專題02 勾股定理的逆定理（三大類型）（題型專練）（解析版）-2024學(xué)年八年級數(shù)學(xué)上冊（蘇科版）

第第頁專題02勾股定理的逆定理（三大類型）【題型1直角三角形的判斷】【題型2勾股數(shù)的應(yīng)用】【題型3勾股定理的逆定理的應(yīng)用】【題型1直角三角形的判斷】1．（2023春?咸安區(qū)期中）以下列各組線段為邊作三角形，能構(gòu)成直角三角形的是（）A．6，12，13 B．6，8，9 C．3，4，5 D．5，12，15【答案】C【解答】解：A、62+122＝180≠132，不能構(gòu)成直角三角形，不符合題意；B、62+82＝100≠92，不能構(gòu)成直角三角形，不符合題意；C、32+42＝25＝52，能構(gòu)成直角三角形，符合題意；D、52+122＝169≠152，不能構(gòu)成直角三角形，不符合題意．故選：C．2．（2023春?紅安縣期中）△ABC中，∠A、∠B、∠C的對邊分別為a、b、c，下列條件中，不能判斷△ABC是直角三角形的是（）A．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 B．∠A+∠B＝∠C C．a(chǎn)＝32，b＝42，c＝52 D．a(chǎn)2﹣b2＝c2【答案】C【解答】解：A、∵∠A：∠B：∠C＝1：2：3，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠C＝180°×＝90°，∴△ABC是直角三角形，故A不符合題意；B、∵∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，∴2∠C＝180°，∴∠C＝90，∴△ABC是直角三角形，故B不符合題意；C、∵a2+b2＝81+256＝337，c2＝625，∴a2+b2≠c2，∴△ABC不是直角三角形，故C符合題意；D、∵a2﹣b2＝c2，∴c2+b2＝a2，∴△ABC是直角三角形，故D不符合題意；故選：C．3．（2023春?常德期中）已知△ABC的三邊長分別為a，b，c，選擇下列條件中的一個，①∠A＝∠B﹣∠C；②a2＝（b+c）（b﹣c）；③∠A：∠B：∠C＝3：4：5；④a：b：c＝1：：2．能判斷△ABC是直角三角形的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【解答】解：①∵∠A＝∠B﹣∠C，∴∠A+∠C＝∠B，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴2∠B＝180°，∴∠B＝90°，∴△ABC是直角三角形，符合題意；②∵a2＝（b+c）（b﹣c），∴a2＝b2﹣c2，∴a2+c2＝b2，∴△ABC是直角三角形，符合題意；③∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∴設(shè)∠A＝3x，則∠B＝4x，∠C＝5x，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴3x+4x+5x＝180°，∴x＝15°，∴5x＝75°，∴△ABC是銳角三角形，不符合題意；④∵a：b：c＝1：：2，12+（）2＝4＝22，∴△ABC是直角三角形，符合題意．故選：C．4．（2023春?吳忠校級期中）如圖，已知在△ABC中，CD⊥AB于點(diǎn)D，AC＝20，BC＝15，DB＝9．（1）求AD的長；（2）求證：△ABC是直角三角形．【答案】（1）16；（2）見解析．