2020年浙江省高考數(shù)學(xué)試卷含解析

2020年浙江省高考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合P=，，則PQ=（）A. B.C. D.2.已知a∈R，若a–1+(a–2)i(i為虛數(shù)單位)是實數(shù)，則a=（）A.1 B.–1 C.2 D.–23.若實數(shù)x，y滿足約束條件，則z=x+2y的取值范圍是（）A. B. C. D.4.函數(shù)y=xcosx+sinx在區(qū)間[–π，π]的圖象大致為（）A. B.C. D.5.某幾何體的三視圖（單位：cm）如圖所示，則該幾何體的體積（單位：cm3）是（）A. B. C.3 D.66.已知空間中不過同一點的三條直線m，n，l，則“m，n，l在同一平面”是“m，n，l兩兩相交”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件7.已知等差數(shù)列{an}前n項和Sn，公差d≠0，．記b1=S2，bn+1=S2n+2–S2n，，下列等式不可能成立的是（）A.2a4=a2+a6 B.2b4=b2+b6 C. D.8.已知點O（0，0），A（–2，0），B（2，0）．設(shè)點P滿足|PA|–|PB|=2，且P為函數(shù)y=圖像上的點，則|OP|=（）A. B. C. D.9.已知a，bR且ab≠0，對于任意x≥0均有(x–a)(x–b)(x–2a–b)≥0，則（）A.a<0 B.a>0 C.b<0 D.b>010.設(shè)集合S，T，SN*，TN*，S，T中至少有兩個元素，且S，T滿足：①對于任意x，yS，若x≠y，都有xyT②對于任意x，yT，若x<y，則S；下列命題正確的是（）A.若S有4個元素，則S∪T有7個元素B.若S有4個元素，則S∪T有6個元素C若S有3個元素，則S∪T有5個元素D.若S有3個元素，則S∪T有4個元素非選擇題部分（共110分）二、填空題：本大題共7小題，共36分.多空題每小題6分，單空題每小題4分.11.我國古代數(shù)學(xué)家楊輝，朱世杰等研究過高階等差數(shù)列的求和問題，如數(shù)列就是二階等差數(shù)列，數(shù)列的前3項和是________．12.設(shè)，則________；________．13.已知，則________；______．14.已知圓錐的側(cè)面積（單位：）為2π，且它的側(cè)面積展開圖是一個半圓，則這個圓錐的底面半徑（單位：）是_______．15.設(shè)直線與圓和圓均相切，則_______；b=______．16.盒子里有4個球，其中1個紅球，1個綠球，2個黃球，從盒中隨機取球，每次取1個，不放回，直到取出紅球為止.設(shè)此過程中取到黃球個數(shù)為，則_______；______．17.設(shè)，為單位向量，滿足，，，設(shè)，的夾角為，則的最小值為_______．三、解答題：本大題共5小題，共74分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.18.在銳角△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．（I）求角B的大小；（II）求cosA+cosB+cosC取值范圍．19.如圖，三棱臺ABC—DEF中，平面ACFD⊥平面ABC，∠ACB=∠ACD=45°，DC=2BC．（I）證明：EF⊥DB；（II）求DF與面DBC所成角的正弦值．20.已知數(shù)列{an}，{bn}，{cn}中，．（Ⅰ）若數(shù)列{bn}為等比數(shù)列，且公比，且，求q與{an}的通項公式；（Ⅱ）若數(shù)列{bn}為等差數(shù)列，且公差，證明：．21.如圖，已知橢圓，拋物線，點A是橢圓與拋物線的交點，過點A的直線l交橢圓于點B，交拋物線于M（B，M不同于A）．（Ⅰ）若，求拋物線的焦點坐標；（Ⅱ）若存在不過原點的直線l使M為線段AB的中點，求p的最大值．22.已知，函數(shù)，其中e=2.71828…為自然對數(shù)的底數(shù)．（Ⅰ）證明：函數(shù)在上有唯一零點；（Ⅱ）記x0為函數(shù)在上零點，證明：（ⅰ）；（ⅱ）．

2020年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（浙江卷）數(shù)學(xué)本試題卷分選擇題和非選擇題兩部分.全卷共4頁，選擇題部分1至2頁；非選擇題部分3至4頁.滿分150分.考試用時120分鐘.考生注意：1．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準考證號用黑色字跡的簽字筆或鋼筆分別填寫在試題卷和答題紙規(guī)定的位置上.2．答題時，請按照答題紙上“注意事項”的要求，在答題紙相應(yīng)的位置上規(guī)范作答，在本試題卷上的作答一律無效.