新教材2021秋高中數(shù)學蘇教版必修第一冊學案：第2章充分條件、必要條件、充要條件

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2.2充分條件、必要條件、充要條件

1.通過對典型數(shù)學命題的梳理?理解必要條件的意義?理解性質定理與必要條件的關系.

二:2.通過對典.型數(shù)學命題的梳理.理解充分條件的意義?理解判定定理與充分條件的關系.

全不準

3.通過對典型數(shù)學命題的梳理,理解充要條件的意義.理解數(shù)學定義。充要條件的關系.

》基礎認知.自主學習4

概念認知

1.命題真假與推出關系

命題真假喏P,則q”為真命題喏P,則q”為假命題

文字表述由p可以推出q成立由p不能推出q成立

符號表示pD=?/q

讀法p推出qP不能推出q

傳遞性如果pnq,q=s,那么pns

2.充分條件、必要條件

推出關系p=q

條件關系P是q的充分條件,q是P的必要條件

3.充要條件

⑴定義:

pnq,且q=p,記作p=q稱為

推出關系

“P與q等價”或“P等價于q”

P是q的充分且必要條件，

條件關系

簡稱P是q的充要條件

⑵本質：p是q的充分必要條件，也常說成P成立當且僅當q成立.

⑶應用：充要條件是數(shù)學中非常重要的概念，應用充要條件可以從

不同的角度來理解、刻畫很多數(shù)學內容.

4.性質定理、判定定理和數(shù)學定義

⑴性質定理是指某類對象具有的具體特征.性質定理具有“必要性”.

⑵判定定理是指對象只要具有某具體的特征，就一定有該對象的所

有特征.判定定理具有“充分性”.

⑶數(shù)學定義既具有必要性也具有充分性.

自我小測

1.不等式x(x-2)<0成立的一個必要不充分條件是()

A.{x|0<x<2}B.{x|x>-1}

C.{x|O<x<l}D.{x|l<x<3}

選B.由x(x-2)<0得0<x<2,因為(0,2){x|x>-1},所以“{x|xN-

1}”是“不等式X(x-2)<0成立”的一個必要不充分條件.

2.對于任意的實數(shù)a,b,c,在下列命題中，真命題是()

A."ac>bc”是“a>b”的必要條件

B."ac=be”是“a=b”的必要條件

C."ac<bc”是“a<b”的充分條件

D."ac=be”是“a=b”的充分條件

選B.若a=b，貝!Jac=be；若ac=be，則a不一定等于b,故"ac=be"

是“a=b”的必要條件.

3.從符號“=”“口=/”“0”中選擇適當?shù)囊粋€填空：

(l)x-2=0.(x-2)(x-3)=0；

(2)a+5是無理數(shù)_____a是無理數(shù)；

(3)x=yy/x=y[y.

(l)x-2=0=x=2=>(x-2)(x-3)=0；

(2)根據(jù)無理數(shù)的定義可知，a+5是無理數(shù)Qa是無理數(shù).

(3)因為當x=y<0時，爪,Vy無意義，

所以x=yD=M=5-

答案：⑴=⑵=(3)Dn/

4.從“充分”“必要”中選擇適當?shù)囊粋€填空：

(1)%>2"是%>3”的條件；

(2)“四邊形ABCD是正方形”是“四邊形ABCD是菱形”的條

件.

⑴因為“x>3"="x>2"，所以“x>2”是“x>3”的必要條件；

(2)因為“四邊形ABCD是正方形”="四邊形ABCD是菱形”，所以“四

邊形ABCD是正方形”是“四邊形ABCD是菱形”的充分條件.

答案：⑴必要⑵充分

5.“x=-1”是-x-2=0”的條件，-x-2=0”是“x=

-1”的條件.(用“充分”“必要”填空)

由x=-l=>x2-x-2=0所以“x=-1”是-x-2=0”的充分條件,

%2-X-2=0”是“X=-1”的必要條件.

答案：充分必要

6.p：1-x<0,q:x>a，若p是q的充分條件,則a的取值范圍為

x>l=x>a，令A={x|x>l},B={x|x>a},則A￡B,所以a<l.

