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文檔簡介
2023-2024學(xué)年廣東省佛山市順德區(qū)高考數(shù)學(xué)二模試卷注意事項1.考試結(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑;如需改動,請用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫清楚,線條、符號等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知是雙曲線的左右焦點,過的直線與雙曲線的兩支分別交于兩點(A在右支,B在左支)若為等邊三角形,則雙曲線的離心率為()A. B. C. D.2.已知函數(shù),,若方程恰有三個不相等的實根,則的取值范圍為()A. B.C. D.3.已知橢圓:的左、右焦點分別為,,點,在橢圓上,其中,,若,,則橢圓的離心率的取值范圍為()A. B.C. D.4.正項等比數(shù)列中的、是函數(shù)的極值點,則()A. B.1 C. D.25.已知直線與圓有公共點,則的最大值為()A.4 B. C. D.6.已知函數(shù),若,則的值等于()A. B. C. D.7.窗花是貼在窗紙或窗戶玻璃上的剪紙,是中國古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一,它歷史悠久,風(fēng)格獨特,神獸人們喜愛.下圖即是一副窗花,是把一個邊長為12的大正方形在四個角處都剪去邊長為1的小正方形后剩余的部分,然后在剩余部分中的四個角處再剪出邊長全為1的一些小正方形.若在這個窗花內(nèi)部隨機取一個點,則該點不落在任何一個小正方形內(nèi)的概率是()A. B. C. D.8.設(shè)集合、是全集的兩個子集,則“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件9.已知命題,;命題若,則,下列命題為真命題的是()A. B. C. D.10.對于任意,函數(shù)滿足,且當(dāng)時,函數(shù).若,則大小關(guān)系是()A. B. C. D.11.的二項展開式中,的系數(shù)是()A.70 B.-70 C.28 D.-2812.已知函數(shù),對任意的,,當(dāng)時,,則下列判斷正確的是()A. B.函數(shù)在上遞增C.函數(shù)的一條對稱軸是 D.函數(shù)的一個對稱中心是二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.設(shè)變量,,滿足約束條件,則目標(biāo)函數(shù)的最小值是______.14.在平面直角坐標(biāo)系中,雙曲線的右準(zhǔn)線與漸近線的交點在拋物線上,則實數(shù)的值為________.15.記數(shù)列的前項和為,已知,且.若,則實數(shù)的取值范圍為________.16.設(shè)為等比數(shù)列的前項和,若,且,,成等差數(shù)列,則.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖,在三棱柱中,是邊長為2的等邊三角形,,,.(1)證明:平面平面;(2),分別是,的中點,是線段上的動點,若二面角的平面角的大小為,試確定點的位置.18.(12分)已知函數(shù)的圖象在處的切線方程是.(1)求的值;(2)若函數(shù),討論的單調(diào)性與極值;(3)證明:.19.(12分)已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性并指出相應(yīng)單調(diào)區(qū)間;(2)若,設(shè)是函數(shù)的兩個極值點,若,且恒成立,求實數(shù)k的取值范圍.20.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).以坐標(biāo)原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)求直線的普通方程與曲線的直角坐標(biāo)方程;(2)若射線與和分別交于點,求.21.(12分)已知函數(shù),其中,為自然對數(shù)的底數(shù).(1)當(dāng)時,求函數(shù)的極值;(2)設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為,求證:函數(shù)有且僅有一個零點.22.(10分)如圖,是正方形,點在以為直徑的半圓弧上(不與,重合),為線段的中點,現(xiàn)將正方形沿折起,使得平面平面.(1)證明:平面.(2)三棱錐的體積最大時,求二面角的余弦值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】
根據(jù)雙曲線的定義可得的邊長為,然后在中應(yīng)用余弦定理得的等式,從而求得離心率.【詳解】由題意,,又,∴,∴,在中,即,∴.故選:D.【點睛】本題考查求雙曲線的離心率,解題關(guān)鍵是應(yīng)用雙曲線的定義把到兩焦點距離用表示,然后用余弦定理建立關(guān)系式.2、B【解析】
由題意可將方程轉(zhuǎn)化為,令,,進(jìn)而將方程轉(zhuǎn)化為,即或,再利用的單調(diào)性與最值即可得到結(jié)論.【詳解】由題意知方程在上恰有三個不相等的實根,即,①.因為,①式兩邊同除以,得.所以方程有三個不等的正實根.記,,則上述方程轉(zhuǎn)化為.即,所以或.因為,當(dāng)時,,所以在,上單調(diào)遞增,且時,.當(dāng)時,,在上單調(diào)遞減,且時,.所以當(dāng)時,取最大值,當(dāng),有一根.所以恰有兩個不相等的實根,所以.故選:B.【點睛】本題考查了函數(shù)與方程的關(guān)系,考查函數(shù)的單調(diào)性與最值,轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想,屬于中檔題.3、C【解析】
