重難培優(yōu)07截面問題

重難培優(yōu)07立體幾何的截面問題作截面的三種常用方法：作截面的三種常用方法：1.直接法：有兩點(diǎn)在幾何體的同一個(gè)面上，連接該兩點(diǎn)即為幾何體與截面的交線，找截面實(shí)際就是找交線的過程。2.延長線法：同一個(gè)平面有兩個(gè)點(diǎn)，可以連線并延長至與其他平面相交找到交點(diǎn)。3.平行線法：過直線與直線外一點(diǎn)作截面，拖直線所在的面與點(diǎn)所在的平面平行，可以通過過點(diǎn)找直線的平行線找到幾何體的截面的交線。題型一 判斷截面形狀1．如圖是長方體被一平面截得的幾何體，四邊形為截面，則四邊形的形狀為（

）

A．梯形 B．平行四邊形C．矩形 D．上述三種圖形以外的平面圖形【答案】B【詳解】由長方體任意相對(duì)的兩個(gè)平面都平行，用一個(gè)平面截取長方體時(shí)，相對(duì)的兩個(gè)平面所得的線段必平行，即截面必為平行四邊形；若截面與任意側(cè)面都不垂直時(shí)，所得截面不可能出現(xiàn)直角，故不一定為矩形；所以四邊形的形狀為平行四邊形.故選：B2．已知在長方體中，，點(diǎn)，，分別在棱，和上，且，，，則平面截長方體所得的截面形狀為（

）A．三角形 B．四邊形 C．五邊形 D．六邊形【答案】C【詳解】如圖連接并延長交的延長線于點(diǎn)，連接并延長交于點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接，則五邊形即為平面截該長方體所得的截面多邊形.其中因?yàn)?，，，所以，則，所以，又，所以，所以，則，顯然，則，所以.故選：C3．在正方體中，M，N分別為AD，的中點(diǎn)，過M，N，三點(diǎn)的平面截正方體所得的截面形狀為（

）A．六邊形 B．五邊形 C．四邊形 D．三角形【答案】B【詳解】在上取點(diǎn)，且，取中點(diǎn)為，連接.在上取點(diǎn)，且，連結(jié).因?yàn)?，，所以，所?又，所以，所以，所以，.因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以，且.根據(jù)正方體的性質(zhì)，可知，且，所以，，且，所以，四邊形是平行四邊形，所以，，所以.同理可得，.所以，五邊形即為所求正方體的截面.故選：B.4．在正方體中，棱長為4，、分別為棱、的中點(diǎn)，點(diǎn)在對(duì)角線上，且，過點(diǎn)、、作一個(gè)截面，該截面的形狀為（

）A．三角形 B．四邊形 C．五邊形 D．六邊形【答案】C【詳解】因?yàn)?，故為的中點(diǎn).又為正方體，故可延長，分別交與的延長線于，設(shè)直線分別交于，易得過點(diǎn)、、的面即平面.因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，且，故，，，所以，故，即.又，故.又為的中點(diǎn)，同理可得，故，所以，，故在線段內(nèi).連接交于，綜上可知點(diǎn)、、截正方體的截面為五邊形.故選：C5．在長方體中，、，、分別為棱、的中點(diǎn)，點(diǎn)在對(duì)角線上，且，過點(diǎn)、、作一個(gè)截面，該截面的形狀為（

）A．三角形B．四邊形C．五邊形D．六邊形【答案】C【詳解】如圖所示，延長、，使，連接、，∵、、，∴、，∵、分別為棱、的中點(diǎn)，∴，∴，∵，又、、三點(diǎn)共線，∴、、三點(diǎn)共線，∴在截面上，延長、，使，連接，使，∴在截面上，連接、，∵，且∴，∴且=，又為中點(diǎn)，、、三點(diǎn)共線，∴、、三點(diǎn)共線，∴截面為五邊形，故選：C．6．（多選）用一個(gè)平面去截正方體，截面形狀不可能是下列哪個(gè)圖形（

