2.6.2 二次方程根的分布問題-2024年初升高數(shù)學無憂銜接

第第頁第2.6章函數(shù)的應用2.6.2二次方程根的分布問題高中要求1掌握二次函數(shù)、一元二次方程的關系；2掌握二次函數(shù)零點的分布問題.1概念二次方程ax2+bx+c=0的根(即二次函數(shù)2常見題型①兩根與k的大小比較(以a>0為例)分布情況兩根都小于k，即x兩根都大于k，即x一根小于k，一根大于k，即x大致圖像得出的結論?>0?>0f②兩根分別在區(qū)間(m,n)外aa<0大致圖像得出的結論ff③根在區(qū)間上的分布(以a>0為例)分布情況兩根都在(m,n)內兩根有且僅有一根在(m,n)內一根(m,n)內，另一根在(p,q)內大致圖像得出的結論?>0ffm>0【題型1】兩根與k的大小比較【典題1】已知二次方程2m+1x2?2mx+解析方法一：當2m+1>0時，若要滿足題意，必須f0當2m+1<0時，若要滿足題意，必須f0即2m+1f0<0?方法二：(韋達定理)設x1,x?=4m2?4變式練習1.若方程x2?2xA．a>1或a<?12 答案A解析∵方程x2∴兩根之積?lg?2∴2a2?a>1，求得a>1故選：A．2.已知關于x的方程x2+kx+k2+k?4=0有兩個實數(shù)根，且一根大于2，一根小于答案(?3,0)解析令fx=x即：22+2k+k2+k所以實數(shù)k的取值范圍為(?故答案為：(?3,0)．3.若關于x的二次方程mx2+(2m?1)x則實數(shù)m的取值范圍是．答案(解析∵關于x的二次方程mx2+(2m則m>0△即m>0m<3?7即m的范圍為(3+【題型2】根在區(qū)間上的分布【典題1】已知方程x2?2a+1x+a(a+1)=0的兩根分別在區(qū)間(0,1),(1,3)解析方法1方程x2?若要滿足題意，則f故答案是(0,1).方法2方程x∴方程兩根為x1若要滿足題意，則0<a<11<a+1<3，解得0<a<1故答案是(0,1).變式練習1.方程x2?2ax+1=0的兩根分別在(0,1)與(1,3)A．1<a<53 B．a<1或a>答案A解析令f(x)=∵方程x2?2ax+1=0的兩根分別在(0,1)與∴f(0)>0f(1)<0f(3)>0∴1<a<∴a的取值范圍為(1,故選：A．2.若方程x2+(1?k)x－2(k+1)=0的一個根在區(qū)間A．(3,4) B．(2,3) C．(1,3) D．(1,2)答案D解析若方程x2則△=(1?k)2此時x=?2，不在區(qū)間令f(x)=x若方程x2+1?k則f(2)f(3)<0，即(4－4k)(10－5k)<0，解得：k∈故選：D．3.已知方程x2?a2x圍為．答案(解析設f(x)=x方程x2?a2x?a+1=0可得f(0)>0，f(1)<0，即有－a+1>0，且2?a即為a<1a>1或a<?2故答案為：(?4.若方程7x2?(m+13)x?m?2=0的一個根在區(qū)間(0,1)答案(?4,解析設函數(shù)f(x)=7x∵方程7x2?(m+13)x?∴f(0)>0f(1)<0f(2)>0，∴f(0)=?m?2>0則?即實數(shù)m的取值范圍是(?故答案為：(?4，?2)．【題型3】兩根分別在區(qū)間(m【典題1】已知關于x的方程ax2+x+2=0的兩個實根一個小于0，另一個大于1，則實數(shù)a的取值范圍是．解析關于x的方程ax2若a>0，即圖象開口向上，ax2+x+2=0的兩個實根一個小于0只需f(0)<0，且f(1)<0，即2<0且a+3<0，則a∈若a<0，即圖象開口向下，ax2+x+2=0的兩個實根一個小于0只需f(0)>0，且f(1)>0，即2>0且a+3>0，則－3<a<0．綜上可得a的范圍是(?故答案為：(?變式練習1.若關于x的一元二次方程x2+ax?2=0有兩個不相等的實根x則實數(shù)a的取值范圍是()A．a<?1 C．?1<a<1答案C解析由題意設f(x)=x∵方程x2+ax?2=0有兩個不相等的實根x1∴f(?1)<0f(1)<0，則1?a?2<01+a?2<0故選：C．1.已知關于x的方程x2?ax+3=0有一根大于1，另一根小于1A．(4,+∞) B．(?∞,4) C．(答案A解析設f(x)=x若方程x2?ax+3=0有一根大于1，另一根小于1，則只需要即f(1)=1?a+3<0，得即實數(shù)a的取值范圍是(4,+∞)，故選：A．2.關于x的方程x2+(m?3)x+7?A．(?∞,1C．(?∞,?答案B解析∵關于x的方程x2+(m－3)x+7?∴△=(m?3)2故選：B．3.方程x2?2ax+1=0的兩根分別在(0,1)與(1,2)A．1<a<54 B．a<?1答案A解析若關于x的方程x2?2ax+1=0的兩根分別在(0,1)與則函數(shù)f(x)=x2?2ax+1(0,1)則f(0)>0,f(1)<0,f(2)>0即1>0，2?2a<0解得1<a<故選：A．4.已知方程ax2+2x+1=0A．(0,1] B．(C．(?∞,1]答案C解析(1)當a=0時，方程變?yōu)?x+1=0，有一負根x=?1(2)當a<0時，△=4?4a>0此時有且僅有一個負根，滿足題意，(3)當a>0時，由方程的根與系數(shù)關系可得?∴方程若有根，則兩根都為負根，而方程有根的條件△=4－4a≥0∴0<a≤1綜上可得，a≤1，故選：C．5.已知方程x2+(1+a)x+4+a=0的兩根為x1,x是．答案(解析由程x2知對應的函數(shù)f(x)=x又∵方程x2+(1+a)x+4+a=0的兩根滿足則f(0)>0f(1)<0,即4+a>01+1+a+4+a<0,即∴?故答案為(6.求實數(shù)m的范圍，使關于x的方程x2(1)有兩個實根，且一個比2大，一個比2??；(2)有兩個實根α,β，且滿足0<α<1<β<4；(3)至少有一個正根。解析設y=f(x)=x2(1)依題意有f(2)<0，即4+4(m?1)+2m+6<0，得m<?1．(2)依題意有f0=2m+6>0f(1)=4m+5<0(3)方程至少有一個正根，則有三種可能：①有兩個正根，此時可得Δ≥0f②有一個正根，一個負根，此時可得f(0)<0，得m<?3．③有一個正根，另一根為0，此時可得6+2m=0綜上所