參考公式：如果事件A，B互斥，那么如果事件A，B相互獨立，那么如果事件A在一次試驗中發(fā)生的概率是p，那么n次獨立重復(fù)試驗中事件A恰好發(fā)生k次的概率臺體的體積公式其中分別表示臺體的上、下底面積，表示臺體的高柱體的體積公式其中表示柱體的底面積，表示柱體的高錐體的體積公式其中表示錐體的底面積，表示錐體的高球的表面積公式球的體積公式其中表示球的半徑選擇題部分（共40分）一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合P=，，則PQ=（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)集合交集定義求解.【詳解】故選：B【點睛】本題考查交集概念，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.2.已知a∈R，若a–1+(a–2)i(i為虛數(shù)單位)是實數(shù)，則a=（）A.1 B.–1 C.2 D.–2【答案】C【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)為實數(shù)列式求解即可.【詳解】因為為實數(shù)，所以，故選：C【點睛】本題考查復(fù)數(shù)概念，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.3.若實數(shù)x，y滿足約束條件，則z=x+2y的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先畫出可行域，然后結(jié)合目標函數(shù)的幾何意義確定目標函數(shù)在何處能夠取得最大值和最小值從而確定目標函數(shù)的取值范圍即可.【詳解】繪制不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，目標函數(shù)即：，其中z取得最大值時，其幾何意義表示直線系在y軸上的截距最大，z取得最小值時，其幾何意義表示直線系在y軸上的截距最小，據(jù)此結(jié)合目標函數(shù)的幾何意義可知目標函數(shù)在點A處取得最小值，聯(lián)立直線方程：，可得點A的坐標為：，據(jù)此可知目標函數(shù)的最小值為：且目標函數(shù)沒有最大值.故目標函數(shù)的取值范圍是.故選：B.【點睛】求線性目標函數(shù)z＝ax＋by(ab≠0)的最值，當b＞0時，直線過可行域且在y軸上截距最大時，z值最大，在y軸截距最小時，z值最?。划攂＜0時，直線過可行域且在y軸上截距最大時，z值最小，在y軸上截距最小時，z值最大.4.函數(shù)y=xcosx+sinx在區(qū)間[–π，π]的圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】首先確定函數(shù)的奇偶性，然后結(jié)合函數(shù)在處的函數(shù)值排除錯誤選項即可確定函數(shù)的圖象.【詳解】因為，則，即題中所給的函數(shù)為奇函數(shù)，函數(shù)圖象關(guān)于坐標原點對稱，據(jù)此可知選項CD錯誤；且時，，據(jù)此可知選項B錯誤.故選：A.【點睛】函數(shù)圖象的識辨可從以下方面入手：(1)從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置．(2)從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢．(3)從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對稱性．(4)從函數(shù)的特征點，排除不合要求的圖象．利用上述方法排除、篩選選項．5.某幾何體三視圖（單位：cm）如圖所示，則該幾何體的體積（單位：cm3）是（）A. B. C.3 D.6【答案】A【解析】【分析】根據(jù)三視圖還原原圖，然后根據(jù)柱體和錐體體積計算公式，計算出幾何體的體積.【詳解】由三視圖可知，該幾何體是上半部分是三棱錐，下半部分是三棱柱，且三棱錐的一個側(cè)面垂直于底面，且棱錐的高為1，棱柱的底面為等腰直角三角形，棱柱的高為2，所以幾何體的體積為：.故選：A【點睛】本小題主要考查根據(jù)三視圖計算幾何體的體積，屬于基礎(chǔ)題.6.已知空間中不過同一點的三條直線m，n，l，則“m，n，l在同一平面”是“m，n，l兩兩相交”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】將兩個條件相互推導(dǎo)，根據(jù)能否推導(dǎo)結(jié)果判斷充分必要條件.【詳解】依題意是空間不過同一點的三條直線，當在同一平面時，可能，故不能得出兩兩相交.當兩兩相交時，設(shè)，根據(jù)公理可知確定一個平面，而，根據(jù)公理可知，直線即，所以在同一平面.綜上所述，“在同一平面”是“兩兩相交”的必要不充分條件.故選：B【點睛】本小題主要考查充分、必要條件的判斷，考查公理和公理的運用，屬于中檔題.7.已知等差數(shù)列{an}的前n項和Sn，公差d≠0，．記b1=S2，bn+1=S2n+2–S2n，，下列等式不可能成立的是（）A.2a4=a2+a6 B.2b4=b2+b6 C. D.【答案】D【解析】分析】根據(jù)題意可得，，而，即可表示出題中，再結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)即可判斷各等式是否成立．