考向23 平面向量的概念及線性運算（重點）-備戰(zhàn)2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點微專題（新高考地區(qū)專用）

考向23平面向量的概念及線性運算1．（2021·全國高考真題（文））已知向量，若，則_________．【答案】【分析】利用向量平行的充分必要條件得到關(guān)于的方程，解方程即可求得實數(shù)的值.【詳解】由題意結(jié)合向量平行的充分必要條件可得：，解方程可得：.故答案為：.2．（2020·天津高考真題）如圖，在四邊形中，，，且，則實數(shù)的值為_________，若是線段上的動點，且，則的最小值為_________．【答案】【分析】可得，利用平面向量數(shù)量積的定義求得的值，然后以點為坐標(biāo)原點，所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)點，則點（其中），得出關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)求得的最小值.【詳解】，，，，解得，以點為坐標(biāo)原點，所在直線為軸建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系，,∵，∴的坐標(biāo)為,∵又∵,則，設(shè)，則（其中），，，，所以，當(dāng)時，取得最小值.故答案為：；.【點睛】本題考查平面向量數(shù)量積的計算，考查平面向量數(shù)量積的定義與坐標(biāo)運算，考查計算能力，屬于中等題.1.解決向量的概念問題應(yīng)關(guān)注以下七點：(1)正確理解向量的相關(guān)概念及其含義是解題的關(guān)鍵．(2)相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性．(3)共線向量即平行向量，它們均與起點無關(guān)．(4)相等向量不僅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量未必是相等向量．(5)向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量．解題時，不要把它與函數(shù)圖象移動混為一談．(6)非零向量a與的關(guān)系：是a方向上的單位向量．(7)向量與數(shù)量不同，數(shù)量可以比較大小，向量則不能，但向量的模是非負(fù)實數(shù)，故可以比較大小2.平面向量線性運算問題的求解策略：(1)進(jìn)行向量運算時，要盡可能地將它們轉(zhuǎn)化到三角形或平行四邊形中，充分利用相等向量、相反向量，三角形的中位線及相似三角形對應(yīng)邊成比例等性質(zhì)，把未知向量用已知向量表示出來．(2)向量的線性運算類似于代數(shù)多項式的運算，實數(shù)運算中的去括號、移項、合并同類項、提取公因式等變形手段在線性運算中同樣適用．(3)用幾個基本向量表示某個向量問題的基本技巧：①觀察各向量的位置；②尋找相應(yīng)的三角形或多邊形；③運用法則找關(guān)系；④化簡結(jié)果..1.平面向量的相關(guān)概念名稱定義表示方法注意事項向量既有大小又有方向的量叫做向量；向量的大小叫做向量的長度(或模)向量或；?；蚱矫嫦蛄渴亲杂上蛄苛阆蛄块L度等于0的向量，方向是任意的記作零向量的方向是任意的單位向量長度等于1個單位的向量常用表示非零向量的單位向量是平行向量方向相同或相反的非零向量與共線可記為與任一向量平行或共線共線向量平行向量又叫共線向量相等向量長度相等且方向相同的向量兩向量只有相等或不等，不能比較大小相反向量長度相等且方向相反的向量的相反向量為2.向量的線性運算向量運算定義法則(或幾何意義)運算律加法求兩個向量和的運算交換律：a＋b＝b＋a；結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)減法求a與b的相反向量－b的和的運算a－b＝a＋(－b)數(shù)乘求實數(shù)λ與向量a的積的運算|λa|＝|λ||a|，當(dāng)λ>0時，λa與a的方向相同；當(dāng)λ<0時，λa與a的方向相反；當(dāng)λ＝0時，λa＝0λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb【知識拓展】共線向量定理向量a(a≠0)與b共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一的一個實數(shù)λ，使得.