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2.2充分條件、必要條件、充要條件
1.通過對典型數(shù)學命題的梳理?理解必要條件的意義?理解性質定理與必要條件的關系.
二:2.通過對典.型數(shù)學命題的梳理.理解充分條件的意義?理解判定定理與充分條件的關系.
全不準
3.通過對典型數(shù)學命題的梳理,理解充要條件的意義.理解數(shù)學定義。充要條件的關系.
》基礎認知.自主學習4
概念認知
1.命題真假與推出關系
命題真假喏P,則q”為真命題喏P,則q”為假命題
文字表述由p可以推出q成立由p不能推出q成立
符號表示pD=?/q
讀法p推出qP不能推出q
傳遞性如果pnq,q=s,那么pns
2.充分條件、必要條件
推出關系p=q
條件關系P是q的充分條件,q是P的必要條件
3.充要條件
⑴定義:
pnq,且q=p,記作p=q稱為
推出關系
“P與q等價”或“P等價于q”
P是q的充分且必要條件,
條件關系
簡稱P是q的充要條件
⑵本質:p是q的充分必要條件,也常說成P成立當且僅當q成立.
⑶應用:充要條件是數(shù)學中非常重要的概念,應用充要條件可以從
不同的角度來理解、刻畫很多數(shù)學內容.
4.性質定理、判定定理和數(shù)學定義
⑴性質定理是指某類對象具有的具體特征.性質定理具有“必要性”.
⑵判定定理是指對象只要具有某具體的特征,就一定有該對象的所
有特征.判定定理具有“充分性”.
⑶數(shù)學定義既具有必要性也具有充分性.
自我小測
1.不等式x(x-2)<0成立的一個必要不充分條件是()
A.{x|0<x<2}B.{x|x>-1}
C.{x|O<x<l}D.{x|l<x<3}
選B.由x(x-2)<0得0<x<2,因為(0,2){x|x>-1},所以“{x|xN-
1}”是“不等式X(x-2)<0成立”的一個必要不充分條件.
2.對于任意的實數(shù)a,b,c,在下列命題中,真命題是()
A."ac>bc”是“a>b”的必要條件
B."ac=be”是“a=b”的必要條件
C."ac<bc”是“a<b”的充分條件
D."ac=be”是“a=b”的充分條件
選B.若a=b,貝!Jac=be;若ac=be,則a不一定等于b,故"ac=be"
是“a=b”的必要條件.
3.從符號“=”“口=/”“0”中選擇適當?shù)囊粋€填空:
(l)x-2=0.(x-2)(x-3)=0;
(2)a+5是無理數(shù)_____a是無理數(shù);
(3)x=yy/x=y[y.
(l)x-2=0=x=2=>(x-2)(x-3)=0;
(2)根據(jù)無理數(shù)的定義可知,a+5是無理數(shù)Qa是無理數(shù).
(3)因為當x=y<0時,爪,Vy無意義,
所以x=yD=M=5-
答案:⑴=⑵=(3)Dn/
4.從“充分”“必要”中選擇適當?shù)囊粋€填空:
(1)%>2"是%>3”的條件;
(2)“四邊形ABCD是正方形”是“四邊形ABCD是菱形”的條
件.
⑴因為“x>3"="x>2",所以“x>2”是“x>3”的必要條件;
(2)因為“四邊形ABCD是正方形”="四邊形ABCD是菱形”,所以“四
邊形ABCD是正方形”是“四邊形ABCD是菱形”的充分條件.
答案:⑴必要⑵充分
5.“x=-1”是-x-2=0”的條件,-x-2=0”是“x=
-1”的條件.(用“充分”“必要”填空)
由x=-l=>x2-x-2=0所以“x=-1”是-x-2=0”的充分條件,
%2-X-2=0”是“X=-1”的必要條件.
答案:充分必要
6.p:1-x<0,q:x>a,若p是q的充分條件,則a的取值范圍為
x>l=x>a,令A={x|x>l},B={x|x>a},則A£B,所以a<l.
