期中解答題壓軸必刷（解析版）

期中解答題壓軸必刷范圍：第1-4單元1．你會(huì)求（a﹣1）（a2018+a2017+a2016+…+a2+a+1）的值嗎？這個(gè)問題看上去很復(fù)雜，我們可以先考慮簡(jiǎn)單的情況，通過計(jì)算，探索規(guī)律：（a﹣1）（a+1）＝a2﹣1（a﹣1）（a2+a+1）＝a3﹣1（a﹣1）（a3+a2+a+1）＝a4﹣1（1）由上面的規(guī)律我們可以大膽猜想，得到（a﹣1）（a2018+a2017+a2016+…+a2+a+1）＝a2019﹣1利用上面的結(jié)論求（2）22018+22017+22016+…+22+2+1的值．（3）求52018+52017+52016+…+52+4的值．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）（a﹣1）（a2018+a2017+a2016+…+a2+a+1）＝a2019﹣1，故答案為：a2019﹣1；（2）22018+22017+22016+…+22+2+1＝（2﹣1）（22018+22017+22016+…+22+2+1）＝22019﹣1；（3）52018+52017+52016+…+52+5+1＝（5﹣1）（52018+52017+52016+…+52+5+1）×，＝×（52019﹣1），所以52018+52017+52016+…+52+4＝52018+52017+52016+…+52+5+1﹣2＝﹣2＝．2．“楊輝三角”揭示了（a+b）n（n為非負(fù)數(shù)）展開式的各項(xiàng)系數(shù)的規(guī)律．在歐洲，這個(gè)表叫做帕斯卡三角形，帕斯卡是在1654年發(fā)現(xiàn)這一規(guī)律的，比楊輝要遲393年，比賈憲遲600年，請(qǐng)仔細(xì)觀察“楊輝三角”中每個(gè)數(shù)字與上一行的左右兩個(gè)數(shù)字之和的關(guān)系：根據(jù)上述規(guī)律，完成下列各題：（1）將（a+b）5展開后，各項(xiàng)的系數(shù)和為32．（2）將（a+b）n展開后，各項(xiàng)的系數(shù)和為2n．（3）（a+b）6＝a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6．下圖是世界上著名的“萊布尼茨三角形”，類比“楊輝三角”，根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，回答下列問題：（4）若（m，n）表示第m行，從左到右數(shù)第n個(gè)數(shù)，如（4，2）表示第四行第二個(gè)數(shù)是，則（6，2）表示的數(shù)是，（8，3）表示的數(shù)是．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5，1+5+10+10+5+1＝32，故答案為：32；（2）第二行：（a+b）1＝a+b，1+1＝2，各項(xiàng)系數(shù)和為2＝21，第三行：（a+b）2＝a2+2ab+b2，各項(xiàng)系數(shù)和為4＝22，…第n+1行：（a+b）n展開后各項(xiàng)系數(shù)和為2n；故答案為：2n；（3）由（2）得：（a+b）6＝a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6，故答案為：a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6；（4）由題意得：這個(gè)三角的規(guī)律就是下一行的第1和第2個(gè)數(shù)相加就等于上一行的第1個(gè)數(shù)，下一行的第2和第3個(gè)數(shù)相加就等于上一行的第2個(gè)數(shù)，以此類推，還發(fā)現(xiàn)每一行的第一個(gè)數(shù)都是，∴（6，2）表示第六行第二個(gè)數(shù)，是﹣＝，按規(guī)律計(jì)算：第六行：，，，，，，第七行：，，，，，，，第八行：，，…∴（8，3）表示第八行第三個(gè)數(shù)，是﹣＝；故答案為：，．3．如圖1所示，邊長(zhǎng)為a的大正方形中有一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形，如圖2是由圖1中陰影部分拼成的一個(gè)長(zhǎng)方形．（1）請(qǐng)你分別表示出這兩個(gè)圖形中陰影部分的面積：a2﹣b2，（a+b）（a﹣b）；（2）請(qǐng)問以上結(jié)果可以驗(yàn)證哪個(gè)乘法公式？a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；（3）試?yán)眠@個(gè)公式計(jì)算：①（2m+n﹣p）（2m﹣n+p）②③（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）+1．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）原陰影面積＝a2﹣b2，拼剪后的陰影面積＝（a+b）（a﹣b），故答案為：a2﹣b2，（a+b）（a﹣b）；（2）驗(yàn)證的公式為：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；故答案為：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；（3）①（2m+n﹣p）（2m﹣n+p），＝[2m+（n﹣p）][2m﹣（n﹣p）]，＝（2m）2﹣（n﹣p）2，＝4m2﹣n2+2np﹣p2；②＝＝＝＝5；③（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）+1，＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）+1，＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）+1，＝（24﹣1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）+1，＝（28﹣1）（28+1）（216+1）（232+1）+1，＝（216﹣1）（216+1）（232+1）+1，＝（232﹣1）（232+1）+1，＝264﹣1+1，＝264．4．圖（a）是一個(gè)長(zhǎng)和寬為2m和2n的長(zhǎng)方形，用圖（a）中的虛線把該長(zhǎng)方形平均分成四個(gè)小長(zhǎng)方形，然后按圖（b）的形式拼成一個(gè)正方形．（1）圖（b）中陰影部分正方形的邊長(zhǎng)是m﹣n（用含m、n的式子表示）（2）請(qǐng)用兩種不同的方法表示圖（b）中陰影部分正方形的面積（用含m、n的式子表示）方法①（m﹣n）2．方法②（m+n）2﹣4mn．（3）觀察圖（b），寫出（m+n）2、（m﹣n）2與m?n三者之間的等量關(guān)系（m+n）2＝（m﹣n）2+4mn．（4）根據(jù)（3）中的等量關(guān)系，解決問題：若a+b＝6，ab＝4，求（a﹣b）2．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）圖（b）中陰影部分正方形的邊長(zhǎng)是m﹣n；故答案為：m﹣n；（2）方法①（m﹣n）2；方法②（m+n）2﹣4mn；故答案為：（m﹣n）2；②（m+n）2﹣4mn；（3）（m+n）2＝（m﹣n）2+4mn；故答案為：（m+n）2＝（m﹣n）2+4mn；（4）∵（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2，∵a+b＝6，ab＝4，∴（a﹣b）2＝36﹣16＝20．5．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a，點(diǎn)E在AB邊上，四邊形EFGB也是正方形，它的邊長(zhǎng)為b（a＞b），連接AF、CF、AC．