經(jīng)典大學(xué)高數(shù)試題下集錦

1．（3分）若,則.3.（3分）微分方程的通解為.1.（4分）級數(shù)為().(A)發(fā)散(B)條件收斂(C)絕對收斂(D)收斂性不確定3.（4分）二重積分在極坐標(biāo)系下的面積元素為（）.(A)(B)(C)(D)4.（4分）若可微函數(shù)在點處取得極小值，,則下列結(jié)論中正確的是().一、1.3.二、1C;3B;4B.三、計算題（共12分）（6分）設(shè)求（6分）設(shè)由方程所確定，求四1.（6分）計算二重積分其中是由直線及所圍成的閉區(qū)域.3.（6分）在斜邊邊長為定數(shù)的直角三角形中,求有最大周長的直角三角形.六2.（6分）判別級數(shù)的斂散性.3.（6分）求冪級數(shù)的收斂半徑和收斂區(qū)間.七、計算題（共12分）（6分）求微分方程在初始條件下的特解.三、1解2分4分解方程兩邊求微分得3分3分四、1解畫圖1分原式2分2分1分1分3解設(shè)周長和兩個直角邊分別為則1分作輔助函數(shù)為1分由拉格朗日乘數(shù)法，2分解之得唯一可能的極值點由問題本身的性質(zhì)可知最大值一定存在，并在該點處取得，既當(dāng)兩個直角邊分別為，斜邊為時，周長最大.2分六、2解由比較判別法的極限形式1分2分而級數(shù)收斂,所以原級數(shù)收斂.3分3解2分1分又當(dāng)時原級數(shù)收斂,當(dāng)時原級數(shù)發(fā)散,2分所以原級數(shù)的收斂區(qū)間為1分七、1解特征方程為特征值是1分所以齊此方程的通解為1分因為是特征方程的單根，故可設(shè)特解為1分利用待定系數(shù)法可得1分于是原方程的通解為1分將初始條件代入上式得所求特解為1分填空題（共15分）1.(5分)微分方程的通解為.3.(5分)設(shè)其中可微,則.選擇題（共15分）1.(5分)若在處收斂，則此級數(shù)在處().(A)條件收斂;(B)絕對收斂;(C)發(fā)散;(D)收斂性不確定.2.(5分)是級數(shù)收斂的(). (A)充分條件;(B)必要條件;(C)充分必要條件;(D)既不充分也不必要的條件.三、解答題（共56分）1.（7分）已知曲線上P點處的切線平行于平面求P點的坐標(biāo).2.（7分）設(shè)f具有二階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù),求5.（7分）判別級數(shù)的斂散性.6.（7分）求冪級數(shù)的收斂域.8.（7分）試寫出微分方程的特解形式.一、(每小題4分);.二、(每小題4分)解答題1．(7分)解曲線在任一點的切向量為┄┄┄┄2分 已知平面的法向量為┄┄┄┄3分令得,┄┄┄┄5分于是所求點為┄┄┄┄7分2．(7分)解┄┄┄┄3分┄┄┄┄7分5．(7分)解(或當(dāng)時,┄┄┄┄2分而發(fā)散,發(fā)散.┄┄┄┄4分令則當(dāng)時且┄┄┄┄6分由萊布尼茲判別法可知原級數(shù)條件收斂.┄┄┄┄7分6．(7分)解┄┄┄┄3分又當(dāng)即時,級數(shù)收斂;┄┄┄┄5分當(dāng)即時,級數(shù)發(fā)散┄┄┄┄6分故原級數(shù)的收斂域為┄┄┄┄7分8.(7分)解特征方程為┄┄┄┄1分特征根為┄┄┄┄2分┄┄┄┄3分 是特征根,的一個特解形式為┄┄┄┄4分又不是特征根,的一個特解形式為┄┄┄┄5分故原方程的一個特解形式為┄┄┄┄6分填空題(每題4分,共16分)1.(4分)級數(shù)收斂的必要條件是.2.(4分)交換二次積分的次序=.3.(4分)微分方程的一個特解形式可以設(shè)為.選擇題(每題4分,共16分)2.(4分)級數(shù)為（）.A.絕對收斂;B.條件收斂;C.發(fā)散;D.收斂性不確定.4.(4分)冪級數(shù)的收斂半徑為().A.B.C.D.解答題(每題7分,共63分)(7分)設(shè)求.(7分)求,其中是平面被圓柱面截出的有限部分.(7分)求冪級數(shù)的收斂域.(7分)求微分方程在初始條件下的特解.(7分)求微分方程在初始條件下的特解.評分標(biāo)準(zhǔn)1.2.3.;4.1.C;2.A;3.D.4.D.1.解3分3分7分3.解1分2分4分6分7分4.解2分當(dāng)時收斂4分當(dāng)時發(fā)散6分收斂域為.7分7.解3分4分5分將代入上式得6分所求特解為7分一、

