索洛模型中的其他變量X的非均衡動(dòng)態(tài)增長(zhǎng)率（λX

）與λk保持比例或線形關(guān)系，例如

結(jié)論（索洛模型的收斂性）：每個(gè)經(jīng)濟(jì)都收斂于其自身的穩(wěn)態(tài)，而且這一收斂的速度與其離穩(wěn)態(tài)的距離成反比，或者說，經(jīng)濟(jì)離其自身的穩(wěn)態(tài)值越遠(yuǎn)，其增長(zhǎng)率就越快。5/13/202432五、絕對(duì)收斂與條件收斂條件收斂的圖示：結(jié)論：當(dāng)窮國(guó)人均初始資本存量較小，而富國(guó)的儲(chǔ)蓄率較高時(shí)，富國(guó)會(huì)比窮國(guó)有更高的增長(zhǎng)率。因此，一旦控制了穩(wěn)態(tài)的決定的情況下，條件收斂將成立。

k(0)poor

k(0)rich

k*poor

k*rich

5/13/202433五、絕對(duì)收斂與條件收斂每單位效率工人資本變化：圍繞k*的一階泰勒展開式：上式的解析解意味著k與穩(wěn)態(tài)值k*之間的距離以λ的速度減少。收斂速度：5/13/202434五、絕對(duì)收斂與條件收斂在穩(wěn)態(tài)的鄰域內(nèi)，產(chǎn)出和資本具有相同的增長(zhǎng)速度。可以證明舉例：假設(shè)，α=1/3，則λ=4%（表示k和y向k*和y*每年移動(dòng)剩余距離的4%），因此走完平衡增長(zhǎng)路徑距離（即消除與初始收入差距）的一半約需18年時(shí)間。證明：收斂速度：5/13/202435六、索羅模型與增長(zhǎng)理論的核心問題索羅模型中人均產(chǎn)出(Y/L)差別的兩個(gè)來源：人均資本（K/L）的差異勞動(dòng)效率或技術(shù)A的差異索羅模型的核心結(jié)論：資本積累的差異不能解釋收入的巨大差別。直接解釋：如果兩國(guó)人均產(chǎn)出差別為X倍，則人均資本差別為Xα倍。這與現(xiàn)實(shí)不符。間接解釋：在競(jìng)爭(zhēng)市場(chǎng)，資本的收入等于其邊際產(chǎn)出，人均資本的差別意味著資本報(bào)酬的巨大差別，即窮國(guó)的資本報(bào)酬遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于富國(guó)，資本將流向窮國(guó)。這與現(xiàn)實(shí)不符。5/13/202436數(shù)學(xué)證明5/13/202437數(shù)學(xué)證明舉例：(1)根據(jù)C-D生產(chǎn)函數(shù)，y=f(k)=kα,一般的α=1/3，設(shè)窮國(guó)變量帶*，若y/y*=X=10,求解：k/k*=?(2)若y/y*=X=10，α=1/3，求解：MPK/MPK*=?5/13/202438七、增長(zhǎng)因素分析法對(duì)生產(chǎn)函數(shù)進(jìn)行全微分可以得到產(chǎn)出增長(zhǎng)率的決定公式R為索羅殘值生產(chǎn)率增長(zhǎng)率等于產(chǎn)出增長(zhǎng)率減去勞動(dòng)力增長(zhǎng)率5/13/202439八、對(duì)索洛模型的總結(jié)和評(píng)論

1．主要結(jié)論（1）無論從任何一點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)濟(jì)向平衡增長(zhǎng)路徑收斂，在平衡增長(zhǎng)路徑上，每個(gè)變量的增長(zhǎng)率都是常數(shù)。（2）在其他外生變量相似的條件下，人均資本低的經(jīng)濟(jì)有更快的人均資本的提高，人均收入低的經(jīng)濟(jì)有更高的增長(zhǎng)率。（3）人均產(chǎn)出（Y/L）的增長(zhǎng)來源于人均資本存量和技術(shù)進(jìn)步，但只有技術(shù)進(jìn)步才能夠?qū)е氯司a(chǎn)出的永久性增長(zhǎng)。（4）通過調(diào)節(jié)儲(chǔ)蓄率可以實(shí)現(xiàn)人均最優(yōu)消費(fèi)和最優(yōu)資本存量的“黃金律”增長(zhǎng)。（5）儲(chǔ)蓄率的變化只會(huì)暫時(shí)性地影響增長(zhǎng)率，而不會(huì)永久性地影響；儲(chǔ)蓄率的顯著變化對(duì)平衡增長(zhǎng)路徑上的產(chǎn)出變化只有較小的影響，且作用緩慢。5/13/202440八