構造全等三角形的方法-

構造全等三角形的方法-構造全等三角形的方法在證明兩個三角形全等時，選擇三角形全等的五種方法（“SSS”，“SAS”，“ASA”，“AAS”，“HL”）中，至少有一組相等的邊，因此在應用時要養(yǎng)成先找邊的習慣。如果選擇找到了一組對應邊，再找第二組條件，若找到第二組條件是對應邊，則再找這兩邊的夾角用“SAS”或再找第三組對應邊用“SSS”；若找到第二組條件是角，則需找另一組角（可能用“ASA”或“AAS”）或夾這個角的另一組對應邊用“SAS”；若是判定兩個直角三角形全等則優(yōu)先考慮“HL”。搞清了全等三角形的證題思路后，還要注意一些較難的一些證明問題，只要構造合適的全等三角形，把條件相對集中起來，再進行等量代換，就可以化難為易了．一、利用三角形的角平分線來構造全等三角形（可以利用角平分線所在直線作對稱軸，翻折三角形來構造全等三角形。）1、如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC。畫一畫。法一：在AB上截取AE=AC，連結DE。法二：延長AC到F，使AF=AB，連結DF。法三：作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N。2、如圖，DC∥AB，∠BAD和∠ADC的平分線相交于E，過E的直線分別交DC、AB于C、B兩點.求證：AD＝AB＋DC.證明：在線段AD上取AF＝AB，連接EF，

