重難點(diǎn)06 二次函數(shù)圖象性質(zhì)及其綜合應(yīng)用（原卷版）-2024中考數(shù)學(xué)查缺補(bǔ)漏

重難點(diǎn)06二次函數(shù)圖象性質(zhì)及其綜合應(yīng)用考點(diǎn)一：二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)二次函數(shù)是中考三大函數(shù)中內(nèi)容最多，考察難度最大的一個(gè)函數(shù)。而二次函數(shù)的圖象更是其龐大內(nèi)容的核心，初中數(shù)學(xué)中需要我們?cè)敿?xì)的掌握拋物線的畫法、特征、性質(zhì)、與系數(shù)的關(guān)系、幾何變換等幾個(gè)方面的知識(shí)，進(jìn)而在多變的題型中快速找到解決它們的方法。題型01二次函數(shù)圖象與性質(zhì)易錯(cuò)點(diǎn)01：對(duì)于二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象：形狀：拋物線；對(duì)稱軸：直線；頂點(diǎn)坐標(biāo)：；其中拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)的縱坐標(biāo)與一元二次方程解法中的公式法的表達(dá)式比較相似，需要重點(diǎn)加以區(qū)分；易錯(cuò)點(diǎn)02：拋物線的增減性問(wèn)題，由a的正負(fù)和對(duì)稱軸同時(shí)確定，單一的直接說(shuō)y隨x的增大而增大（或減?。┦遣粚?duì)的，必須在確定a的正負(fù)后，附加一定的自變量x取值范圍；解題大招：對(duì)于上的各個(gè)點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，拋物線開口向上，圖象有最低點(diǎn)，函數(shù)有最小值，哪個(gè)點(diǎn)離對(duì)稱軸越近，哪個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)越??；當(dāng)時(shí)，拋物線開口向下，圖象有最高點(diǎn)，函數(shù)有最大值，哪個(gè)點(diǎn)離對(duì)稱軸越近，哪個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)越大；【中考真題練】1．（2023?臺(tái)州）拋物線y＝ax2﹣a（a≠0）與直線y＝kx交于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點(diǎn)，若x1+x2＜0，則直線y＝ax+k一定經(jīng)過(guò)（）A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限2．（2023?邵陽(yáng)）已知P1（x1，y1），P2（x2，y2）是拋物線y＝ax2+4ax+3（a是常數(shù)，a≠0）上的點(diǎn)，現(xiàn)有以下四個(gè)結(jié)論：①該拋物線的對(duì)稱軸是直線x＝﹣2；②點(diǎn)（0，3）在拋物線上；③若x1＞x2＞﹣2，則y1＞y2；④若y1＝y(tǒng)2，則x1+x2＝﹣2，其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)3．（2023?揚(yáng)州）已知二次函數(shù)y＝ax2﹣2x+（a為常數(shù)，且a＞0），下列結(jié)論：①函數(shù)圖象一定經(jīng)過(guò)第一、二、四象限；②函數(shù)圖象一定不經(jīng)過(guò)第三象限；③當(dāng)x＜0時(shí)，y隨x的增大而減??；④當(dāng)x＞0時(shí)，y隨x的增大而增大．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是（）A．①② B．②③ C．② D．③④4．（2023?安徽）下列函數(shù)中，y的值隨x值的增大而減小的是（）A．y＝x2+1 B．y＝﹣x2+1 C．y＝2x+1 D．y＝﹣2x+15．（2023?棗莊）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，對(duì)稱軸是直線x＝1，下列結(jié)論：①abc＜0；②方程ax2+bx+c＝0（a≠0）必有一個(gè)根大于2且小于3；③若（0，y1），（，y2）是拋物線上的兩點(diǎn)，那么y1＜y2；④11a+2c＞0；⑤對(duì)于任意實(shí)數(shù)m，都有m（am+b）≥a+b，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A．5 B．4 C．3 D．26．（2023?呼和浩特）關(guān)于x的二次函數(shù)y＝mx2﹣6mx﹣5（m≠0）的結(jié)論：①對(duì)于任意實(shí)數(shù)a，都有x1＝3+a對(duì)應(yīng)的函數(shù)值與x2＝3﹣a對(duì)應(yīng)的函數(shù)值相等．②若圖象過(guò)點(diǎn)A（x1，y1），點(diǎn)B（x2，y2），點(diǎn)C（2，﹣13），則當(dāng)x1＞x2＞時(shí)，＜0．③若3≤x≤6，對(duì)應(yīng)的y的整數(shù)值有4個(gè)，則﹣＜m≤﹣或≤m＜．④當(dāng)m＞0且n≤x≤3時(shí)，﹣14≤y≤n2+1，則n＝1．其中正確的結(jié)論有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)7．（2023?福建）已知拋物線y＝ax2﹣2ax+b（a＞0）經(jīng)過(guò)A（2n+3，y1），B（n﹣1，y2）兩點(diǎn)，若A，B分別位于拋物線對(duì)稱軸的兩側(cè)，且y1＜y2，則n的取值范圍是．8．（2023?北京）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，M（x1，y1），N（x2，y2）是拋物線y＝ax2+bx+c（a＞0）上任意兩點(diǎn)，設(shè)拋物線的對(duì)稱軸為x＝t．（1）若對(duì)于x1＝1，x2＝2，有y1＝y(tǒng)2，求t的值；（2）若對(duì)于0＜x1＜1，1＜x2＜2，都有y1＜y2，求t的取值范圍．【中考模擬練】1．（2024?