）A．五邊形 B．直角三角形 C．直角梯形 D．鈍角三角形【答案】BCD【詳解】如圖所示，截面，設(shè)，，，∴，，，，同理，，，即為銳角，∴為銳角三角形，B，D都不可能，BD都要選；如圖截面可以是五邊形EFGHI，A可能，A不選如圖截面可以是梯形，但不可以是直角梯形，C要選．故選：BCD題型二 作出截面形狀7．四棱錐中，，，，過P，Q，R三點(diǎn)作出此棱錐的截面（圖）.【答案】答案見解析【詳解】以點(diǎn)V為投影中心，以所在平面為投影面.（i）作P，Q，R三點(diǎn)的中心投影點(diǎn)A，B，C，則RQ的投影是AC；（ii）連接交于O，連接，設(shè)交于，即的中心投影為點(diǎn)O；（iii）連接與交于點(diǎn)T，順次連接四點(diǎn)，則四邊形就是過P，Q，R三點(diǎn)的截面.8．四棱錐的棱VB，VC，VD上各有一點(diǎn)P，Q，R，過P，Q，R三點(diǎn)作四棱錐的截面（圖）.【答案】答案見解析【詳解】（i），，連接ST（為截面與底面的交線，稱為軸線）；（ii）；（iii），則四邊形RQPK即是過P，Q，R三點(diǎn)的棱錐的截面.9．作出過三點(diǎn)的截面，其中為所在棱上中點(diǎn)（三條邊都在正方體內(nèi)部）．(1)

(2)

【答案】(1)作圖見解析(2)作圖見解析【詳解】（1）作法：分別在上取中點(diǎn)，順次連接，六邊形所在平面即為過三點(diǎn)的截面；

簡要說明（六點(diǎn)共面）：分別延長相交于，由平面的公理易得五點(diǎn)共面，連接，通過證明為平行四邊形，說明點(diǎn)在平面內(nèi)，同理再證明點(diǎn)在平面內(nèi)，六點(diǎn)共面可證得.（2）作法：分別在上取中點(diǎn)，順次連接，六邊形所在平面即為過三點(diǎn)的截面；

簡要說明（六點(diǎn)共面）：分別延長相交于，由平面的公理易得五點(diǎn)共面，連接，通過證明為平行四邊形，說明點(diǎn)在平面內(nèi)，同理再證明點(diǎn)在平面內(nèi)，六點(diǎn)共面可證得.10．單位正方體中，和上各有一點(diǎn)E，F(xiàn)，且，過A，E，F(xiàn)作正方體的截面，是否可能是正三角形？正方形？【答案】答案見解析【詳解】如圖，設(shè)截面和或其延長線交于G．

當(dāng)時(shí)，∵，，∴，此時(shí)截面為菱形，但它不會(huì)是正方形．事實(shí)上，作，與交于M（或其延長線），連接AG，EF，BD，AC，由知，，而，，由此可見菱形AEGF的對(duì)角線不相等，∴此菱形不可能是正方形．當(dāng)，時(shí)，此時(shí)截面為五邊形，但不可能是正五邊形（見前例）（如圖）．

