西安市高新第一中學(xué)高中數(shù)學(xué)選修2-2第四章《定積分》測(cè)試(含答案解析)

一、選擇題1．一物體作變速直線運(yùn)動(dòng)，其曲線如圖所示，則該物體在間的運(yùn)動(dòng)路程為（）m．A．1 B． C． D．22．計(jì)算的值為（）A． B． C． D．3．4片葉子由曲線與曲線圍成，則每片葉子的面積為（）A． B． C． D．4．已知是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，若，則（）A． B． C． D．5．若曲線在點(diǎn)處的切線平行于軸，則（）A．B．C．D．6．設(shè)若，，則的值是()A．1 B．2 C．1 D．-27．已知函數(shù)f(x)=x2+1的定義域?yàn)閇a,b](a<b),值域?yàn)閇1,5],則在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),點(diǎn)(a,b)的運(yùn)動(dòng)軌跡與兩坐標(biāo)軸圍成的圖形的面積為()A．8B．6C．4D．28．曲線，和直線圍成的圖形面積是（）A． B． C． D．9．如圖，設(shè)是途中邊長(zhǎng)分別為1和2的矩形區(qū)域，是內(nèi)位于函數(shù)圖象下方的陰影部分區(qū)域，則陰影部分的面積為（）A． B． C． D．10．已知冪函數(shù)圖像的一部分如下圖，且過(guò)點(diǎn)，則圖中陰影部分的面積等于（）A． B． C． D．11．由直線及曲線所圍成的封閉圖形的面積為（）A．3 B． C． D．12．由曲線，直線所圍成的平面圖形的面積為（）A． B． C． D．二、填空題13．已知曲線y=2x與直線14．若，，，則，，的大小關(guān)系為_(kāi)__．15．已知，則展開(kāi)式中的系數(shù)為_(kāi)_____.16．曲線與軸圍成的封閉區(qū)域的面積為_(kāi)_________．17．計(jì)算＝_________________．18．計(jì)算由曲線所圍成的封閉圖形的面積__________．19．計(jì)算得__________．20．曲線與直線所圍成的平面圖形的面積為_(kāi)_______.三、解答題21．已知函數(shù).（1）若在上存在極值，求的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，比較與的大小.22．已知函數(shù)，且曲線在點(diǎn)處的切線與軸垂直．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）設(shè)，求證．23．求曲線，，所圍成圖形的面積．24．求曲線和直線所圍成的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積．25．在11的展開(kāi)式中任取一項(xiàng)，設(shè)所取項(xiàng)為有理項(xiàng)的概率為α，求dx26．已知，（1）若函數(shù)在上為單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若當(dāng)時(shí)，對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【參考答案】***試卷處理標(biāo)記，請(qǐng)不要?jiǎng)h除一、選擇題1．C解析：C【分析】由圖像用分段函數(shù)表示，該物體在間的運(yùn)動(dòng)路程可用定積分表示，計(jì)算即得解【詳解】由題中圖像可得，由變速直線運(yùn)動(dòng)的路程公式，可得．所以物體在間的運(yùn)動(dòng)路程是．故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了定積分的實(shí)際應(yīng)用，考查了學(xué)生轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)形結(jié)合，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.2．B解析：B【分析】根據(jù)牛頓萊布尼茨公式，即可代值求解.【詳解】根據(jù)牛頓萊布尼茨公式.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查牛頓萊布尼茨公式的直接應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題.3．C解析：C【分析】先計(jì)算圖像交點(diǎn)，再利用定積分計(jì)算面積.【詳解】如圖所示：由，解得，根據(jù)圖形的對(duì)稱性，可得每片葉子的面積為.故答案選C【點(diǎn)睛】本題考查定積分的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力4．A解析：A【解析】因?yàn)?，所以，由定積分公式，故，即，應(yīng)選答案A。5．B解析：B【解析】因?yàn)?所以,選B.點(diǎn)睛：(1)求曲線的切線要注意“過(guò)點(diǎn)P的切線”與“在點(diǎn)P處的切線”的差異，過(guò)點(diǎn)P的切線中，點(diǎn)P不一定是切點(diǎn)，點(diǎn)P也不一定在已知曲線上，而在點(diǎn)P處的切線，必以點(diǎn)P為切點(diǎn).(2)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解題，主要是利用導(dǎo)數(shù)、切點(diǎn)坐標(biāo)、切線斜率之間的關(guān)系來(lái)進(jìn)行轉(zhuǎn)化.以平行、垂直直線斜率間的關(guān)系為載體求參數(shù)的值，則要求掌握平行、垂直與斜率之間的關(guān)系，進(jìn)而和導(dǎo)數(shù)聯(lián)系起來(lái)求解.6．