∵AE是∠BAD的角平分線，∴∠1＝∠2，

∵AF＝AB

AE＝AE，∴△ABE≌△AFE，∴∠B＝∠AFE

由CD∥AB又可得∠C＋∠B＝180°，∴∠AFE＋∠C＝180°，

又∵∠DFE＋∠AFE＝180°，∴∠C＝∠DFE，

∵DE是∠ADC的平分線，∴∠3＝∠4，

又∵DE＝DE，∴△CDE≌△FDE，∴DF＝DC，

∵AD＝DF＋AF，∴AD＝AB＋DC．3、已知：如圖，在四邊形ABCD中，BD是∠ABC的角平分線，AD=CD.求證：∠A+∠C=180°法一：證明：在BC上截取BE，使BE=AB，連結DE。法二：延長BA到F，使BF=BC，連結DF?！連D是∠ABC的角平分線（已知）∵BD是∠ABC的角平分線（已知）∴∠1=∠2（角平分線定義）∴∠1=∠2（角平分線定義）在△ABD和△EBD中在△BFD和△BCD中∵AB=EB（已知）BF=BC（已知）∠1=∠2（已證）∠1=∠2（已證）BD=BD（公共邊）BD=BD（公共邊）∴△ABD≌△EBD（S.A.S）∴△BFD≌△BCD（S.A.S）∴∠A＝∠3（全等三角形的對應角相等）∴∠F＝∠C（全等三角形的對應角相等AD=DE（全等三角形的對應邊相等）DF=DC（全等三角形的對應邊相等）∵AD=CD（已知），AD=DE（已證）∵AD=CD（已知），DF=DC（已證）∴DE=DC（等量代換）∴DF=AD（等量代換）∴∠4=∠C（等邊對等角）∴∠4=∠F（等邊對等角）∵∠3+∠4＝180°（平角定義），∵∠F＝∠C（已證）∠A＝∠3（已證）∴∠4=∠C（等量代換）∴∠A+∠C＝180°（等量代換）∵∠3+∠4＝180°（平角定義）∴∠A+∠C＝180°（等量代換）法三：作DM⊥BC于M，DN⊥BA交BA的延長線于N?！連D是∠ABC的角平分線（已知）∴∠1=∠2（角平分線定義）∵DN⊥BA，DM⊥BC（已知）∴∠N=∠DMB=90°（垂直的定義）在△NBD和△MBD中∵∠N=∠DMB（已證）∠1=∠2（已證）BD=BD（公共邊）∴△NBD≌△MBD（A.A.S）∴ND=MD（全等三角形的對應邊相等）∵DN⊥BA，DM⊥BC（已知）∴△NAD和△MCD是Rt△在Rt△NAD和Rt△MCD中∵ND=MD（已證）AD=CD（已知）∴Rt△NAD≌Rt△MCD（H.L）∴∠4=∠C（全等三角形的對應角相等）∵∠3+∠4＝180°（平角定義），∠A＝∠3（已證）∴∠A+∠C＝180°（等量代換）法四：作DM⊥BC于M，DN⊥BA交BA的延長線于N?！連D是∠ABC的角平分線（已知）DN⊥BA，DM⊥BC（已知）∴ND=MD（角平分線上的點到這個角的兩邊距離相等）∵DN⊥BA，DM⊥BC（已知）∴△NAD和△MCD是Rt△在Rt△NAD和Rt△MCD中∵ND=MD（已證）AD=CD（已知）∴Rt△NAD≌Rt△MCD（H.L）∴∠4=∠C（全等三角形的對應角相等）∵∠3+∠4＝180°（平角定義）∠A＝∠3（已證）∴∠A+∠C＝180°（等量代換）4.如圖，AC=DB，△PAC與△PBD的面積相等．求證：OP平分∠AOB．證明：作PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，，且∴又∵AC＝BD∴PM＝PN說明它們所在的兩個三角形全等，而遇到中線時又通常通過延長中線來構造全等三角形2.已知：如圖所示，CE、CB分別是△ABC與△ADC的中線，且∠ACB＝∠ABC．求證：CD＝2CE．證明：延長CE至F使EF＝CE，連接BF．∵EC為中線，∴AE＝BE．在△AEC與△BEF中，∴△AEC≌△BEF（SAS）．∴AC＝BF，∠A＝∠FBE．（全等三角形對應邊、角相等）又∵∠ACB＝∠ABC，∠DBC＝∠ACB＋∠A，∠FBC＝∠ABC＋∠A．∴AC＝AB，∠DBC＝∠FBC．∴AB＝BF．又∵BC為△ADC的中線，∴AB＝BD．即BF＝BD．在△FCB與△DCB中，∴△FCB≌△DCB（SAS）．∴CF＝CD．即CD＝2CE．三、利用利用平行線構造全等三角形1．△ABC中，AB＝AC，E是AB上任意一點，延長AC到F，連接EF交BC于M，且ED＝FD,試說明線段BE與CF相等的理由．簡析由于BE與CF的位置較散，故可考慮將線段CF平移到EG，所以過點E作EG∥CF，則∠EGB＝∠ACB，∠EGD＝∠FCD，由于ED＝FD，∠EDG＝∠FDC，所以△EDG≌△FDCC（AAS），所以EG＝CF，又因為AB＝AC，所以∠B＝∠ACB，即∠B＝∠EGB，所以EB＝EG，所以BE＝CF．說明這里通過輔助線將較散的結論相對集中，使求解的難度降低．此題的輔助線還可以有如圖所示的其他幾種方法。2.已知：如圖，△ABC中，∠BAC=60°，∠C=40°，AP平分∠BAC交BC于P，BQ平分∠ABC交AC于Q，求證：AB+BP=BQ+AQ．解答：方法一、證明：延長AB到D，使BD=BP，連接PD，則∠D=∠5．

∵AP，BQ分別是∠BAC，∠ABC的平分線，∠BAC=60°，∠ACB=40°，

∴∠1=∠2=30°，∠ABC=180°-60°-40°=80°，∠3=∠4=40°=∠C，

∴QB=QC，

又∠D+∠5=∠3+∠4=80°，∴∠D=40°．

在△APD與△APC中，

∠D=∠C,∠2=∠1，AP=AP,∴△APD≌△APC（AAS），

∴AD=AC．即AB+BD=AQ+QC，

∴AB+BP=BQ+AQ．方法二、如圖，

∴∠CBQ=∠ABC=12×80°=40°，

∴∠CBQ=∠ACB，∴BQ=CQ，

∴BQ+AQ=CQ+AQ=AC…①，

過點P作PD∥BQ交CQ于點D，

則∠CPD=∠CBQ=40°，

∴∠CPD=∠ACB=40°，