共線向量定理的主要應(yīng)用：(1)證明向量共線：對于非零向量a，b，若存在實數(shù)λ，使a=λb，則a與b共線．(2)證明三點共線：若存在實數(shù)λ，使，則A，B，C三點共線．(3)求參數(shù)的值：利用共線向量定理及向量相等的條件列方程(組)求參數(shù)的值．1．（2021·浙江高三其他模擬）已知為單位向量，向量滿足，則的最大值為（）A． B．2 C． D．32．（2021·全國高三其他模擬（文））菱形中，點為中點，則（）A． B．1 C． D．3．（2021·全國高三其他模擬）（多選題）下列說法正確的是（）A．若為平面向量，，則B．若為平面向量，，則C．若，，則在方向上的投影為D．在中，M是AB的中點，＝3，BN與CM交于點P，＝+，則λ＝2μ4．（2021·貴州省甕安中學(xué)高三其他模擬（文））如圖所示的平行四邊形ABCD中，為DC的中點，則____________.1．（2021·陜西西安中學(xué)高三其他模擬（文））如果平面向量，，那么下列結(jié)論中不正確的是（）A．B．C．，的夾角為180°D．向量在方向上的投影為2．（2021·大慶教師發(fā)展學(xué)院高三二模（文））已知向量，則x的值為（）A． B． C． D．3．（2021·全國高三其他模擬（理））點為的重心，設(shè)，則（）A． B． C． D．4．（2021·全國高三其他模擬）2000多年前，古希臘雅典學(xué)派的第三大算學(xué)家歐道克薩斯首先提出黃金分割．所謂黃金分割，指的是把長為L的線段分為兩部分，使其中一部分對于全部之比，等于另一部分對于該部分之比，黃金分割比為．其實有關(guān)“黃金分割”，我國也有記載，雖然沒有古希臘的早，但它是我國古代數(shù)學(xué)家獨立創(chuàng)造的．如圖，在矩形ABCD中，AC，BD相交于點O，BF⊥AC，DH⊥AC，AE⊥BD，CG⊥BD，，則（）A． B．C． D．5．（2021·湖南高三其他模擬）已知向量，滿足，，若與共線，則（）A．2 B．4 C． D．226．（2021·安徽高三其他模擬（文））在中，，，，則（）A． B．1 C．2 D．37．（2021·密山市第一中學(xué)高一其他模擬）（多選題）在中，有如下四個命題正確的有（）A．若，則為銳角三角形B．若，則的形狀為直角三角形C．內(nèi)一點G滿足，則G是的重心D．若，則點P必為的外心8．（2021·普寧市華僑中學(xué)高三二模）（多選題）如圖，已知點是平行四邊形的邊的中點，為邊上的一列點，連接交于，點滿足，其中數(shù)列是首項為的正項數(shù)列，是數(shù)列的前項和，則下列結(jié)論正確的是（）A． B．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列C． D．9．（2021·上海交大附中高三其他模擬）設(shè)向量，是與方向相反的單位向量，則的坐標(biāo)為__________.10．（2021·浙江鎮(zhèn)海中學(xué)高三其他模擬）已知平面向量，，，滿足，，且，則的取值范圍是___________．11．（2021·上海民辦南模中學(xué)高三三模）已知正六邊形，?分別是對角線?上的點，使得，當(dāng)___________時，??三點共線.12．（2021·遼寧實驗中學(xué)高三其他模擬）平面幾何中，角分線分對邊成比例定理是這樣的：在中，角C的平分線交對邊于點D，則，如圖，，，，，則面積的最大值為___________.1．（2012·全國高考真題（文））中，邊的高為，若，，，，，則（)A． B． C． D．2．（2020·海南高考真題）在中，D是AB邊上的中點，則=（）A． B． C． D．3．（2018·全國高考真題（文））在△中，為邊上的中線，為的中點，則A． B．C． D．4．（2017·全國高考真題（文））設(shè)非零向量，滿足，則A．⊥ B．C．∥ D．5．