當(dāng)時(shí)，截面是正．11．如圖，正方體的棱長為6，是的中點(diǎn)，點(diǎn)在棱上，且.作出過點(diǎn)，，的平面截正方體所得的截面，寫出作法；【答案】答案見解析【詳解】如圖所示，五邊形即為所求截面.作法如下：連接并延長交的延長線于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，交的延長線于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接，，所以五邊形即為所求截面.12．如圖，在正方體中，N為底面ABCD的中心，P為線段上的動(dòng)點(diǎn)（不包括兩個(gè)端點(diǎn)），M為線段AP的中點(diǎn)．判斷下列結(jié)論是否成立，并說明理由．(1)CM與PN是異面直線；(2)；(3)過P、A、C三點(diǎn)的正方體的截面一定是等腰梯形．【答案】(1)不正確，理由見解析(2)正確，理由見解析(3)正確，理由見解析【詳解】（1）共面，與不是異面直線，而是相交直線.（2）記，則，，由，則，即．（3）如圖所示，過P、A、C三點(diǎn)的正方體的截面與相交于點(diǎn)，可得，且，，，，因此過P、A、C三點(diǎn)的正方體的截面一定是等腰梯形.題型三 截面的周長面積13．如圖所示，正四棱臺(tái)中，上底面邊長為3，下底面邊長為6，體積為，點(diǎn)在上且滿足，過點(diǎn)的平面與平面平行，且與正四棱臺(tái)各面相交得到截面多邊形，則該截面多邊形的周長為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】如圖所示，過點(diǎn)作于點(diǎn)，因?yàn)?，所以，則四棱臺(tái)的高為，則四棱臺(tái)的體積為，解得，所以側(cè)棱長為.如圖所示：過于點(diǎn)，于點(diǎn)，連接，由對(duì)稱性可知，所以，而，所以，所以，同理，分別在棱上取點(diǎn)，使得，易得，所以截面多邊形的周長為.故選：D.14．如圖，在棱長為2的正方體中，E為棱BC的中點(diǎn)，用過點(diǎn)，E，的平面截正方體，則截面周長為（

）

A． B．9 C． D．【答案】A【詳解】

如圖，取AB的中點(diǎn)G，連接GE，，．因?yàn)镋為BC的中點(diǎn)，所以，，又，，所以四邊形為平行四邊形，所以，，所以，，所以用過點(diǎn)，E，的平面截正方體，所得截面為梯形，其周長為．故選：A．15．如圖，已知正方體的棱長為1，分別是線段上靠近的三等分點(diǎn)．過點(diǎn)作該正方體的截面，試求截面圖形的周長和面積．【答案】周長，面積.【詳解】在棱長為1的正方體中，延長交直線于，延長交延長線于，連接交于，交于，連接，則五邊形是過點(diǎn)的該正方體的截面，平面平面，平面平面，平面平面，則，，同理，，因此，，，，所以截面周長為；等腰底邊上的高為，則的面積，顯然∽，，同理，所以截面面積.16．正三棱臺(tái)中，下底面的邊長為a，側(cè)棱與底面成角60°，過AB作截面垂直于，求截面面積.【答案】答案見解析【詳解】如圖，將棱臺(tái)補(bǔ)成棱錐，則S與兩底面中心，O三點(diǎn)共線.設(shè)，AB的中點(diǎn)為D，連接CD，CD過點(diǎn)O，則，∴.設(shè)截面，過E作于H，，則易得，，此棱臺(tái)的高對(duì)截面的形狀起著決定性作用，故有以下討論.（i）當(dāng)時(shí)，，此時(shí)截面為等腰三角形，其面積為.（ii）當(dāng)時(shí)，，此時(shí)截面ABE與上底面有交線MN，ED交MN于F，故截面為等腰梯形，作于K，平面ABC，由，，，得，（iii）特別地，當(dāng)截面經(jīng)過時(shí)，，此時(shí)截面面積為.17．四棱錐的底面為矩形，，，高，O為底面對(duì)角線的交點(diǎn)，過底面對(duì)角線BD作截面使它平行于SA，并求出此截面的面積.【答案】作圖見解析，.【詳解】如圖，設(shè)E是SC的中點(diǎn)，連DE，BD，

因?yàn)闉槠叫兴倪呅?，所以是的中點(diǎn)，故，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，的面積即為所求.易知，所以，由，知，又為正三角形，所以，在中，由余弦定理可得，所以，所以.題型四 截面切割幾何體的體積18．在正四棱錐中，底面的邊長為為正三角形，點(diǎn)分別在上，且，若過點(diǎn)的截面交于點(diǎn)，則四棱錐的體積是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】如圖：連接，交于點(diǎn)，連接，，相交于點(diǎn)，因?yàn)?，，所以，所以，故為的重心，所以為中點(diǎn).又因?yàn)闉檎切?，所?因?yàn)樗睦忮F是正四棱錐，所以，，，平面，且，所以平面.平面，所以，又，所以.，平面，，所以平面.因?yàn)椋?，，?所以.故選：D19．已知正三棱柱，過底邊的平面與上底面交于線段，若截面將三棱柱分成了體積相等的兩部分，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】平面，平面平面，平面，；設(shè)的面積為，的面積為，三棱柱的高為，三棱臺(tái)的體積，又三棱柱的體積，，解得：（舍）或，∽，，即.故選：A.20．（多選）如圖，已知棱長為2的正方體，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，過點(diǎn)作正方體的截面，關(guān)于下列判斷正確的是（