（1）用含a、b的代數(shù)式表示GC＝a+b；（2）若兩個(gè)正方形的面積之和為60，即a2+b2＝60，又ab＝20，圖中線段GC的長(zhǎng)；（3）若a＝8，△AFC的面積為S，則S＝32．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）∵GC＝GB+BC，∴GC＝a+b故答案為：a+b（2）∵（a+b）2＝a2+b2+2ab＝60+20×2＝100∴a+b＝10∴GC＝10（3）S△AFC＝S△AFE+S?FGBE+S△ABC﹣S△FGC＝b（a﹣b）+b2+a2﹣b（b+a）＝ab﹣b2+b2+a2﹣b2﹣ab＝a2＝×82＝32故答案為：326．學(xué)習(xí)整式乘法時(shí)，老師拿出三種型號(hào)卡片，如圖1．（1）利用多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的法則，計(jì)算：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2；（2）選取1張A型卡片，4張C型卡片，則應(yīng)取4張B型卡片才能用它們拼成一個(gè)新的正方形，此新的正方形的邊長(zhǎng)是a+2b（用含a，b的代數(shù)式表示）；（3）選取4張C型卡片在紙上按圖2的方式拼圖，并剪出中間正方形作為第四種D型卡片，由此可檢驗(yàn)的等量關(guān)系為（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2；（4）選取1張D型卡片，3張C型卡片按圖3的方式不重復(fù)的疊放長(zhǎng)方形MNPQ框架內(nèi)，已知NP的長(zhǎng)度固定不變，MN的長(zhǎng)度可以變化，且MN≠0．圖中兩陰影部分（長(zhǎng)方形）的面積分別表示為S1，S2，若S1﹣S2＝3b2，則a與b有什么關(guān)系？請(qǐng)說明理由．【答案】（1）a2+3ab+2b2；（2）4，a+2b；（3）（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2；（4）a＝4b．【解答】解：（1）（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2；故答案為：a2+3ab+2b2；（2）根據(jù)題意可知：a2+4ab+4b2＝（a+2b）2，∴應(yīng)取4張B型卡片才能用它們拼成一個(gè)新的正方形，∴此新的正方形的邊長(zhǎng)是a+2b，故答案為：4，a+2b；（3）根據(jù)題意可知：（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2，故答案為：（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2；（4）設(shè)MN＝x，根據(jù)題意，得S1＝（a﹣b）（x﹣a+b）＝ax﹣bx﹣a2+2ab﹣b2，S2＝3b（x﹣a）＝3bx﹣3ab，∵S1﹣S2＝3b2，∴ax﹣bx﹣a2+2ab﹣b2﹣（3bx﹣3ab）＝3b2，∴（a﹣4b）x﹣a2+5ab﹣b2＝3b2，∴（a﹣4b）x﹣（a2+5ab+4b2）＝0，∴（a﹣4b）x﹣（a﹣4b）（a﹣b）＝0，∴（a﹣4b）[x﹣（a﹣b）]＝0∴（x﹣a+b）（a﹣4b）＝0，∴a＝4b或x＝a﹣b，∴a與b的關(guān)系為a＝4b．7．對(duì)于一個(gè)圖形，通過兩種不同的方法計(jì)算它的面積，可以得到一個(gè)數(shù)學(xué)等式，例如圖1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，請(qǐng)解答下列問題：（1）寫出圖2中所表示的數(shù)學(xué)等式（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．（2）根據(jù)整式乘法的運(yùn)算法則，通過計(jì)算驗(yàn)證上述等式．（3）利用（1）中得到的結(jié)論，解決下面的問題：若a+b+c＝10，ab+ac+bc＝35，則a2+b2+c2＝30．（4）小明同學(xué)用圖3中x張邊長(zhǎng)為a的正方形，y張邊長(zhǎng)為b的正方形z張邊長(zhǎng)分別為a、b的長(zhǎng)方形紙片拼出一個(gè)面積為（5a+7b）（9a+4b）長(zhǎng)方形，則x+y+z＝156．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）∵正方形的面積＝（a+b+c）2；正方形的面積＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．∴（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．故答案為：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．（2）證明：（a+b+c）（a+b+c），＝a2+ab+ac+ab+b2+bc+ac+bc+c2，＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．（3）a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣2ab﹣2ac﹣2bc，＝102﹣2（ab+ac+bc），＝100﹣2×35，＝30．故答案為：30；（4）由題可知，所拼圖形的面積為：xa2+yb2+zab，∵（5a+7b）（9a+4b），＝45a2+20ab+63ab+28b2，＝45a2+28b2+83ab，∴x＝45，y＝28，z＝83．∴x+y+z＝45+28+83＝156．故答案為：156．8．如圖，將一張矩形大鐵皮切割成九塊，切痕如圖虛線所示，其中有兩塊是邊長(zhǎng)都為mcm的大正方形，兩塊是邊長(zhǎng)都為ncm的小正方形，五塊是長(zhǎng)寬分別是mcm、ncm的全等小矩形，且m＞n．（1）用含m、n的代數(shù)式表示切痕的總長(zhǎng)為6m+6ncm；（2）若每塊小矩形的面積為48cm2，四個(gè)正方形的面積和為200cm2，試求該矩形大鐵皮的周長(zhǎng)．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）切痕總長(zhǎng)＝2[（m+2n）+（2m+n）]，＝2（m+2n+2m+n），＝6m+6n；故答案為：6m+6n；（2）由題意得：mn＝48，2m2+2n2＝200，∴m2+n2＝100，∴（m+n）2＝m2+n2+2mn＝196，∵m+n＞0，∴m+n＝14，∴周長(zhǎng)＝2（m+2n+2m+n）＝6m+6n＝6（m+n）＝84．9．如圖①，點(diǎn)O為直線AB上一點(diǎn)，過點(diǎn)O作射線OC，將一直角三角板如圖擺放（∠MON＝90°）．（1）將圖①中的三角板繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一定的角度得圖②，使邊OM恰好平分∠BOC，問：ON是否平分∠AOC？請(qǐng)說明理由；（2）將圖①中的三角板繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一定的角度得圖③，使邊ON在∠BOC的內(nèi)部，如果∠BOC＝60°，則∠BOM與∠NOC之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說明理由．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）ON平分∠AOC．理由如下：∵∠MON＝90°，∴∠BOM+∠AON＝90°，∠MOC+∠NOC＝90°．又∵OM平分∠BOC，∴∠BOM＝∠MOC，∴∠AON＝∠NOC．∴ON平分∠AOC．（2）∠BOM＝∠NOC+30°．