虹口區(qū)二模）已知二次函數(shù)y＝﹣（x﹣4）2，如果函數(shù)值y隨自變量x的增大而減小，那么x的取值范圍是（）A．x≥4 B．x≤4 C．x≥﹣4 D．x≤﹣42．（2024?鄭州模擬）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx（a≠0）的圖象如圖所示，則一次函數(shù)y＝ax+b（a≠0）的圖象大致為（）A． B． C． D．3．（2024?霍邱縣模擬）函數(shù)y＝kx2﹣4x+3和y＝kx﹣k（k是常數(shù)，且k≠0）在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象可能是（）A． B． C． D．4．（2024?余姚市一模）已知點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）在二次函數(shù)y＝﹣x2+c（c＞0）的圖象上，點(diǎn)A，C是該函數(shù)圖象與正比例函數(shù)y＝kx（k為常數(shù)且k＞0）的圖象的交點(diǎn)．若x1＜0＜x2＜x3，則y1，y2，y3的大小關(guān)系為（）A．y3＜y2＜y1 B．y1＜y2＜y3 C．y2＜y1＜y3 D．y1＜y3＜y25．（2024?武威二模）已知二次函數(shù)y＝a（x+1）（x﹣m）（a為非零常數(shù)，1＜m＜2），當(dāng)x＜﹣1時(shí)，y隨x的增大而增大，則下列結(jié)論正確的是（）①若x＞2時(shí)，則y隨x的增大而減??；②若圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，1），則﹣1＜a＜0；③若（﹣2023，y1），（2023，y2）是函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)，則y1＜y2；④若圖象上兩點(diǎn)，對(duì)一切正數(shù)n．總有y1＞y2，則．A．①② B．①③ C．①④ D．③④6．（2024?福田區(qū)模擬）已知函數(shù)y＝|x2﹣4|的大致圖象如圖所示，對(duì)于方程|x2﹣4|＝m（m為實(shí)數(shù)），若該方程恰有3個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則m的值是．7．（2024?合肥模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，G（x1，y1）為拋物線y＝x2+4x+2上一點(diǎn)，H（﹣3x1+1，y1）為平面上一點(diǎn)，且位于點(diǎn)G右側(cè)．（1）此拋物線的對(duì)稱軸為直線；（2）若線段GH與拋物線y＝x2+4x+2（﹣6≤x＜1）有兩個(gè)交點(diǎn)，則的x1取值范圍是．8．（2024?碑林區(qū)校級(jí)一模）如圖，拋物線的對(duì)稱軸l與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B．（1）求點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；（2）C為該拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D為點(diǎn)C關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)（點(diǎn)D在點(diǎn)C的左側(cè)），點(diǎn)M在坐標(biāo)平面內(nèi)，請(qǐng)問(wèn)是否存在這樣的點(diǎn)C，使得四邊形ACMD是正方形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．題型02二次函數(shù)與幾何變換 易錯(cuò)點(diǎn)：拋物線平移步驟：①將一般式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式，②根據(jù)“左加右減（x），上加下減（整體）”來(lái)轉(zhuǎn)化平移所得函數(shù)解析式；解題大招：的軸對(duì)稱變換規(guī)律【中考真題練】1．（2023?無(wú)錫）將二次函數(shù)y＝2（x﹣1）2+2的圖象向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，所得函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（）A．（﹣1，2） B．（3，2） C．（1，3） D．（1，﹣1）2．（2023?徐州）在平面直角坐標(biāo)系中，將二次函數(shù)y＝（x+1）2+3的圖象向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，所得拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為（）A．y＝（x+3）2+2 B．y＝（x﹣1）2+2 C．y＝（x﹣1）2+4 D．y＝（x+3）2+43．（2023?西藏）將拋物線y＝（x﹣1）2+5平移后，得到拋物線的解析式為y＝x2+2x+3，則平移的方向和距離是（）A．向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度 B．向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移3個(gè)單位長(zhǎng)度 C．向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度 D．向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移3個(gè)單位長(zhǎng)度4．（2023?牡丹江）將拋物線y＝（x+3）2向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向右平移2或4個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到的新拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)．5．（2023?