專題35：圓錐曲線的弦長(zhǎng)問題答案

專題35：圓錐曲線的弦長(zhǎng)問題題型專練弦長(zhǎng)公式：設(shè)Ax1，AB（1）若A、

B在直線AB=（2）若A、

B在直線AB=1+t21．在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線y＝x2+mx﹣1與x軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，1）．當(dāng)m變化時(shí)，解答下列問題：（1）以AB為直徑的圓能否經(jīng)過點(diǎn)C？說明理由；（2）過A，B，C三點(diǎn)的圓在y軸上截得的弦長(zhǎng)是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說明理由．解：（1）以AB為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)C，理由如下：設(shè)A（x1，0），B（x2，0），則x1x2＝﹣1，直線AC與BC的斜率之積為，∴AC⊥BC，∴以AB為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)C．（2）設(shè)AB的中點(diǎn)為M，則，則，，由（1）知過A，B，C三點(diǎn)的圓的方程為，令x＝0，得y＝±1，∴圓在y軸上截得的弦長(zhǎng)為定值2．2．求滿足下列條件的圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）與橢圓有相同的焦點(diǎn)，且一條漸近線方程為的雙曲線．（2）已知直線被拋物線y2＝2px（p＞0）截得弦長(zhǎng)為9，求該拋物線方程．解：（1）因?yàn)殡p曲線的一條漸近線方程為，不妨設(shè)該雙曲線的方程為5x2﹣4y2＝λ，λ≠0，即＝1，λ≠0，因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在y軸上，所以λ＜0，則雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為＝1，λ＜0，因?yàn)閍2＝25，b2＝16，所以，則該雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0，±3），即，解得λ＝﹣20，故滿足條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）因?yàn)橹本€被拋物線y2＝2px（p＞0）截得的弦為AB，分別過A，B向拋物線的準(zhǔn)線作垂線，垂足分別為P，Q，不妨設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），易知為拋物線的焦點(diǎn)，聯(lián)立，消去x并整理得，由韋達(dá)定理得，因?yàn)橹本€可變形為，由拋物線定義得|＝，解得p＝4＞0，故滿足條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝8x．3．如圖，直線l1和l2相交于點(diǎn)M且l1⊥l2，點(diǎn)N∈l1．以A、B為端點(diǎn)的曲線段C上的任一點(diǎn)到l2的距離與到點(diǎn)N的距離相等．若△AMN為銳角三角形，，|AN|＝3，且|BN|＝6．（1）曲線段C是哪類圓錐曲線的一部分？并建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求曲線段C所在的圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）在（1）所建的坐標(biāo)系下，已知點(diǎn)P（m，n）在曲線段C上，直線l：mx+ny＝1，求直線l被圓x2+y2＝1截得的弦長(zhǎng)的取值范圍．解：（1）∵直線l1和l2相交于點(diǎn)M且l1⊥l2，點(diǎn)N∈l1．以A、B為端點(diǎn)的曲線段C上的任一點(diǎn)到l2的距離與到點(diǎn)N的距離相等．△AMN為銳角三角形，，|AN|＝3，且|BN|＝6．∴曲線段C是拋物線的一部分．如圖建立坐標(biāo)系，分別以l1、l2為x、y軸，M為坐標(biāo)原點(diǎn)．