理由如下：∵∠CON+∠NOB＝60°，∠BOM+∠NOB＝90°，∴∠BOM＝90°﹣∠NOB＝90°﹣（60°﹣∠NOC）＝∠NOC+30°．∴∠BOM與∠NOC之間存在的數(shù)量關(guān)系是：∠BOM＝∠NOC+30°．10．已知，AB∥CD，點(diǎn)E為射線FG上一點(diǎn)．（1）如圖1，若∠EAF＝30°，∠EDG＝45°，則∠AED＝75°；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在FG延長(zhǎng)線上時(shí)，此時(shí)CD與AE交于點(diǎn)H，則∠AED、∠EAF、∠EDG之間滿足怎樣的關(guān)系，請(qǐng)說明你的結(jié)論：（3）如圖3，DI平分∠EDC，交AE于點(diǎn)K，交AI于點(diǎn)I，且∠EAI：∠BAI＝1：2，∠AED＝22°，∠I＝20°求∠EKD的度數(shù)．【答案】（1）75；（2）∠EAF＝∠AED+∠EDG，理由見解答；（3）142°．【解答】解：（1）如圖，延長(zhǎng)DE交AB于H，∵AB∥CD，∴∠D＝∠AHE＝45°，∵∠AED是△AEH的外角，∴∠AED＝∠A+∠AHE＝30°+45°＝75°，故答案為：75；（2）∠EAF＝∠AED+∠EDG．理由：∵AB∥CD，∴∠EAF＝∠EHC，∵∠EHC是△DEH的外角，∴∠EHG＝∠AED+∠EDG，∴∠EAF＝∠AED+∠EDG；（3）∵∠EAI：∠BAI＝1：2，設(shè)∠EAI＝α，則∠BAE＝3α，∵∠AED＝22°，∠I＝20°，∠DKE＝∠AKI，又∵∠EDK+∠DKE+∠DEK＝180°，∠KAI+∠KIA+∠AKI＝180°，∴∠EDK＝α﹣2°，∵DI平分∠EDC，∴∠CDE＝2∠EDK＝2α﹣4°，∵AB∥CD，∴∠EHC＝∠EAF＝∠AED+∠EDG，即3α＝22°+2α﹣4°，解得α＝18°，∴∠EDK＝16°，在△DKE中，∠EKD＝180°﹣16°﹣22°＝142°．11．已知：直線a∥b，點(diǎn)A和點(diǎn)B是直線a上的點(diǎn)，點(diǎn)C和點(diǎn)D是直線b上的點(diǎn)，連接AD，BC，設(shè)直線AD和BC交于點(diǎn)E．（1）在如圖1所示的情形下，若AD⊥BC，求∠ABE+∠CDE的度數(shù)（提示：可過點(diǎn)E作EG∥AB）；（2）在如圖2所示的情形下，若BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，且BF與DF交于點(diǎn)F，當(dāng)∠ABC＝64°，∠ADC＝72°時(shí)，求∠BFD的度數(shù)．（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)時(shí)，若BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，且BF，DF交于點(diǎn)F，設(shè)∠ABC＝α，∠ADC＝β，用含有α，β的代數(shù)式表示∠BFD的補(bǔ)角．（直接寫出結(jié)果即可）【答案】（1）90°；（2）68°；（3）﹣．【解答】解：（1）過點(diǎn)E作EG∥AB，∵a∥b，∴EG∥CD，∴∠ABE＝∠BEG，∠CDE＝∠DEG，∴∠ABE+∠CDE＝∠BEG+∠DEG＝∠BED，∵AD⊥BC，∴∠ABE+∠CDE＝∠BED＝90°；（2）如圖，過點(diǎn)F作FH∥AB，∵a∥b，∴FH∥CD，∴∠ABF＝∠BFH，∠CDF＝∠DFH，∴∠BFD＝∠ABF+∠CDF＝∠BFH+∠DFH，∵BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，∠ABC＝64°，∠ADC＝72°，∴∠ABF＝ABC＝32°，∠CDF＝ADC＝36°，∴∠BFD＝∠ABF+∠CDF＝68°；（3）如圖，過點(diǎn)F作FH∥AB，∵a∥b，∴FQ∥CD，∴∠ABF+∠BFQ＝180°，∠CDF＝∠DFQ，∴∠BFD＝∠BFQ+∠DFQ＝180°﹣∠ABF+∠CDF∵BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，∠ABC＝α，∠ADC＝β，∴∠ABF＝ABC＝，∠CDF＝ADC＝，∴∠BFD＝180°﹣∠ABF+∠CDF＝180°﹣+，∴∠BFD的補(bǔ)角＝﹣．12．如圖，點(diǎn)D、點(diǎn)E分別在△ABC邊AB，AC上，∠CBD＝∠CDB，DE∥BC，∠CDE的平分線交AC于F點(diǎn)．（1）求證：∠DBF+∠DFB＝90°；（2）如圖②，如果∠ACD的平分線與AB交于G點(diǎn)，∠BGC＝50°，求∠DEC的度數(shù)．（3）如圖③，如果H點(diǎn)是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與B、C重合），AH交DC于M點(diǎn)，∠CAH的平分線AI交DF于N點(diǎn)，當(dāng)H點(diǎn)在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，的值是否發(fā)生變化？如果變化，說明理由；如果不變，試求出其值．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）如圖1，∵DE∥BC，∴∠EDB+∠DBC＝180°，∴∠EDF+∠FDC+∠CDB+∠DBC＝180°，∵∠CDB＝∠DBC，∠EDF＝∠FDC，∴2∠FDC+2∠CDB＝180°，∴∠FDC+∠CDB＝90°，∴FD⊥BD，∴∠DBF+DFB＝90°．（2）如圖2，∵∠BGC＝50°，F(xiàn)D⊥BD，∴∠DHG＝40°，∴∠FDC+∠HCD＝40°，∵DF平分∠EDC，CG平分∠ACD，∴∠EDC＝2∠FDC，∠ACD＝2∠HCD，∴∠EDC+∠ACD＝2（∠FDC+∠HCD）＝80°，∴∠DEC＝180°﹣（∠EDC+∠ACD）＝180°﹣80°＝100°．（3）不變，如圖3，∵∠DMH+∠DEC＝2（∠ADF+∠DAN），∠ANF＝∠ADF+∠DAN，∴＝＝2．13．已知，直線AB∥CD，點(diǎn)E、F分別在直線AB、CD上，點(diǎn)P是直線AB與CD外一點(diǎn)，連接PE、PF．（1）如圖1，若∠AEP＝45°，∠DFP＝105°，求∠EPF的度數(shù)；（2）如圖2，過點(diǎn)E作∠AEP的角平分線EM交FP的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，∠DFP的角平分線FN交EM的反向延長(zhǎng)線交于點(diǎn)N，若∠M與3∠N互補(bǔ)，試探索直線EP與直線FN的位置關(guān)系，并說明理由；（3）若點(diǎn)P在直線AB的上方且不在直線EF上，作∠DFP的角平分線FN交∠AEP的角平分線EM所在直線于點(diǎn)N，請(qǐng)直接寫出∠EPF與∠ENF的數(shù)量關(guān)系．【答案】（1）120°；（2）EP∥FN，理由見解析；（3）∠EPF+2∠ENF＝180°或∠EPF＝2∠ENF﹣180°．【解答】解：（1）如圖，過P作PQ∥AB，∵AB∥CD，∴PQ∥CD，∴∠QPE＝∠AEP＝45°，∠QPF＝∠180°﹣∠DFP＝180°﹣105°＝75°，∴∠EPF＝∠QPE+∠DFP＝45°+75°＝120°．故∠EPF＝120°；（2）EP∥FN，如圖，理由：∵EM平分∠AEP，F(xiàn)N平分∠MFD，∴∠AEP＝2∠1，∠MFD＝2∠3，由（1）得，∠M＝∠1+∠CFM＝∠1+（180°﹣2∠3）＝∠1+（180°﹣2∠4），∵AB∥CD，∴∠3＝∠4，由三角形外角的性質(zhì)可得，∠N＝∠4﹣∠2＝∠4﹣∠1，∵∠M與3∠N互補(bǔ)，∴∠1+（180°﹣2∠4）+3（∠4﹣∠1）＝180°，整理得，∠4＝2∠1＝∠AEP，∴EP∥FN；（3）①∠EPF+2∠ENF＝180°．