上海）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線y＝x+6與x軸交于點(diǎn)A，y軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)C在線段AB上，以點(diǎn)C為頂點(diǎn)的拋物線M：y＝ax2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，點(diǎn)C不與點(diǎn)B重合．（1）求點(diǎn)A，B的坐標(biāo)；（2）求b，c的值；（3）平移拋物線M至N，點(diǎn)C，B分別平移至點(diǎn)P，D，聯(lián)結(jié)CD，且CD∥x軸，如果點(diǎn)P在x軸上，且新拋物線過(guò)點(diǎn)B，求拋物線N的函數(shù)解析式．【中考模擬練】1．（2024?津市市一模）將二次函數(shù)y＝x2﹣6的圖象向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖象的解析式為（）A．y＝x2﹣2x﹣5 B．y＝x2+2x﹣9 C．y＝x2﹣2x﹣8 D．y＝x2+2x﹣52．（2024?秦都區(qū)一模）已知拋物線，拋物線C2與C1關(guān)于直線y＝l軸對(duì)稱，兩拋物線的頂點(diǎn)相距5，則m的值為（）A． B． C．或 D．或3．（2024?濟(jì)南模擬）將拋物線y＝（x+1）2的圖象位于直線y＝9以上的部分向下翻折，得到如圖圖象，若直線y＝x+m與此圖象有四個(gè)交點(diǎn)，則m的取值范圍是（）A．＜m＜7 B．＜m＜5 C．＜m＜9 D．＜m＜74．（2024?松江區(qū)二模）平移拋物線y＝x2+2x+1，使得平移后的拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，且頂點(diǎn)在第四象限，那么平移后的拋物線的表達(dá)式可以是.（只需寫出一個(gè)符合條件的表達(dá)式）5．（2024?新北區(qū)校級(jí)模擬）如圖，將拋物線y＝2（x+1）2+1繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得到新曲線，新曲線與直線y＝x交于點(diǎn)M，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為．6．（2024?廉江市一模）已知拋物線．（1）寫出拋物線C1的對(duì)稱軸：．（2）將拋物線C1平移，使其頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)O，得到拋物線C2，且拋物線C2經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣2，﹣2）和點(diǎn)B（點(diǎn)B在點(diǎn)A的左側(cè)），若△ABO的面積為4，求點(diǎn)B的坐標(biāo)．（3）在（2）的條件下，直線l1：y＝kx﹣2與拋物線C2交于點(diǎn)M，N，分別過(guò)點(diǎn)M，N的兩條直線l2，l3交于點(diǎn)P，且l2，l3與y軸不平行，當(dāng)直線l2，l3與拋物線C2均只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，請(qǐng)說(shuō)明點(diǎn)P在一條定直線上．題型03二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系解題大招01：二次函數(shù)圖象與系數(shù)a、b、c的關(guān)系a的特征與作用b的特征與作用(a與b“左同右異”）c的特征與作用解題大招02：二次函數(shù)圖象題符號(hào)判斷類問(wèn)題大致分為以下幾種基本情形∶①a、b、c單個(gè)字母的判斷，a由開口判斷，b由對(duì)稱軸判斷（左同右異），c由圖象與y軸交點(diǎn)判斷;②含有a、b兩個(gè)字母時(shí)，考慮對(duì)稱軸;③含有a、b、c三個(gè)字母，且a和b系數(shù)是平方關(guān)系，給x取值，結(jié)合圖像判斷，例如∶二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0），當(dāng)x=1時(shí)，y=a+b+c，當(dāng)x=-1時(shí)，y=a-b+c，當(dāng)x=2時(shí)，y=4a+2b+c當(dāng)x=-2時(shí)，y=4a-2b+c;另：含有a、b、c三個(gè)字母，a和b系數(shù)不是平方關(guān)系，想辦法消掉一到兩個(gè)字母再判斷∶④含有b2和4ac，考慮頂點(diǎn)坐標(biāo)，或考慮△.⑤其他類型，可考慮給x取特殊值，聯(lián)立方程進(jìn)行判斷;也可結(jié)合函數(shù)最值，圖像增減性進(jìn)行判斷?！局锌颊骖}練】1．（2023?營(yíng)口）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（﹣3，0）和點(diǎn)B（1，0），與y軸交于點(diǎn)C．下列說(shuō)法：①abc＜0；②拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝﹣1；③當(dāng)﹣3＜x＜0時(shí)，ax2+bx+c＞0；④當(dāng)x＞1時(shí)，y隨x的增大而增大；⑤am2+bm≤a﹣b（m為任意實(shí)數(shù)），其中正確的個(gè)數(shù)是（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)2．（2023?河北）已知二次函數(shù)y＝﹣x2+m2x和y＝x2﹣m2（m是常數(shù)）的圖象與x軸都有兩個(gè)交點(diǎn)，且這四個(gè)交點(diǎn)中每相鄰兩點(diǎn)間的距離都相等，則這兩個(gè)函數(shù)圖象對(duì)稱軸之間的距離為（）A．2 B．m2 C．4 D．2m23．（2023?阜新）如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為（3，0），對(duì)稱軸是直線x＝1，下列結(jié)論正確的是（）A．a(chǎn)bc＜0 B．2a+b＝0 C．4ac＞b2 D．點(diǎn)（﹣2，0）在函數(shù)圖象上4．（2023?東營(yíng)）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A，B，與y軸交于點(diǎn)C，對(duì)稱軸為直線x＝﹣1．