單項選擇題（6×3分）1、設(shè)直線，平面，那么與之間的夾角為(

)A.0

B.

C.

D.2、二元函數(shù)在點處的兩個偏導(dǎo)數(shù)都存在是在點處可微的（

）A.充分條件

B.充分必要條件C.必要條件

D.既非充分又非必要條件3、設(shè)函數(shù)，則等于（

）A.

B.C．

D.4、二次積分交換次序后為（

）A.

B.C.

D.5、若冪級數(shù)在處收斂，則該級數(shù)在處（

）A.絕對收斂

B.條件收斂C.發(fā)散

C.不能確定其斂散性6、設(shè)是方程的一個解，若，則在處（

）

A.某鄰域內(nèi)單調(diào)減少

B.取極小值

C.某鄰域內(nèi)單調(diào)增加

D.取極大值二、

填空題（7×3分）1、設(shè)＝（4，-3，4），＝（2，2，1），則向量在上的投影＝

2、設(shè)，，那么

3、D為，時，

5、函數(shù)展開為的冪級數(shù)為

6、＝

7、為通解的二階線性常系數(shù)齊次微分方程為

三、計算題(4×7分)1、設(shè)，其中具有二階導(dǎo)數(shù)，且其一階導(dǎo)數(shù)不為1，求。3、計算二重積分，其中5、求級數(shù)的和。五、證明題(6分)設(shè)收斂，證明級數(shù)絕對收斂。一、

單項選擇題（6×3分）1、

A

2、

C

3、

C

4、

B

5、

A

6、

D

二、

填空題（7×3分）1、2

2、3、

4、5、

6、0

7、

三、計算題(5×9分)1、解：令則，

故3、解：＝＝＝5、解：令則

，即

令，則有＝

五、證明題(6分)證明：

即

而與都收斂，由比較法及其性質(zhì)知：收斂故絕對收斂。一，單項選擇題（6×4分）1、直線一定(

)A.過原點且垂直于x軸

B.過原點且平行于x軸C.不過原點，但垂直于x軸

D.不過原點，但平行于x軸2、二元函數(shù)在點處①連續(xù)

②兩個偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)

③可微

④兩個偏導(dǎo)數(shù)都存在那么下面關(guān)系正確的是（

）A②③①

B.③②①C.③④①

D.③①④3、設(shè)，則等于（

）A.0

B.C.

D.4、設(shè)，改變其積分次序，則I＝（

）A.

B.C.