（2017·北京高考真題（文））設(shè)m,n為非零向量，則“存在負(fù)數(shù)，使得”是“”的A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件6．（2014·福建高考真題（文））設(shè)M為平行四邊形ABCD對角線的交點，O為平行四邊形ABCD所在平面內(nèi)任意一點，則等于A． B． C． D．7．（2016·全國高考真題（文））已知向量，且，則___________.8．（2015·全國高考真題（理））設(shè)向量，不平行，向量與平行，則實數(shù)_________．9．（2016·上海高考真題（理））如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為正八邊形的中心，.任取不同的兩點，點P滿足，則點P落在第一象限的概率是_____________.10．（2019·浙江高考真題）已知正方形的邊長為1，當(dāng)每個取遍時，的最小值是________；最大值是_______.1．【答案】B【分析】由得，說明的終點的軌跡是以的終點為圓心，為半徑的圓，的最大值是圓心與的終點之間的距離加上半徑，即為，再將其化成，的模和夾角可解得．【詳解】解：由得，說明的終點的軌跡是以的終點為圓心，為半徑的圓，的最大值是圓心與的終點之間的距離加上半徑，即為，，（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）．故選：．【點睛】本題考查平面向量數(shù)量積及向量模的計算，解答的關(guān)鍵是根據(jù)式子的幾何意義轉(zhuǎn)化計算；2．【答案】B【分析】由線性運算以及數(shù)量積的運算性質(zhì)得，再根據(jù)菱形的幾何關(guān)系，，則為等邊三角形，所以，代入數(shù)量積公式即可得解.【詳解】因為菱形中，所以，因為點為中點，則，故選：B.3．【答案】CD【分析】利用向量共線的概念判斷A、B，；利用向量數(shù)量積的定義可判斷C；利用向量共線的推論即可判斷D.【詳解】A，若，則與任意向量共線，所以與不一定平行，故A錯誤；B，若，則，，當(dāng)共面時，，若不共面時，與不平行，故B錯誤；C，若，則，所以，在方向上的投影為，故C正確；D，，設(shè),則，設(shè)，則，即，①，設(shè)，，，即，②由①②可得，，即，故D正確.故選：CD4．【答案】【分析】先用的線性組合表示出，然后根據(jù)向量的數(shù)量積運算結(jié)合向量模長以及夾角求解出的值.【詳解】因為為中點，所以，所以，所以，故答案為：.1．【答案】D【分析】直接利用向量的坐標(biāo)運算，向量的模，向量的夾角運算，向量在另一個向量上的投影的應(yīng)用判定選項的結(jié)論．【詳解】解：因為，，所以，對于A，因為，所以，故A正確；對于B，因為，故，故B正確；對于C，因為，所以與的夾角為180°，故C正確；對于D，在方向上的投影為：，，故D錯誤.故選：D.2．【答案】B【分析】根據(jù)向量的垂直關(guān)系寫出等式，再化簡計算求解參數(shù)的值.【詳解】

，即，

計算得：，所以選項B正確，選項ACD錯誤.故選：B.3．【答案】A【分析】根據(jù)向量加減的計算方法和重心的性質(zhì)即可得到答案.【詳解】解：由題意可知，故.故選：A.4．【答案】D【分析】由黃金分割比可得，結(jié)合矩形的特征可用表示出，再利用向量加減法法則及數(shù)乘向量運算法則即可作答.【詳解】在矩形ABCD中，由已知條件得O是線段EG中點，，因，由黃金分割比可得，于是得，即有，同理有，而，即，從而有，所以.故選：D5．【答案】A【分析】先根據(jù)向量共線求解出的值，然后根據(jù)向量的模長以及數(shù)量積采用先平方再開根號的方法求解出的大小.【詳解】因為與共線，所以，.又，，所以.故選：A.6．【答案】C【分析】根據(jù)向量的線性運算算出答案即可.【詳解】因為，因為，所以，即，所以.故選：C7．【答案】BC【分析】對于A，由可得角為銳角，從而可判斷，對于B，對兩邊平方化簡，再結(jié)合余弦定理可得結(jié)論，對于C，由向量加法和共線及三角形重心概念判斷，對于D，由向量運算性質(zhì)和三角形垂心概念可判斷【詳解】解：對于A，由，得，所以，所以角為銳角，但不能判斷三角形為銳角三角形，所以A錯誤，對于B，因為，所以，即，所以,得，因為，所以，所以三角形為直角三角形，所以B正確，對于C，因為，所以，所以（為的中點），所以三點共線，所以點在邊的中線上，同理，可得點在其它兩邊的中線上，所以G是的重心，所以C正確，對于D，因為，所以，,所以，所以點在邊的高上，同理可得點也在其它兩邊的高上，所以點為的垂心，所以D錯誤，故選：BC8．