若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣4，0），則下列結(jié)論正確的是（）A．2a+b＝0 B．4a﹣2b+c＞0 C．x＝2是關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一個(gè)根 D．點(diǎn)（x1，y1），（x2，y2）在拋物線上，當(dāng)x1＞x2＞﹣1時(shí)，y1＜y2＜05．（2023?恩施州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的對(duì)稱軸為x＝1，與x軸的一個(gè)交點(diǎn)位于（2，0），（3，0）兩點(diǎn)之間．下列結(jié)論：①2a+b＞0；②bc＜0；③a＜﹣c；④若x1，x2為方程ax2+bx+c＝0的兩個(gè)根，則﹣3＜x1?x2＜0；其中正確的有（）個(gè)．A．1 B．2 C．3 D．46．（2023?菏澤）若一個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)是橫坐標(biāo)的3倍，則稱這個(gè)點(diǎn)為“三倍點(diǎn)”，如：A（1，3），B（﹣2，﹣6），C（0，0）等都是“三倍點(diǎn)”．在﹣3＜x＜1的范圍內(nèi)，若二次函數(shù)y＝﹣x2﹣x+c的圖象上至少存在一個(gè)“三倍點(diǎn)”，則c的取值范圍是（）A．﹣≤c＜1 B．﹣4≤c＜﹣3 C．﹣≤c＜6 D．﹣4≤c＜57．（2023?廣安）如圖所示，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a、b、c為常數(shù)，a≠0）的圖象與x軸交于點(diǎn)A（﹣3，0），B（1，0）．有下列結(jié)論：①abc＞0；②若點(diǎn)（﹣2，y1）和（﹣0.5，y2）均在拋物線上，則y1＜y2；③5a﹣b+c＝0；④4a+c＞0．其中正確的有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)8．（2023?南充）拋物線y＝﹣x2+kx+k﹣與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為A（m，0），若﹣2≤m≤1，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（）A．≤k≤1 B．k≤﹣或k≥1 C．﹣5≤k≤ D．k≤﹣5或k≥9．（2023?聊城）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分圖象如圖所示，圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，2），其對(duì)稱軸為直線x＝﹣1．下列結(jié)論：①3a+c＞0；②若點(diǎn)（﹣4，y1），（3，y2）均在二次函數(shù)圖象上，則y1＞y2；③關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣1有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；④滿足ax2+bx+c＞2的x的取值范圍為﹣2＜x＜0．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)10．（2023?日照）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝ax2+bx（a≠0），滿足，已知點(diǎn)（﹣3，m），（2，n），（4，t）在該拋物線上，則m，n，t的大小關(guān)系為（）A．t＜n＜m B．m＜t＜n C．n＜t＜m D．n＜m＜t11．（2023?遂寧）拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，對(duì)稱軸為直線x＝﹣2．下列說(shuō)法：①abc＜0；②c﹣3a＞0；③4a2﹣2ab≥at（at+b）（t為全體實(shí)數(shù)）；④若圖象上存在點(diǎn)A（x1，y1）和點(diǎn)B（x2，y2），當(dāng)m＜x1＜x2＜m+3時(shí)，滿足y1＝y(tǒng)2，則m的取值范圍為﹣5＜m＜﹣2，其中正確的個(gè)數(shù)有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)12．（2023?青島）如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象與正比例函數(shù)y＝kx的圖象相交于A，B兩點(diǎn)，已知點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為﹣3，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為2，二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是直線x＝﹣1．下列結(jié)論：①abc＜0；②3b+2c＞0；③關(guān)于x的方程ax2+bx+c＝kx的兩根為x1＝﹣3，x2＝2；④k＝a．其中正確的是.（只填寫序號(hào)）13．（2023?南京）已知二次函數(shù)y＝ax2﹣2ax+3（a為常數(shù)，a≠0）．（1）若a＜0，求證：該函數(shù)的圖象與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn)．（2）若a＝﹣1，求證：當(dāng)﹣1＜x＜0時(shí)，y＞0．（3）若該函數(shù)的圖象與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn)（x1，0），（x2，0），且﹣1＜x1＜x2＜4，則a的取值范圍是．14．（2023?杭州）設(shè)二次函數(shù)y＝ax2+bx+1（a≠0，b是實(shí)數(shù)）．已知函數(shù)值y和自變量x的部分對(duì)應(yīng)取值如下表所示：x…﹣10123…y…m1n1p…（1）若m＝4，①求二次函數(shù)的表達(dá)式；②寫出一個(gè)符合條件的x的取值范圍，使得y隨x的增大而減?。?）若在m，n，p這三個(gè)實(shí)數(shù)中，只有一個(gè)是正數(shù)，求a的取值范圍．【中考模擬練】1．（2024?