答案:a<l
7.求證:關于x的方程ax2+bx+c=0(aW0)有一正根和一負根的充要
條件是ac<0.
【證明】⑴必要性:由于方程ax2+bx+c=0有一正根和一負根,
c
所以A=b2-4ac>0,xiX2=_<0,所以ac<0.
a
.__c
⑵充分性:由ac<0可得b?-4ac>0及X1X2=:<0,
d
所以方程ax2+bx+c=0有兩個不相等的實根,且兩根異號,即方程
ax2+bx+c=0有一正根和一負根.綜上可知,關于x的方程ax2+bx
+c=0(a#))有一正根和一負根的充要條件是ac<0.
》學情診斷?課時測評④?
基礎全面練
一、單選題
1.(2021.南通高一檢測)“x>0且x<4”的一個充分不必要條件為()
A.0<x<4B.0<x<2
C.x>0D.x<4
選B.由題意得0<x<4,則充分不必要條件是集合{x|0<x<4}的子集.
2.若a£R,則“a=l”是“同=1”的()
A.充分條件
B.必要條件
C.既不是充分條件也不是必要條件
D.無法判斷
選A.當a=1時,|a|=1成立,但|a|=1時,a=±1,所以a=1不一定
成立.
所以“a=1”是“|a|=1"的充分條件.
3.(2021.南京高一檢測)已知m,nER,則“弋-1=-n=0"
成立的()
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充分必要條件
D.既不充分也不必要條件
選-1==lnm=nnm-n=0,反之,當m=n=O時,
雖有m-n=0,但是弋-1=0不成立,所以m-n=0=*-1=0.
所以*-1=0”是,m-n=0”成立的充分不必要條件.
4.設集合A={x|-1WX<3},集合B={x|0<x<2},則設£A”是“x£B”
的()
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
選B.因為A={x|-lWx<3},B={x|0<x<2},
所以BA,所以“x£A”是“xWB”的必要不充分條件.
5.(2021.邢臺高一檢測)若a>b>c,貝(]()
A.“x>b”是“x>a”的充分不必要條件
B.“x>a”是“x>c”的充要條件
C.“x>c”是“x>a”的必要不充分條件
D.“x>b”是“x>c”的既不充分也不必要條件
選C.對于A,x>bn/x>a,x>a=x>b,貝卜x>b”是,x>a”的必要不充分
條件,A錯誤;對于B,x>a=x>c,x>c=/x>a,則“x>a”是“x>c”的
充分不必要條件,B錯誤;對于C,x>cn/x>a,x>a=>x>c,則“x>c”
是“x>a”的必要不充分條件,C正確;對于D,x>b=x>c,x>c=/x>b,
則“x>b”是“x>c”的充分不必要條件,D錯誤.
6.“m<1”是“關于x的一元二次方程x2+x+m=0有實數(shù)解”的
條件()
A.充分不必要B.必要不充分
C.充要D.既不充分也不必要
選A.關于X的一元二次方程X2+x+m=0有實數(shù)解,則△=1-4m>0,
解得mg,
所以{m|m曰{m|m*,所以“m<1”是“關于x的一元二次方程
x2+x+m=0有實數(shù)解”的充分不必要條件.
二、多選題
7.已知A,B為實數(shù)集R的非空集合,則AUB的必要不充分條件
可以是()
A.AClB=AB.AACRB=0
C.CRBUCRAD.BUCRA=R
選ABD.因為AUB^CRBUCRA,所以CRBUCRA是AUB的充分必要條
件,因為AUB^AcB?AnB=A?AnCRB=0<^BUCRA=R,
ABD.