如圖，∵AB∥CD，∴∠CFH＝∠EHF，∠EKF＝∠DFK，∵FN平分∠DFP，ME平分∠AEP，∴∠CFH＝180°﹣2∠DFK，∠AEP＝2∠AEM＝2∠KEN，由外角的性質(zhì)得，∠EPF＝∠EHF﹣∠AEP＝180°﹣2∠DFK﹣2∠AEM，∠ENF＝∠EKF+∠KEN＝∠DFK+∠AEM，∴∠EPF＝180°﹣2∠ENF，∴∠EPF+2∠ENF＝180°．②∠EPF＝2∠ENF﹣180°．如圖，∵AB∥CD，∴∠PKB＝∠PFD＝2∠DFN，由外角的性質(zhì)得，∠EPF＝∠PKB﹣∠BEP＝∠PKB﹣（180°﹣2∠MEP）＝2∠DFN+2∠AEM﹣180°，由（1）得，∠ENF＝∠DFN+∠NEK＝∠DFN+∠AEM，∴2∠ENF＝2∠DFN+2∠AEM，∴∠EPF＝2∠ENF﹣180°．14．如圖1，AB∥CD，E為AB上一點(diǎn)，點(diǎn)P在線段CE上，且PD∥CF．（1）求證：∠AEC+∠DCF＝∠DPE；（2）如圖2，在線段CF上取點(diǎn)H，使∠HPF＝∠HFP，若CD平分∠ECF，PQ平分∠EPH，∠HPQ+∠AEC＝90°，試判斷PF與EF的大小關(guān)系．【答案】（1）證明過程詳見解答；（2）PF＜EF．【解答】（1）證明：∵AB∥CD，∴∠AEC＝∠ECD，∵PD∥CF，∴∠PDC＝∠DCF，∵∠DPE＝∠ECD+∠PDC，∴∠DPE＝∠AEC+∠DCF；（2）∵CD平分∠ECF，∴∠ECF＝2∠ECD＝∠2FCD，設(shè)∠ECD＝∠FCD＝α，則∠ECF＝2α，設(shè)∠HPF＝∠HFP＝β，∵PD∥CF，∴∠EPD＝∠ECF＝2α，∠FPD＝∠PFH＝β，∴∠HPD＝∠FPH+∠FPD＝β+β＝2β，∴∠EPH＝∠EPD+∠HPD＝2α+2β，∵PQ平分∠EPH，∴∠HPQ＝＝α+β，∵AB∥CD，∴∠AEC＝∠ECD＝α，∵∠HPQ+∠AEC＝90°，∴（α+β）+α＝90°，∴2α+β＝90°，∴∠EPF+∠HFP＝90°，∴∠EPF＝∠CPF＝90°，∴PF＜EF．15．問題情境：如圖1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°．求∠APC度數(shù)．小明的思路是：如圖2，過P作PE∥AB，通過平行線性質(zhì)，可得∠APC＝110°．問題遷移：如圖3，AD∥BC，點(diǎn)P在射線OM上運(yùn)動(dòng)，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β．（1）當(dāng)點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠CPD、∠α、∠β之間有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說明理由．（2）如果點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)外側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)P與點(diǎn)A、B、O三點(diǎn)不重合），請(qǐng)你直接寫出∠CPD、∠α、∠β之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：過P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴PE∥AB∥CD，∴∠APE＝180°﹣∠A＝50°，∠CPE＝180°﹣∠C＝60°，∴∠APC＝50°+60°＝110°，故答案為：110°；（1）∠CPD＝∠α+∠β，理由如下：如圖3，過P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，∴∠CPD＝∠DPE+∠CPE＝∠α+∠β；（2）當(dāng)P在BA延長(zhǎng)線時(shí)，∠CPD＝∠β﹣∠α；理由：如圖4，過P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，∴∠CPD＝∠CPE﹣∠DPE＝∠β﹣∠α；當(dāng)P在BO之間時(shí)，∠CPD＝∠α﹣∠β．理由：如圖5，過P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，∴∠CPD＝∠DPE﹣∠CPE＝∠α﹣∠β．16．將一副三角板中的兩塊直角三角尺的直角頂點(diǎn)C按如圖所示的方式疊放在一起．（1）若∠DCE＝45°，則∠ACB的度數(shù)為135°；（2）若∠ACB＝140°，求∠DCE的度數(shù)；（3）猜想∠ACB與∠DCE之間存在什么數(shù)量關(guān)系？并說明理由；（4）當(dāng)∠ACE＜90°且點(diǎn)E在直線AC的上方時(shí)，這兩塊三角尺是否存在AD與BC平行的情況？若存在，請(qǐng)直接寫出∠ACE的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）∵∠DCE＝45°，∠ACD＝90°∴∠ACE＝45°∵∠BCE＝90°∴∠ACB＝90°+45°＝135°故答案為：135°；（2）∵∠ACB＝140°，∠ECB＝90°∴∠ACE＝140°﹣90°＝50°∴∠DCE＝90°﹣∠ACE＝90°﹣50°＝40°；（3）猜想：∠ACB+∠DCE＝180°理由如下：∵∠ACE＝90°﹣∠DCE又∵∠ACB＝∠ACE+90°∴∠ACB＝90°﹣∠DCE+90°＝180°﹣∠DCE即∠ACB+∠DCE＝180°；（4）30°；理由：∵∠ACD＝∠ECB＝90°，∴∠ACE＝∠DCB＝30°，∴∠D＝∠DCB＝30°，∴CB∥AD．17．已知：直線a∥b，點(diǎn)A和點(diǎn)B是直線a上的點(diǎn)，點(diǎn)C和點(diǎn)D是直線b上的點(diǎn)，連接AD，BC，設(shè)直線AD和BC交于點(diǎn)E．（1）在如圖1所示的情形下，若AD⊥BC，求∠ABE+∠CDE的度數(shù)；（2）在如圖2所示的情形下，若BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，且BF與DF交于點(diǎn)F，當(dāng)∠ABC＝64°，∠ADC＝72°時(shí)，求∠BFD的度數(shù)；（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)時(shí)，若BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，且BF，DF交于點(diǎn)F，設(shè)∠ABC＝α，∠ADC＝β，用含有α，β的代數(shù)式表示∠BFD的補(bǔ)角．【答案】（1）∠BED＝90°；（2）∠BFD＝68°；（3）∠BFD的補(bǔ)角＝﹣．【解答】解：（1）過點(diǎn)E作EG∥AB，∵a∥b，∴EG∥CD，∴∠ABE＝∠BEG，∠CDE＝∠DEG，∴∠ABE+∠CDE＝∠BEG+∠DEG＝∠BED，∵AD⊥BC，∴∠ABE+∠CDE＝∠BED＝90°；（2）如圖，過點(diǎn)F作FH∥AB，∵a∥b，∴FH∥CD，∴∠ABF＝∠BFH，∠CDF＝∠DFH，∴∠BFD＝∠ABF+∠CDF＝∠BFH+∠DFH，∵BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，∠ABC＝64°，∠ADC＝72°，∴∠ABF＝ABC＝32°，∠CDF＝ADC＝36°，∴∠BFD＝∠ABF+∠CDF＝68°；（3）如圖，過點(diǎn)F作FH∥AB，∵a∥b，∴FQ∥CD，∴∠ABF+∠BFQ＝180°，∠CDF＝∠DFQ，∴∠BFD＝∠BFQ+∠DFQ＝180°﹣∠ABF+∠CDF∵BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，∠ABC＝α，∠ADC＝β，∴∠ABF＝ABC＝，∠CDF＝ADC＝，∴∠BFD＝180°﹣∠ABF+∠CDF＝180°﹣+，∴∠BFD的補(bǔ)角＝﹣．18．已知，AB∥CD，CF平分∠ECD．