1.1.1 絕對(duì)值-2024年初升高數(shù)學(xué)無憂銜接

第第頁(yè)第1.1章數(shù)與式 1.1.1絕對(duì)值初中要求1.借助數(shù)軸理解絕對(duì)值的意義，掌握求絕對(duì)值的方法，知道|a|的含義(這里a表示有理數(shù))高中要求1會(huì)求含絕對(duì)值的方程與不等式；2理解含絕對(duì)值的函數(shù).1.絕對(duì)值的概念在數(shù)軸上，一個(gè)數(shù)所對(duì)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離叫做該數(shù)的絕對(duì)值.絕對(duì)值的代數(shù)意義：正數(shù)的絕對(duì)值是它的本身，負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)，零的絕對(duì)值仍是零．即|a|=2.絕對(duì)值的性質(zhì)(1)a≥0，a≥a，(2)a=b?a=b(3)a2=|?a(4)三角不等式：a+b≤a+|b|，當(dāng)且僅當(dāng)a，b3.解含絕對(duì)值的不等式|x|<a(a>0)的解集是?a<x<a．|x|>a(a>0)的解集是x<?a或【題型1】絕對(duì)值的幾何意義【典題1】若x?y?22+2x+y?3=0，則x=解析依題意可得，x?y?2=02x+y?3=0，解得x=53【典題2】同學(xué)們都知道，|7-(-4)|表示7與-4之差的絕對(duì)值，實(shí)際上也可理解為7與-4兩數(shù)在數(shù)軸上所對(duì)的兩點(diǎn)之間的距離．|7-4|也可理解為7與4兩數(shù)在數(shù)軸上所對(duì)的兩點(diǎn)之間的距離．試探索：

(1)求|7?(?4)|=．

(2)找出所有符合條件的整數(shù)x，使得|x?(?6)|+|x?2|=8這樣的整數(shù)是．

(3)由以上探索猜想對(duì)于任何有理數(shù)x，|x?1|+|x?5|是否有最小值？如果有寫出最小值請(qǐng)嘗試說明理由．如果沒有也要請(qǐng)嘗試說明理由．解析(1)|7-(-4)|=11；故答案是：11；

(2)式子|x?(?6)|+|x?2|=8可理解為：在數(shù)軸上，某點(diǎn)到-6所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的距離和到2所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的距離之和為8，

所以滿足條件的整數(shù)x可為-6，-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2，

故答案為：-6，-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2．

(3)有最小值．最小值為4，

理由是：∵|x?1|+|x?5|理解為，在數(shù)軸上表示x到1和5的距離之和，

∴當(dāng)x在1與5間的線段上(即1≤x≤5)時(shí)：

變式練習(xí)1.若x+y?2與|x?y?4|互為相反數(shù)，則2x?y=.答案7解析依題意得x+y?2=0x?y?4=0，解得x=3y=?1，則2.a、b、c三個(gè)數(shù)在數(shù)軸上位置如圖所示，且|a|=|b|

(1)求出a、b、c各數(shù)的絕對(duì)值；

(2)比較a，?a、?c的大小；

(3)化簡(jiǎn)|a+b|+|a?b|+|a+c|+|b?c|．答案(1)-c(2)-a＜a＜-c(3)-2c解析(1)∵從數(shù)軸可知：c＜b＜0＜a，∴|a|=a，|b|=?b，|c|=?c；

(2)∵從數(shù)軸可知：c＜b＜0＜a，|c|＞|a|，∴?a＜a＜?c；

(3)根據(jù)題意得：a+b=0，a?b＞0，a+c＜0，b?c＞0，3.設(shè)a=|x+1|，b=|x?1|，c=|x+3|，求a+2b+c的最小值。答案6解析|x+1|+2|x-1|+|x+3|表示x到-1、-3的距離以及到1的距離的2倍之和，