D.5、若與都收斂，則（

）A.條件收斂

B.絕對收斂C.發(fā)散

C.不能確定其斂散性6、二元函數(shù)的極大值點為（

）

A.(1,0)

B.(1,2)

C.(-3,0)

D.(-3,2)二、

填空題（8×4分）1、過點（1，3，－2）且與直線垂直的平面方程為2、設(shè)，則＝

3、設(shè)D：，，則

4、設(shè)為球面，則＝

5、冪級數(shù)的和函數(shù)為

6、以為通解的二階線性常系數(shù)齊次微分方程為

7、若收斂，則＝

8、平面上的曲線繞軸旋轉(zhuǎn)所得到的旋轉(zhuǎn)面的方程為

三、計算題(4×7分)1、設(shè)可微，由確定，求及。2、計算二重積分，其中。3、求冪級數(shù)的收斂半徑與收斂域。4、求曲線積分，其中是由所圍成區(qū)域邊界取順時針方向。四、綜合題(10分)

曲線上點的橫坐標(biāo)的平方是過點的切線與軸交點的縱坐標(biāo)，求此曲線方程。五、證明題(6分)設(shè)正項級數(shù)收斂，證明級數(shù)也收斂。一、

單項選擇題（6×4分）1、

A

2、

A

3、

C

4、

B

5、

B

6、

D

二、

填空題（8×4分）1、

2、

3、4

4、

5、

6、

7、1

8、

三、計算題(4×7分)1、解：令

2、解：＝＝

===3、解：令對于，當(dāng)時＝發(fā)散

當(dāng)時，＝也發(fā)散

所以在時收斂，在該區(qū)間以外發(fā)散，即解得故所求冪級數(shù)的收斂半徑為2，收斂域為（0，4）4、解：令，則，由格林公式得到＝＝

＝＝4四、綜合題(10分)

解：過的切線方程為：令X＝0，得

依題意有：即…………..(1)對應(yīng)的齊次方程解為令所求解為將代入（1）得：故（1）的解為：五、證明題(6分)證明：由于收斂，所以也收斂，而由比較法及收斂的性質(zhì)得：收斂。一、填空題（每小題3分，共計15分）1．設(shè)由方程確定，則。2．函數(shù)在點沿方向(4,0,-12)的方向?qū)?shù)最大。二、解答下列各題（每小題7分，共35分）設(shè)連續(xù)，交換二次積分的積分順序。解：計算二重積分，其中是由軸及圓周所圍成的在第一象限內(nèi)的區(qū)域。解：求微分方程的通解。解：的通解為。設(shè)原方程的一個特解，代入原方程，得。其通解為五、(10分)求在下的極值。解：令，得。，為極小值點。故在下的極小值點為，極小值為。六、(10分)求有拋物面與平面所圍立體的表面積。解：的面積為平面部分的面積為。故立體的表面積為。七、(10分)求冪級數(shù)的收斂區(qū)間與和函數(shù)。解：收斂區(qū)間為。設(shè)，。故。選擇題（共5小題，每題3分，共計15分）1.直線與平面的位置關(guān)系是（）（A）垂直（B）平行（C）直線在平面上（D）不確定2．下列說法正確的是（）（A）若、存在，則函數(shù)在點可微分.（B）若、存在，則函數(shù)在點連續(xù).（C）若函數(shù)在點可微，則函數(shù)在點連續(xù).（D）若、，則點是函數(shù)的極值點.3．交換二次積分的積分次序為（）（A）（B）（C）（D）4．冪級數(shù)的收斂區(qū)間是（）（A）（B）（C）（D）5．級數(shù)（）（A）絕對收斂（B）發(fā)散（C）條件收斂（D）不確定二、填空題（共5小題，每題3分，共計15分）1．向量與向量共線，且，則.2．3．函數(shù)，則.5．級數(shù)（填收斂或發(fā)散）.三、（本題8分）求與兩平面和的交線平行且過點的直線的方程.四、（共2小題，每題7分，共計14分）計算下列偏導(dǎo)數(shù).1．求函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)（其中具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)）.2．設(shè)，求及.五、（共2小題，每題7分，共計14分）計算下列重積分.1．計算，其中是由拋物線及直線所圍成的閉區(qū)域.2．，其中是由圓周及坐標(biāo)軸所圍成的在第一象限內(nèi)的閉區(qū)域.六、（本題12分）求函數(shù)的極值，并判斷是極小值還是