作AE⊥l1，AD⊥l2，BF⊥l2，垂足分別為E、D、F．設(shè)A（xA，yA）、B（xB，yB）、N（xN，0）依題意有xA＝|ME|＝|DA|＝|AN|＝3，yA＝|DM|＝由于△AMN為銳角三角形，故有xN＝|ME|+|EN|＝|ME|+＝4，xB＝|BF|＝|BN|＝6．設(shè)點(diǎn)P（x，y）是曲線段C上任一點(diǎn)，則由題意知P屬于集合{（x，y）|（x﹣xN）2+y2＝x2，xA≤x≤xB，y＞0}故曲線段C的方程為y2＝8（x﹣2）（3≤x≤6，y＞0）．（2）∵點(diǎn)P（m，n）在曲線段C上，∴n2＝8m（1≤m≤4，n＞0），圓x2+y2＝1的圓心到直線l：mx+ny＝1的距離為，則直線l被圓x2+y2＝1截得的弦長(zhǎng)＝＝，（1≤m≤4），∵1≤m≤4，∴9≤m2+8m≤48，∴，∴，∴直線l被圓x2+y2＝1截得的弦長(zhǎng)的取值范圍為[]．4．直線與圓錐曲線相交時(shí)，與相交弦有關(guān)的幾何圖形常為研究的對(duì)象．同2小題中曲線C條件，且n＝5，直線l過曲線C的上焦點(diǎn)F1，與橢圓交于點(diǎn)A、B．（1）下面的三個(gè)問題中，直線l分別滿足不同的前提條件，選擇其中一個(gè)研究．（三個(gè)問題賦分不同，若對(duì)多個(gè)問題解答，只對(duì)其中第一個(gè)解答過程賦分）①直線斜率為1，求線段AB的長(zhǎng)．②OA⊥OB，求直線l的方程．③當(dāng)△AOB面積最大時(shí)，求直線l的方程．我選擇問題①，研究過程如下：（2）梳理總結(jié)你的研究過程，你使用主要的知識(shí)點(diǎn)、研究方法和工具（公式）有：函數(shù)與方程思想，不等式性質(zhì)（至少2個(gè)關(guān)鍵詞）．（3）在題4題干同樣條件下，自構(gòu)造一個(gè)幾何圖形，并自定一個(gè)相關(guān)的幾何問題（無需解）．（在圖中繪制出該幾何圖形，用正確的符號(hào)和文字描述圖形的已知條件，并準(zhǔn)確簡(jiǎn)潔敘述待研究的幾何問題．無需解答，描述不清晰和不準(zhǔn)確的不得分，繪制圖象與描述不匹配的不得分）設(shè)直線l的斜率為k，若橢圓C的下頂點(diǎn)為D，求證：對(duì)于任意的k∈R，直線AD，BD的斜率之積為定值．解：（1）①解：由題意可知直線l的方程為y＝x+2，橢圓C的方程為x2+＝1，由得6x2+4x﹣1＝0，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則由韋達(dá)定理得：x1+x2＝﹣，x1x2＝﹣，∴線段|AB|＝?＝＝．②解：易知直線l的斜率一定存在，設(shè)直線l：y＝kx+2，代入橢圓C：x2+＝1中得：（k2+5）x2+4kx﹣1＝0，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則由韋達(dá)定理得：x1+x2＝，x1x2＝，∴y1y2＝（kx1+2）（kx2+2）＝k2x1x2+2k（x1+x2）+4＝++4＝，∵DA⊥OB，∴x1x2+y1y2＝+＝0，解得：k＝±，∴直線l的方程為：k＝±+2．③解：易知直線l斜率一定存在，設(shè)直線l：y＝kx+2，代入橢圓C：x2+＝1中得：（k2+5）x2+4kx﹣1＝0，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則由韋達(dá)定理得：x1+x2＝，x1x2＝，∴線段|AB|＝?＝＝2?，又原點(diǎn)D到直線AB的距離d＝∴△AOB的面積S＝|AB|?d＝×2?×＝2×＝2×＝2×∵k2+1+≥2＝8，當(dāng)且僅當(dāng)k2+1＝，即k＝±時(shí)，取等號(hào)∵S≤2×＝∴△AOB的面積最大為，此時(shí)直線l的方程為：y＝±x+2．（2）函數(shù)與方程思想，不等式性質(zhì)，弦長(zhǎng)公式，根與系數(shù)關(guān)系，設(shè)而不求等．（3）設(shè)直線l的斜率為k，若橢圓C的下頂點(diǎn)為D，求證：對(duì)于任意的k∈R，直線AD，BD的斜率之積為定值．故答案為：（1）①或②或③（回答一個(gè)即可），（2）函數(shù)與方程思想，不等式性質(zhì)，（答案不唯一）（3）設(shè)直線l的斜率為k，若橢圓C的下頂點(diǎn)為D，求證：對(duì)于任意的k∈R，直線AD，BD的斜率之積為定值5．