高斯小學(xué)奧數(shù)五年級(jí)上冊(cè)含答案-燕尾模型

第二十五講燕尾模型

高家村和司家莊之間有一個(gè)三角形的湖

高家村

>o

入oo5n<b

高宗村有3。。戶人家，司家莊有4。。戶人泉.于是兩村商定修一座堤壩，把湖,

分成兩部分，面積之比為3:4」

高泉村

然而幾年后，因?yàn)閲?guó)湖造田，湖水的面積縮小了。）

一~~2

I注：虛線指的是原來(lái)的湖的邊界）

村區(qū)認(rèn)為湖水面積發(fā)生了變化，應(yīng)該重產(chǎn)堤壩以作分配.為此兩個(gè)村長(zhǎng)】

O

應(yīng)該往面移!

你怎么看?

之前我們學(xué)過(guò)等高三角形的比例關(guān)系，如下左圖所示，△ABC被線段一分為二，且

有比例關(guān)系St:S2=a:b.

如下右圖所示，在增加了兩條線段后，圖中有4個(gè)小三角形，這4個(gè)小三角形的面積之

間的比例關(guān)系如圖中所示.

由于圖中的陰影部分看起來(lái)很像燕子的尾巴,所以這個(gè)圖形我們形象的把它稱為燕尾模

型.陰影部分我們稱之為燕尾形.

.S,邑E+S,BD

外比：」=」=」——=——

S2S452+S4CD

內(nèi)比.1=$2=-+邑=AO

.S3S4S3+S40D

例題1.

如圖，AD=6,CD=14,三角形ABE的面積是24,求三角形5EC的面積.

「分析」鼠醫(yī)=42,據(jù)此就可以求出△BEC的面積.

,△BCEDC

練習(xí)1.

已知三角形A8C中，三角形的面積是60,三角形AFC的面積是20,三角形8FC的面

積是56,求三角形尸和三角形的面積.

給出不同邊上的比例關(guān)系，我們就可以用“燕尾模型”解決三角形面積的問(wèn)題，下面我

們先看一個(gè)給出兩個(gè)外比的問(wèn)題.

練一練

根據(jù)下列圖中所給線段比例來(lái)標(biāo)注各部分的面積份數(shù).

外比：AD:DB=2:1外比：CD:DB=3:1

外比:AF:FC=1:1外比：AE:EC=1:3夕卜比：AE:EC=1:3

例題2.

如圖，△ABC的面積等于28平方厘米.其中AE=EC,BD:DC=3:1,求陰影三角形的

面積.

「分析」圖中并沒(méi)有燕尾模型，所以第一步需要把它構(gòu)造出來(lái).應(yīng)該連哪條線呢？

練習(xí)2.

在三角形A8C中，2AE=EB,AD=

有時(shí)題目給的不是兩個(gè)外比，而是一個(gè)內(nèi)比和一個(gè)外比，此時(shí)在利用燕尾模型解題的時(shí)

候，既需要由長(zhǎng)度的比推出面積的比，也需要由面積的比推出長(zhǎng)度的比.

這類問(wèn)題較簡(jiǎn)單的一類是已知的內(nèi)比和外比在同一個(gè)燕尾形中.

練一練

根據(jù)下列圖中所給線段比例來(lái)標(biāo)注各部分的面積份數(shù).

夕卜匕匕：AD:DC=\:2外比：AD:DC=1:1

內(nèi)比:BO:OD=1:1內(nèi)比:BO:OD=2A

例題3.

如圖，ZXABC中？BD:DC=1:3,陰影部分的面積占三角形ABC面積的幾分之幾?

「分析」這道題目屬于知道一外比和一內(nèi)比的第一種類型，

練習(xí)3

在三角形ABC中，AE=2EC,BF:FE=1A,陰影部分占△ABC的幾分之幾?

練一練

根據(jù)下列圖中所給線段比例來(lái)標(biāo)注各部分的面積份數(shù).

內(nèi)比：BO:OD=2:1內(nèi)比：BO:OD=3:1

例題4

如圖，△ABC中，AF=FD,AE=-AC,求四邊形CE/*的面積是三角形ABC的幾分之

3

幾.

「分析」這道題目屬于知道一外比和一內(nèi)比的第二種類型，按順序填份數(shù)就可以了.

練習(xí)4.

在三角形ABC中，AE=-EC,CF=3DF,四邊形AOFE的面積是三角形ABC的幾分之

2

有些圖形不能直接使用燕尾模型，我們需要添加輔助線后方可使用燕尾模型.

例題5.

如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)是6,E、尸分別是。C和邊的中點(diǎn)，陰影部分的面積是多

少？

「分析」連結(jié)AC,燕尾模型就出來(lái)了.