答案:a<l

7.求證：關于x的方程ax2+bx+c=0(aW0)有一正根和一負根的充要

條件是ac<0.

【證明】⑴必要性：由于方程ax2+bx+c=0有一正根和一負根，

c

所以A=b2-4ac>0,xiX2=_<0,所以ac<0.

a

.__c

⑵充分性：由ac<0可得b?-4ac>0及X1X2=:<0,

d

所以方程ax2+bx+c=0有兩個不相等的實根，且兩根異號,即方程

ax2+bx+c=0有一正根和一負根.綜上可知，關于x的方程ax2+bx

+c=0（a#））有一正根和一負根的充要條件是ac<0.

》學情診斷?課時測評④?

基礎全面練

一、單選題

1.（2021.南通高一檢測）“x>0且x<4”的一個充分不必要條件為（）

A.0<x<4B.0<x<2

C.x>0D.x<4

選B.由題意得0<x<4,則充分不必要條件是集合｛x|0<x<4｝的子集.

2.若a￡R,則“a=l”是“同=1”的（）

A.充分條件

B.必要條件

C.既不是充分條件也不是必要條件

D.無法判斷

選A.當a=1時，|a|=1成立，但|a|=1時，a=±1,所以a=1不一定

成立.

所以“a=1”是“|a|=1"的充分條件.

3.（2021.南京高一檢測）已知m,nER,則“弋-1=-n=0"

成立的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充分必要條件

D.既不充分也不必要條件

選-1==lnm=nnm-n=0,反之，當m=n=O時，

雖有m-n=0,但是弋-1=0不成立，所以m-n=0=*-1=0.

所以*-1=0”是，m-n=0”成立的充分不必要條件.

4.設集合A={x|-1WX<3},集合B={x|0<x<2}，則設￡A”是“x￡B”

的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

選B.因為A={x|-lWx<3},B={x|0<x<2},

所以BA,所以“x￡A”是“xWB”的必要不充分條件.

5.（2021.邢臺高一檢測）若a>b>c,貝（］（）

A.“x>b”是“x>a”的充分不必要條件

B.“x>a”是“x>c”的充要條件

C.“x>c”是“x>a”的必要不充分條件

D.“x>b”是“x>c”的既不充分也不必要條件

選C.對于A,x>bn/x>a,x>a=x>b,貝卜x>b”是，x>a”的必要不充分

條件，A錯誤；對于B,x>a=x>c,x>c=/x>a,則“x>a”是“x>c”的

充分不必要條件,B錯誤；對于C,x>cn/x>a,x>a=>x>c,則“x>c”

是“x>a”的必要不充分條件，C正確；對于D,x>b=x>c,x>c=/x>b,

則“x>b”是“x>c”的充分不必要條件，D錯誤.

6.“m<1”是“關于x的一元二次方程x2+x+m=0有實數(shù)解”的

條件（）

A.充分不必要B.必要不充分

C.充要D.既不充分也不必要

選A.關于X的一元二次方程X2+x+m=0有實數(shù)解，則△=1-4m>0,

解得mg,

所以{m|m曰{m|m*,所以“m<1”是“關于x的一元二次方程

x2+x+m=0有實數(shù)解”的充分不必要條件.

二、多選題

7.已知A,B為實數(shù)集R的非空集合，則AUB的必要不充分條件

可以是（）

A.AClB=AB.AACRB=0

C.CRBUCRAD.BUCRA=R

選ABD.因為AUB^CRBUCRA,所以CRBUCRA是AUB的充分必要條

件，因為AUB^AcB?AnB=A?AnCRB=0<^BUCRA=R,

ABD.