（1）如圖1，若∠DCF＝25°，∠E＝20°，求∠ABE的度數(shù)．（2）如圖2，若∠EBF＝2∠ABF，∠CFB的2倍與∠CEB的補(bǔ)角的和為190°，求∠ABE的度數(shù)．（3）如圖3，在（2）的條件下，P為射線BE上一點(diǎn)，H為CD上一點(diǎn)，PK平分∠BPH，HN∥PK，HM平分∠DHP，∠DHQ＝2∠DHN，求∠PHQ的度數(shù)．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）如圖1，過點(diǎn)E作ER∥AB，∵AB∥CD，∴ER∥CD，∵∠DCF＝25°，∠E＝20°，∵CF平分∠ECD，∴∠DCF＝∠FCE＝25°，∴∠CER＝∠DCE＝2∠DCF＝50°，∴∠BER＝∠CER﹣∠CEB＝30°，∴∠ABE＝∠BER＝30°答：∠ABE的度數(shù)為30°．（2）如圖2，分別過點(diǎn)E、F作AB的平行線ET、FL，∵∠EBF＝2∠ABF，∠CFB的2倍與∠CEB的補(bǔ)角的和為190°，設(shè)∠ABF＝α，則∠EBF＝2α，∴∠ABE＝3α，∴∠BET＝∠ABE＝3α，設(shè)∠CEB＝β，則∠DCE＝∠CET＝∠CEB+∠BET＝3α+β，∵CF平分∠ECD，∴∠DCF＝∠FCE＝，∴∠CFL＝，∠BFL＝∠ABF＝α，∴∠CFB＝∠CFL﹣∠BFL＝，∴2×+180﹣β＝190，∴α＝10，∴∠ABE＝30°．答：∠ABE的度數(shù)為30°．（3）如圖3，過點(diǎn)P作PJ∥AB，∵AB∥CD，∴PJ∥CD，∵PK平分∠BPH，∴∠KPH＝∠KPB＝x，∵HN∥PK，∴∠NHP＝x，設(shè)∠MHN＝y(tǒng)，∴∠MHP＝x+y，∵HM平分∠DHP，∴∠DHM＝∠MHP＝x+y，∵∠DHQ＝2∠DHN，∴∠DHQ＝2（x+y+y）＝2x+4y，∴∠PHQ＝∠DHQ﹣∠DHP＝（2x+4y）﹣（2x+2y）＝2y，∴∠HPJ＝∠DHP＝2x+2y，∴∠BPJ＝∠ABE＝30°＝2y，∴∠PHQ＝30°答：∠PHQ的度數(shù)為30°．19．如圖1，已知直線CD∥EF，點(diǎn)A、B分別在直線CD與EF上．P為兩平行線間一點(diǎn)．（1）求證∠APB＝∠DAP+∠FBP；（2）利用（1）的結(jié)論解答：①如圖2，AP1、BP1分別平分∠DAP、∠FBP，請(qǐng)你直接寫出∠P與∠P1的數(shù)量關(guān)系．②如圖3，AP2、BP2分別平分∠CAP、∠EBP，若∠APB＝80°，求∠AP2B的度數(shù)．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】（1）證明：過P作PM∥CD，∴∠APM＝∠DAP．（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），∵CD∥EF（已知），∴PM∥CD（平行于同一條直線的兩條直線互相平行），∴∠MPB＝∠FBP．（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），∴∠APM+∠MPB＝∠DAP+∠FBP．（等式性質(zhì)），即∠APB＝∠DAP+∠FBP；（2）∠P＝2∠P1；（3）由①得∠APB＝∠DAP+∠FBP，∠AP2B＝∠CAP2+∠EBP2，∵AP2、BP2分別平分∠CAP、∠EBP，∴∠CAP2＝∠CAP，∠EBP2＝∠EBP，∴∠AP2B＝∠CAP+∠EBP，＝（180°﹣∠DAP）+（180°﹣∠FBP），＝180°﹣（∠DAP+∠FBP），＝180°﹣40°，＝140°．20．如圖，已知直線l1∥l2，直線l3和直線l1、l2交于點(diǎn)C和D、A、B兩點(diǎn)分別在l1和l2上，直線l3上有一動(dòng)點(diǎn)P（1）如果P點(diǎn)在C、D之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，猜測(cè)∠PAC，∠APB，∠PBD之間有什么關(guān)系，證明你的結(jié)論（2）若點(diǎn)P在DC的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠PAC，∠APB，∠PBD之間的關(guān)系為∠PBD＝∠PAC+∠APB（3）在（2）的條件下，∠PAC和∠PBD的角平分線相交于點(diǎn)Q，探索∠APB和∠AQB的關(guān)系，并證明．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）結(jié)論：如圖①，當(dāng)P點(diǎn)在C、D之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠APB＝∠PAC+∠PBD．理由如下：過點(diǎn)P作PE∥l1，∵l1∥l2，∴PE∥l2∥l1，∴∠PAC＝∠1，∠PBD＝∠2，∴∠APB＝∠1+∠2＝∠PAC+∠PBD；（2）結(jié)論：如圖②，當(dāng)點(diǎn)P在C、D兩點(diǎn)的外側(cè)運(yùn)動(dòng)，且在l1上方時(shí)，∠PBD＝∠PAC+∠APB．理由如下：∵l1∥l2，∴∠PEC＝∠PBD，∵∠PEC＝∠PAC+∠APB，∴∠PBD＝∠PAC+∠APB．故答案為∠PBD＝∠PAC+∠APB．（3）結(jié)論：∠APB＝2∠AQB．理由：由（2）可知∠APB＝∠PBD﹣∠PAC，同理∠AQB＝∠QBD﹣∠QAC，∵AQ平分∠PAC，BQ平分∠PBD，∴∠PAC＝2∠QAC，∠PBD＝2∠QBD，∴∠APB＝∠PBD﹣∠PAC＝2∠QBD﹣2∠QAC＝2（∠QBD﹣∠QAC）＝2∠AQB．21．一水果個(gè)體戶在批發(fā)市場(chǎng)按每千克1.8元批發(fā)了若干千克的西瓜在城鎮(zhèn)出售，為了方便，他帶了一些零錢備用．他先按市場(chǎng)價(jià)售出一些后，又降價(jià)出售．售出西瓜千克數(shù)x與他手中持有的錢數(shù)y元（含備用零錢）的關(guān)系如圖所示，結(jié)合圖象回答下列問題：（1）水果個(gè)體戶自帶的零錢是多少？（2）降價(jià)前他每千克西瓜出售的價(jià)格是多少？（3）隨后他按每千克下降0.5元將剩余的西瓜售完，這時(shí)他手中的錢（含備用的錢）是450元，問他一共批發(fā)了多少千克的西瓜？（4）請(qǐng)問這位水果個(gè)體戶一共賺了多少錢？【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）由圖可得水果個(gè)體戶自帶的零錢為50元，答：農(nóng)民自帶的零錢為50元；（2）（330﹣50）÷80＝280÷80＝3.5元．答：降價(jià)前他每千克西瓜出售的價(jià)格是3.5元；（3）（450﹣330）÷（3.5﹣0.5）＝120÷3＝40（千克），80+40＝120千克．答：他一共批發(fā)了120千克的西瓜；（4）450﹣120×1.8﹣50＝184元．答：這個(gè)水果販子一共賺了184元錢．22．已知?jiǎng)狱c(diǎn)P以每秒2cm的速度沿如圖甲所示的邊框按從B﹣C﹣D﹣E﹣F﹣A的路徑移動(dòng)，相應(yīng)的△ABP的面積S與關(guān)于時(shí)間t的圖象如圖乙所示，若AB＝6cm，求：（1）BC長(zhǎng)為多少cm？（2）圖乙中a為多少cm2？（3）圖甲的面積為多少cm2？（4）圖乙中b為多少s？【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）由圖象可得，點(diǎn)P從點(diǎn)B到點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是4s，運(yùn)動(dòng)的速度是每秒2cm，故BC的長(zhǎng)度是：4×2＝8cm，即BC長(zhǎng)是8cm；（2）∵BC＝8cm，AB＝6cm，∴S＝，即圖乙中a的值為24cm2；（3）由圖可知，BC＝4×2＝8cm，CD＝（6﹣4）×2＝4cm，DE＝（9﹣6）×2＝6cm，AB＝6cm，∴AF＝BC+DE＝14cm，∴圖甲的面積是：AB?AF﹣CD?DE＝6×14﹣4×6＝84﹣24＝60cm2；（4）由題意可得，b＝＝s，即b的值是17s．