新教材2021秋高中數(shù)學蘇教版必修第一冊學案：2.3 全稱量詞命題與存在量詞命題

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2.3全稱量詞命題與存在量詞命題

2.3.1全稱量詞命題與存在量同命題

'ffiIQ

京通過已知的數(shù)學實例.理解全稱景詞與存在量詞的意義

饞基礎認知?自主學習《

概念認知

1.全稱量詞與存在量詞

全稱量詞存在量詞

量“所有”“任意”“每一個'等表“存在”“有的”“有個”等表示部

詞示全體的詞分或個體的詞

符

用“Vx”表示“對任意x”用“小表k存在X”

2.全稱量詞命題與存在量詞命題

全稱量詞命題存在量詞命題

定含有毓量詞的命題稱為全稱含白存■仕量詞的命題稱為存■在:

義量詞命題量詞命題

表一般形式可表示為：vxWM,一般形式可表ZF為：mxWM,

示P（x）P（x）

自我小測

1.下列語句是存在量詞命題的是（）

A.整數(shù)n是2和5的倍數(shù)

B.存在整數(shù)n,使n能被7整除

C.x>7

D.VxGM,p（x）成立

選B.AC不是命題，B是存在量詞命題，D是全稱量詞命題.

2.下列命題中全稱量詞命題的個數(shù)是（）

①VxeR,x2>0;

②三xeR,x2<0；

③平行四邊形的對邊平行；

④矩形的任一組對邊相等.

A.1B.2C.3D.4

選C.①含有全稱量詞符號“V”，為全稱量詞命題，

②含有存在量詞符號"，為存在量詞命題，

③隱含著全稱量詞“所有”，為全稱量詞命題，

④隱含著全稱量詞“所有”，為全稱量詞命題.

3.下列存在量詞命題中,是假命題的是()

A.3xGZ,x2-2x-3=0

B.至少有一個xGZ，使x能同時被2和3整除

C.有的三角形沒有外接圓

D.2xGR，正=x

選C.A中，x=-1滿足題意,是真命題；B中，x=6滿足題意，是

真命題；C中，所有的三角形都有外接圓，是假命題.D中，當x=0

或1時，5=x,是真命題.

4.命題“自然數(shù)的平方大于零”是_______量詞命題(填“全稱”或“存

在”)，其省略的量詞是________.

自然數(shù)的平方大于零意思是說所有自然數(shù)的平方都大于零，故該命題

是全稱量詞命題，其省略的量詞是“所有”.

答案：全稱所有

5.給出下列命題：

⑴所有一次函數(shù)的圖象都是直線；

⑵對頂角相等；

(3)3xGR,x2-4x+4<0；

(4)對任意的整數(shù)x,5x-1是整數(shù).其中全稱量詞命題是_________

存在量詞命題是________.(填序號)

⑴含有全稱量詞“所有”，是全稱量詞命題；(2)省略了全稱量詞“所有"

是全稱量詞命題；(3)含有存在量詞符號“EI"，是存在量詞命題；(4)

含有全稱量詞"任意"是全稱量詞命題.

答案：⑴⑵(4)⑶

6.判斷下列命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題，并判斷其真假.

(1)對某些實數(shù)x,有2x+l>0.

(2)Vxe{3,5,7},3x+l是偶數(shù).

⑶存在實數(shù)x,五=-X.

(4)3xGQ,方程也x-2=0有解.

⑸至少有一個x￡R,使x能被5和8整除.

(1)命題中含有存在量詞“某些”，因此是存在量詞命題，是真命題.

⑵命題中含有全稱量詞的符號“V”，因此是全稱量詞命題.把3,5,

7分別代入3x+1,得10,16,22,都是偶數(shù)，因此，該命題是真命

題.

⑶存在量詞命題.當x<0時，火=-x,所以該命題為真命題.

(4)存在量詞命題.方程應x-2=0的解為xD曰Q,所以此命

題是假命題.

(5)存在量詞命題.因為40能被5和8整除，所以此命題是真命題.

》學情診斷?課時測評④

基礎全面練

一、單選題

1.(2021.煙臺高一檢測)命題“存在實數(shù)a，使方程x2+ax+1=0有實

根”是()

A.存在量詞命題，真命題

B.存在量詞命題，假命題

C.全稱量詞命題，真命題

D.全稱量詞命題，假命題

選A.命題是存在量詞命題，a=2時方程有根為1,故選A.