8.下列各題中，p是q的充要條件的有()

A.p：四邊形是正方形；q:四邊形的對角線互相垂直且平分

B.p：兩個三角形相似；q：兩個三角形三邊成比例

C.p：xy>0；q:x>0,y>0

D.p：x=1是一元二次方程ax2+bx+c=0的—討艮；q:a+b+c

=O(aHO)

選BD.四邊形是正方形則四邊形的對角線互相垂直且平分成立，但四

邊形的對角線互相垂直且平分四邊形可能是菱形，故P不是q的充要

條件；兩個三角形相似與兩個三角形三邊成比例可以互相推導，故p

是q的充要條件；xy>0不能推出x>0,y>0,可能x<0,y<0,故p

不是q的充要條件；x=1是一元二次方程ax2+bx+c=0的一個根，

將1代入方程可得a+b+c=O,當a+b+c=O時，c=-a-b代入方

程ax?+bx+c=0彳導ax?+bx-a-b=(ax+a+b)(x-1)=0解彳導x=1,

故p是q的充要條件.

三、填空題

9若集合A={142},B={2,4}字集m=2”是“ACIB={4}”的________

條件.（填必要、不必要）

答案：不必要

10.函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過第一、二、三象限的充要條件是

函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過第一、二、三象限的充要條件是k>0,

b>0.

答案：k>0,b>0

四、解答題

11,下列所給的各組p,q中，p是q的什么條件？

(l)p：x2=x+6,q：x=[x+6；

ab

(2)p：b2=ac,q：=-；

(3)p：ADB=A,q：CuB￡CuA；

(4)p:點P(2-a,3a-2)到兩坐標軸距離相等,

q：a=1或a=0.

(1)由于％2=x+6",則”x=±yJx+6”,故"x2=x+6”是"x=yjx+6”

的必要不充分條件.

(2)b2=acD=*，如b=0,c=0時，b?=ac,而曰[無意義.但

所以P是q的必要條件，但P不是q的充分條件.

⑶畫出Venn圖(如圖)可得.

AAB=A=AGB=CUA3CuB,故p是q的充要條件.

(4)當a=1時，點P(1,1)到兩坐標軸距離相等，

當a=0時，點P(2,-2)到兩坐標軸距離相等,

當點P(2-a,3a-2)到兩坐標軸距離相等時，

|2-a|=|3a-2|,解得a=1或a=0.

所以p=q，所以P是q的充要條件.

12.已知集合A={x|-l<x<3},集合B={x|a<x<a+1),aGR.

(1)若“1￡8”是真命題，求實數(shù)a的取值范圍；

(2)若“x￡A”是“xWB”的必要不充分條件，求實數(shù)a的取值范圍.

⑴若“1￡B”是真命題,則a<l<a+l,得0<a<l.

⑵若“x￡A”是“x￡B”的必要不充分條件，

[a>-1

則BA,即1，得-,

[a+l<3

即實數(shù)a的取值范圍是{a|-10a02}.

綜合突破練

一、選擇題

1.若非空集合A,B,C滿足AUB=C，且B不是A的子集，則（）

A.“x￡C”是“x￡A”的充分條件但不是必要條件

B.“x￡C”是“x￡A”的必要條件但不是充分條件

C.“x￡C”是“x￡A”的充分條件也是“x￡A”的必要條件

D.“x￡C”既不是“xWA”的充分條件也不是“x￡A”的必要條件

選B.xGA必有xGC，但反之不一定成立，所以“xWC”是“x￡A”的

必要條件但不是充分條件.

2.盛唐著名邊塞詩人王昌齡在其作品《從軍行》中寫道：青海長云

暗雪山，孤城遙望玉門關.黃沙百戰(zhàn)穿金甲，不破樓蘭終不還.其最

后一句中“攻破樓蘭'是“返回家鄉(xiāng)”的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

選B."攻破樓蘭不一定返回家鄉(xiāng)"但“返回家鄉(xiāng)”一定是“攻破樓蘭"

由充分條件和必要條件的定義判斷可得“攻破樓蘭'是“返回家鄉(xiāng)”的

必要不充分條件.

3.（多選）已知p,q都是r的充分條件，s是r的必要條件，q是s的

必要條件，則（）

A.p是q的既不充分也不必要條件

B.p是s的充分條件

C.r是q的必要不充分條件

D.s是q的充要條件

選BD.根據(jù)題意畫出示意圖如圖：

力、

CD<=CD

由圖示可知，P=r=s=q=r=s,所以p是q的充分條件，p是s的

充分條件，1■是q的充要條件，s是q的充要條件.