23．甲、乙兩人從A地出發(fā)，騎自行車沿同一條路行駛到B地，他們離出發(fā)地的距離s（單位：km）和行駛時(shí)間t（單位：h）之間的關(guān)系的圖象如圖所示，且甲停止一段時(shí)間后再次行走的速度是原來的一半，回答下列問題：（1）求乙的速度？（2）甲中途停止了多長(zhǎng)時(shí)間？（3）兩人相遇時(shí)，離B地的路程是多少千米？【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）根據(jù)圖象，可得乙的速度為：＝（km/h）；（2）甲原來的速度為：＝16（km/h），甲后來的速度為：（km/h），由題意，得＝×16，解得a＝1，則a﹣0.5＝1﹣0.5＝0.5．故甲中途停止了0.5小時(shí)；（3）（1﹣0.5）×＝×＝（km），（8﹣）÷（﹣8）＝÷＝（h），乙離A地的路程為：×（+）＝10（km），他們離B地的路程是20﹣10＝10（km）．24．如圖，已知△ABC中，AC＝CB＝20cm，AB＝16cm，點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)．（1）如果點(diǎn)P在線段AB以6cm/s的速度由A點(diǎn)向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段BC上由點(diǎn)B向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．①若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度相等，經(jīng)過1s后，△APD與△BQP是否全等？說明理由；②若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度不相等，當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為多少時(shí)，能夠使△APD與△BQP全等？（2）若點(diǎn)Q以②中的運(yùn)動(dòng)速度從點(diǎn)B出發(fā)，點(diǎn)P以原來的運(yùn)動(dòng)速度從點(diǎn)A同時(shí)出發(fā)，都逆時(shí)針沿△ABC三邊運(yùn)動(dòng)，求經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間點(diǎn)P與點(diǎn)Q第一次在△ABC的哪條邊上相遇？【答案】（1）①△APD≌△BQP；理由見解答；②7.5（厘米/秒）；（2）經(jīng)過秒，點(diǎn)P與點(diǎn)Q第一次在AC邊上相遇【解答】解：（1）①因?yàn)閠＝1（秒），所以AP＝BQ＝6（厘米），∵AC＝20，D為AC中點(diǎn)，∴AD＝10（厘米），又∵PB＝AB﹣AP＝16﹣6＝10（厘米），∴PB＝AD，∵CA＝BC，∴∠A＝∠B，在△APD與△BQP中，，∴△APD≌△BQP（SAS），②因?yàn)閂P≠VQ，所以AP≠BQ，又因?yàn)椤螦＝∠B，要使△APD與△BQP全等，只能AP＝BP＝8，即△APD≌△BPQ，故BQ＝AD＝10．所以點(diǎn)P、Q的運(yùn)動(dòng)時(shí)間：t＝（秒），此時(shí)（厘米/秒），（2）因?yàn)閂Q＞VP，只能是點(diǎn)Q追上點(diǎn)P，即點(diǎn)Q比點(diǎn)P多走AC+BC的路程設(shè)經(jīng)過x秒后P與Q第一次相遇，依題意得，解得（秒），此時(shí)P運(yùn)動(dòng)了（厘米），又因?yàn)椤鰽BC的周長(zhǎng)為56厘米，160＝56×2+48，所以點(diǎn)P、Q在AC邊上相遇，即經(jīng)過了秒，點(diǎn)P與點(diǎn)Q第一次在AC邊上相遇．25．八年級(jí)一班數(shù)學(xué)興趣小組在一次活動(dòng)中進(jìn)行了探究試驗(yàn)活動(dòng)，請(qǐng)你和他們一起活動(dòng)吧．【探究與發(fā)現(xiàn)】（1）如圖1，AD是△ABC的中線，延長(zhǎng)AD至點(diǎn)E，使ED＝AD，連接BE，寫出圖中全等的兩個(gè)三角形△ACD≌△EBD【理解與應(yīng)用】（2）填空：如圖2，EP是△DEF的中線，若EF＝5，DE＝3，設(shè)EP＝x，則x的取值范圍是1＜x＜4．（3）已知：如圖3，AD是△ABC的中線，∠BAC＝∠ACB，點(diǎn)Q在BC的延長(zhǎng)線上，QC＝BC，求證：AQ＝2AD．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】（1）證明：在△ADC與△EDB中，，∴△ADC≌△EDB；故答案為：△ADC≌△EDB；（2）解：如圖2，延長(zhǎng)EP至點(diǎn)Q，使PQ＝PE，連接FQ，在△PDE與△PQF中，，∴△PEP≌△QFP，∴FQ＝DE＝3，在△EFQ中，EF﹣FQ＜QE＜EF+FQ，即5﹣3＜2x＜5+3，∴x的取值范圍是1＜x＜4；故答案為：1＜x＜4；（3）證明：如圖3，延長(zhǎng)AD到M，使MD＝AD，連接BM，∴AM＝2AD，∵AD是△ABC的中線，∴BD＝CD，在△BMD與△CAD中，，∴△BMD≌△CAD，∴BM＝CA，∠M＝∠CAD，∴∠BAC＝∠BAM+∠CAD＝∠BAM+∠M，∵∠ACB＝∠Q+∠CAQ，AB＝BC，∵∠ACQ＝180°﹣（∠Q+∠CAQ），∠MBA＝180°﹣（∠BAM+∠M），∴∠ACQ＝∠MBA，∵QC＝BC，∴QC＝AB，在△ACQ與△MBA中，，∴△ACQ≌△MBA，∴AQ＝AM＝2AD．26．直線MN與直線PQ垂直相交于O，點(diǎn)A在射線OP上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)B在射線OM上運(yùn)動(dòng)．（1）如圖1，已知AE、BE分別是∠BAO和∠ABO角的平分線，點(diǎn)A、B在運(yùn)動(dòng)的過程中，∠AEB的大小是否會(huì)發(fā)生變化？若發(fā)生變化，請(qǐng)說明變化的情況；若不發(fā)生變化，試求出∠AEB的大?。?）如圖2，已知AB不平行CD，AD、BC分別是∠BAP和∠ABM的角平分線，又DE、CE分別是∠ADC和∠BCD的角平分線，點(diǎn)A、B在運(yùn)動(dòng)的過程中，∠CED的大小是否會(huì)發(fā)生變化？若發(fā)生變化，請(qǐng)說明理由；若不發(fā)生變化，試求出其值．（3）如圖3，延長(zhǎng)BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分線與∠BOQ的角平分線及延長(zhǎng)線相交于E、F，在△AEF中，如果有兩個(gè)角度數(shù)的比是3：2，請(qǐng)直接寫出∠ABO的度數(shù)60°或72°．【答案】（1）135°；（2）67.5°；（3）60°或72°．【解答】解：（1）不變．∵M(jìn)N⊥PQ，∴∠AOB＝90°，∵∠AOB+∠BAO+∠ABO＝180°，∴∠BAO+∠ABO＝90°，∵AE平分∠BAO，BE平分∠ABO，∴∠BAE＝∠BAO，∠ABE＝∠ABO，∴∠BAE+∠ABE＝45°，∵∠BAE+∠ABE+∠AEB＝180°，∴∠AEB＝135°；（2）不變．