2.Wa2+b2+2ab=(a+b)2改寫成全稱量詞命題是()

A.3a,bGR,a2+b2+2ab=(a+b)2

B.3a<0,b>0,a2+b2+2ab=(a+b)2

C.Va>0,b>0,a2+b2+2ab=(a+b)2

D.Va,bGR,a2+b2+2ab=(a+b)2

選D.命題對應的全稱量詞命題為：

Va,b￡R,a2+b2+2ab=(a+b)2.

3.下列各命題中，真命題是()

A?VxeR,1-x2<0B.VxeN,x2>l

C?3xez,x3<1D.3xeQ,x2=2

選C.A是假命題，例如當x=OWR時,

1-x2=l>0；B是假命題，例如當x=O￡N時，

x2=0<l；C是真命題，例如當x=O￡Z時，

x3=O<l；D是假命題，x2=2解得X=±A^qQ.

4.以下四個命題既是存在量詞命題又是真命題的是（）

A.銳角三角形的內角是銳角或鈍角

B.至少有一個實數(shù)x，使x2<0

C.兩個無理數(shù)的和必是無理數(shù)

D.存在一個負數(shù)x,使:>2

A.

選B.A中銳角三角形的內角是銳角或鈍角是全稱量詞命題；B中x=

。時，x2=0,所以B既是存在量詞命題又是真命題；C中因為小+

（-?。?0,所以C是假命題；D中對于任意一個負數(shù)x,都有:<0,

所以D是假命題.

5.有下列四個命題：

①Vx￡R,收+1>0；②Vx￡{1,-1,0},2x+l>0；（3）3xGN,

x2<x；?2x￡N*,x為29的約數(shù).

其中真命題的個數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

選C.對于①，這是全稱量詞命題，因為代>0對任意實數(shù)都成立，

所以但+1>0,故①為真命題；

對于②，這是全稱量詞命題，因為當X=-1時，2x+1>0不成立,

故②為假命題；

對于③，這是存在量詞命題，當x=。或X=1時，有x2<x成立，故

③為真命題；

對于④，這是存在量詞命題，當X=1時，X為29的約數(shù)成立，所以

④為真命題.

6.若“任意xEx1<x<-^>,xgm”是真命題，則實數(shù)m的最小值為

()

A_1R.也I口也

/*.?2-15?2C?2?2

選D.因為“任意xGx1<x<^>,xgm”是真命題，所以mN手,

所以實數(shù)m的最小值為由.

二、多選題

7.下列語句是全稱量詞命題的是()

A.梯形的對角線相等

B.存在一個四邊形有外接圓

C.二次函數(shù)都與x軸相交

D.菱形的四條邊都相等

選ACD.對于A,可完整地表述為“所有梯形的對角線相等"很顯然

為全稱量詞命題；

對于B,含存在量詞，所以為存在量詞命題；

對于C,可完整地表述為“所有的二次函數(shù)都與x軸相交”，故為全稱

量詞命題；

對于D,可完整地表述為“任意菱形的四條邊都相等”，故為全稱量詞

命題.

8.（2021.南京高一檢測）下列命題正確的是（）

A.存在x<0,x2-2x-3=0

B.對一切實數(shù)x<0,都有|x|>x

C.VxGR,=x

D.已知an=2n,bm=3m,對于任意n,m￡N*,an^bm

選AB.因為*2-2*-3=0的根為*=-1或3,所以存在*=-1<0,

使x2-2x-3=0,故A為真命題；B顯然為真命題；C.R=|x|=

x,x>0,

<0,x=0,故C為假命題；

、-x,x<0,

D.當n=3,m=2時，a3=b2,故D為假命題.

三、填空題

9.給出下列命題：①y=:=xy=1；②矩形都不是梯形；(3)3x,y￡R,

x2+y2<l；④等腰三角形的底邊的高線、中線重合.其中全稱量詞命

題是________.

①②④是全稱量詞命題，③是存在量詞命題.