）A．截面的形狀可能是正三角形B．截面的形狀可能是直角梯形C．此截面可以將正方體體積分成1：3D．若截面的形狀是六邊形，則其周長為定值【答案】AC【詳解】假設(shè)正方體的棱長為2.對(duì)于選項(xiàng)A：如圖，M，N分別為所在棱中點(diǎn)，

可知，即截面的形狀是正三角形，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：由面面平行的性質(zhì)可知：∥，

如果為直角梯形，例如，由正方體的性質(zhì)可知：，可知平面，又因?yàn)槠矫?，則∥或重合，由圖可知不成立，即截面的形狀不可能是直角梯形，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：Q為所在棱中點(diǎn)，如圖，

則正方體的體積為8，三棱柱的體積為，所以截面將正方體分成，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：如圖所示，假設(shè)為的中點(diǎn)，，則，，可得，則六邊形的周長為，顯然周長與有關(guān)，即六邊形的周長不是定值，故D錯(cuò)誤；故選：AC.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：對(duì)于選項(xiàng)D：取特殊位置，假設(shè)為的中點(diǎn)，，結(jié)合幾何形狀求周長，進(jìn)而分析判斷.21．正三棱臺(tái)的上底面邊長為a，下底面邊長為2a，且，過B，，E三點(diǎn)作一個(gè)截面將棱臺(tái)分成兩部分，求這兩部分的體積之比．【答案】2：5【詳解】如圖，將臺(tái)體補(bǔ)成三棱錐，

則，，又，于是，∴，又，∴，由此可得，∴這兩部分的體積比為2：5．22．如圖，在正方體中，分別為棱的中點(diǎn).

(1)請(qǐng)?jiān)谡襟w的表面完整作出過點(diǎn)的截面.（只需寫出作圖過程，不用證明）(2)請(qǐng)求出截面分正方體上下兩部分的體積之比.【答案】(1)答案見解析(2)【詳解】（1）連接并延長交于，連接并延長交于，于，連接交于，

則截面即為所求；（2）連接，如圖，

則截面下部的體積.設(shè)正方體的棱長為1，則，于是，因此截面上下兩部分的體積之比為.23．在如圖所示的幾何體中，，平面，，，，.(1)證明：平面；(2)過點(diǎn)作一平行于平面的截面，畫出該截面（不用說明理由），并求夾在該截面與平面之間的幾何體的體積.【答案】(1)證明見解析(2)截面為平面，體積為【詳解】（1）在中，，，，，由余弦定理得：，，，又平面，平面，，，平面，平面.（2）取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，則平面即為所求.理由如下：，，四邊形為平行四邊形，，平面，平面，平面，同理可得：平面，，平面，平面平面；由（1）可知：平面，且平面，，，夾在該截面與平面之間的幾何體的體積.題型五 截面的最值問題24．已知正方體的棱長為2，M、N分別為、的中點(diǎn)，過、的平面所得截面為四邊形，則該截面最大面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】如圖所示，最大面積的截面四邊形為等腰梯形，其中，高為，故面積為.故選:D．25．在棱長為2的正方體中，平面，則以平面截正方體所得的截面面積最大時(shí)的截面為底面，以為頂點(diǎn)的錐體的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：如圖，由正方體的對(duì)稱性，可知當(dāng)截面為正六邊形時(shí)，截面面積最大，此時(shí)正六邊形的邊長為，設(shè)交截面于，則為的中點(diǎn)，所以，設(shè)正六棱錐外接球的球心為，外接球半徑為，當(dāng)球心在棱錐內(nèi)部時(shí)，有，解得，外接球面積為；若球心在棱錐外部時(shí)，有，解得（舍去）．∴以為頂點(diǎn)的錐體的外接球的表面積為．故選：B．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解幾何體外接球半徑的思路是依據(jù)球的截面的性質(zhì)：利用球的半徑?截面圓的半徑及球心到截面的距離三者的關(guān)系求解，其中確定球心的位置是關(guān)鍵.26．如圖，在直三棱柱中，，，，，為線段上的一動(dòng)點(diǎn)，則過三點(diǎn)的平面截該三棱柱所得截面的最小周長為．

