2022-2023學(xué)年安徽省安慶市第五中學(xué)高一數(shù)學(xué)文上學(xué)期摸底試題含解析

2022-2023學(xué)年安徽省安慶市第五中學(xué)高一數(shù)學(xué)文上學(xué)期摸底試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有是一個符合題目要求的1.已知,,則的值為(

)A. B. C. D.參考答案：C，和均為正數(shù)，又，所以，，故選C.

2.如圖,是正三棱錐且側(cè)棱長為，兩側(cè)棱的夾角為，分別是上的動點(diǎn)，則三角形的周長的最小值為（

）

.

.

.

.參考答案：A3.若g(x)＝

,則的值為

(

)A．1

B．3

C．15

D．30參考答案：C4.（5分）函數(shù)f（x）=|x﹣2|﹣lnx在定義域內(nèi)零點(diǎn)的個數(shù)為（） A． 0 B． 1 C． 2 D． 3參考答案：C考點(diǎn)： 函數(shù)的零點(diǎn)；對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)．專題： 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析： 先求出函數(shù)的定義域，再把函數(shù)轉(zhuǎn)化為對應(yīng)的方程，在坐標(biāo)系中畫出兩個函數(shù)y1=|x﹣2|，y2=lnx（x＞0）的圖象求出方程的根的個數(shù)，即為函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù)．解答： 解：由題意，函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞）；由函數(shù)零點(diǎn)的定義，f（x）在（0，+∞）內(nèi)的零點(diǎn)即是方程|x﹣2|﹣lnx=0的根．令y1=|x﹣2|，y2=lnx（x＞0），在一個坐標(biāo)系中畫出兩個函數(shù)的圖象：由圖得，兩個函數(shù)圖象有兩個交點(diǎn)，故方程有兩個根，即對應(yīng)函數(shù)有兩個零點(diǎn)．故選C．點(diǎn)評： 本題考查了函數(shù)零點(diǎn)、對應(yīng)方程的根和函數(shù)圖象之間的關(guān)系，通過轉(zhuǎn)化和作圖求出函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù)．5.函數(shù)的部分圖像如圖所示，點(diǎn)是該圖像的一個最高點(diǎn)，點(diǎn)是該圖像與x軸交點(diǎn)，則（

）A．

B．

C.

D．參考答案：C根據(jù)題中所給的條件，以及所給的部分圖像，可以求得，所以，從而得到，求得，因?yàn)镻是最高點(diǎn)，所以有，解得，又因?yàn)?，所以，所以，故選C.

6.某扇形的圓心角為，半徑為2，那么該扇形弧長為

（

）

A．

B．

C．

D．60參考答案：A7.定義集合A、B的一種運(yùn)算：，若，，則中的所有元素?cái)?shù)字之和為

A．9

B．14

C．18

D．21參考答案：B8.同時(shí)擲兩顆骰子，所得點(diǎn)數(shù)之和為5的概率為（

）A. B. C. D.參考答案：B同時(shí)擲兩枚骰子點(diǎn)數(shù)有36個結(jié)果，其中點(diǎn)數(shù)和為5有（1，4），（4，1），（2，3），（3，2）共有4種結(jié)果，所以概率為4/36=1/99.設(shè)函數(shù)的集合P=，平面上點(diǎn)的集合Q=，則在同一直角坐標(biāo)系中，P中函數(shù)f（x）的圖象恰好經(jīng)過Q中兩個點(diǎn)的函數(shù)的個數(shù)是（）A．4 B．6 C．8 D．10參考答案：B【考點(diǎn)】對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)．【分析】把P中a和b的值代入f（x）=log2（x+a）+b中，所得函數(shù)f（x）的圖象恰好經(jīng)過Q中兩個點(diǎn)的函數(shù)的個數(shù)，即可得到選項(xiàng)．【解答】解：將數(shù)據(jù)代入驗(yàn)證知當(dāng)a=，b=0；a=，b=1；a=1，b=1a=0，b=0a=0，b=1a=1，b=﹣1時(shí)滿足題意，故選B．10.數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=n2，則++…+的值等于（