已知兩個(gè)條件：①圓C經(jīng)過圓x2+y2+4x+1＝0與圓x2+y2+x﹣3y+1＝0的交點(diǎn)．②圓C與x軸正半軸相切，且被直線x﹣y＝0截得的弦長(zhǎng)為．在這兩個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在下面問題中，并解答．（1）圓心在直線3x﹣y＝0上，且_____，求圓C的方程；（2）在（1）的條件下，由圓C外一點(diǎn)P（x0，y0）向圓C引一條切線，切點(diǎn)為Q，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且有|PQ|＝|PO|，求|PQ|的最小值．解：（1）選①，x2+y2+4x+1＝0與x2+y2+x﹣3y+1＝0相減可得y＝﹣x，故圓x2+y2+4x+1＝0與圓x2+y2+x﹣3y+1＝0交點(diǎn)弦方程為y＝﹣x，設(shè)兩交點(diǎn)坐標(biāo)為E（x1，y1），F(xiàn)（x2，y2），聯(lián)立y＝﹣x與x2+y2+4x+1＝0，得2x2+4x+1＝0，解得，不妨設(shè)，則，即，故x1+x2＝﹣2，則y1+y2＝﹣（x1+x2）＝2，故EF的中點(diǎn)坐標(biāo)為，由幾何關(guān)系可知，圓心C在直線y＝﹣x的垂直平分線上，即y﹣1＝x+1，即圓心在y＝x+2上，聯(lián)立，解得，故圓心C（1，3），半徑為|CE|＝＝3，所以圓C的方程為（x﹣1）2+（y﹣3）2＝9；選②，圓C與x軸正半軸相切，且被直線x﹣y＝0截得的弦長(zhǎng)為，設(shè)圓心為（t，3t），t＞0，則半徑為3t，故圓C的方程為（x﹣t）2+（y﹣3t）2＝9t2，圓心C到直線x﹣y＝0的距離為，由垂徑定理得，解得t＝1，故圓C的方程為（x﹣1）2+（y﹣3）2＝9；（2）由題意得，故，又，由題意得，化簡(jiǎn)得2x0+6y0﹣1＝0，故點(diǎn)P在直線2x+6y﹣1＝0，故當(dāng)OP垂直直線2x+6y﹣1＝0時(shí)，|OP|取得最小值，最小值為，故|PQ的最小值為．6．在“①圓M經(jīng)過點(diǎn)C（﹣2，﹣1）；②圓心M在直線x﹣y﹣4＝0上”這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，并求解．已知圓M經(jīng)過點(diǎn)A（﹣1，2），B（6，3），且．注：若選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．（1）求圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求圓M與直線l：x+（m+1）y﹣2m﹣4＝0（m∈R）相交弦長(zhǎng)的最小值．解：（1）選擇①：設(shè)圓M的一般方程為x2+y2+Dx+Ey+F＝0，由題意得，解得，所以圓M的一般方程為x2+y2﹣6x+2y﹣15＝0，則標(biāo)準(zhǔn)方程為（x﹣3）2+（y+1）2＝25；選擇②：設(shè)圓M的一般方程為x2+y2+Dx+Ey+F＝0，由題意得，解得，所以圓M的一般方程為x2+y2﹣6x+2y﹣15＝0，則標(biāo)準(zhǔn)方程為（x﹣3）2+（y+1）2＝25；（2）x+（m+1）y﹣2m﹣4＝0（m∈R）可化為（y﹣2）m+（x+y﹣4）＝0（m∈R），令，可得，所以直線l恒過點(diǎn)N（2，2），由（1）得M（3，﹣1），由圓的性質(zhì)可知，當(dāng)l⊥MN時(shí)，相交弦長(zhǎng)最短，又，所以弦長(zhǎng)的最小值為．7．已知①圓心C在直線y＝x﹣1上；②圓的半徑為2；③圓過點(diǎn)．在這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，并作答（注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分）（1）圓C過點(diǎn)A（1，2）且圓心在x軸上，且滿足條件_____，求圓C的方程；（2）在（1）的條件下，直線l：y＝k（x﹣2）+1與圓C交于P，Q兩點(diǎn)，求弦長(zhǎng)|PQ|的最小值及相應(yīng)的k值．解：（1）若選①，由題意知，圓心是方程組的解，解得，所以C（1，0），設(shè)半徑為r，則r＝|AC|＝2，則圓的方程為：（x﹣1）2+y2＝4．