【答案】/【詳解】由題意可知過三點(diǎn)的平面截該三棱柱所得截面的周長即的周長，因?yàn)橹比庵?，所以各?cè)面均為矩形，所以，直三棱柱的側(cè)面部分展開圖如圖所示，

則在矩形中，所以過三點(diǎn)的平面截該三棱柱所得截面的最小周長為，故答案為：27．在三棱錐中，面，且，過作截面交于，則截面的最小面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】如圖所示，面，，又，，，，，，當(dāng)時(shí)，取得最小值，且，的最小值為.故選：C.28．三棱錐中，，，，作出與、都平行的截面，分別交棱、、、于點(diǎn)、、、，則截面的最大面積為【答案】【詳解】如圖：因?yàn)?，平面，所以，因?yàn)?，平面，所以，所以，因?yàn)?，平面，所以，因?yàn)?，平面，所以，所以，所以四邊形為平行四邊形，又，所以，所以四邊形為矩形，設(shè)，，則，又，所以，，又，所以，所以矩形的面積為，所以當(dāng)時(shí)，面積取最大值.故答案為：.29．如圖，在棱長都等于1的三棱錐中，是上的一點(diǎn)，過作平行于棱和棱的截面，分別交，，于，，．(1)證明截面是矩形；(2)在的什么位置時(shí)，截面面積最大，說明理由．【答案】(1)證明見解析(2)是的中點(diǎn)時(shí)，截面面積最大【詳解】（1）平面，平面平面，平面，，同理，，同理，四邊形是平行四邊形，取中點(diǎn)，連接，，，是中點(diǎn)，，同理，又，平面，平面，平面，，又，，，即四邊形是矩形.（2）設(shè)，，由（1）知，又，，則，當(dāng)時(shí)，最大，即是的中點(diǎn)時(shí)，截面面積最大.1．已知正方體中，點(diǎn)是線段上靠近的三等分點(diǎn)，點(diǎn)是線段上靠近的三等分點(diǎn)，則平面AEF截正方體形成的截面圖形為（

）A．三角形 B．四邊形 C．五邊形 D．六邊形【答案】C【詳解】如圖，設(shè)，分別延長交于點(diǎn)，此時(shí)，連接交于，連接，設(shè)平面與平面的交線為，則，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面平面，所以，設(shè)，則，此時(shí)，故，連接，所以五邊形為所求截面圖形，故選：C．

2．已知一正方體木塊的棱長為4，點(diǎn)在校上，且.現(xiàn)過三點(diǎn)作一截面將該木塊分開，則該截面的面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】如圖，在上取一點(diǎn)，使得，連接，因?yàn)榍?，所以四邊形為平行四邊形，所以與相交于且為的中點(diǎn)，又在上，所以與相交于，且O平分，，所以四點(diǎn)四點(diǎn)共面且四邊形為平行四邊形，所以過三點(diǎn)的截面是平行四邊形，，，，故截面面積為.故選：A.3．如圖，正方體的棱長為2，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，過點(diǎn)的平面截該正方體所得的截面記為，則截面的面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】延長，與直線相交于，連接與分別交于點(diǎn)，連接，則五邊形即為截面，正方體的棱長為2，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，由≌≌得，，，故，因?yàn)椤推矫?，平面，所以⊥，⊥，由勾股定理得，取的中點(diǎn)，連接，則⊥，且，由勾股定理，其中，由相似關(guān)系可知，，故.故選：D4．沿棱長為1的正方體的交于一點(diǎn)的三條棱的中點(diǎn)作一個(gè)截面，截得一個(gè)三棱錐，那么截得的三棱錐的體積與剩下部分的體積之比是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】正方體的體積為，截得的三棱錐的體積為，所以剩下部分的體積為，所以截得的三棱錐的體積與剩下部分的體積之比是.故選：D.5．如圖，在正方體中，的中點(diǎn)為Q，過A，Q，三點(diǎn)的截面是（