【解答】（1）解：∵CD⊥AB∴∠CDB＝∠CDA＝90°，在Rt△CDB中，∵BC＝15，DB＝9，∴CD＝＝12，在Rt△ACD中，∵AC＝20，CD＝12，∴AD＝＝＝16；（2）證明：在Rt△CDA中，CD2+AD2＝AC2，∴122+AD2＝202，∴AD＝16，∴AB＝AD+BD＝16+9＝25，∴AC2+BC2＝202+152＝625＝AB2，∴△ABC是直角三角形．5．（2023春?古田縣期中）如圖，在△ABC中，D是BC上一點(diǎn)，若AB＝20，BD＝12，AD＝16，AC＝34．（1）求證：△ABD是直角三角形；（2）求△ADC的面積．【答案】（1）見解析；（2）△ADC的面積為240．【解答】（1）證明：∵AB＝20，BD＝12，AD＝16，∴BD2+AD2＝122+162＝400，AB2＝202＝400，∴BD2+AD2＝AB2，∴△ABD是直角三角形，∴∠ADB＝90°；（2）解：∵∠ADB＝90°，∴∠ADC＝180°﹣∠ADB＝90°，∵AC＝34，AD＝16，∴CD＝＝＝30，∴△ADC的面積＝AD?CD＝×16×30＝240，∴△ADC的面積為240．6．（2023春?南寧期中）如圖，在△ABC中，CD⊥AB于點(diǎn)D，BC＝15，CD＝12，AD＝16．（1）求BD的長；（2）求△ABC的面積；（3）判斷△ABC的形狀．【答案】（1）BD的長為9；（2）△ABC的面積為150；（3）△ABC是直角三角形，理由見解答．【解答】解：（1）∵CD⊥AB，∴∠CDB＝90°，∵BC＝15，CD＝12，∴BD＝＝＝9，∴BD的長為9；（2）∵AD＝16，BD＝9，∴AB＝AD+BD＝16+9＝25，∵CD⊥AB，CD＝12，∴△ABC的面積＝AB?CD＝×25×12＝150，∴△ABC的面積為150；（3）△ABC是直角三角形，理由：在Rt△ACD中，AD＝16，CD＝12，∴AC＝＝＝20，∵AC2+BC2＝202+152＝625，AB2＝252＝625，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形．7．（2023春?新市區(qū)校級期中）如圖，在邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，△ABC的三個頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上．（1）證明△ABC是直角三角形；（2）求BC邊上的高．【答案】（1）證明見解答過程；（2）2．【解答】（1）證明：根據(jù)題意得，AB2＝12+22＝5，AC2＝22+42＝20，BC2＝32+42＝25，∴AB2+AC2＝BC2，∴△ABC是直角三角形；（2）解：如圖，過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，由（1）知，AB＝，AC＝2，BC＝5，∠BAC＝90°，∵AD⊥BC，∴S△ABC＝BC?AD＝AB?AC，∴AD＝＝＝2，即BC邊上的高為2．8．（2022秋?太倉市期末）如圖，△ABC中，AD⊥BC，垂足為D，BD＝1，AD＝2，CD＝4．（1）求證：∠BAC＝90°；（2）點(diǎn)P為BC上一點(diǎn)，連接AP，若△ABP為等腰三角形，求BP的長．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】（1）證明：△ABC是直角三角形，理由如下：∵AD⊥BC，AD＝2，BD＝1，∴AB2＝AD2+BD2＝5，又∵AD⊥BC，CD＝4，AD＝2，∴AC2＝CD2+AD2＝20，∵BC＝CD+BD＝5，∴BC2＝25，∴AC2+AB2＝25＝BC2，∴∠BAC＝90°，△ABC是直角三角形．