∵∠ABO+∠BAO＝90°，∴∠BAP+∠ABM＝180°+180°﹣90°＝270°，∵AD、BC分別是∠BAP和∠ABM的角平分線，∴∠DAB＝∠BAP，∠ABC＝∠ABM，∴∠DAB+∠ABC＝135°，∵∠DAB+∠ABC+∠ADC+∠BCD＝360°，∴∠ADC+∠BCD＝225°，∵DE、CE分別是∠ADC和∠BCD的角平分線，∴∠CDE＝∠ADC，∠DCE＝∠BCD，∴∠CDE+∠DCE＝112.5°，∴∠CED＝67.5°；（3）∵AE平分∠BAO，AF平分∠OAG，∴∠EAO＝∠BAO，∠FAO＝∠OAG，∵∠BAO+∠OAG＝180°，∴∠EAO+∠FAO＝90°，即∠EAF＝90°，∵OE平分∠BOQ，∴∠∠BOQ＝2∠EOQ，∵∠EOQ＝∠E+∠OAE，∠BOQ＝∠ABO+∠BAO，∴∠ABO＝2∠E，在△AEF中，∵有兩個(gè)角度數(shù)的比是3：2，故有4種情況：①∠EAF：∠E＝3：2，∠E＝60°，∠ABO＝120°；（不成立）②∠EAF：∠F＝3：2，∠E＝30°，∠ABO＝60°；③∠F：∠E＝3：2，∠E＝36°，∠ABO＝72°；④∠E：∠F＝3：2，∠E＝54°，∠ABO＝108°（不成立）．∴∠ABO為60°或72°．故答案為：∠ABO為60°或72°．27．如圖（1），AB＝4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝3cm．點(diǎn)P在線段AB上以1cm/s的速度由點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段BD上由點(diǎn)B向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)．它們運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（s）．（1）若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度相等，當(dāng)t＝1時(shí)，△ACP與△BPQ是否全等，請(qǐng)說明理由，并判斷此時(shí)線段PC和線段PQ的位置關(guān)系；（2）如圖（2），將圖（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”改為“∠CAB＝∠DBA＝60°”，其他條件不變．設(shè)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為xcm/s，是否存在實(shí)數(shù)x，使得△ACP與△BPQ全等？若存在，求出相應(yīng)的x、t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）當(dāng)t＝1時(shí)，AP＝BQ＝1，BP＝AC＝3，又∵∠A＝∠B＝90°，在△ACP和△BPQ中，∴△ACP≌△BPQ（SAS）．∴∠ACP＝∠BPQ，∴∠APC+∠BPQ＝∠APC+∠ACP＝90°．∴∠CPQ＝90°，即線段PC與線段PQ垂直．（2）①若△ACP≌△BPQ，則AC＝BP，AP＝BQ，，解得；②若△ACP≌△BQP，則AC＝BQ，AP＝BP，，解得；綜上所述，存在或使得△ACP與△BPQ全等．28．如圖，在△ABC中，已知∠ABC＝45°，過點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，過點(diǎn)B作BM⊥AC于點(diǎn)M，CD與BM相交于點(diǎn)E，且點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，連接MD，過點(diǎn)D作DN⊥MD，交BM于點(diǎn)N．（1）求證：△DBN≌△DCM；（2）請(qǐng)?zhí)骄烤€段NE、ME、CM之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】（1）證明：∵∠ABC＝45°，CD⊥AB，∴∠ABC＝∠DCB＝45°，∴BD＝DC，∵∠BDC＝∠MDN＝90°，∴∠BDN＝∠CDM，∵CD⊥AB，BM⊥AC，∴∠ABM＝90°﹣∠A＝∠ACD，在△DBN和△DCM中，，∴△DBN≌△DCM．（2）結(jié)論：NE﹣ME＝CM．證明：由（1）△DBN≌△DCM可得DM＝DN．作DF⊥MN于點(diǎn)F，又ND⊥MD，∴DF＝FN，在△DEF和△CEM中，，∴△DEF≌△CEM，∴ME＝EF，CM＝DF，∴CM＝DF＝FN＝NE﹣FE＝NE﹣ME．29．如圖，已知凸五邊形ABCDE中，EC，EB為其對(duì)角線，EA＝ED．（1）如圖1，若∠A＝60°，∠CDE＝120°，且CD+AB＝BC．求證：CE平分∠BCD；（2）如圖2，∠A與∠D互補(bǔ)，∠DEA＝2∠CEB，若凸五邊形ABCDE面積為30，且CD＝AB＝4．求點(diǎn)E到BC的距離．【答案】（1）證明見解析部分．（2）3．【解答】（1）證明：延長(zhǎng)CD到T，使得DT＝BA，連接ET．∵∠CDE＝120°，∴∠EDT＝180°﹣120°＝60°，∵∠A＝60°，∴∠A＝∠EDT，在△EAB和△EDT中，，∴△EAB≌△EDT（SAS），∴EB＝ET，∴CB＝CD+BA＝CD+DT＝CT，在△ECB和△ECT中，，∴△ECB≌△ECT（SSS），∴∠ECB＝∠ECD，∴CE平分∠BCD．（2）解：延長(zhǎng)CD到Q，使得∠QED＝∠AEB，過點(diǎn)E作EH⊥BC于H．∵∠A+∠CDE＝180°，∠CDE+∠EDQ＝180°，∴∠A＝∠EDQ，在△AEB和△DEQ中，，∴△AEB≌△DEQ（ASA），∴EB＝EQ，∵∠AED＝2∠BEC，∴∠AEB+∠CED＝∠BEC，∴∠CED+∠DEQ＝∠BEC，∴∠CEB＝∠CEQ，在△CEB和△CEQ中，，∴△ECB≌△ECQ（SAS），∵S五邊形ABCDE＝S四邊形EBCQ＝2S△EBC＝30，∴S△EBC＝15，∵CD＝AB＝4，∴AB＝6，CD＝4，∴BC＝CD+QD＝CD+AB＝10，∴×10×EH＝15，∴EH＝3，∴點(diǎn)E到BC的距離為3．30．如圖1，線段AB、CD相交于點(diǎn)O，連接AD、CB．（1）請(qǐng)說明：∠A+∠D＝∠B+∠C；（2）∠DAB的平分線AP和∠BCD的平分線CP相交于點(diǎn)P（如圖2），試探索∠P與∠D、∠B之間的數(shù)量關(guān)系，并請(qǐng)說明理由；（3）點(diǎn)M在OD上，點(diǎn)N在OB上，AM與CN相交于點(diǎn)P，且∠DAP＝∠DAB．∠DCP＝∠DCB，其中n為大于1的自然數(shù)（如圖3）．∠P與∠D、∠B之間又存在著怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)直接寫出你的探索結(jié)果，不必說明理由．【答案】（1）見解答過程；（2）2∠P＝∠D+∠B，理由見解答；（3）∠P＝，理由見解答．【解答】解：（1）∵∠A+∠D+∠AOD＝180°，∠B+∠C+∠BOC＝180°，又∵∠AOD＝∠BOC，∴∠A+∠D＝∠B+∠C；（2）2∠P＝∠D+∠B，理由如下：由（1）可知，∠1+∠D＝∠P+∠3，①∠4+∠B＝∠2+∠P，②∵∠DAB和∠BCD的平分線AP和CP相交于點(diǎn)P，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，由①+②得：∠1+∠D+∠4+∠B＝∠P+∠3+∠2+∠P，即2∠P＝∠D+∠B；（3）結(jié)論：∠P與∠D、∠B之間存在的關(guān)系為∠P＝，∵∠1+∠D＝∠P+∠3，①∠4+∠B＝∠2+∠P，②∵∠1＝∠DAB．∠3＝∠DCB，∴∠DAB＝n∠1，∠DCB＝n∠3，∵∠1+∠2＝∠DAB，∠3+∠4＝∠DCB，∴∠1+∠2＝n∠1，∠3+∠4＝n∠3，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，由（n﹣1）①+②得：（n﹣1）（∠1+∠D）+∠4+∠B＝（n﹣1）（∠P+∠3）+∠2+∠P，即n∠P＝（n﹣1）?∠D+∠B，∴∠P＝．31．