【答案】AB【分析】由平面向量線性運算和向量共線可得到，由此可確定遞推關(guān)系式，得到，由此確定B正確；利用等比數(shù)列通項公式求得，進(jìn)而得到，可確定AC正誤；利用分組求和法，結(jié)合等比數(shù)列求和公式可求得，知D錯誤.【詳解】為中點，，即，三點共線，，又，，化簡得：，，是以為首項，為公比的等比數(shù)列，B正確；，，C錯誤；則，A正確；，D錯誤.故選：AB.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查數(shù)列與向量的綜合應(yīng)用問題，解題關(guān)鍵是能夠根據(jù)平面向量的線性運算和向量共線的性質(zhì)推導(dǎo)得到數(shù)列的遞推關(guān)系式，由此構(gòu)造出所需的等比數(shù)列進(jìn)行求解.9．【答案】【分析】根據(jù)相反向量、向量模的概念，求得相反向量的坐標(biāo)及模長，即可求的坐標(biāo).【詳解】由相反向量為且模長為，∴.故答案為：10．【答案】【分析】由已知條件可得，兩邊平方后可求出，由從而可求出的取值范圍.【詳解】解：因為，所以，所以，則，即，所以，因為，則，所以取值范圍是.故答案為:【點睛】關(guān)鍵點睛:本題的關(guān)鍵是由求出的取值范圍.11．【答案】【分析】連結(jié)AD，交EC于G點，根據(jù)正六邊形的性質(zhì)，表示出，然后根據(jù)，表示成，由共線定理求得參數(shù)r的值.【詳解】連結(jié)AD，交EC于G點，設(shè)正六邊形邊長為a，由正六邊形的性質(zhì)知，，，G點為EC的中點，且，則，又，（），則，，故，即若B、M、N三點共線，由共線定理知，，解得或（舍）故答案為：【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的解題關(guān)鍵在于用向量表示，從而根據(jù)，把向量表示成，若B、M、N三點共線，由共線定理可以求得參數(shù).12．【答案】【分析】以為原點，所在的直線為軸建立直角坐標(biāo)系，根據(jù)三角形內(nèi)角平分線的性質(zhì)，得到，求得點的軌跡方程，結(jié)合三角形的面積公式，即可求解.【詳解】如圖所示，以為原點，所在的直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，因為，根據(jù)向量的運算，可得的內(nèi)角平分線，又由，，可得，即，所以，整理得，即，又由，所以面積的最大值為.故答案為：.1．【答案】D【詳解】試題分析：由，，可知2．【答案】C【分析】根據(jù)向量的加減法運算法則算出即可.【詳解】故選：C【點睛】本題考查的是向量的加減法，較簡單.3．【答案】A【分析】分析：首先將圖畫出來，接著應(yīng)用三角形中線向量的特征，求得，之后應(yīng)用向量的加法運算法則-------三角形法則，得到，之后將其合并，得到，下一步應(yīng)用相反向量，求得，從而求得結(jié)果.【詳解】根據(jù)向量的運算法則，可得，所以，故選A.【點睛】該題考查的是有關(guān)平面向量基本定理的有關(guān)問題，涉及到的知識點有三角形的中線向量、向量加法的三角形法則、共線向量的表示以及相反向量的問題，在解題的過程中，需要認(rèn)真對待每一步運算.4．【答案】A【詳解】由平方得，即，則，故選A.【點睛】本題主要考查了向量垂直的數(shù)量積表示，屬于基礎(chǔ)題.5．【答案】A【解析】試題分析：若，使，則兩向量反向，夾角是，那么；若，那么兩向量的夾角為，并不一定反向，即不一定存在負(fù)數(shù)，使得，所以是充分而不必要條件，故選A.【名師點睛】判斷充分必要條件的的方法：（1）根據(jù)定義，若，那么是的充分不必要條件，同時是的必要不充分條件；若，那么，互為充要條件；若，那么就是既不充分也不必要條件.（2）當(dāng)命題是以集合形式給出時，那就看包含關(guān)系，已知,若，那么是的充分不必要條件，同