（2）解：分三種情況：①當(dāng)BP＝AB時，∵AD⊥BC，∴AB＝＝，∴BP＝AB＝；②當(dāng)BP＝AP時，P是BC的中點(diǎn)，∴BP＝AB＝2.5；③當(dāng)AP＝AB時，BP＝2BD＝2；綜上所述：BP的長為或2或2.5．9．（2022秋?南陽期末）如圖，方格中小正方形的邊長為1，△ABC的三個頂點(diǎn)都在格點(diǎn)（網(wǎng)格線的交點(diǎn)）上．（1）請判斷△ABC是不是直角三角形，并說明理由．（2）求△ABC的面積．【答案】（1）△ABC不是直角三角形，理由見解答；（2）9．【解答】解：（1）△ABC不是直角三角形，理由如下：根據(jù)勾股定理，得BC2＝32+42＝25，AC2＝22+62＝40，AB2＝22+32＝13，∵AC2≠BC2+AB2，∴△ABC不是直角三角形；（2）．故△ABC的面積是9．10．（2023春?岫巖縣期中）如圖，正方形網(wǎng)格中的每個小正方形的邊長都是1，每個小格的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，小明以格點(diǎn)為頂點(diǎn)畫出了△ABC．（1）小華看了看說，△ABC是直角三角形，你同意他的觀點(diǎn)嗎？說明理由；（2）在△ABC中，求AC邊上高的長．【答案】（1）同意他的觀點(diǎn)，理由見解答；（2）．【解答】解：（1）我同意他的觀點(diǎn)，理由：由勾股定理得：AB＝＝，BC＝＝，AC＝＝2，∴AB2+BC2＝20＝AC2，∴△ABC是直角三角形；（2）由（1）知：△ABC是直角三角形，AB＝BC＝，∠ABC＝90°，設(shè)AC邊上高的長為h，∴△ABC的面積為：AB?BC＝?AC?h，∴××＝×2h，∴h＝，即AC邊上高的長為．11．（2023春?樂陵市期中）如圖所示的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長為1．求：（1）分別求出邊AB、AC、BC的長度，并計算△ABC的周長；（2）判斷△ABC的形狀，并說明理由．【答案】（1），，2，3+；（2）直角三角形．【解答】解：（1）由勾股定理得：AB＝＝，AC＝＝，BC＝＝＝2，△ABC的周長＝AB+AC+BC＝++2＝3+；（2）△ABC是直角三角形，理由是：∵AB＝，AC＝，BC＝，∴AB2+BC2＝13+52＝65，AC2＝65，∴AB2+BC2＝AC2，即△ABC的形狀是直角三角形．【題型2勾股數(shù)的應(yīng)用】12．（2023春?合肥期末）下列各組數(shù)為勾股數(shù)的是（）A．3，4，5 B．5，10，12 C．0.6，0.8，1 D．8，15，16【答案】A【解答】解：A、32+42＝52，能構(gòu)成直角三角形，故是勾股數(shù)，符合題意；B、52+102≠122，不能構(gòu)成直角三角形，故不是勾股數(shù)，不符合題意；C、0.6，0.8不是正整數(shù)，故不是勾股數(shù)，不符合題意；D、82+152≠162，不能構(gòu)成直角三角形，故不是勾股數(shù)，不符合題意．故選：A．13．（2023春?懷寧縣期中）下列各組數(shù)中，屬于勾股數(shù)的一組是（）A．3，4， B．9，40，41 C．0.9，1.2，1.5 D．，，【答案】B【解答】解：直角三角形三邊a、b、c滿足a2+b2＝c2的關(guān)系其中c最大．選項(xiàng)A有根號，不是勾股數(shù)，故選項(xiàng)A錯誤，不符合題意；選項(xiàng)B中92+402＝412，且9，40，41均為正整數(shù)，故選項(xiàng)B正確，符合題意；選項(xiàng)C中0.92+1.22＝1.52，符合勾股定理，但不是正整數(shù)，故選項(xiàng)C錯誤，不符合題意；選項(xiàng)D中，不符合勾股數(shù)，故選項(xiàng)D錯誤，不符合題意．