如圖1，OA＝2，OB＝4，以A點(diǎn)為頂點(diǎn)、AB為腰在第三象限作等腰Rt△ABC，（1）求C點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）如圖2，P為y軸負(fù)半軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)P點(diǎn)向y軸負(fù)半軸向下運(yùn)動(dòng)時(shí)，以P為頂點(diǎn)，PA為腰作等腰Rt△APD，過D作DE⊥x軸于E點(diǎn)，求OP﹣DE的值；（3）如圖3，已知點(diǎn)F坐標(biāo)為（﹣2，﹣2），當(dāng)G在y軸的負(fù)半軸上沿負(fù)方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，作Rt△FGH，始終保持∠GFH＝90°，F(xiàn)G與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)G（0，m），F(xiàn)H與x軸正半軸交于點(diǎn)H（n，0），當(dāng)G點(diǎn)在y軸的負(fù)半軸上沿負(fù)方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，以下兩個(gè)結(jié)論：①m﹣n為定值；②m+n為定值，其中只有一個(gè)結(jié)論是正確的，請(qǐng)找出正確的結(jié)論，并求出其值．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）過C作CM⊥x軸于M點(diǎn)，如圖1，∵CM⊥OA，AC⊥AB，∴∠MAC+∠OAB＝90°，∠OAB+∠OBA＝90°則∠MAC＝∠OBA在△MAC和△OBA中，則△MAC≌△OBA（AAS）則CM＝OA＝2，MA＝OB＝4，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（﹣6，﹣2）；（2）過D作DQ⊥OP于Q點(diǎn)，如圖2，則OP﹣DE＝PQ，∠APO+∠QPD＝90°∠APO+∠OAP＝90°，則∠QPD＝∠OAP，在△AOP和△PDQ中，則△AOP≌△PDQ（AAS）∴OP﹣DE＝PQ＝OA＝2；（3）結(jié)論②是正確的，m+n＝﹣4，如圖3，過點(diǎn)F分別作FS⊥x軸于S點(diǎn)，F(xiàn)T⊥y軸于T點(diǎn)，則FS＝FT＝2，∠FHS＝∠HFT＝∠FGT，在△FSH和△FTG中，則△FSH≌△FTG（AAS）則GT＝HS，又∵G（0，m），H（n，0），點(diǎn)F坐標(biāo)為（﹣2，﹣2），∴OT＝OS＝2，OG＝|m|＝﹣m，OH＝n，∴GT＝OG﹣OT＝﹣m﹣2，HS＝OH+OS＝n+2，則﹣2﹣m＝n+2，則m+n＝﹣4．32．如圖1，點(diǎn)A、D在y軸正半軸上，點(diǎn)B、C分別在x軸上，CD平分∠ACB與y軸交于D點(diǎn)，∠CAO＝90°﹣∠BDO．（1）求證：AC＝BC；（2）在（1）中點(diǎn)C的坐標(biāo)為（4，0），點(diǎn)E為AC上一點(diǎn)，且∠DEA＝∠DBO，如圖2，求BC+EC的長(zhǎng)；（3）在（1）中，過D作DF⊥AC于F點(diǎn)，點(diǎn)H為FC上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)G為OC上一動(dòng)點(diǎn)，（如圖3），當(dāng)點(diǎn)H在FC上移動(dòng)、點(diǎn)G在OC上移動(dòng)時(shí)，始終滿足∠GDH＝∠GDO+∠FDH，試判斷FH、GH、OG這三者之間的數(shù)量關(guān)系，寫出你的結(jié)論并加以證明．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】（1）證明：∵∠CAO＝90°﹣∠BDO，∴∠CAO＝∠CBD．在△ACD和△BCD中，∴△ACD≌△BCD（AAS）．∴AC＝BC．（2）解：由（1）知∠CAD＝∠DEA＝∠DBO，∴BD＝AD＝DE，過D作DN⊥AC于N點(diǎn)，如圖所示：∵∠ACD＝∠BCD，∴DO＝DN，在Rt△BDO和Rt△EDN中，∴Rt△BDO≌Rt△EDN（HL），∴BO＝EN．在△DOC和△DNC中，∴△DOC≌△DNC（AAS），可知：OC＝NC；∴BC+EC＝BO+OC+NC﹣NE＝2OC＝8．（3）GH＝FH+OG．證明：由（1）知：DF＝DO，在x軸的負(fù)半軸上取OM＝FH，連接DM，如圖所示：在△DFH和△DOM中，∴△DFH≌△DOM（SAS）．∴DH＝DM，∠1＝∠ODM．∴∠GDH＝∠1+∠2＝∠ODM+∠2＝∠GDM．在△HDG和△MDG中，∴△HDG≌△MDG（SAS）．∴MG＝GH，∴GH＝OM+OG＝FH+OG．33．直線MN與直線PQ垂直相交于點(diǎn)O，點(diǎn)A在射線OP上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)A不與點(diǎn)O重合），點(diǎn)B在射線OM上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)B不與點(diǎn)O重合）．（1）如圖1，已知AE、BE分別是∠BAO和∠ABO的角平分線，①當(dāng)∠ABO＝60°時(shí)，求∠AEB的度數(shù)；②點(diǎn)A、B在運(yùn)動(dòng)的過程中，∠AEB的大小是否會(huì)發(fā)生變化？若發(fā)生變化，請(qǐng)說明變化的情況：若不發(fā)生變化，試求出∠AEB的大小；（2）如圖2，延長(zhǎng)BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分線與∠BOQ的角平分線所在的直線分別相交于E、F，在△AEF中，如果有一個(gè)角是另一個(gè)角的3倍，請(qǐng)直接寫出∠ABO的度數(shù)．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）如圖1，①∵M(jìn)N⊥PQ，∴∠AOB＝90°，∵∠ABO＝60°，∴∠BAO＝30°，∵AE、BE分別是∠BAO和∠ABO的角平分線，∴∠ABE＝∠ABO＝30°，∠BAE＝∠BAO＝15°，∴∠AEB＝180°﹣∠ABE﹣∠BAE＝135°．答：∠AEB的度數(shù)是135°．②∠AEB的大小不會(huì)發(fā)生變化．理由如下：同①，得∠AEB＝180°﹣∠ABE﹣∠BAE＝180°﹣∠ABO﹣∠BAO＝180°﹣（∠ABO+∠BAO）＝180°﹣×90°＝135°．答：∠AEB的大小不會(huì)發(fā)生變化，∠AEB的度數(shù)是135°．（2）∠ABO的度數(shù)為60°或45°．理由如下：如圖2，∵∠BAO、∠OAG的角平分線與∠BOQ的角平分線所在的直線分別相交于E、F，∴∠OAE+∠OAF＝（∠BAO+∠GAO）＝90°，即∠EAF＝90°，又∠BOQ＝90°，∴由題意：①∠E＝∠EAF＝30°，或②∠E＝∠F．①∠EOQ＝45°，∠OAE+∠E＝∠EOQ＝45°，∴∠OAE＝15°，∠OAE＝∠BAO＝（90﹣∠ABO）∴∠ABO＝60°．②∠E＝∠F，∵∠E+∠F＝90°，∴∠E＝22.5°，∠EOQ＝45°，∴∠OAE＝22.5°，∴∠BAO＝45°，∴∠ABO＝45°．故答案為60°或45°．34．將一副三角板中的兩塊直角三角尺的直角頂點(diǎn)O按如圖方式疊放在一起．（1）如圖（1）若∠BOD＝35°，求∠AOC的度數(shù)，若∠AOC＝135°，求∠BOD的度數(shù)．（2）如圖（2）若∠AOC＝150°，求∠BOD的度數(shù)．（3）猜想∠AOC與∠BOD的數(shù)量關(guān)系，并結(jié)合圖（1）說明理由．（4）三角尺AOB不動(dòng)，將三角尺COD的OD邊與OA邊重合，然后繞點(diǎn)O按順時(shí)針或逆時(shí)針方向任意轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度，當(dāng)∠AOD（0°＜∠AOD＜90°）等于多少度時(shí)，這兩塊三角尺各有一條邊互相垂直，直接