杭州一模）拋物線y＝ax2+bx+c的頂點(diǎn)為A（2，m），且經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（5，0），其部分圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）A．若拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（t，n），則必過(guò)點(diǎn)（t+4，n） B．若點(diǎn)和（4，y2）都在拋物線上，則y1＞y2 C．a(chǎn)﹣b+c＞0 D．b+c＝m2．（2024?雁塔區(qū)校級(jí)模擬）若拋物線y＝x2﹣2x+m﹣1（m是常數(shù)）的圖象只經(jīng)過(guò)第一、二、四象限，則m的取值范圍是（）A．m＞1 B．m≥1 C．1≤m＜2 D．m≤23．（2024?嶗山區(qū)一模）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a＜0）的圖象與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2，0），對(duì)稱軸為直線x＝1，下列結(jié)論中：①a﹣b+c＞0；②若點(diǎn)（﹣3，y1），（2，y2），（6，y3）均在該二次函數(shù)圖象上，則y1＜y3＜y2；③方程ax2+bx+c+1＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x1，x2，且x1＜x2，則x1＜﹣2，x2＞4；④若m為任意實(shí)數(shù)，則am2+bm+c≤﹣9a．正確結(jié)論的序號(hào)為（）A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①③4．（2024?霍邱縣一模）已知拋物線y＝mx2+nx﹣m，其中m為實(shí)數(shù)．（1）若拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，5），則n＝；（2）該拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2，﹣m），已知點(diǎn)B（1，﹣m），C（2，2），若拋物線與線段BC有交點(diǎn)，則m的取值范圍為．5．（2024?青島一模）如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象與x軸交于點(diǎn)（3，0），對(duì)稱軸為直線x＝1，下列結(jié)論：①abc＜0；②4a﹣2b+c＞0；③3a+c＝0；④拋物線上有兩點(diǎn)M（x1，y1）和N（x2，y2），若x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，則y1＞y2．其中正確的是.（只填寫序號(hào)）6．（2024?余姚市一模）在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)二次函數(shù)y＝ax2+bx﹣4a（a，b是常數(shù)，a≠0）．（1）判斷該函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由；（2）若該函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為直線x＝2，A（x1，m），B（x2，m）為該函數(shù)圖象上的任意兩點(diǎn)，其中x1＜x2，求當(dāng)x1，x2為何值時(shí)，m＝8a；（3）若該函數(shù)圖象的頂點(diǎn)在第二象限，且過(guò)點(diǎn)（1，2），當(dāng)a＜b時(shí)求3a+b的取值范圍．題型04二次函數(shù)解析式的求法【中考真題練】1．（2023?上海）一個(gè)二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的頂點(diǎn)在y軸正半軸上，且其對(duì)稱軸左側(cè)的部分是上升的，那么這個(gè)二次函數(shù)的解析式可以是．2．（2023?寧波）如圖，已知二次函數(shù)y＝x2+bx+c圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，﹣2）和B（0，﹣5）．（1）求該二次函數(shù)的表達(dá)式及圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)．（2）當(dāng)y≤﹣2時(shí)，請(qǐng)根據(jù)圖象直接寫出x的取值范圍．3．（2023?紹興）已知二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c．（1）當(dāng)b＝4，c＝3時(shí)，①求該函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)；②當(dāng)﹣1≤x≤3時(shí)，求y的取值范圍；（2）當(dāng)x≤0時(shí)，y的最大值為2；當(dāng)x＞0時(shí)，y的最大值為3，求二次函數(shù)的表達(dá)式．【中考模擬練】1．（2023?思明區(qū)模擬）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線的頂點(diǎn)是（1，3），當(dāng)x＞1時(shí)，y隨x的增大而增大，則拋物線解析式可以是（）A．y＝﹣2（x+1）2+3 B．y＝2（x+1）2+3 C．y＝﹣2（x﹣1）2+3 D．y＝2（x﹣1）2+32．（2023?海淀區(qū)校級(jí)一模）將二次函數(shù)y＝x2﹣8x﹣1化成y＝a（x﹣h）2+k的形式，結(jié)果為．3．（2024?梅縣區(qū)一模）已知一條拋物線的形狀、開口方向均與拋物線y＝﹣2x2+9x相同，且它的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，6），則這條拋物線的解析式為．4．（2024?霍邱縣模擬）已知拋物線y＝x2+bx+c（b，c為常數(shù)）．（1）若拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，3），（4，3），則拋物線的表達(dá)式為；（2）在（1）的條件下，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（m，k），（n，k），當(dāng)1≤n﹣m＜8時(shí)，k的取值范圍為．