故選：B．14．（2023春?新會區(qū)校級期中）下列各組數(shù)中，是勾股數(shù)的是（）A．2，3，4 B．4，5，6 C．3，4，5 D．，，【答案】C【解答】解：A、22+32≠42，不能構(gòu)成直角三角形，不合題意；B、42+52≠62，不能構(gòu)成直角三角形，不合題意；C、32+42＝52，能構(gòu)成直角三角形，符合題意；D、三邊長，，都不是正整數(shù)，不是勾股數(shù)，不合題意；故選：C．15．（2023春?廬江縣期中）如表中a，b，c組成的五組“勾股數(shù)”反映出一定的規(guī)律，那么當(dāng)a＝90時，按此規(guī)律b的值為（）a68101214…b815243548…c1017263750…A．2022 B．2023 C．2024 D．2025【答案】C【解答】解：從表中可知：a依次為6，8，10，12，14，16，18，20，22，24，…，即90＝2×（43+2），b依次為8，15，24，35，48，…，即當(dāng)a＝90時，b＝452﹣1＝2024．故選：C．16．（2023?韓城市二模）《九章算術(shù)》提供了許多勾股數(shù)，如（3，4，5），（5，12，13）等，其中一組勾股數(shù)中最大的數(shù)稱為“弦數(shù)”．經(jīng)研究，若m是大于1的奇數(shù)，把它平方后拆成相鄰的兩個整數(shù)，則m與這兩個數(shù)組成勾股數(shù)；若m是大于2的偶數(shù)，把它除以2后再平方，然后用這個平方數(shù)分別減1，加1，得到兩個整數(shù)，則m與這兩個數(shù)組成勾股數(shù)．根據(jù)上面的規(guī)律，由8生成的勾股數(shù)的“弦數(shù)”是17．【答案】17．【解答】解：把由8生成的勾股數(shù)的“弦數(shù)”記為A，∴（）2＝16，16﹣1＝15，16+1＝17，故A＝17．故答案為：17．17．（2023?長安區(qū)二模）勾股定理最早出現(xiàn)在商高的《周髀算經(jīng)》：“勾廣三，股修四，經(jīng)隅五”，觀察下列各組勾股數(shù)：3，4，5；5，12，13；6，8，10；7，24，25；8，15，17；…，我們發(fā)現(xiàn)，當(dāng)一組勾股數(shù)的勾為2m（m≥3，m為正整數(shù)）時，它的股、經(jīng)分別為m2﹣1和m2+1．若一組勾股數(shù)的勾為26，則經(jīng)為170．【答案】170．【解答】解：∵一組勾股數(shù)的勾為2m（m≥3，m為正整數(shù)），2m＝26，∴m＝13，∴經(jīng)為m2+1＝132+1＝170．故答案為：170．18．（2023春?滑縣期中）有一組勾股數(shù)，知道其中的兩個數(shù)分別是24和7，則第三個數(shù)是25．【答案】25．【解答】解：設(shè)第三個數(shù)為x，∵是一組勾股數(shù)，∴①x2+72＝242，解得：x＝（不合題意，舍去），②242+72＝x2，解得：x＝25，故答案為：25．19．（2023?茅箭區(qū)校級模擬）觀察以下幾組勾股數(shù)，并尋找規(guī)律：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；?請你寫出有以上規(guī)律的第⑤組勾股數(shù)：11，60，61．【答案】11，60，61．