DEC

例題6.如圖，四邊形ABC。中，AB=3BE,AD=3AF,四邊形AE。尸的面積是12,BCDE

是平行四邊形.那么四邊形42。的面積是多少？

「分析」例題5中，我們通過(guò)連結(jié)正方形對(duì)角線構(gòu)造

出了燕尾模型.本題中，我們應(yīng)該連結(jié)哪條線段呢？

含有“燕”字的詩(shī)句

中國(guó)古代的詩(shī)句中，有很多都和燕子有關(guān)系。主要分為以下兩類：

一、表現(xiàn)春光的美好，傳達(dá)惜春之情。

相傳燕子于春天社日北來(lái)，秋天社日南歸，故很多詩(shī)人都把它當(dāng)做春天的象征加以美

化和歌頌。如“冥冥花正開(kāi)，闞闞燕新乳”（韋應(yīng)物《長(zhǎng)安遇馮著》），“燕子來(lái)時(shí)新社，

梨花落后清明”（晏殊《破陣子》），“鶯鶯燕燕春春，花花柳柳真真，事事豐豐韻韻”

（喬吉《天凈沙?即事》），“鳥(niǎo)啼芳樹(shù)丫，燕銜黃柳花”（張可久《憑欄人?暮春即事》），

南宋詞人史達(dá)祖更是以燕為詞，在《雙雙燕?詠燕》中寫(xiě)到：“還相雕梁藻井，又軟語(yǔ)商

量不定。飄然快拂花梢，翠尾分開(kāi)紅影?！睒O研盡態(tài)，形神俱似。春天明媚燦爛，燕子?jì)?/p>

小可愛(ài)，加之文人多愁善感，春天逝去，詩(shī)人自會(huì)傷感無(wú)限，故歐陽(yáng)修有“笙歌散盡游人

去，始覺(jué)春空。垂下簾桃，雙燕歸來(lái)細(xì)雨中”（《采桑子》）之慨嘆，喬吉有“燕藏春銜

向誰(shuí)家，鶯老羞尋伴，風(fēng)寒懶報(bào)衙（采蜜），啼煞饑?guó)f”（《水仙子》）之凄惶。

二、表現(xiàn)時(shí)事變遷，抒發(fā)昔盛今衰、人事代謝、亡國(guó)破家的感慨和悲憤。

燕子秋去春回，不忘舊巢，詩(shī)人抓住此特點(diǎn)，盡情宣泄心中的憤慨。最著名的當(dāng)屬劉禹

錫的《烏衣巷》：“朱雀橋邊野草花，烏衣巷口夕陽(yáng)斜。舊時(shí)王謝堂前燕，飛入尋常百姓家?！?/p>

另外還有晏殊的“無(wú)可奈何花落去，似曾相識(shí)燕歸來(lái)，小園香徑獨(dú)徘徊”（《浣溪沙》），李好

古的“燕子歸來(lái)銜繡幕，舊巢無(wú)覓處”（《謁金門(mén)?懷故居》），姜夔的“燕雁無(wú)心，太湖西畔，

隨云去。數(shù)峰清苦，商略黃昏雨”（《點(diǎn)絳唇》），張炎的“當(dāng)年燕子知何處，但苔深韋曲，草

暗斜川”（《高陽(yáng)臺(tái)》），文天祥的“山河風(fēng)景元無(wú)異，城郭人民半已非。滿地蘆花伴我老，舊

家燕子傍誰(shuí)飛？”（《金陵驛》）。燕子無(wú)心，卻見(jiàn)證了時(shí)事的變遷，承受了國(guó)破家亡的苦難,

表現(xiàn)了詩(shī)人的“黍離”之悲，負(fù)載可謂重矣。

作業(yè)1.如圖，三角形ABC中已知2個(gè)三角形的面積，BO=2OD,那么三角形A0。的面

積是多少？三角形8OC的面積是多少？

作業(yè)2.如圖，三角形ABC中，已知EC=2AE,BD.DC=2.1,請(qǐng)?jiān)趫D上標(biāo)出各個(gè)小三

角形的面積份數(shù).（即三角形COE、COD、BOD.,AOB的面積份數(shù)）

AA

L

BCB

第1題圖第2題圖

作業(yè)3.如圖，三角形ABC的面積是30,AE=EC,BC=3DC,那么三角形AEF的面積

是多少？

作業(yè)4.在△ABC中，CE=3AE,尸是A。的中點(diǎn)，△ABC的面積是1,則陰影部分的面

積是多少？

作業(yè)5.在△ABC中，BD:DC=3:2,AE:CE=3I,QB與O￡的比是多少？

AAA

「A、A

BDCBDC

第3題圖第4題圖第5題圖

第二十五講燕尾模型

例題1.答案：56

AABS

S_A。SXS56

詳解:ACBE=—^ABE='

S△ACUREFCD

例題2.答案：12

詳解：連結(jié)CF,設(shè)&CFE面積為1份，如圖所示標(biāo)份

數(shù)，可得s詡------------------------X28=12平方厘米.

1+1+6+4.5+1.5

例題3.答案：-

5

詳解：連結(jié)CE,如圖所示標(biāo)份數(shù).可知陰影的面

積占三角形ABC面積的L.

5

BD

例題4.答案：』

12

詳解：連結(jié)CF,如圖所示標(biāo)份數(shù).可知四邊形COD占

三角形A8C的

12

例題5.答案：24

詳解：設(shè)AC和CP的交點(diǎn)為0,連結(jié)0。，連結(jié)AC.設(shè)△AF0的面積為1,標(biāo)出份數(shù).可

看出三角形AOC的面積是三角形ACD的,，則三角形AOC的面積是正方形的

3

111117?

-x-=-.所以陰影部分是正方形的乙+_1=女，面積是62乂4=24.

2366233

例題6.答案：56