）（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.關(guān)于的不等式的解集為，則實(shí)數(shù).參考答案：

12.已知函數(shù)f（x）與函數(shù)g（x）分別是定義在R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且f（x）+g（x）=x3+x2+1，則f（1）﹣g（1）=

．參考答案：1【考點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的性質(zhì)．【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)建立方程即可．【解答】解：∵f（x）與函數(shù)g（x）分別是定義在R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且f（x）+g（x）=x3+x2+1，∴f（﹣1）+g（﹣1）=（﹣1）3+（﹣1）2+1=﹣1+1+1=1，即f（1）﹣g（1）=1，故答案為：1；13.函數(shù)的定義域?yàn)?/p>

.參考答案：14.在中，內(nèi)角的對邊分別為，若的面積，則

．參考答案：

15.（3分）如圖，點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，按逆時(shí)針方向沿周長為l的圓運(yùn)動一周，設(shè)O，P兩點(diǎn)連線的距離為y，點(diǎn)P走過的路程為x，當(dāng)0＜x＜時(shí)，y關(guān)于x的函數(shù)解析式為

．參考答案：考點(diǎn)： 函數(shù)解析式的求解及常用方法．專題： 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；解三角形．分析： 首先根據(jù)題意求出圓的半徑，進(jìn)一步利用弦與所對的弧長之間的關(guān)系建立等量，求出結(jié)果．解答： 已知圓的周長為l，則設(shè)圓的半徑為r，則：l=2πr所以：設(shè)O，P兩點(diǎn)連線的距離為y，點(diǎn)P走過的路程為x，連接AP，設(shè)∠OAP=θ，則：x=θ整理得：利用則：（0）點(diǎn)評： 本題考查的知識要點(diǎn)：弧長關(guān)系式的應(yīng)用，及相關(guān)的運(yùn)算問題，屬于基礎(chǔ)題型．16.函數(shù)f（x）=sin（）+sin的圖象的相鄰兩對稱軸之間的距離是．參考答案：【考點(diǎn)】三角函數(shù)的周期性及其求法．【分析】利用誘導(dǎo)公式化簡函數(shù)f（x）=sin（）+sin（），然后利用兩角和的正弦函數(shù)，化為一個角的一個三角函數(shù)的形式，求出周期，即可得到答案．【解答】解：函數(shù)f（x）=sin（）+sin（）=cos+sin=sin（），所以函數(shù)的周期是：=3π．所以函數(shù)f（x）=sin（）+sin（）的圖象的相鄰兩對稱軸之間的距離是：．故答案為：17.已知均為單位向量，它們的夾角為，那么

．參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖所示，四棱錐S－ABCD的底面是邊長為1的菱形，其中∠DAB＝60°，SD垂直于底面ABCD，SB＝．