所以當(dāng)x在-1和1之間時(shí)，它們的距離之和最小，

此時(shí)a+2b+c=6；

故答案為：6．【題型2】解含絕對(duì)值的方程【典題1】解方程：2x?1=x+1解析當(dāng)x≥12時(shí)，方程可化為2x?1=x+1，解得當(dāng)x<12時(shí)，方程可化為1?2x=x+1，解得綜上，原方程的解為x=2或x=0.【典題2】方程x2?3|x|+2=0A.1B.2C.3D.4解析當(dāng)x≥0時(shí)，方程化為x2?3x+2=0，解得x=1或x=2，均符合當(dāng)x<0時(shí)，方程化為x2+3x+2=0，解得x=?1或x=?2，均符合故方程的解是x=1，x=2，x=?1或x=?2，有4個(gè)解，故選變式練習(xí)1.解方程：x?3=2答案x=5或x=1解析當(dāng)x≥3時(shí)，方程可化為x?3=2，解得x=5>3；(注意解x=5要檢驗(yàn)是否符合前提x≥3)當(dāng)x<3時(shí)，方程可化為3?x=2，解得x=1<3；綜上，原方程的解為x=5或x=1.2.解方程：2x?1=x+1答案x=2或x=0解析當(dāng)x≥12時(shí)，方程可化為2x?1=x+1，解得當(dāng)x<12時(shí)，方程可化為1?2x=x+1，解得綜上，原方程的解為x=2或x=0.3.解方程：x?1+解析當(dāng)x≥1時(shí)，方程化為x?1+x+2=5，解得x=2>1，符合條件；(注意解x=2要檢驗(yàn)是否符合前提x≥1)當(dāng)?2<x<1時(shí)，方程化為1?x+x+2≠5，無解；當(dāng)x≤?2時(shí)，方程化為1?x?x?2=5，解得x=?3<?2，符合條件；綜上，原方程的解為x=2或x=?3.【題型3】解含絕對(duì)值的不等式【典題1】解不等式3x+1解析由?2<3x+1<2解得?1<x<13【典題2】解不等式2x?1<x+2解析不等式可化為2x?1≥02x?1<x+2或2x?1<01?2x<x+2，解得12故不等式的解集是{x|?1【典題3】解不等式x?1>|x+2|解析兩邊平方得，x?12∴x?12>x+22故不等式的解集是{x|x<?1變式練習(xí)1.不等式x?2<3的解集是解析當(dāng)x≥2時(shí)，則不等式可化為x?2<3，解得x<5，又x≥2，∴2≤x<5；當(dāng)x<2時(shí)，則不等式可化為2?x<3，解得x>?1，又x<2，∴?1<x<2；(此處解題過程采取x≥2x?2<3或x<2綜上，可得不等式的解集是{x|?1<x<5}.2.若關(guān)于x的不等式kx?1≤5的解集是?3≤x≤2，則k的值是答案?2解析kx?1≤5??5≤kx?1≤5??4≤kx≤6由于解集是?3≤x≤2，所以k=?2.3.解不等式x?1<x+2解析不等式可化為x?1≥0x?1<x+2或x?1<01?x<x+2，解得x≥1或故不等式的解集是{x|x>?1【題型4】含絕對(duì)值的函數(shù)對(duì)于自變量x不同的取值范圍有不同的解析式，這樣的函數(shù)叫做分段函數(shù).比如狄利克雷函數(shù)函數(shù)y=【典題1】畫y=x+1解析y=x+1y=x+1+2x?3變式練習(xí)1.對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，若不等式|x+1|?|x?2|>k恒成立，則k的取值范圍是.答案k≤?3.解析|x+1|?|x?2|表示x與?1，2對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離之差，畫數(shù)軸易得當(dāng)x≥2時(shí)，其值等于3；當(dāng)x≤?1時(shí)，其值等于?3；當(dāng)?1<x<2時(shí)，其值在?3和3之間；則|x+1|?|x?2|的最小值是?3，故k≤?3.1.下列敘述正確的是()A.若a=b，則a=bC.