C解析：C【詳解】，故選：C7．C解析：C【解析】由函數(shù)f(x)=x2+1的圖像可知，a,b需滿足b=2-2≤a≤0或8．D解析：D【解析】試題分析：根據(jù)題意畫(huà)出區(qū)域，作圖如下，由解得交點(diǎn)為（0，1），∴所求面積為：考點(diǎn)：定積分及其應(yīng)用9．D解析：D【解析】試題分析：由題意，陰影部分由兩部分組成，因?yàn)楹瘮?shù)當(dāng)時(shí)，所以陰影部分的面積為故選D．考點(diǎn)：利用定積分在曲邊形的面積．10．B解析：B【解析】試題分析：由題意得，因?yàn)閮绾瘮?shù)圖像過(guò)點(diǎn)，所以，解得，所以冪函數(shù)，則陰影部分的面積為，故選B.考點(diǎn)：冪函數(shù)的解析式；定積分的應(yīng)用.11．A解析：A【解析】如圖所示，曲邊四邊形OABC的面積為.故選A.點(diǎn)睛：本題考查了曲線圍成的圖形的面積，著重考查了定積分的幾何意義和定積分計(jì)算公式等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題；用定積分求平面圖形的面積的步驟：（1）根據(jù)已知條件，作出平面圖形的草圖；根據(jù)圖形特點(diǎn)，恰當(dāng)選取計(jì)算公式；（2）解方程組求出每?jī)蓷l曲線的交點(diǎn)，以確定積分的上、下限；（3）具體計(jì)算定積分，求出圖形的面積．12．C解析：C【詳解】由，解得，解得，解得，所圍成的平面圖形的面積為，則，，故選C.二、填空題13．32-2ln2【分析】先確定交點(diǎn)坐標(biāo)得到積分區(qū)間確定被積函數(shù)求出原函數(shù)即可求得結(jié)論【詳解】解：由題意曲線y=2x與直線x+y=3的交點(diǎn)坐標(biāo)為1221∴曲線y=2x與直線x+y=3所圍成的封閉圖形的面解析：3【分析】先確定交點(diǎn)坐標(biāo)，得到積分區(qū)間，確定被積函數(shù)，求出原函數(shù)，即可求得結(jié)論．【詳解】解：由題意，曲線y=2x與直線x+y=3的交點(diǎn)坐標(biāo)為1,2∴曲線y=2x與直線x+y=3=故答案為：32【點(diǎn)睛】本題考查定積分知識(shí)的運(yùn)用，確定交點(diǎn)坐標(biāo)，得到積分區(qū)間，確定被積函數(shù)，是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．14．【分析】先利用積分基本定理計(jì)算三個(gè)定積分再比較它們的大小即可【詳解】故答案為：【點(diǎn)睛】本小題主要考查定積分的計(jì)算不等式的大小比較等基礎(chǔ)知識(shí)考查運(yùn)算求解能力屬于中檔題解析：【分析】先利用積分基本定理計(jì)算三個(gè)定積分，再比較它們的大小即可．【詳解】故答案為：【點(diǎn)睛】本小題主要考查定積分的計(jì)算、不等式的大小比較等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．15．32【分析】由定積分求出實(shí)數(shù)的值再利用二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式求解即可【詳解】解：因?yàn)?=2由展開(kāi)式的通項(xiàng)為=即展開(kāi)式中的系數(shù)為+=32故答案為32【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式屬基礎(chǔ)題解析：32【分析】由定積分求出實(shí)數(shù)的值，再利用二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式求解即可.【詳解】解：因?yàn)?=2,由展開(kāi)式的通項(xiàng)為=,即展開(kāi)式中的系數(shù)為+=32，故答案為32.【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，屬基礎(chǔ)題.16．2【解析】與軸所圍成的封閉區(qū)域的面積故答案為2解析：2【解析】與軸所圍成的封閉區(qū)域的面積，故答案為2.17．【解析】解析：.【解析】.18．18【解析】因?yàn)榛蛩詰?yīng)填答案解析：18【解析】因?yàn)榛?，所以，?yīng)填答案。19．【解析】分析：根據(jù)定積分的定義分別和求和即可詳解：表示以（00）為圓心以2為半徑的半徑故故答案為點(diǎn)睛：求定積分的三種方法(1)利用定義求定積分(定義法)可操作性不強(qiáng)(2)利用微積分基本定理求定積分(解析：.【解析】分析：根據(jù)定積分的定義分別和，求和即可.詳解：表示以（0，0）為圓心，以2為半徑的半徑.故.故答案為.點(diǎn)睛：求定積分的三種方法(1)利用定義求定積分(定義法)，可操作性不強(qiáng)．(2)利用微積分基本定理求定積分．(3)利用定積分的幾何意義求定積分．當(dāng)曲邊梯形面積易求時(shí)，可通過(guò)求曲邊梯形的面積求定積分．20．【解析】試題分析：聯(lián)立交點(diǎn)所以圍成的圖形為直線的左上方和曲線所圍成的區(qū)域面積為考點(diǎn)：1定積分的應(yīng)用---求曲邊梯形的面積；2微積分基本定理【方法點(diǎn)晴】求曲邊梯形的步驟：①畫(huà)出草圖在直角坐標(biāo)系中畫(huà)出直解析：【解析】試題分析：聯(lián)立,交點(diǎn),,所以圍成的圖形為直線的左上方和曲線所圍成的區(qū)域,面積為.考點(diǎn)：1.定積分的應(yīng)用---求曲邊梯形的面積；2.微積分基本定理.