【解答】解：經(jīng)觀察，可以發(fā)現(xiàn)第①組勾股數(shù)的第一個數(shù)是奇數(shù)3，第②勾股數(shù)的第一個數(shù)是5，…，故第⑤組勾股數(shù)的第一個數(shù)是11，第6組勾股數(shù)的第一個數(shù)是13，又發(fā)現(xiàn)每一組勾股數(shù)的第二、第三個數(shù)相差1，故設(shè)第二個數(shù)為x，第三個數(shù)為x+1，根據(jù)勾股定理的逆定理，得：112+x2＝（x+1）2，解得x＝60．則得第5組數(shù)是：11，60，61．故答案為：11，60，61．20．（2022春?盂縣期中）勾股定理a2+b2＝c2本身就是一個關(guān)于a、b、c的方程，顯然這個方程有無數(shù)組解，滿足該方程的正整數(shù)解（a，b，c）通常叫做勾股數(shù)組．若直角三角形的邊長都是正整數(shù)，則這三個數(shù)便構(gòu)成一組勾股數(shù)．在學(xué)習(xí)“勾股數(shù)”的知識時，愛思考的小琦發(fā)現(xiàn)了一組有規(guī)律的勾股數(shù)，并將它們記錄在如下的表格中：a68101214…b815243548…c1017263750…則當(dāng)a＝20時，b+c的值為200．【答案】200．【解答】解：根據(jù)表中數(shù)據(jù)可得：（10+8）÷6＝3，（17+15）÷8＝4，（26+24）÷10＝5，∴，∴當(dāng)a＝20時，．故答案為：200．21．（2022秋?萊西市期末）勾股定理a2+b2＝c2本身就是一個關(guān)于a，b，c的方程，滿足這個方程的正整數(shù)解（a，b，c）通常叫做勾股數(shù)組畢達(dá)哥拉斯學(xué)派提出了一個構(gòu)造勾股數(shù)組的公式，根據(jù)該公式可以構(gòu)造出如下勾股數(shù)組：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），……分析上面勾股數(shù)組可以發(fā)現(xiàn)，4＝1×（3+1），12＝2×（5+1），24＝3×（7+……分析上面規(guī)律，第5個勾股數(shù)組為（11，60，61）．【答案】（11，60，61）．【解答】解：由勾股數(shù)組：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25）…中，4＝1×（3+1），12＝2×（5+1），24＝3×（7+1），…可得第4組勾股數(shù)中間的數(shù)為4×（9+1）＝40，即勾股數(shù)為（9，40，41）；第5組勾股數(shù)中間的數(shù)為：5×（11+1）＝60，即（11，60，61），故答案為：（11，60，61）．【題型3勾股定理的逆定理的應(yīng)用】22．（2023春?永定區(qū)期中）如圖所示的一段樓梯，高BC是3米，斜邊AB長是5米，現(xiàn)打算在樓梯上鋪地毯，至少需要地毯的長度為（）A．5米 B．6米 C．7米 D．8米【答案】C【解答】解：∵△ABC是直角三角形，BC＝3m，AB＝5m∴AC＝＝4（m），∴如果在樓梯上鋪地毯，那么至少需要地毯為AC+BC＝7米，故選：C．23．（2023春?瓦房店市期中）如圖，一只小鳥從樹尖C點(diǎn)徑直飛向塔尖A處．已知樹高6米，塔高12米，樹與塔的水平距離為8米，則小鳥飛行的最短距離為（）?A．8米 B．10米 C．11米 D．12米【答案】B【解答】解：由題意可知，CD＝6米，AB＝12米，BD＝8米，如圖，過點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E，連接AC，則BE＝CD＝6米，CE＝BC＝8米，∴AE＝AB﹣BE＝12﹣6＝6（米），在Rt△ACE中，由勾股定理得：AC＝＝＝10（米），即小鳥飛行的最短距離為10米，故選：B．24．（2023春?