根據(jù)可得四邊形為矩形,設(shè),,根據(jù)橢圓的定義以及勾股定理可得,再分析的取值范圍,進(jìn)而求得再求離心率的范圍即可.【詳解】設(shè),,由,,知,因為,在橢圓上,,所以四邊形為矩形,;由,可得,由橢圓的定義可得,①,平方相減可得②,由①②得;令,令,所以,即,所以,所以,所以,解得.故選:C【點睛】本題主要考查了橢圓的定義運用以及構(gòu)造齊次式求橢圓的離心率的問題,屬于中檔題.4、B【解析】
根據(jù)可導(dǎo)函數(shù)在極值點處的導(dǎo)數(shù)值為,得出,再由等比數(shù)列的性質(zhì)可得.【詳解】解:依題意、是函數(shù)的極值點,也就是的兩個根∴又是正項等比數(shù)列,所以∴.故選:B【點睛】本題主要考查了等比數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)以應(yīng)用,屬于中檔題.5、C【解析】
根據(jù)表示圓和直線與圓有公共點,得到,再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解.【詳解】因為表示圓,所以,解得,因為直線與圓有公共點,所以圓心到直線的距離,即,解得,此時,因為,在遞增,所以的最大值.故選:C【點睛】本題主要考查圓的方程,直線與圓的位置關(guān)系以及二次函數(shù)的性質(zhì),還考查了運算求解的能力,屬于中檔題.6、B【解析】
由函數(shù)的奇偶性可得,【詳解】∵其中為奇函數(shù),也為奇函數(shù)∴也為奇函數(shù)∴故選:B【點睛】函數(shù)奇偶性的運用即得結(jié)果,小記,定義域關(guān)于原點對稱時有:①奇函數(shù)±奇函數(shù)=奇函數(shù);②奇函數(shù)×奇函數(shù)=偶函數(shù);③奇函數(shù)÷奇函數(shù)=偶函數(shù);④偶函數(shù)±偶函數(shù)=偶函數(shù);⑤偶函數(shù)×偶函數(shù)=偶函數(shù);⑥奇函數(shù)×偶函數(shù)=奇函數(shù);⑦奇函數(shù)÷偶函數(shù)=奇函數(shù)7、D【解析】
由幾何概型可知,概率應(yīng)為非小正方形面積與窗花面積的比,即可求解.【詳解】由題,窗花的面積為,其中小正方形的面積為,所以所求概率,故選:D【點睛】本題考查幾何概型的面積公式的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.8、C【解析】
作出韋恩圖,數(shù)形結(jié)合,即可得出結(jié)論.【詳解】如圖所示,,同時.故選:C.【點睛】本題考查集合關(guān)系及充要條件,注意數(shù)形結(jié)合方法的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.9、B【解析】解:命題p:?x>0,ln(x+1)>0,則命題p為真命題,則¬p為假命題;取a=﹣1,b=﹣2,a>b,但a2<b2,則命題q是假命題,則¬q是真命題.∴p∧q是假命題,p∧¬q是真命題,¬p∧q是假命題,¬p∧¬q是假命題.故選B.10、A【解析】
由已知可得的單調(diào)性,再由可得對稱性,可求出在單調(diào)性,即可求出結(jié)論.【詳解】對于任意,函數(shù)滿足,因為函數(shù)關(guān)于點對稱,當(dāng)時,是單調(diào)增函數(shù),所以在定義域上是單調(diào)增函數(shù).因為,所以,.故選:A.【點睛】本題考查利用函數(shù)性質(zhì)比較函數(shù)值的大小,解題的關(guān)鍵要掌握函數(shù)對稱性的代數(shù)形式,屬于中檔題..11、A【解析】試題分析:由題意得,二項展開式的通項為,令,所以的系數(shù)是,故選A.考點:二項式定理的應(yīng)用.12、D【解析】
利用輔助角公式將正弦函數(shù)化簡,然后通過題目已知條件求出函數(shù)的周期,從而得到,即可求出解析式,然后利用函數(shù)的性質(zhì)即可判斷.【詳解】,又,即,有且僅有滿足條件;又,則,,函數(shù),對于A,,故A錯誤;對于B,由,解得,故B錯誤;對于C,當(dāng)時,,故C錯誤;對于D,由,故D正確.故選:D【點睛】本題考查了簡單三角恒等變換以及三角函數(shù)的性質(zhì),熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、7【解析】作出不等式組表示的平面區(qū)域,得到如圖的△ABC及其內(nèi)部,其中A(2,1),B(1,2),C(4,5)設(shè)z=F(x,y)=2x+3y,將直線l:z=2x+3y進(jìn)行平移,當(dāng)l經(jīng)過點A時,目標(biāo)函數(shù)z達(dá)到最小值∴z最小值=F(2,1)=714、【解析】
求出雙曲線的右準(zhǔn)線與漸近線的交點坐標(biāo),并將該交點代入拋物線的方程,即可求出實數(shù)的方程.【詳解】雙曲線的半焦距為,則雙曲線的右準(zhǔn)線方程為,漸近線方程為,所以,該雙曲線右準(zhǔn)線與漸近線的交點為.由題意得,解得.故答案為:.【點睛】本題考查利用拋物線上的點求參數(shù),涉及到雙曲線的準(zhǔn)線與漸近線方程的應(yīng)用,考查計算能力,屬于中等題.15、【解析】
