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第06講拓展二:利用導(dǎo)數(shù)研究不等式能成立(有解)問(wèn)題一、知識(shí)點(diǎn)歸納1、分離參數(shù)法用分離參數(shù)法解含參不等式恒成立問(wèn)題,可以根據(jù)不等式的性質(zhì)將參數(shù)分離出來(lái),得到一個(gè)一端是參數(shù),另一端是變量表達(dá)式的不等式;步驟:①分類參數(shù)(注意分類參數(shù)時(shí)自變量SKIPIF1<0的取值范圍是否影響不等式的方向)②轉(zhuǎn)化:SKIPIF1<0,使得SKIPIF1<0能成立SKIPIF1<0SKIPIF1<0;SKIPIF1<0,使得SKIPIF1<0能成立SKIPIF1<0SKIPIF1<0.③求最值.2、分類討論法如果無(wú)法分離參數(shù),可以考慮對(duì)參數(shù)或自變量進(jìn)行分類討論求解,如果是二次不等式恒成立的問(wèn)題,可以考慮二次項(xiàng)系數(shù)與判別式的方法(SKIPIF1<0,SKIPIF1<0或SKIPIF1<0,SKIPIF1<0)求解.3、等價(jià)轉(zhuǎn)化法當(dāng)遇到SKIPIF1<0型的不等式有解(能成立)問(wèn)題時(shí),一般采用作差法,構(gòu)造“左減右”的函數(shù)SKIPIF1<0或者“右減左”的函數(shù)SKIPIF1<0,進(jìn)而只需滿足SKIPIF1<0,或者SKIPIF1<0,將比較法的思想融入函數(shù)中,轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)的最值的問(wèn)題.4、最值定位法解決雙參不等式問(wèn)題(1)SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,使得SKIPIF1<0成立SKIPIF1<0SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,使得SKIPIF1<0成立SKIPIF1<0SKIPIF1<0(3)SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,使得SKIPIF1<0成立SKIPIF1<0SKIPIF1<0(4)SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,使得SKIPIF1<0成立SKIPIF1<0SKIPIF1<05、值域法解決雙參等式問(wèn)題SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,使得SKIPIF1<0成立①SKIPIF1<0,求出SKIPIF1<0的值域,記為SKIPIF1<0②SKIPIF1<0求出SKIPIF1<0的值域,記為SKIPIF1<0③則SKIPIF1<0,求出參數(shù)取值范圍.二、題型精講方法一:分離變量法1.(2022下·江西·高二期末)已知函數(shù)SKIPIF1<0,當(dāng)SKIPIF1<0時(shí),SKIPIF1<0的極小值為SKIPIF1<0,當(dāng)SKIPIF1<0時(shí),SKIPIF1<0有極大值.(1)求函數(shù)SKIPIF1<0;(2)存在SKIPIF1<0,使得SKIPIF1<0成立,求實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍.2.(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí))已知函數(shù)SKIPIF1<0.(1)求函數(shù)SKIPIF1<0的極值;(2)若存在SKIPIF1<0,使得SKIPIF1<0成立,求實(shí)數(shù)m的最小值.3.(2023上·海南·高三海南中學(xué)??茧A段練習(xí))已知函數(shù)SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.(1)當(dāng)SKIPIF1<0時(shí),討論SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上的單調(diào)性;(2)若存在SKIPIF1<0,使不等式SKIPIF1<0成立,求SKIPIF1<0的取值范圍.4.(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí))已知函數(shù)SKIPIF1<0SKIPIF1<0為實(shí)常數(shù)).若存在SKIPIF1<0,使得SKIPIF1<0成立,求實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍.方法二:分類討論法1.(2023下·北京海淀·高二中央民族大學(xué)附屬中學(xué)??计谥校┮阎猄KIPIF1<0(1)若SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處取到極值,求SKIPIF1<0的值;(2)若存在SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0,求SKIPIF1<0的范圍;(3)直接寫(xiě)出SKIPIF1<0零點(diǎn)的個(gè)數(shù),結(jié)論不要求證明.2.(2023上·重慶沙坪壩·高二重慶南開(kāi)中學(xué)??计谀┮阎瘮?shù)SKIPIF1<0,其中SKIPIF1<0是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).(1)討論函數(shù)SKIPIF1<0的單調(diào)性;(2)若SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上有解,求實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍.3.(2022上·福建福州·高二校聯(lián)考期末)已知函數(shù)SKIPIF1<0(1)當(dāng)SKIPIF1<0時(shí),求曲線SKIPIF1<0在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程;(2)若存在SKIPIF1<0,使得不等式SKIPIF1<0成立,求m的取值范圍.4.(2022·全國(guó)·高三專題練習(xí))已知函數(shù)SKIPIF1<0.(1)當(dāng)SKIPIF1<0時(shí),求曲線SKIPIF1<0在點(diǎn)SKIPIF1<0,SKIPIF1<0(1)SKIPIF1<0處的切線方程;(2)若在區(qū)間SKIPIF1<0,SKIPIF1<0內(nèi)至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)SKIPIF1<0,使得SKIPIF1<0成立,求實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍.方法三:等價(jià)轉(zhuǎn)化法1.(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí))已知函數(shù)SKIPIF1<0,若在SKIPIF1<0上存在一點(diǎn)SKIPIF1<0,使得SKIPIF1<0成立,求SKIPIF1<0的取值范圍.2.