答案：①②④

10.若“存在xG{x|3<x<5},xNm”是真命題，則實數(shù)m的取值范圍是

當m<5時，“存在xe{x|3<x<5},xNm”是真命題.

答案：(-oo,5]

四、解答題

11.用符號“V”與今”表示下列含有量詞的命題，并判斷真假：

(1)實數(shù)都能寫成小數(shù)形式.

⑵有的有理數(shù)沒有倒數(shù).

⑶不論m取什么實數(shù)，方程x2+x-m=0必有實根.

(4)存在一個實數(shù)x,使X?+x+40.

(1)VaGR,a都能寫成小數(shù)形式，此命題是真命題.

(2)3xEQ,x沒有倒數(shù)，有理數(shù)0沒有倒數(shù)，故此命題是真命題.

(3)VmER,方程x2+x-m=0必有實根?

當m=-1時，方程無實根，是假命題.

(4)3x￡R,使x2+x+4<0.x2+x+4=[x+J?+號>0恒成立，所

以為假命題.

12.指出下列命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題，并判斷它們的

真假.

(1)存在兩個正實數(shù)x,y,使X?+y2=0.

(2)所有有兩個角是45。的三角形是等腰直角三角形.

⑶能被5整除的整數(shù)末位數(shù)是0.

(4)所有的二次函數(shù)的圖象都是開口向上的拋物線.

⑴是存在量詞命題，因為當x2+y2=0時，x=y=0,所以不存在x,

y為正實數(shù)，使x2+y2=0,故此命題是假命題.

⑵是全稱量詞命題，有兩個角是45。的三角形，第三個角必是直角，

所以此三角形是等腰直角三角形，故此命題是真命題.

⑶是全稱量詞命題，因為25能被5整除，但末位數(shù)不是0,因此該

命題是假命題.

(4)是全稱量詞命題，有的二次函數(shù)的圖象是開口向下的拋物線，所

以該命題是假命題.

綜合突破練

一、選擇題

1.下列命題中，存在量詞命題的個數(shù)是()

①實數(shù)的絕對值是非負數(shù)；

②正方形的四條邊相等；

③存在整數(shù)n,使n能被11整除.

A.1B.2C.3D.0

選A.①②是全稱量詞命題，③是存在量詞命題.

2.(2021.南通高一檢測)下列命題：①VxGR,-x2<0；②3xEQ,

x2=5；③3xGR,x2-x-1=0；@VxGN,x2^1.其中是真命題的

是(5

A.①③B.②④C.①④D.③

選D.命題①VxeR,-x2<0，當X=0時不成立，故錯誤；命題

@3xeQ,x2=5,由于x2=5的解為x=±^5為無理數(shù)，故錯誤；

命題③mxeR,x2-x-l=0,由于A=l+4=5>0,因此方程有解，

故正確；命題④當x=0時，不成立，④錯誤，

3.已知VxG[0,2],p>x；3xe[0,2],q>x.那么p,q的取值范圍

分別為()

A.p￡(0,+oo),qG(0,+oo)

B.pG(0,+oo),q￡(2,+oo)

C.p￡(2,+oo),qG(O,+oo)

D.p￡(2,+oo),q￡(2,+co)

選C.由Vxe[O,2],p>x；得p>2.

由mxG[0,2],q>x；得q>0.

所以p,q的取值范圍分別為(2,+oo),(0,+co).

二、填空題

4.下列命題：①VxGR,x2-3x+2>0恒成立；②mxGQ,x2=2；

③mxGR,x2+1=0；(4)VxGR,4x2>2x-1+3x?.其中真命題的個

數(shù)為.

①當x=l時，x2-3x+2=0,故①為假命題；②因為x=4時，

x2=2,而地為無理數(shù)，故②為假命題；③因為x2+l>0(x￡R)恒成

立，故③為假命題；④原不等式可化為x2-2x+1>0,即(x-1)2>0,

當x=1時(x-1)2=0,故④為假命題.

答案：0

5.命題“有些負數(shù)滿足不等式(1+x)(l-9x)>0"用叼”或“V”可表述為

答案：3x<0,(1+x)(l-9x)>0

三、解答題

6.指出下列命題中，哪些是全稱量詞命題，明喳是存在量詞命題，

并判斷真假.

(1)有的集合中存在兩個相