西和縣期中）第27屆LG杯世界棋王賽決賽將于2023年2月舉行，這也是2023年第一個世界圍棋大賽決賽．如圖是一個圍棋棋盤的局部，若棋盤是由邊長均為1的小正方形組成的，則黑、白兩棋子的距離為（）A． B． C． D．5【答案】D【解答】解：黑、白兩棋子的距離＝＝5．故選：D．25．（2023?鄖西縣一模）已知釣魚桿AC的長為10米，露在水上的魚線BC長為6m，某釣魚者想看看魚鉤上的情況，把魚竿AC轉(zhuǎn)動到AC?的位置，此時露在水面上的魚線B?C?長度為8米，則BB?的長為（）A．4米 B．3米 C．2米 D．1米【答案】C【解答】解：在Rt△ABC中，AC＝10m，BC＝6m，∴AB＝＝＝8（m），在Rt△AB′C′中，AC′＝10m，B′C′＝8m，∴AB′＝＝6（m），∴BB′＝AB﹣AB′＝8﹣6＝2（m）；故選：C．26．（2023春?海淀區(qū)校級期中）如圖所示的圓柱形杯子的內(nèi)直徑為6cm，內(nèi)部高度為9cm，小穎把一根直吸管放入杯中，要使吸管不斜滑到杯里，則吸管的長度（整厘米數(shù)）最短是（）A．9cm B．10cm C．11cm D．12cm【答案】C【解答】解：吸管長度為，所以吸管的最短整數(shù)是11cm，故選：C．27．（2023春?通榆縣期中）如圖，《九章算術(shù)》中記載：今有立木，系索其末，委地三尺，引素卻行，去本八尺而索盡，問素長幾何？譯文：今有一豎直著的木柱，在木柱的上端系有繩索，繩索從木柱的上端順木柱下垂后堆在地面的部分有三尺（繩子比木柱長3尺），牽著繩索退行，在距木柱底部8尺（BC＝8）處時而繩索用盡，求木柱的長．【答案】木柱的長為尺．【解答】解：設(shè)木柱的長為x尺，則繩索長為（x+3）尺，根據(jù)題意得：x2+82＝（x+8）2，解得x＝．∴木柱的長為尺．28．（2023春?廣元月考）已知一架5m長的梯子斜靠在一豎直的墻上，這時梯足距墻腳3m，若梯子的頂端下滑1m，則梯足將滑動多遠(yuǎn)？【答案】1米．【解答】解：在直角三角形△ABO中，根據(jù)勾股定理可得，，如果梯子的頂度端下滑1米，則OA′＝4﹣1＝3m．在直角三角形A′B′O中，根據(jù)勾股定理得到：OB′＝4m，則梯子滑動的距離就是OB′﹣OB＝4﹣3＝1m．29．（2023春?陜州區(qū)期中）《九章算術(shù)》“勾股”章有一題：“今有開門去閫（kun）一尺，不合二寸，問門廣幾何．”大意是說：今推開雙門，門框距離門檻1尺，雙門間的縫隙為2寸，那么門的寬度（兩扇門的和）為多少尺？【答案】10.1尺．【解答】解：由題意得：DC＝2寸＝0.2尺，AD＝AO＝BO＝BC，點(diǎn)D到AB的距離為1尺，設(shè)單扇門的寬度是x尺，根據(jù)勾股定理，得（x﹣0.1）2+12＝x2，解得x＝5.05，則2x＝10.1，∴門的寬度（兩扇門的和）為10.1尺．30．（2023春?瀘縣校級期中）如圖，有一塊土地形狀如圖所示，∠B＝90°，AB＝6米，米，CD＝15米，AD＝17米，（1）求線段AC的大?。唬?）請計算這塊土地的面積．【答案】（1）8米；（2）（6+60）平方米．【解答】解：（1）∵∠B＝90°，AB＝6米，米，∴AC＝＝＝8（米），即線段AC的長為8米；（2）∵AC＝8米，CD＝15米，AD＝17米，82+152＝172，∴AC2+CD2＝AD2，∴△ACD是直角三角形，且∠ACD＝90°，∴S四邊形ABD＝S△ABC+S△ACD＝AB?BC+AC?CD＝×6×2+×8×15＝（6+60）平方米，即這塊土地的面積為（6+60）平方米．31．（2023春?慶云縣期中）如圖，有一艘貨船和一艘客船同時從港口A出發(fā)，客船每小時比貨船多走5海里，客船與貨船速度的比為4：3，貨船沿南偏東80°方向航行，2小時后貨船到達(dá)B處，客船到達(dá)C處，若此時兩船相距50海里，求客船航行的方向．