根據(jù)遞推公式,以及之間的關(guān)系,即可容易求得,再根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性,求得其最大值,則參數(shù)的范圍可求.【詳解】當(dāng)時,,解得.所以.因為,則,兩式相減,可得,即,則.兩式相減,可得.所以數(shù)列是首項為3,公差為2的等差數(shù)列,所以,則.令,則.當(dāng)時,,數(shù)列單調(diào)遞減,而,,,故,即實數(shù)的取值范圍為.故答案為:.【點睛】本題考查由遞推公式求數(shù)列的通項公式,涉及數(shù)列單調(diào)性的判斷,屬綜合困難題.16、.【解析】試題分析:∵,,成等差數(shù)列,∴,又∵等比數(shù)列,∴.考點:等差數(shù)列與等比數(shù)列的性質(zhì).【名師點睛】本題主要考查等差與等比數(shù)列的性質(zhì),屬于容易題,在解題過程中,需要建立關(guān)于等比數(shù)列基本量的方程即可求解,考查學(xué)生等價轉(zhuǎn)化的思想與方程思想.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)證明見解析;(2)為線段上靠近點的四等分點,且坐標(biāo)為【解析】
(1)先通過線面垂直的判定定理證明平面,再根據(jù)面面垂直的判定定理即可證明;(2)分析位置關(guān)系并建立空間直角坐標(biāo)系,根據(jù)二面角的余弦值與平面法向量夾角的余弦值之間的關(guān)系,即可計算出的坐標(biāo)從而位置可確定.【詳解】(1)證明:因為,,,所以,即.又因為,,所以,,所以平面.因為平面,所以平面平面.(2)解:連接,因為,是的中點,所以.由(1)知,平面平面,所以平面.以為原點建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則平面的一個法向量是,,,.設(shè),,,,代入上式得,,,所以.設(shè)平面的一個法向量為,,,由,得.令,得.因為二面角的平面角的大小為,所以,即,解得.所以點為線段上靠近點的四等分點,且坐標(biāo)為.【點睛】本題考查面面垂直的證明以及利用向量法求解二面角有關(guān)的問題,難度一般.(1)證明面面垂直,可通過先證明線面垂直,再證明面面垂直;(2)二面角的余弦值不一定等于平面法向量夾角的余弦值,要注意結(jié)合圖形分析.18、(1);(2)單調(diào)遞減區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為,的極小值為,無極大值;(3)見解析.【解析】
(1)切點既在切線上又在曲線上得一方程,再根據(jù)斜率等于該點的導(dǎo)數(shù)再列一方程,解方程組即可;(2)先對求導(dǎo)數(shù),根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷和求解即可.(3)把證明轉(zhuǎn)化為證明,然后證明極小值大于極大值即可.【詳解】解:(1)函數(shù)的定義域為由已知得,則,解得.(2)由題意得,則.當(dāng)時,,所以單調(diào)遞減,當(dāng)時,,所以單調(diào)遞增,所以,單調(diào)遞減區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為,的極小值為,無極大值.(3)要證成立,只需證成立.令,則,當(dāng)時,單調(diào)遞增,當(dāng)時,單調(diào)遞減,所以的極大值為,即由(2)知,時,,且的最小值點與的最大值點不同,所以,即.所以,.【點睛】知識方面,考查建立方程組求未知數(shù),利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值以及不等式的證明;能力方面,考查推理論證能力、分析問題和解決問題的能力以及運算求解能力;試題難度大.19、(1)答案見解析(2)【解析】
(1)先對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)得,對分成和兩種情況討論,從而得到相應(yīng)的單調(diào)區(qū)間;(2)對函數(shù)求導(dǎo)得,從而有,,,三個方程中利用得到.將不等式的左邊轉(zhuǎn)化成關(guān)于的函數(shù),再構(gòu)造新函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最小值,從而得到的取值范圍.【詳解】解:(1)由,,則,當(dāng)時,則,故在上單調(diào)遞減;當(dāng)時,令,所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.綜上所述:當(dāng)時,在上單調(diào)遞減;當(dāng)時,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.(2)∵,,由得,∴,,∴∵∴解得.∴.設(shè),則,∴在上單調(diào)遞減;當(dāng)時,.∴,即所求的取值范圍為.【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值,考查分類討論思想和數(shù)形結(jié)合思想,求解雙元問題的常用思路是:通過換元或消元,將雙元問題轉(zhuǎn)化為單元問題,然后利用導(dǎo)數(shù)研究單變量函數(shù)的性質(zhì).20、(1):;:.(2)【解析】
(1)由可得,由,消去參數(shù),可得直線的普通方程為.由可得,將,代入上式,可得,所以曲線的直角坐標(biāo)方程為.(2)由(1)得,的普通方程為,將其化為極坐標(biāo)方程可得,
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