二、填空題

4.已知P={x|a-4<x<a+4},Q={x[l<x<3},“x￡P”是“x￡Q”的必

要條件，則實數(shù)a的取值范圍是________.

_a-4<1,

因為“x￡P”是“x￡Q”的必要條件，所以Qcp,所以，即

a+4>3,

a<5,

所以-l<a<5.

a>-1,

答案:"l<a<5

5.設nWN+,一元二次方程x2-4x+n=0有整數(shù)根的充要條件是n

直接利用求根公式進行計算，然后用完全平方數(shù)、整除等進行判斷.

，因為X是整數(shù),

即2±正二為整數(shù)，所以“二為整數(shù),fin<4，又因為nGN

+，取n=l,2,3,4,驗證可知n=3,4符合題意；反之n=3,4

時，可推出一元二次方程x2-4x+n=0有整數(shù)根.

答案：3或4

三、解答題

6.已知集合A={y|y=x2-3x+1,xGR}={x|x+2m>0}；p：xGA,

q：x￡B,并且q是p的必要條件，求實數(shù)m的取值范圍.

由已知可得A=<y|yN-\>,B={x|xN-2m}.因為q是p的必要條

件，所以pnq,所以AGB,

所以-2m<-1,所以m>|,即m的取值范圍是1m|m甯.

7.設x,yWR,求證|x+y|=|x|+|y|成立的充要條件是xy>0.

【證明】設p：xy>0,q：|x+y|=|x|+|y|,

(1)充分性(pnq)：如果xy>0,則有xy=O和xy>0兩種情況,當xy

=0時,不妨設x=0,

則|x+y|=|y|,|x|+lyl=|y|,所以等式成立.

當xy>0時，即x>0,y>0,或x<0,y<0,

又當x>0,y>0時，|x+y|=x+y,|x|+|y|=x+y,所以等式成立.

當x<0,y<0時，|x+y|="(x+y),

岡+|y|=-x-y=-(x+y),所以等式成立.

總之，當xy>0時，|x+y|=|x|+|y|成立.

(2)必要性(qnp)：若|x+y|=|x|+|y|且x,yGR,

貝!J|x+yF=(|x|+|y|>,

即x2+2xy+y2=x2+y2+2|x||y|,

所以|xy|二xy,所以xy>0.

由⑴⑵可得，xy>0是等式|x+y|=|x|+|y|成立的充要條件.

少素養(yǎng)培優(yōu)練卬

(50分鐘80分)

一、選擇題(每小題5分，共45分，多選題全部選對的得5分，選對

但不全的得3分，有選錯的得0分)

1.下列語句：

(1)也是無限循環(huán)小數(shù)；(2)x2_3x4-2=0；

⑶當x=4時，2x>0；(4)垂直于同一條直線的兩條直線必平行嗎?(5)

一個數(shù)不是合數(shù)就是素數(shù)；(6)作AABC當ABC；(7)二次函數(shù)的圖象

太美了！（8）4是集合｛1,2,3｝中的元素.

其中是命題的個數(shù)是（）

A.2B.4C.5D.7

選BO）是命題，能判斷真假；⑵不是命題，因為語句中含有變量x,

在沒給變量x賦值前，我們無法判斷語句的真假；（3）是命題；（4）不

是命題，不是陳述句；（5）是命題；（6）不是命題；（7）不是命題；（8）是

命題.

2.已知p：A=0,q：AAB=。，則p是q的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

選A.由已知A=。=ACIB=0,反之不成立，得p是q的充分不必要

條件.

3.a,b中至少有一個不為零的充要條件是（）

A.ab=0B.ab>0

C.a2+b2=0D.a2+b2>0

選D.A.ab=0是a,b中至少有一個不為零的既不充分也不必要條件；

B.ab>0是a,b中至少有一個不為零的充分不必要條件；

C.a2+b2=0是a,b中至少有一個不為零的既不充分也不必要條件；

D.a2+b2>0，則a,b不同時為零；a,b中至少有一個不為零，則

a2+b2>0.所以a2+b2>0是a,b中至少有一個不為零的充要條件.