【答案】客船航行的方向?yàn)楸逼珫|10°．【解答】解：客船的速度為4x海里/小時，則貨船的速度為3x海里/小時，由題意得4x﹣3x＝5，解得x＝5，∴客船的速度為20海里/小時，則貨船的速度為15海里/小時，∵貨船沿南偏東80°方向航行，2小時后貨船到達(dá)B處，客船到達(dá)C處，∴AC＝20×2＝40海里，AB＝15×2＝30海里，∠BAE＝80°，又∵BC＝50海里，∴AC2+AB2＝BC2，∴∠BAC＝90°，∴∠CAF＝180°﹣90°﹣80°＝10°，∴客船航行的方向?yàn)楸逼珫|10°．32．（2023春?邢臺期中）如圖，經(jīng)過A村和B村（將A，B村看成直線l上的點(diǎn)）的筆直公路1旁有一塊山地正在開發(fā)，現(xiàn)需要在C處進(jìn)行爆破．已知C處與A村的距離為900米，C處與B村的距離為1200米，且AC⊥BC．（1）求A，B兩村之間的距離；（2）為了安全起見，爆破點(diǎn)C周圍半徑750米范圍內(nèi)不得進(jìn)入，在進(jìn)行爆破時，公路AB段是否有危險而需要封鎖？如果需要，請計算需要封鎖的路段長度；如果不需要，請說明理由．【答案】（1）A，B兩村之間的距離為1500米；（2）AB段公路需要封鎖，需要封鎖的路段長度為420米．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，AC＝900米，BC＝1200米，∴AB＝＝＝1500（米）．答：A，B兩村之間的距離為1500米；（2）公路AB有危險而需要封鎖．理由如下：如圖，過C作CD⊥AB于D．以點(diǎn)C為圓心，750米為半徑畫弧，交AB于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接CE，CF，∵S△ABC＝AB?CD＝BC?AC，∴CD＝＝＝720（米）．由于720米＜750米，故有危險，因此AB段公路需要封鎖．∴EC＝FC＝750米，∴ED＝＝210（米），故EF＝420米，則需要封鎖的路段長度為420米．33．（2023春?惠城區(qū)校級期中）如圖，鐵路上A，B兩點(diǎn)相距25km，C，D為兩村莊，DA⊥AB于點(diǎn)A，CB⊥AB于點(diǎn)B，已知DA＝15km，CB＝10km，現(xiàn)在要在鐵路AB上建一個土特產(chǎn)品收購站E，使得C，D兩村到E站的距離相等，則E站應(yīng)建在離A站多少km處？【答案】E站應(yīng)建在離A站10km處．【解答】解：∵使得C，D兩村到E站的距離相等，∴DE＝CE．∵DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，∴∠A＝∠B＝90°，∴AE2+AD2＝DE2，BE2+BC2＝EC2，∴AE2+AD2＝BE2+BC2，設(shè)AE＝x，則BE＝AB﹣AE＝（25﹣x）．∵DA＝15km，CB＝10km，∴x2+152＝（25﹣x）2+102，解得：x＝10，∴AE＝10km．答：E站應(yīng)建在離A站10km處．34．（2023春?海淀區(qū)校級期中）如圖，某住宅小區(qū)在施工后留下了一塊空地，已知AD＝4米，CD＝3米，AB＝13米，BC＝12米，∠ADC＝90°，小區(qū)為美化環(huán)境，欲在空地上鋪草坪．若草坪每平方米30元，則用該草坪鋪滿這塊空地需花費(fèi)多少元？【答案】720元．【解答】解：連接AC，在Rt△ACD中，∵AC2＝CD2+AD2＝32+42＝25，∴AC＝5，∵AC2+BC2＝52+122＝169，AB2＝132＝169，∴AC2+BC2＝AB2，∴∠ACB＝90°，該區(qū)域面積＝S△ACB﹣S△ACD＝×12×5﹣×3×4＝24（平方米），鋪滿這塊空地共需花費(fèi)＝24×30＝720元．