若選②，設(shè)圓心C（a，0），由題意知r＝|AC|＝＝2，所以a＝1．所以圓心C（1，0），半徑為2，則圓的方程為：（x﹣1）2+y2＝4．若選③，設(shè)圓心C（a，0），由題意知|AC|＝|MC|，即有＝2＝，解得a＝1，所以圓心C（1，0），半徑為2，則圓的方程為：（x﹣1）2+y2＝4．（2）由（1）知圓的方程為：（x﹣1）2+y2＝4，圓心C（1，0），半徑為2，直線l過定點(diǎn)D（2，1），顯然點(diǎn)D在圓C內(nèi)，要使弦長(zhǎng)|PQ|最短，則CD⊥PQ，∴kCD?kPQ＝﹣1，∵kCD＝＝1，∴kPQ＝﹣1，∴k＝﹣1．又|CD|＝，∴|PQ|＝2＝2，所以弦長(zhǎng)最小值為2．8．①過F1且垂直于長(zhǎng)軸的直線與橢圓C相交所得的弦長(zhǎng)為3；②P為橢圓C上一點(diǎn)，△PF1F2面積最大值為．在上述兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，并加以解答．設(shè)橢圓左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，上下頂點(diǎn)分別為B1，B2，短軸長(zhǎng)為，_____．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)F2的直線l與C交于不同的兩點(diǎn)M，N，若MN⊥B1F2，試求△F1MN內(nèi)切圓的面積．解：（1）選①：由橢圓的通徑為，且，則，a＝2，所以橢圓C的方程：；選②：設(shè)橢圓C的焦距為2c，則△PF1F2面積最大值，且，則，則c＝1，所以a2＝b2+c2＝4，所以橢圓C的方程：；（2）由，F(xiàn)2（1，0），知B1F2的斜率為，因MN⊥B1F2，故MN的斜率為，則直線l的方程為，即，聯(lián)立可得：，設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），則，，則△F1MN的面積，由△F1MN的周長(zhǎng)L＝4a＝8，及，所以內(nèi)切圓半徑為，所以△F1MN的內(nèi)切圓面積為．所以△F1MN的內(nèi)切圓面積為．9．①橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為8；②橢圓C與橢圓+y2＝1有相同的焦點(diǎn)；③F1，F(xiàn)2與橢圓C短軸的一個(gè)端點(diǎn)組成的三角形為等邊三角形．從以上三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的橫線上并作答．問題：已知橢圓C：+＝1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過點(diǎn)F1且垂直于x軸的弦長(zhǎng)為6，且____．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)點(diǎn)M（0，2），點(diǎn)P是橢圓C上任意一點(diǎn)，求|MP|的最大值．選①：解：（1）已知橢圓C：+＝1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過點(diǎn)F1作垂直于x軸的直線交橢圓于點(diǎn)A、B，聯(lián)立，則，即，則|AB|＝，又橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為8，則a＝4，即b2＝12，即橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）設(shè)橢圓C上任意一點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，n），則，又點(diǎn)M（0，2），則＝＝，又，則當(dāng)時(shí)，|MP|2取最大值48，即|MP|的最大值為．