(1)求四棱錐S－ABCD的體積；(2)設(shè)棱SA的中點(diǎn)為M，求異面直線DM與SC所成角的余弦值．參考答案：(1);(2).【分析】（1）連結(jié)，易知BD為棱錐的高，結(jié)合棱錐的特征計(jì)算可得四棱錐的體積.（2）解法一：取中點(diǎn)，連結(jié)、，由幾何體的特征可知為異面直線與所成的角，計(jì)算可得，即異面直線與所成的角的大小為.解法二：如圖以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合點(diǎn)的坐標(biāo)可得，∵，，則，異面直線與所成的角的大小為.【詳解】（1）連結(jié)，平面，平面，∴，為邊長為1的菱形，且，∴，，∴，，∴，∴.（2）解法一：取中點(diǎn)，連結(jié)、，∴且，∴為異面直線與所成的角，又∵在中，，∴，同時(shí)，，∴為等邊三角形，∴，即異面直線與所成的角的大小為.解法二：如圖以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，其中，設(shè)與交于點(diǎn)，則，∴，又，∴，即，∵，∴，∴，即異面直線與所成的角的大小為.【點(diǎn)睛】本題主要考查棱錐的體積公式，異面直線所成的角的計(jì)算，空間向量的應(yīng)用等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.19.已知f（x）是定義在[﹣1，1]上的奇函數(shù)，且f（1）=1，若a，b∈[﹣1，1]，且a+b≠0，有恒成立． （1）判斷f（x）在[﹣1，1]上的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論； （2）解不等式f（log2x）＜f（log43x）的解集； （3）若f（x）≤m2﹣2am+1對所有的x∈[﹣1，1]，a∈[﹣1，1]恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍． 參考答案：【考點(diǎn)】對數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用；奇偶性與單調(diào)性的綜合． 【專題】分類討論；函數(shù)思想；轉(zhuǎn)化法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用． 【分析】（1）直接根據(jù)單調(diào)性的定義判斷和證明該函數(shù)為增函數(shù)； （2）根據(jù)對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)列出不等式組解出即可； （3）問題轉(zhuǎn)化為m2﹣2am+1≥f（x）max，再構(gòu)造函數(shù)并通過分類討論求范圍． 【解答】解：（1）f（x）在[﹣1，1]上為增函數(shù)，證明如下： 任取x1，x2滿足﹣1≤x1＜x2≤1，由f（x）為奇函數(shù)， ∴， 又因?yàn)閍，b∈[﹣1，1]，且a+b≠0，都有， ∴＞0， ∵x2﹣x1＞0，∴f（x2）﹣f（x1）＞0， 所以f（x）在[﹣1，1]上為增函數(shù)； （2）原不等式等價(jià)于： ，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣① ，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣② ﹣﹣﹣﹣﹣﹣③ 綜合以上三式得，原不等式解集為：； （3）f（x）在[﹣1，1]遞增，則f（x）max=f（1）， ∴m2﹣2am+1≥f（x）max，即m2﹣2am≥0對a∈[﹣1，1]恒成立， 記關(guān)于a的函數(shù)g（a）=﹣2ma+m2，﹣1≤a≤1， 問題等價(jià)為：g（a）min≥0在a∈[﹣1，1]上恒成立， ①當(dāng)m=0時(shí)，g（a）=0滿足， ②當(dāng)m＜0時(shí)，g（a）遞增，令g（a）min=g（﹣1）≥0?m≤﹣2； ③當(dāng)m＞0時(shí)，g（a）遞減，令g（a）min=g（1）≥0?m≥2， 綜合以上討論得，實(shí)數(shù)m的取值范圍為：（﹣∞，﹣2]∪{0}∪[2，+∞）． 【點(diǎn)評】本題主要考查了抽象函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，不等式恒成立問題的解法，屬于中檔題． 20.（本小題7分）函數(shù)是定義在（，）上的奇函數(shù)，且。（1）確定函數(shù)的解析式；（2）用定義證明：在（，）上是增函數(shù)；（3）解不等式：。參考答案：略21.設(shè)函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期為π，當(dāng)x=時(shí)，f（x）取得最大值．（1）求f（x）的解析式；（2）求出f（x）的單調(diào)區(qū)間．參考答案：【考點(diǎn)】三角函數(shù)的化簡求值；正弦函數(shù)的圖象．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．【分析】（1）利用三角恒等變換化簡函數(shù)的解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的周期性求得ω、再根據(jù)最大值求得φ，可得函數(shù)的解析式．（2）由條件利用正弦函數(shù)的單調(diào)性求得它的單調(diào)區(qū)間．【解答】解：（1）∵函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）=sin（ωx+φ+）的最小正周期為π，∴=π，∴ω=2，f（x）=sin（2x+φ+）．根據(jù)當(dāng)x=時(shí)，f（x）=sin（2?+φ+）=，∴φ+=2kπ+，k∈Z，∴取φ=，∴f（x）=sin（2x+）．（2）令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，求得kπ﹣≤x≤kπ+，可得函數(shù)的增區(qū)間為，k∈Z；同理求得函數(shù)的減區(qū)間為，k∈Z．【點(diǎn)評】本題主要考查三角恒等變換，正弦函數(shù)的周期性、最值、以及它的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．22.集合A={x|a﹣1＜x＜2a+1}，B={x|0＜x＜1}，若A∩B=?，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】集合關(guān)系中的參數(shù)取值問題．【專題】計(jì)算題．【分析】①當(dāng)A