4.已知集合A={1,a},B={1,2,3},則“a=3”是“AUB，W（）

A.充分條件

B.必要條件

C.既是充分條件也是必要條件

D.既不是充分條件也不是必要條件

選A.當a=3時，A={1,3},故AGB,若AGB=a=2或a=3，不

一定有a=3,故“a=3”是“AGB”的充分條件.

5.（2021.長春高一檢測）在如圖電路中，條件p:開關A閉合，條件q：

燈泡B亮，則p是q的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

選A.若開關A閉合，則燈泡B亮，所以p=q；

若燈泡B亮，則開關A閉合或開關C閉合,所以qnp不成立，所以

p是q的充分不必要條件.

6.（2021綏化高一檢測）設p：；<x<l；q：a<x<a+1,若p是q的充

分不必要條件，則實數(shù)a的取值范圍是（）

A.0<a<gB.0<a<^

C.0<aD.0<a<2

選B.因為p：<x<l；q：a<x<a+1,

且p是q的充分不必要條件，

所以x1<x<l!{x|a<x<a+1},

則彳一？’且兩不等式中的等號不同時成立.

La+l>l,

解得：0<a<1.

7.（多選）對任意實數(shù)a,b,c,給出下列命題，其中真命題是（）

A.“a=b”是"ac=be”的充要條件

B.“a>b”是方力”的充分條件

C."a<5”是“a<3”的必要條件

D.“a+5是無理數(shù)”是“a是無理數(shù)”的充要條件

選CD.對于A,因為"a=b"時，ac=be成立；ac=be且c=0時，a=

b不一定成立，

所以“a二b”是“ac=be”的充分不必要條件，故A錯；

對于8,當2=-1,b=-2,a>b時，a2<b2；

當a=-2,b=1,a2>b?時,a<b.

所以“a>b”是“a2>b2”的既不充分也不必要條件，故B錯；

對于C,因為“a<3”時一定有“a<5”成立，

所以“a<3”是“a<5”的必要條件，C正確；

D顯然正確.

8.（多選）下列結論中正確的是（）

A."x<0”是“x<-2”的必要不充分條件

B.“x為無理數(shù)”是為無理數(shù)”的必要不充分條件

C.若a,bWR,則“a?+b?#）”是“a,b不全為0”的充要條件

D.在^ABC中，“AB2+AC2=BC2，是"ABC為直角三角形”的充要

條件

選ABC根據(jù)題意，依次分析選項：

對于A,若x<0,則“x<-2”不一定成立，反之若“x<-2"，必有“x<0”，

故“x<0”是“x<-2”的必要不充分條件，A正確；

對于B,若“x為無理數(shù)"貝。x2不一定為無理數(shù)"，如x=也，反之

%2為無理數(shù)”，則“x為無理數(shù)”，故"x為無理數(shù)是為無理數(shù)”的必

要不充分條件，B正確；

對于C,若“a?+b2/）”，則“a,b不全為0”,反之若“a,b不全為0”,

貝Fa2+b2#o”，故若a,bGR,則“a?+bZRO”是“a,b不全為0”的充要

條件，C正確；

對于D,在△ABC中，若“AB?+AC2=BC2，>,則NA=90°,故“△ABC

為直角三角形"，反之不一定成立，故"AB?+AC2=BC2"是“ABC為

直角三角形，，的充分不必要條件，D錯誤.

9.（多選）已知集合A={x|-l<x<3},集合B={x|x<m+1},則AClB

=0的一個充分不必要條件是（）

A.m<-2B.m<-2

C.m<2D.-4<m<-3

選BD.當AAB=0時,m+1<-1,解得m<-2,

由題意可得只要選項中的m范圍是集合{m|mg-2}的真子集即可，

因此滿足條件的選項為B,D.

二、填空題

10.（5分）“x>0”的一個充分不必要條件可以為；一個必要不

充分條件可以為.

“x>0”的充分不必要條件可以為x=2；一個必要不充分條件可以為

x>-1.

答案：X=