）

A．三角形 B．矩形 C．菱形 D．梯形【答案】D【詳解】如圖所示，取的中點(diǎn)P，連接PQ、、、和，，分別是，的中點(diǎn)，故，且，，故，，故四點(diǎn)共面，故四邊形是過A，Q，三點(diǎn)的截面，且四邊形是梯形．故選：D．

6．四面體ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)都在球的球面上，，，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別為棱BC，CD，AD的中點(diǎn)，現(xiàn)有如下結(jié)論：①過點(diǎn)E，F(xiàn)，G作四面體ABCD的截面，則該截面的面積為2；②四面體ABCD的體積為；③過作球的截面，則截面面積的最大值與最小值的比為5：4.則上述說法正確的個(gè)數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【詳解】選項(xiàng)①中，如圖（1）所示，找的中點(diǎn)，過點(diǎn)E，F(xiàn)，G做四面體ABCD的截面即為面，則,，所以四邊形為平行四邊形，找的中點(diǎn),連接，因?yàn)椋云矫?，所以平面，平面，所以，所以，所以四邊形為矩形，，，所以截面的面積，故①正確；選項(xiàng)②中，中，由勾股定理得：，同理，過點(diǎn)作,則，所以由勾股定理得：，所以，由選項(xiàng)①可得：平面,所以，，故②錯(cuò)誤；選項(xiàng)③中，可以將四面體放入如圖（2）所示的長方體中，由題可求得，，所以外接球的半徑，截面面積的最大值為；平面截得的面積為最小面積，截面圓的半徑，截面積最小為，所以截面面積的最大值與最小值的比為5：4，故③正確.

圖（1）

圖（2）【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用長方體模型、結(jié)合球的幾何性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.7．（多選）在正方體中，用垂直于的平面截此正方體，則所得截面可能是（

）A．三角形 B．四邊形 C．五邊形 D．六邊形【答案】AD【詳解】解：如圖所示：

在正方體中，又，平面，平面，則平面，又平面，則，同理，又，平面，平面，所以平面，同理平面，由直線與平面垂直的性質(zhì)得；與平面和平面平行的平面，都與垂直，由圖象知：在平面和平面之間的平面，與正方體所得截面的形狀為六邊形；在平面和平面之外的平面，與正方體所得截面的形狀為三角邊形，故選：AD8．如圖，在正方中，分別是的中點(diǎn)，存在過點(diǎn)的平面與平面平行，平面截該正方體得到的截面面積為

【答案】【詳解】分別取的中點(diǎn)，連接，可證平面平面，則存在過點(diǎn)的平面與平面平行，正六邊形是平面截該正方體得到的截面，截面的面積是，故選：C.

9．如圖，已知正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為1，點(diǎn)K在棱A1B1上運(yùn)動(dòng)，過A，C，K三點(diǎn)作正方體的截面，若K為棱A1B1的中點(diǎn)，則截面的面積為．【答案】【詳解】如圖，取B1C1的中點(diǎn)M，連接KM，MC，易證四邊形KMCA為等腰梯形，上底KM＝，下底AC＝，腰長AK＝MC＝，則其高為KH＝，所以計(jì)算可得其面積為.【考查意圖】判斷截面圖形的形狀，截面的面積．10．如圖，在棱長為的正方體中，點(diǎn)分別是棱的中點(diǎn)，則由點(diǎn)確定的平面截正方體所得的截面多邊形的周長等于