選②：解：（1）已知橢圓C：+＝1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過點(diǎn)F1作垂直于x軸的直線交橢圓于點(diǎn)A、B，聯(lián)立，則，即，則|AB|＝，又橢圓C與橢圓+y2＝1有相同的焦點(diǎn)，則a2﹣b2＝5﹣1＝4，即，即橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）設(shè)橢圓C上任意一點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，n），則，又點(diǎn)M（0，2），則＝＝，又，則當(dāng)時(shí)，|MP|2取最大值48，即|MP|的最大值為．選③：解：（1）已知橢圓C：+＝1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過點(diǎn)F1作垂直于x軸的直線交橢圓于點(diǎn)A、B，聯(lián)立，則，即，則|AB|＝，又F1，F(xiàn)2與橢圓C短軸的一個(gè)端點(diǎn)組成的三角形為等邊三角形，則，即4b2＝3a2，即，即橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）設(shè)橢圓C上任意一點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，n），則，又點(diǎn)M（0，2），則＝＝，又，則當(dāng)時(shí)，|MP|2取最大值48，即|MP|的最大值為．10．在下列所給的三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，并加以解答．①若圓C的半徑為2，其圓心與點(diǎn)（0，1）關(guān)于直線y＝x對(duì)稱，②圓心在x軸上，且經(jīng)過點(diǎn)E（﹣1，0），F(xiàn)（1，2），③圓心C位于x軸正半軸上，與直線3x﹣4y+7＝0相切，且被y軸截得的弦長(zhǎng)為2，圓C的面積小于13．已知圓心為C的圓，_______．（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)過點(diǎn)M（0，3）的直線l與圓C交于不同的兩點(diǎn)A，B，以O(shè)A，OB為鄰邊作平行四邊形OADB．是否存在這樣的直線l，使得直線OD與MC恰好平行？如果存在，求出l的方程；如果不存在，請(qǐng)說明理由．解：（1）選①，由于圓心與點(diǎn)（0，1）關(guān)于直線y＝x對(duì)稱，則圓心為（1，0），又半徑為2，則圓的方程為：（x﹣1）2+y2＝4．選②，設(shè)圓C：（x﹣a）2+y2＝R2（a＞0），將點(diǎn)E（﹣1，0），F(xiàn)（1，2）代入得：，得a＝1，R＝2，則圓的方程為：（x﹣1）2+y2＝4．選③，設(shè)圓C：（x﹣a）2+y2＝R2（a＞0），由題意知，解得a＝1或a＝，又∵S＝πR2＜13，∴a＝1，∴圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：（x﹣1）2+y2＝4．（2）當(dāng)斜率不存在時(shí)，直線l為：x＝0不滿足題意．當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線l：y＝kx+3，A（x1，y1），B（x2，y2），又∵l與圓C相交于不同的兩點(diǎn)，聯(lián)立，消去y得：（1+k2）x2+（6k﹣2）x+6＝0，∴Δ＝（6k﹣2）2﹣24（1+k2）＝36k2﹣6k﹣5＞0，解得或，，，，，假設(shè)，則﹣3（x1+x2）＝y(tǒng)1+y2，∴，解得，假設(shè)不成立．∴不存在這樣的直線l．11．已知中心在原點(diǎn)、焦點(diǎn)在x軸上的圓錐曲線E的離心率為2，過E的右焦點(diǎn)F作垂直于x軸的直線，該直線被E截得的弦長(zhǎng)為6．（1）求E的方程；（2）若面積為3的△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)均在E上，邊BC過F，邊AB過原點(diǎn)，求直線BC的方程；（3）已知M（1，0），過點(diǎn)的直線l與E在y軸的右側(cè)交于不同的兩點(diǎn)P，Q，l上是否存在點(diǎn)S滿足，且|SM|2+|SF|2＝13？若存在，求點(diǎn)S的橫坐標(biāo)的取值范圍，若不存在，請(qǐng)說明理由．解：（1）圓錐曲線E的離心率為2，故E為雙曲線，因?yàn)镋中心在原點(diǎn)、焦點(diǎn)在x軸上，所