考點(diǎn)二：二次函數(shù)的圖象性質(zhì)應(yīng)用二次函數(shù)圖象性質(zhì)的應(yīng)用主要體現(xiàn)在利用二次函數(shù)的頂點(diǎn)式求最值、利用點(diǎn)與二次函數(shù)圖象的關(guān)系解決與其他幾何圖形的結(jié)合問(wèn)題、以及二次函數(shù)與一元二次方程和不等式的關(guān)系等。題型01二次函數(shù)的最值解題大招：當(dāng)a＞0，拋物線開口向上，函數(shù)有最小值；當(dāng)a＜0，拋物線開口向下，函數(shù)有最大值；而函數(shù)的最值都是定點(diǎn)坐標(biāo)的縱坐標(biāo)?！局锌颊骖}練】1．（2023?杭州）設(shè)二次函數(shù)y＝a（x﹣m）（x﹣m﹣k）（a＞0，m，k是實(shí)數(shù)），則（）A．當(dāng)k＝2時(shí)，函數(shù)y的最小值為﹣a B．當(dāng)k＝2時(shí)，函數(shù)y的最小值為﹣2a C．當(dāng)k＝4時(shí)，函數(shù)y的最小值為﹣a D．當(dāng)k＝4時(shí)，函數(shù)y的最小值為﹣2a2．（2023?蘭州）已知二次函數(shù)y＝﹣3（x﹣2）2﹣3，下列說(shuō)法正確的是（）A．對(duì)稱軸為直線x＝﹣2 B．頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，3） C．函數(shù)的最大值是﹣3 D．函數(shù)的最小值是﹣33．（2023?陜西）在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝x2+mx+m2﹣m（m為常數(shù)）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，6），其對(duì)稱軸在y軸左側(cè)，則該二次函數(shù)有（）A．最大值5 B．最大值 C．最小值5 D．最小值4．（2023?泰安）二次函數(shù)y＝﹣x2﹣3x+4的最大值是．5．（2023?紹興）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一個(gè)圖形上的點(diǎn)都在一邊平行于x軸的矩形內(nèi)部（包括邊界），這些矩形中面積最小的矩形稱為該圖形的關(guān)聯(lián)矩形．例如：如圖，函數(shù)y＝（x﹣2）2（0≤x≤3）的圖象（拋物線中的實(shí)線部分），它的關(guān)聯(lián)矩形為矩形OABC．若二次函數(shù)圖象的關(guān)聯(lián)矩形恰好也是矩形OABC，則b＝．【中考模擬練】1．（2024?浙江模擬）已知：，，m+n＝2，則下列說(shuō)法中正確的是（）A．n有最大值4，最小值1 B．n有最大值3，最小值 C．n有最大值3，最小值1 D．n有最大值3，最小值2．（2024?全椒縣一模）若a≥0，b≥0，且2a+b＝2，2a2﹣4b的最小值為m，最大值為n，則m+n＝（）A．﹣14 B．﹣6 C．﹣8 D．23．（2023?衢江區(qū)三模）在平面直角坐標(biāo)系中，過(guò)點(diǎn)P（0，p）的直線AB交拋物線y＝x2于A，B兩點(diǎn)，已知A（a，b），B（c，a），且a＜c，則下列說(shuō)法正確的是（）A．當(dāng)ac＞0且a+c＝1時(shí)，p有最小值 B．當(dāng)ac＞0且a+c＝1時(shí)，p有最大值 C．當(dāng)ac＜0且c﹣a＝1時(shí)，p有最小值 D．當(dāng)ac＜0且c﹣a＝1時(shí)，p有最大值4．（2024?雁塔區(qū)校級(jí)模擬）如圖，在四邊形ABCD中，，∠B＝60°，∠D＝120°，當(dāng)四邊形ABCD面積最大時(shí)，作AE平分該四邊形ABCD面積交BC于點(diǎn)E，則此時(shí)線段BE的長(zhǎng)為．5．（2024?陽(yáng)新縣一模）已知二次函數(shù)y＝﹣9x2﹣6ax﹣a2+2a，當(dāng)﹣≤x≤，y有最大值為﹣3，則a的值為．6．（2024?渠縣校級(jí)一模）如圖，在Rt△ABC，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝4cm，點(diǎn)P在邊AC上，從點(diǎn)A向點(diǎn)C移動(dòng)，點(diǎn)Q在邊CB上，從點(diǎn)C向點(diǎn)B移動(dòng)．若點(diǎn)P，Q均以1cm/s的速度同時(shí)出發(fā)，且當(dāng)一點(diǎn)移動(dòng)到終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止，連接PQ，則線段PQ的最小值是．7．（2024?浙江模擬）已知二次函數(shù)y＝x2﹣2kx+k﹣2的圖象過(guò)點(diǎn)（5，5）．（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式．（2）若A（x1，y1）和B（x2，y2）都是二次函數(shù)圖象上的點(diǎn)，且x1+2x2＝2，求y1+y2的最小值．（3）若點(diǎn)P（a，n）和Q（b，n+2）都在二次函數(shù)的圖象上，且a＜b．對(duì)于某一個(gè)實(shí)數(shù)n，若b﹣a的最小值為1，則b﹣a的最大值為多少？題型02二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征解題大招：牢記一句話，“點(diǎn)在圖象上，點(diǎn)的坐標(biāo)符合其對(duì)應(yīng)解析式”，然后，和哪個(gè)幾何圖形結(jié)合，多想與之結(jié)合的幾何圖形的性質(zhì)；【中考真題練】1．（2023?衢州）已知二次函數(shù)y＝ax2﹣4ax（a是常數(shù)，a＜0）的圖象上有A（m，y1）和B（2m，y2）兩點(diǎn)．若點(diǎn)A，B都在直線y＝﹣3a的上方，且y1＞y2，則m的取值范圍是（）A． B． C． D．m＞22．（2023?廣東）如圖，拋物線y＝ax2+c經(jīng)過(guò)正方形OABC的三個(gè)頂點(diǎn)A，B，C，點(diǎn)B在y軸上，則ac的值為（）A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．﹣43．（2023?