若a<b，則a<b答案D解析當(dāng)a=2，b=?2時(shí)A錯(cuò)誤；當(dāng)a=?3，b=2時(shí)B錯(cuò)誤；當(dāng)a=0，2.以下不等式中，與不等式1?xA.1?x≤±3C.?3≤1?x≤3答案D3.方程x2?2A.1B.2C.3D.4答案B解析當(dāng)x≥0時(shí)，方程化為x2?2x?3=0，解得x=?1(舍去)或當(dāng)x<0時(shí)，方程化為x2+2x?3=0，有一個(gè)正根一個(gè)負(fù)根，故方程的解是2個(gè)解，故選B.4.a，b，c是?ABC的三邊，化簡(jiǎn)a+b?c+a?b?c=答案2b解析a+b?c+5.計(jì)算a|a|+b|b|+答案0或±4解析當(dāng)a、b、c、中有一個(gè)數(shù)為負(fù)數(shù)時(shí)，其值為0；當(dāng)a、b、c、中有兩個(gè)數(shù)為負(fù)數(shù)時(shí)，其值為0；當(dāng)a、b、c、中三個(gè)數(shù)都為負(fù)數(shù)時(shí)，其值為?4；當(dāng)a、b、c、中三個(gè)數(shù)都為正數(shù)時(shí)，其值為4.綜上所述，答案為：0或±4．6.當(dāng)x=x+2時(shí)，則代數(shù)式2x答案?10解析當(dāng)x≥0時(shí)，x=x+2，方程無解；當(dāng)x<0，?x=x+2，解得則2x7.方程|x?4|+x?4=0的解的個(gè)數(shù)是個(gè).答案無數(shù)解析當(dāng)x≥4時(shí)，方程化為x?4+x?4=0，解得x=4，符合；當(dāng)x<4時(shí)，方程化為4?x+x?4=0?0=0，該方程有無數(shù)個(gè)解；故方程的解是x≤4，有無數(shù)個(gè).8.不等式x?1>2的解集是答案{x|x>3解析x?1>2?x?1>2或x?1<?2?x>3或x<?1故不等式的解集是{x|x>39.解方程：x?1+答案x=53解析當(dāng)x≥1時(shí)，方程化為x?1+2x+1=5，解得x=5當(dāng)?12<x<1時(shí)，方程化為1?x+2x+1=5，解得x=3當(dāng)x≤?12時(shí)，方程化為1?x?2x?1=5，解得綜上，原方程的解為x=53或10.解不等式：|x?1|+|x?3|>4．答案{x|x<0或x>4}解析由x?1=0，得x=1；由x?3=0，得x=3；①若x<1，不等式可變?yōu)?(x?1)?(x?3)>4，即?2x+4>4>4，解得x<0，又x<1，∴x<0②若1≤x<3，不等式可變?yōu)?x?1)?(x?3)>4，即1>4，∴不存在滿足條件的x；③若x≥3，不等式可變?yōu)?x?1)+(x?3)>4，即2x?4>4，解得x>4．又x≥3，∴x>4．綜上所述，原不等式的解集為{x|x<0或x>4}．11.畫出分段函數(shù)y=x+2解析y=x+2由圖可知函數(shù)y=x+2+x?3的最小值為512.結(jié)合數(shù)軸與絕對(duì)值的知識(shí)回答下列問題：

(1)數(shù)軸上表示4和1的兩點(diǎn)之間的距離是；表示-3和2兩點(diǎn)之間的距離是；一般地，數(shù)軸上表示數(shù)m和數(shù)n的兩點(diǎn)之間的距離等于|m-n|．

(2)如果|x+1|=3，那么x=；

(3)若|a-3|=2，|b+2|=1，且數(shù)a、b在數(shù)軸上表示的數(shù)分別是點(diǎn)A、點(diǎn)B，則A、B兩點(diǎn)間的最大距離是，最小距離是．

(4)若數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)位于-4與2之間，則|a+4|+|a-2|=．答案(1)3，5；(2)2或-4(3)8，2(4)6．

解析(1)數(shù)軸上表示4和1的兩點(diǎn)之間的距離是：4-1=3；表示-3和2兩點(diǎn)之間的距離是：2-(-3)=5，故答案為：3，5；

(2)|x+1|=3，

x+1=3