8.下列各題中,p是q的充要條件的有()
A.p:四邊形是正方形;q:四邊形的對角線互相垂直且平分
B.p:兩個三角形相似;q:兩個三角形三邊成比例
C.p:xy>0;q:x>0,y>0
D.p:x=1是一元二次方程ax2+bx+c=0的—討艮;q:a+b+c
=O(aHO)
選BD.四邊形是正方形則四邊形的對角線互相垂直且平分成立,但四
邊形的對角線互相垂直且平分四邊形可能是菱形,故P不是q的充要
條件;兩個三角形相似與兩個三角形三邊成比例可以互相推導,故p
是q的充要條件;xy>0不能推出x>0,y>0,可能x<0,y<0,故p
不是q的充要條件;x=1是一元二次方程ax2+bx+c=0的一個根,
將1代入方程可得a+b+c=O,當a+b+c=O時,c=-a-b代入方
程ax?+bx+c=0彳導ax?+bx-a-b=(ax+a+b)(x-1)=0解彳導x=1,
故p是q的充要條件.
三、填空題
9若集合A={142},B={2,4}字集m=2”是“ACIB={4}”的________
條件.(填必要、不必要)
答案:不必要
10.函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過第一、二、三象限的充要條件是
函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過第一、二、三象限的充要條件是k>0,
b>0.
答案:k>0,b>0
四、解答題
11,下列所給的各組p,q中,p是q的什么條件?
(l)p:x2=x+6,q:x=[x+6;
ab
(2)p:b2=ac,q:=-;
(3)p:ADB=A,q:CuB£CuA;
(4)p:點P(2-a,3a-2)到兩坐標軸距離相等,
q:a=1或a=0.
(1)由于%2=x+6",則”x=±yJx+6”,故"x2=x+6”是"x=yjx+6”
的必要不充分條件.
(2)b2=acD=*,如b=0,c=0時,b?=ac,而曰[無意義.但
所以P是q的必要條件,但P不是q的充分條件.
⑶畫出Venn圖(如圖)可得.
AAB=A=AGB=CUA3CuB,故p是q的充要條件.
(4)當a=1時,點P(1,1)到兩坐標軸距離相等,
當a=0時,點P(2,-2)到兩坐標軸距離相等,
當點P(2-a,3a-2)到兩坐標軸距離相等時,
|2-a|=|3a-2|,解得a=1或a=0.
所以p=q,所以P是q的充要條件.
12.已知集合A={x|-l<x<3},集合B={x|a<x<a+1),aGR.
(1)若“1£8”是真命題,求實數(shù)a的取值范圍;
(2)若“x£A”是“xWB”的必要不充分條件,求實數(shù)a的取值范圍.
⑴若“1£B”是真命題,則a<l<a+l,得0<a<l.
⑵若“x£A”是“x£B”的必要不充分條件,
[a>-1
則BA,即1,得-,
[a+l<3
即實數(shù)a的取值范圍是{a|-10a02}.
綜合突破練
一、選擇題
1.若非空集合A,B,C滿足AUB=C,且B不是A的子集,則()
A.“x£C”是“x£A”的充分條件但不是必要條件
B.“x£C”是“x£A”的必要條件但不是充分條件
C.“x£C”是“x£A”的充分條件也是“x£A”的必要條件
D.“x£C”既不是“xWA”的充分條件也不是“x£A”的必要條件
選B.xGA必有xGC,但反之不一定成立,所以“xWC”是“x£A”的
必要條件但不是充分條件.
2.盛唐著名邊塞詩人王昌齡在其作品《從軍行》中寫道:青海長云
暗雪山,孤城遙望玉門關.黃沙百戰(zhàn)穿金甲,不破樓蘭終不還.其最
后一句中“攻破樓蘭'是“返回家鄉(xiāng)”的()
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
選B."攻破樓蘭不一定返回家鄉(xiāng)"但“返回家鄉(xiāng)”一定是“攻破樓蘭"
由充分條件和必要條件的定義判斷可得“攻破樓蘭'是“返回家鄉(xiāng)”的
必要不充分條件.
3.(多選)已知p,q都是r的充分條件,s是r的必要條件,q是s的
必要條件,則()
A.p是q的既不充分也不必要條件
B.p是s的充分條件
C.r是q的必要不充分條件
D.s是q的充要條件
選BD.根據(jù)題意畫出示意圖如圖:
力、
CD<=CD
由圖示可知,P=r=s=q=r=s,所以p是q的充分條件,p是s的
充分條件,1■是q的充要條件,s是q的充要條件.