南充）若點(diǎn)P（m，n）在拋物線y＝ax2（a≠0）上，則下列各點(diǎn)在拋物線y＝a（x+1）2上的是（）A．（m，n+1） B．（m+1，n） C．（m，n﹣1） D．（m﹣1，n）4．（2023?十堰）已知點(diǎn)A（x1，y1）在直線y＝3x+19上，點(diǎn)B（x2，y2），C（x3，y3）在拋物線y＝x2+4x﹣1上，若y1＝y(tǒng)2＝y(tǒng)3，x1＜x2＜x3，則x1+x2+x3的取值范圍是（）A．﹣12＜x1+x2+x3＜﹣9 B．﹣8＜x1+x2+x3＜﹣6 C．﹣9＜x1+x2+x3＜0 D．﹣6＜x1+x2+x3＜15．（2023?濟(jì)南）定義：在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于點(diǎn)P（x1，y1），當(dāng)點(diǎn)Q（x2，y2）滿足2（x1+x2）＝y(tǒng)1+y2時(shí)，稱點(diǎn)Q（x2，y2）是點(diǎn)P（x1，y1）的“倍增點(diǎn)”．已知點(diǎn)P1（1，0），有下列結(jié)論：①點(diǎn)Q1（3，8），Q2（﹣2，﹣2）都是點(diǎn)P1的“倍增點(diǎn)”；②若直線y＝x+2上的點(diǎn)A是點(diǎn)P1的“倍增點(diǎn)”，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，4）；③拋物線y＝x2﹣2x﹣3上存在兩個(gè)點(diǎn)是點(diǎn)P1的“倍增點(diǎn)”；④若點(diǎn)B是點(diǎn)P1的“倍增點(diǎn)”，則P1B的最小值是；其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．46．（2023?岳陽(yáng)）若一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)滿足（k，2k），我們將這樣的點(diǎn)定義為“倍值點(diǎn)”．若關(guān)于x的二次函數(shù)y＝（t+1）x2+（t+2）x+s（s，t為常數(shù)，t≠﹣1）總有兩個(gè)不同的倍值點(diǎn)，則s的取值范圍是（）A．s＜﹣1 B．s＜0 C．0＜s＜1 D．﹣1＜s＜07．（2023?麗水）已知點(diǎn)（﹣m，0）和（3m，0）在二次函數(shù)y＝ax2+bx+3（a，b是常數(shù)，a≠0）的圖象上．（1）當(dāng)m＝﹣1時(shí)，求a和b的值；（2）若二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（n，3）且點(diǎn)A不在坐標(biāo)軸上，當(dāng)﹣2＜m＜﹣1時(shí)，求n的取值范圍；（3）求證：b2+4a＝0．【中考模擬練】1．（2024?韓城市一模）已知二次函數(shù)y＝ax2+4ax+c（a＞0）圖象上的兩點(diǎn)（﹣5，y1）和（x2，y2），若y1＞y2，則x2的取值范圍是（）A．x2＞﹣5 B．x2＜﹣2 C．﹣5＜x2＜1 D．﹣5＜x2＜﹣22．（2024?秀峰區(qū)校級(jí)模擬）二次函數(shù)（m為常數(shù)）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，C（0，y3），則y1，y2，y3的大小關(guān)系是（）A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y2＜y13．（2024?龍湖區(qū)一模）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)B、D的坐標(biāo)分別是（﹣1，﹣2）、（1，2），點(diǎn)C在拋物線y＝﹣x2+bx的圖象上，則b的值是（）A．﹣ B． C．﹣ D．4．在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)點(diǎn)M（a，b）和點(diǎn)M′（a，b′）給出如下定義：若b′＝，則稱點(diǎn)M′（a，b′）是點(diǎn)M（a，b）的伴隨點(diǎn)．如：點(diǎn)A（1，﹣2）的伴隨點(diǎn)是A′（1，﹣6），B（﹣1，﹣2）的伴隨點(diǎn)是B′（﹣1，2）．若點(diǎn)Q（m，n）在二次函數(shù)y＝x2﹣4x﹣2的圖象上，則當(dāng)﹣2≤m＜5時(shí)，其伴隨點(diǎn)Q′（m，n′）的縱坐標(biāo)n′的值不可能是（）A．﹣10 B．﹣1 C．1 D．105．（2024?浙江一模）對(duì)于給定的兩個(gè)函數(shù)，任取自變量x的一個(gè)值，當(dāng)x＜0時(shí)，它們對(duì)應(yīng)的函數(shù)值互為相反數(shù)；當(dāng)x≥0時(shí)，它們對(duì)應(yīng)的函數(shù)值相等，我們稱這樣的兩個(gè)函數(shù)互為“陰陽(yáng)函數(shù)”．例如：一次函數(shù)y＝x+2，它的“陰陽(yáng)函數(shù)”為y＝，若點(diǎn)P（m，2）在二次函數(shù)y＝x2+2x﹣3的“陰陽(yáng)函數(shù)”的圖象上時(shí)，則m的值為（）A．﹣1+或﹣1﹣ B． C．或 D．6．（2024?綠園區(qū)一模）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣1，0）和B（0，3），點(diǎn)P是拋物線上第一象限內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為Q，則OQ+PQ的最大值為．7．（2024?東營(yíng)區(qū)校級(jí)一模）拋物線的圖象如圖所示，點(diǎn)A1，A2，A3，A4，…，A2024在拋物線第一象限的圖象上．點(diǎn)B1，B2，B3，B4，…，B2024在y軸的正半軸上，△OA1B1，△B1A2B2，…，△B2023A2024B2024都是等腰直角三角形，則B2023A2024＝．題型03拋物線與x軸的交點(diǎn) 易錯(cuò)點(diǎn)01：求拋物線與x軸的交點(diǎn)，就是讓拋物線解析式的y=0，就得到了一元二次方程，而①一元二次方程的解法、②根的判別式、③根與系數(shù)的關(guān)系等性質(zhì)也就分別對(duì)應(yīng)①拋物線與x軸交點(diǎn)橫坐標(biāo)、②交點(diǎn)個(gè)數(shù)、③交點(diǎn)橫坐標(biāo)與其對(duì)稱軸的關(guān)系的考點(diǎn)；易錯(cuò)點(diǎn)02：求拋物線與直線的交點(diǎn)時(shí)，聯(lián)立拋物線與直線的解析式，得新的一元二次方程時(shí)，上述結(jié)論與用法大多依然適用，使用時(shí)注意聯(lián)想和甄別。