【方法點(diǎn)晴】求曲邊梯形的步驟：①畫(huà)出草圖，在直角坐標(biāo)系中畫(huà)出直線或曲線的大致圖象；②聯(lián)立方程，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，確定積分的上、下限；③把曲邊梯形的面積表示為若干個(gè)定積分的和；④計(jì)算定積分，寫(xiě)出答案.由于本題中，若對(duì)進(jìn)行定積分，，有些麻煩，這里就轉(zhuǎn)化為對(duì)進(jìn)行定積分，要容易很多.三、解答題21．（1）（2）【解析】【試題分析】(1)函數(shù)在區(qū)間存在極值,即函數(shù)導(dǎo)函數(shù)滿足,由此求得的取值范圍.(2)當(dāng)時(shí)，恒成立，則,分離常數(shù)得對(duì)恒成立.構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的最大值,由此求得的取值范圍.構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)證得的最小值大于零,由此證得.【試題解析】解：（1）∵為上的減函數(shù)，∴，∴.（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，則，即對(duì)恒成立.設(shè)，，設(shè)，，∴在上遞減，又，則當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，.∴，∴，即的取值范圍為.設(shè)，則，∴在上遞增，∴，∴.【點(diǎn)睛】本小題主要考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)與極值的問(wèn)題,考查利用導(dǎo)數(shù)比較兩個(gè)數(shù)的大小.要使函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上有極值,必須使得函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上導(dǎo)數(shù)有大于零,也有小于零的地方,本題中求導(dǎo)后導(dǎo)函數(shù)為區(qū)間上的減函數(shù),故需左端點(diǎn)函數(shù)值大于零,右端點(diǎn)函數(shù)值小于零,由此求得參數(shù)的取值范圍.22．(1)(2)見(jiàn)解析【解析】試題分析：（Ⅰ）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出函數(shù)的切線，建立方程關(guān)系即可求b的值；（Ⅱ）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)最值和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系進(jìn)行證明即可．試題(Ⅰ），所以由題設(shè)知.（Ⅱ）由(Ⅰ）可得，故只需證，設(shè)，令，得.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，所以，．23．平面圖形的面積【詳解】分析：先確定交點(diǎn)坐標(biāo)，可得積分區(qū)間，再利用定積分求面積即可；詳解：由曲線，，可得的橫坐標(biāo)為1，由，可得的橫坐標(biāo)為3．∴所求面積為點(diǎn)睛：本題考查利用定積分求面積，解題的關(guān)鍵是確定積分區(qū)間與被積函數(shù)，屬于中檔題．24．.【分析】聯(lián)立方程與，解得,直接利用定積分的幾何意義求解即可.【詳解】聯(lián)立方程與，解得,所以所求旋轉(zhuǎn)體的體積.【點(diǎn)睛】本題主要考查定積分的幾何意義，意在考查對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)掌握的熟練程度，屬于基礎(chǔ)題.25．【分析】先求11展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，其中有2項(xiàng)有理項(xiàng)，確定概率，根據(jù)定積分的計(jì)算法則，先求出被積函數(shù)的原函數(shù)，再分別將積分上下限代入求差，即可求出結(jié)果.【詳解】解：Tr＋1＝·(3)11－r·r＝·311－r·(－2)r·，r＝0,1，…，11，共12項(xiàng)其中只有第4項(xiàng)和第10項(xiàng)是有理項(xiàng)，故所求概率為.【點(diǎn)睛】本題考查利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式解決二項(xiàng)式展開(kāi)式的特定項(xiàng)問(wèn)題、考查古典概型的概率公式，考查定積分的計(jì)算.解題關(guān)鍵是熟練應(yīng)用二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，找出符合條件的項(xiàng)數(shù).26．（1）；（2）.【解析】試題分析：(1)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)對(duì)t的范圍進(jìn)行分類(lèi)討論求最值.(2)本小題實(shí)質(zhì)是在上恒成立，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為在上恒成立,然后構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)研究h(x)的最小值即可.注意不要忽略x>0的條件,導(dǎo)致求導(dǎo)數(shù)的方程時(shí)產(chǎn)生增根.試題（1）定義域?yàn)?，，因?yàn)樵谏蠟閱握{(diào)函數(shù)，則方程在上無(wú)實(shí)根.故，則.（2），則，對(duì)一切恒成立.設(shè)，則