二、填空題
4.已知P={x|a-4<x<a+4},Q={x[l<x<3},“x£P”是“x£Q”的必
要條件,則實數(shù)a的取值范圍是________.
_a-4<1,
因為“x£P”是“x£Q”的必要條件,所以Qcp,所以,即
a+4>3,
a<5,
所以-l<a<5.
a>-1,
答案:"l<a<5
5.設nWN+,一元二次方程x2-4x+n=0有整數(shù)根的充要條件是n
直接利用求根公式進行計算,然后用完全平方數(shù)、整除等進行判斷.
,因為X是整數(shù),
即2±正二為整數(shù),所以“二為整數(shù),fin<4,又因為nGN
+,取n=l,2,3,4,驗證可知n=3,4符合題意;反之n=3,4
時,可推出一元二次方程x2-4x+n=0有整數(shù)根.
答案:3或4
三、解答題
6.已知集合A={y|y=x2-3x+1,xGR}={x|x+2m>0};p:xGA,
q:x£B,并且q是p的必要條件,求實數(shù)m的取值范圍.
由已知可得A=<y|yN-\>,B={x|xN-2m}.因為q是p的必要條
件,所以pnq,所以AGB,
所以-2m<-1,所以m>|,即m的取值范圍是1m|m甯.
7.設x,yWR,求證|x+y|=|x|+|y|成立的充要條件是xy>0.
【證明】設p:xy>0,q:|x+y|=|x|+|y|,
(1)充分性(pnq):如果xy>0,則有xy=O和xy>0兩種情況,當xy
=0時,不妨設x=0,
則|x+y|=|y|,|x|+lyl=|y|,所以等式成立.
當xy>0時,即x>0,y>0,或x<0,y<0,
又當x>0,y>0時,|x+y|=x+y,|x|+|y|=x+y,所以等式成立.
當x<0,y<0時,|x+y|="(x+y),
岡+|y|=-x-y=-(x+y),所以等式成立.
總之,當xy>0時,|x+y|=|x|+|y|成立.
(2)必要性(qnp):若|x+y|=|x|+|y|且x,yGR,
貝!J|x+yF=(|x|+|y|>,
即x2+2xy+y2=x2+y2+2|x||y|,
所以|xy|二xy,所以xy>0.
由⑴⑵可得,xy>0是等式|x+y|=|x|+|y|成立的充要條件.
少素養(yǎng)培優(yōu)練卬
(50分鐘80分)
一、選擇題(每小題5分,共45分,多選題全部選對的得5分,選對
但不全的得3分,有選錯的得0分)
1.下列語句:
(1)也是無限循環(huán)小數(shù);(2)x2_3x4-2=0;
⑶當x=4時,2x>0;(4)垂直于同一條直線的兩條直線必平行嗎?(5)
一個數(shù)不是合數(shù)就是素數(shù);(6)作AABC當ABC;(7)二次函數(shù)的圖象
太美了!(8)4是集合{1,2,3}中的元素.
其中是命題的個數(shù)是()
A.2B.4C.5D.7
選BO)是命題,能判斷真假;⑵不是命題,因為語句中含有變量x,
在沒給變量x賦值前,我們無法判斷語句的真假;(3)是命題;(4)不
是命題,不是陳述句;(5)是命題;(6)不是命題;(7)不是命題;(8)是
命題.
2.已知p:A=0,q:AAB=。,則p是q的()
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
選A.由已知A=。=ACIB=0,反之不成立,得p是q的充分不必要
條件.
3.a,b中至少有一個不為零的充要條件是()
A.ab=0B.ab>0
C.a2+b2=0D.a2+b2>0
選D.A.ab=0是a,b中至少有一個不為零的既不充分也不必要條件;
B.ab>0是a,b中至少有一個不為零的充分不必要條件;
C.a2+b2=0是a,b中至少有一個不為零的既不充分也不必要條件;
D.a2+b2>0,則a,b不同時為零;a,b中至少有一個不為零,則
a2+b2>0.所以a2+b2>0是a,b中至少有一個不為零的充要條件.