【中考真題練】1．（2023?甘孜州）下列關(guān)于二次函數(shù)y＝（x﹣2）2﹣3的說(shuō)法正確的是（）A．圖象是一條開口向下的拋物線 B．圖象與x軸沒(méi)有交點(diǎn) C．當(dāng)x＜2時(shí)，y隨x增大而增大 D．圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（2，﹣3）2．（2023?衡陽(yáng)）已知m＞n＞0，若關(guān)于x的方程x2+2x﹣3﹣m＝0的解為x1，x2（x1＜x2），關(guān)于x的方程x2+2x﹣3﹣n＝0的解為x3，x4（x3＜x4）．則下列結(jié)論正確的是（）A．x3＜x1＜x2＜x4 B．x1＜x3＜x4＜x2 C．x1＜x2＜x3＜x4 D．x3＜x4＜x1＜x23．（2023?寧波）已知二次函數(shù)y＝ax2﹣（3a+1）x+3（a≠0），下列說(shuō)法正確的是（）A．點(diǎn)（1，2）在該函數(shù)的圖象上 B．當(dāng)a＝1且﹣1≤x≤3時(shí)，0≤y≤8 C．該函數(shù)的圖象與x軸一定有交點(diǎn) D．當(dāng)a＞0時(shí)，該函數(shù)圖象的對(duì)稱軸一定在直線x＝的左側(cè)4．（2023?自貢）經(jīng)過(guò)A（2﹣3b，m），B（4b+c﹣1，m）兩點(diǎn)的拋物線y＝﹣x2+bx﹣b2+2c（x為自變量）與x軸有交點(diǎn)，則線段AB的長(zhǎng)為（）A．10 B．12 C．13 D．155．（2023?牡丹江）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)（﹣2，0），（3，0）．下列結(jié)論：①＞0；②c＝2b；③若拋物線上有點(diǎn)（，y1），（﹣3，y2），（﹣，y3），則y2＜y1＜y3；④方程cx2+bx+a＝0的解為x1＝，x2＝﹣．其中正確的個(gè)數(shù)是（）A．4 B．3 C．2 D．16．（2023?婁底）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸相交于點(diǎn)A（1，0）、點(diǎn)B（3，0），與y軸相交于點(diǎn)C，點(diǎn)D在拋物線上，當(dāng)CD∥x軸時(shí)，CD＝．7．（2023?巴中）規(guī)定：如果兩個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，那么稱這兩個(gè)函數(shù)互為“Y函數(shù)”．例如：函數(shù)y＝x+3與y＝﹣x+3互為“Y函數(shù)”．若函數(shù)y＝x2+（k﹣1）x+k﹣3的圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，則它的“Y函數(shù)”圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為．8．（2023?郴州）已知拋物線y＝x2﹣6x+m與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則m＝．9．（2023?赤峰）如圖，拋物線y＝x2﹣6x+5與x軸交于點(diǎn)A，B，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D（2，m）在拋物線上，點(diǎn)E在直線BC上，若∠DEB＝2∠DCB，則點(diǎn)E的坐標(biāo)是．10．（2023?宜賓）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣3，0），頂點(diǎn)為M（﹣1，m），且拋物線與y軸的交點(diǎn)B在（0，﹣2）與（0，﹣3）之間（不含端點(diǎn)），則下列結(jié)論：①當(dāng)﹣3≤x≤1時(shí)，y≤0；②當(dāng)△ABM的面積為時(shí)，a＝；③當(dāng)△ABM為直角三角形時(shí)，在△AOB內(nèi)存在唯一一點(diǎn)P，使得PA+PO+PB的值最小，最小值的平方為18+9．其中正確的結(jié)論是．（填寫所有正確結(jié)論的序號(hào)）【中考模擬練】1．（2024?太原模擬）關(guān)于二次函數(shù)y＝x2﹣2x﹣3的圖象，下列說(shuō)法正確的是（）A．開口向下 B．對(duì)稱軸為直線x＝﹣1 C．與y軸交于點(diǎn)（0，3） D．與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)2．（2024?西安校級(jí)模擬）已知拋物線y＝ax2+bx+3（a＜0）與x軸交于A（1，0），B（﹣3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．若點(diǎn)P在拋物線的對(duì)稱軸上，線段PA繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′恰好也落在此拋物線上，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（）A．（﹣1，1） B．（﹣1，﹣1） C．（﹣1，1）或（﹣1，﹣2） D．（﹣1，﹣1）或（﹣1，2）3．（2024?郾城區(qū)一模）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線y＝x2+2x﹣3與y軸交于點(diǎn)A，與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)B，連接AB．將Rt△OAB向左上方平移，得到RtΔO′A′且點(diǎn)O′A′落在拋物線的對(duì)稱軸上，點(diǎn)B′落在拋物線上，則直線A′B′的表達(dá)式為（）A．y＝﹣x B．y＝﹣x+1 C．y＝x+1 D．y＝x+34．（2024?寧波模擬）已知ac≠0，若二次函數(shù)y1＝ax2+bx+c的圖象與x軸交于兩個(gè)不同的點(diǎn)A（x1，0），B（x2，0），二次函數(shù)y2＝cx2+bx+a的圖象與x軸交于