35．（2023?灞橋區(qū)校級模擬）如圖，海中有一小島P，它的周圍12海里內(nèi)有暗礁，漁船跟蹤魚群由西向東航行，在M處測得小島P在北偏東60°方向上，航行16海里到N處，這時測得小島P在北偏東30°方向上．如果漁船不改變航線繼續(xù)向東航行，是否有觸礁危險，并說明理由．【答案】漁船不改變航線繼續(xù)向東航行，不會有觸礁危險，理由見解析．【解答】解：漁船不改變航線繼續(xù)向東航行，不會有觸礁危險，理由如下：過點(diǎn)P作PA⊥MN，交MN的延長線于點(diǎn)A，由題意得：∠PMA＝90°﹣60°＝30°，∠PNA＝90°﹣30°＝60°，∴∠APN＝90°﹣∠PNA＝30°，設(shè)AN＝x海里，則PN＝2x海里，∴AP＝＝＝x（海里），AM＝MN+AN＝（16+x）海里，∵∠PMA＝30°，∴PM＝2AP＝2x（海里），在Rt△MAP中，PM2＝AP2+AM2，即（2x）2＝（x）2+（x+16）2，解得：x1＝8，x2＝﹣4（不合題意，舍去）；∴AP＝x＝8（海里），∵（8）2＝192，122＝144，∴8＞12，∴漁船不改變航線繼續(xù)向東航行，不會有觸礁危險．36．（2023春?南寧月考）如圖，一根直立的旗桿高8m，因刮大風(fēng)旗桿從點(diǎn)C處折斷，頂部B著地且離旗桿底部A的距離為4m．（1）求旗桿距地面多高處折斷（AC）；（2）工人在修復(fù)的過程中，發(fā)現(xiàn)在折斷點(diǎn)C的下方1m的點(diǎn)D處，有一條明顯裂痕，將旗桿修復(fù)后，若下次大風(fēng)將旗桿從點(diǎn)D處吹斷，則距離旗桿底部周圍多大范圍內(nèi)有被砸傷的風(fēng)險？【答案】（1）旗桿距地面3m處折斷；（2）距離旗桿底部周圍m的范圍內(nèi)有被砸傷的風(fēng)險．【解答】（1）解：由題意，知AC+BC＝8m．因?yàn)椤螦＝90°，設(shè)AC長為xm，則BC長（8﹣x）m，則42+x2＝（8﹣x）2，解得x＝3．故旗桿距地面3m處折斷；（2）如圖．因?yàn)辄c(diǎn)D距地面AD＝3﹣1＝2（m），所以B'D＝8﹣2＝6（m），所以，所以距離旗桿底部周圍m的范圍內(nèi)有被砸傷的風(fēng)險．37．（2022秋?南關(guān)區(qū)校級期末）如圖，水池中離岸邊D點(diǎn)4米的C處，直立長著一根蘆葦，出水部分BC的長是2米，把蘆葦拉到岸邊，它的頂端B恰好落到D點(diǎn)，則水池的深度AC為多少米．【答案】3米．【解答】解：設(shè)水池的深度為x米，由題意得：x2+42＝（x+2）2，解得：x＝3．答：水池的深度為3米．38．（2022秋?棲霞市期末）新冠疫情期間，為了提高人民群眾防疫意識，很多地方的宣講車開起來了，大喇叭響起來了，宣傳橫幅掛起來了，電子屏亮起來了，電視、廣播、微信、短信齊上陣，防疫標(biāo)語、宣傳金句頻出，這傳遞著打贏疫情防控阻擊戰(zhàn)的堅(jiān)定決心．如圖，在一條筆直公路MN的一側(cè)點(diǎn)A處有一村莊，村莊A到公路MN的距離AB為800米，若宣講車周圍1000米以內(nèi)能聽到廣播宣傳，宣講車在公路MN上沿MN方向行駛．（1）請問村莊A能否聽到宣傳？請說明理由；（2）如果能聽到，已知宣講車的速度是300米/分鐘，那么村莊A總共能聽到多長時間的宣傳？【答案】（1）村莊能聽到宣傳；（2）村莊總共能聽到4分鐘的宣傳．【解答】解：（1）村莊能聽到宣傳，理由：∵村莊A到公路MN的距離為800米＜1000米，∴村莊能聽到宣傳；（2）如圖：假設(shè)當(dāng)宣講車行駛到P點(diǎn)開始