(2023上·北京·高三北京五十五中??茧A段練習(xí))已知函數(shù)SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.(1)若SKIPIF1<0在點(diǎn)SKIPIF1<0處的切線為SKIPIF1<0,求實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的值;(2)設(shè)函數(shù)SKIPIF1<0,求函數(shù)SKIPIF1<0的單調(diào)區(qū)間與極值;(3)若存在SKIPIF1<0,使得SKIPIF1<0成立,求SKIPIF1<0的取值范圍.3.(2023·上海靜安·統(tǒng)考一模)已知函數(shù)f(x)=-2alnx-SKIPIF1<0,g(x)=ax-(2a+1)lnx-SKIPIF1<0,其中a∈R.(1)若x=2是函數(shù)f(x)的駐點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的值;(2)當(dāng)a>0時(shí),求函數(shù)g(x)的單調(diào)區(qū)間;(3)若存在x[SKIPIF1<0,e2](e為自然對(duì)數(shù)的底),使得不等式f(x)g(x)成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.4.(2022下·北京·高二北師大二附中校考階段練習(xí))設(shè)函數(shù)SKIPIF1<0,其中SKIPIF1<0是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).(1)當(dāng)SKIPIF1<0時(shí),求函數(shù)SKIPIF1<0的極值.(2)若SKIPIF1<0在其定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù),求實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍.(3)設(shè)SKIPIF1<0,若在SKIPIF1<0上至少存在一點(diǎn)SKIPIF1<0,使得SKIPIF1<0成立,求實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍.方法四:最值定位法解決雙參不等式問(wèn)題1.(2023上·福建莆田·高三莆田一中??计谥校┮阎瘮?shù)SKIPIF1<0.(1)當(dāng)SKIPIF1<0時(shí),求函數(shù)SKIPIF1<0的最小值;(2)若SKIPIF1<0,且對(duì)SKIPIF1<0,都SKIPIF1<0,使得SKIPIF1<0成立,求實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍.2.(2023上·江蘇蘇州·高三常熟中學(xué)??茧A段練習(xí))已知函數(shù)SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,其中SKIPIF1<0是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).(1)求函數(shù)SKIPIF1<0的極值;(2)對(duì)SKIPIF1<0,總存在SKIPIF1<0,使SKIPIF1<0成立,求實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍.3.(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí))已知函數(shù)SKIPIF1<0,當(dāng)SKIPIF1<0時(shí),SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,若SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,使SKIPIF1<0成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.4.(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí))設(shè)函數(shù)SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.(1)若曲線SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處的切線過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0,求SKIPIF1<0的值;(2)設(shè)SKIPIF1<0若對(duì)SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,使得SKIPIF1<0成立,求SKIPIF1<0的取值范圍.5.(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí))已知函數(shù)SKIPIF1<0.(1)當(dāng)SKIPIF1<0時(shí),討論SKIPIF1<0的單調(diào)性;(2)設(shè)SKIPIF1<0.當(dāng)SKIPIF1<0時(shí),若對(duì)SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,使SKIPIF1<0,求實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍.方法五:值域法解決雙參等式問(wèn)題1.(2023上·安徽·高三池州市第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí))已知函數(shù)SKIPIF1<0(其中SKIPIF1<0且SKIPIF1<0)是奇函數(shù).(1)求SKIPIF1<0,SKIPIF1<0的值并判斷函數(shù)SKIPIF1<0的單調(diào)性;(2)已知二次函數(shù)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0,且其最小值為SKIPIF1<0.若對(duì)SKIPIF1<0,都SKIPIF1<0,使得SKIPIF1<0成立,求實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍.2.(2022上·浙江·高二校聯(lián)考期中)函數(shù)SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.(1)當(dāng)SKIPIF1<0時(shí),總有SKIPIF1<0成立,求實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍;(2)若SKIPIF1<0,對(duì)SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,使得SKIPIF1<0,求
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