4.已知集合A={1,a},B={1,2,3},則“a=3”是“AUB,W()
A.充分條件
B.必要條件
C.既是充分條件也是必要條件
D.既不是充分條件也不是必要條件
選A.當a=3時,A={1,3},故AGB,若AGB=a=2或a=3,不
一定有a=3,故“a=3”是“AGB”的充分條件.
5.(2021.長春高一檢測)在如圖電路中,條件p:開關A閉合,條件q:
燈泡B亮,則p是q的()
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
選A.若開關A閉合,則燈泡B亮,所以p=q;
若燈泡B亮,則開關A閉合或開關C閉合,所以qnp不成立,所以
p是q的充分不必要條件.
6.(2021綏化高一檢測)設p:;<x<l;q:a<x<a+1,若p是q的充
分不必要條件,則實數(shù)a的取值范圍是()
A.0<a<gB.0<a<^
C.0<aD.0<a<2
選B.因為p:<x<l;q:a<x<a+1,
且p是q的充分不必要條件,
所以x1<x<l!{x|a<x<a+1},
則彳一?’且兩不等式中的等號不同時成立.
La+l>l,
解得:0<a<1.
7.(多選)對任意實數(shù)a,b,c,給出下列命題,其中真命題是()
A.“a=b”是"ac=be”的充要條件
B.“a>b”是方力”的充分條件
C."a<5”是“a<3”的必要條件
D.“a+5是無理數(shù)”是“a是無理數(shù)”的充要條件
選CD.對于A,因為"a=b"時,ac=be成立;ac=be且c=0時,a=
b不一定成立,
所以“a二b”是“ac=be”的充分不必要條件,故A錯;
對于8,當2=-1,b=-2,a>b時,a2<b2;
當a=-2,b=1,a2>b?時,a<b.
所以“a>b”是“a2>b2”的既不充分也不必要條件,故B錯;
對于C,因為“a<3”時一定有“a<5”成立,
所以“a<3”是“a<5”的必要條件,C正確;
D顯然正確.
8.(多選)下列結論中正確的是()
A."x<0”是“x<-2”的必要不充分條件
B.“x為無理數(shù)”是為無理數(shù)”的必要不充分條件
C.若a,bWR,則“a?+b?#)”是“a,b不全為0”的充要條件
D.在^ABC中,“AB2+AC2=BC2,是"ABC為直角三角形”的充要
條件
選ABC根據(jù)題意,依次分析選項:
對于A,若x<0,則“x<-2”不一定成立,反之若“x<-2",必有“x<0”,
故“x<0”是“x<-2”的必要不充分條件,A正確;
對于B,若“x為無理數(shù)"貝。x2不一定為無理數(shù)",如x=也,反之
%2為無理數(shù)”,則“x為無理數(shù)”,故"x為無理數(shù)是為無理數(shù)”的必
要不充分條件,B正確;
對于C,若“a?+b2/)”,則“a,b不全為0”,反之若“a,b不全為0”,
貝Fa2+b2#o”,故若a,bGR,則“a?+bZRO”是“a,b不全為0”的充要
條件,C正確;
對于D,在△ABC中,若“AB?+AC2=BC2,>,則NA=90°,故“△ABC
為直角三角形",反之不一定成立,故"AB?+AC2=BC2"是“ABC為
直角三角形,,的充分不必要條件,D錯誤.
9.(多選)已知集合A={x|-l<x<3},集合B={x|x<m+1},則AClB
=0的一個充分不必要條件是()
A.m<-2B.m<-2
C.m<2D.-4<m<-3
選BD.當AAB=0時,m+1<-1,解得m<-2,
由題意可得只要選項中的m范圍是集合{m|mg-2}的真子集即可,
因此滿足條件的選項為B,D.
二、填空題
10.(5分)“x>0”的一個充分不必要條件可以為;一個必要不
充分條件可以為.
“x>0”的充分不必要條件可以為x=2;一個必要不充分條件可以為
x>-1.
答案:X=
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