【詳解】對于A，因為數(shù)列為等差數(shù)列，所以根據(jù)等差數(shù)列的下標和性質(zhì)，由可得，，A正確；對于B，由題意可知，，，∴，，，．∴，．根據(jù)等差數(shù)列的下標和性質(zhì)，由可得，B正確；對于C，，當時，，C正確；對于D，，，．當時，，∴即；當時，，∴即，所以，D不正確．故選：D.【點睛】本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．8.已知點O（0，0），A（–2，0），B（2，0）．設(shè)點P滿足|PA|–|PB|=2，且P為函數(shù)y=圖像上點，則|OP|=（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意可知，點既在雙曲線的一支上，又在函數(shù)的圖象上，即可求出點的坐標，得到的值．【詳解】因為，所以點在以為焦點，實軸長為，焦距為的雙曲線的右支上，由可得，，即雙曲線的右支方程為，而點還在函數(shù)的圖象上，所以，由，解得，即．故選：D.【點睛】本題主要考查雙曲線的定義的應(yīng)用，以及二次曲線的位置關(guān)系的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運算能力，屬于基礎(chǔ)題．9.已知a，bR且ab≠0，對于任意x≥0均有(x–a)(x–b)(x–2a–b)≥0，則（）A.a<0 B.a>0 C.b<0 D.b>0【答案】C【解析】【分析】對分與兩種情況討論，結(jié)合三次函數(shù)的性質(zhì)分析即可得到答案.【詳解】因為，所以且，設(shè)，則的零點為當時，則，，要使，必有，且，即，且，所以；當時，則，，要使，必有.綜上一定有.故選：C【點晴】本題主要考查三次函數(shù)在給定區(qū)間上恒成立問題，考查學(xué)生分類討論思想，是一道中檔題.10.設(shè)集合S，T，SN*，TN*，S，T中至少有兩個元素，且S，T滿足：①對于任意x，yS，若x≠y，都有xyT②對于任意x，yT，若x<y，則S；下列命題正確的是（）A.若S有4個元素，則S∪T有7個元素B.若S有4個元素，則S∪T有6個元素C.若S有3個元素，則S∪T有5個元素D.若S有3個元素，則S∪T有4個元素【答案】A【解析】【分析】分別給出具體的集合S和集合T，利用排除法排除錯誤選項，然后證明剩余選項的正確性即可.【詳解】首先利用排除法：若取，則，此時，包含4個元素，排除選項C；若取，則，此時，包含5個元素，排除選項D；若取，則，此時，包含7個元素，排除選項B；下面來說明選項A的正確性：設(shè)集合，且，，則，且，則，同理，，，，，若，則，則，故即，又，故，所以，故，此時，故，矛盾，舍.若，則，故即，又，故，所以，故，此時.若，則，故，故，即，故，此時即中有7個元素.故A正確.故選：A.【點睛】“新定義”主要是指即時定義新概念、新公式、新定理、新法則、新運算五種，然后根據(jù)此新定義去解決問題，有時還需要用類比的方法去理解新的定義，這樣有助于對新定義的透徹理解.但是，透過現(xiàn)象看本質(zhì)，它們考查的還是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識，所以說“新題”不一定是“難題”，掌握好三基，以不變應(yīng)萬變才是制勝法寶.非選擇題部分（共110分）二、填空題：本大題共7小題，共36分.多空題每小題6分，單空題每小題4分.11.我國古代數(shù)學(xué)家楊輝，朱世杰等研究過高階等差數(shù)列的求和問題，如數(shù)列就是二階等差數(shù)列，數(shù)列的前3項和是________．【答案】【解析】分析】根據(jù)通項公式可求出數(shù)列的前三項，即可求出．【詳解】因為，所以．即．故答案為：.【點睛】本題主要考查利用數(shù)列的通項公式寫出數(shù)列中的項并求和，屬于容易題．12.設(shè)，則________；________．【答案】(1).(2).【解析】【分析】利用二項式展開式的通項公式計算即可.【詳解】的通項為，令，則，故；.故答案為：；.【點晴】本題主要考查利用二項式定理求指定項的系數(shù)問題，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運算能力，是一道基礎(chǔ)題.13.已知，則________；______．【答案】(1).(2).【解析】【分析】利用二倍角余弦公式以及弦化切得，根據(jù)兩角差正切公式得【詳解】，，故答案為：【點睛】本題考查二倍角余弦公式以及弦化切、兩角差正切公式，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.14.已知圓錐的側(cè)面積（單位：）為2π，且它的側(cè)面積展開圖是一個半圓，則這個圓錐的底面半徑（單位：）是_______．【答案】【解析】【分析】利用題目所給圓錐側(cè)面展開圖的條件列方程組，由此求得底面半徑.【詳解】設(shè)圓錐底面半徑為，母線長為，則，解得.故答案為：【點睛】本小題主要考查圓錐側(cè)面展開圖有關(guān)計算，屬于基礎(chǔ)題.15.設(shè)直線與圓和圓均相切，則_______；b=______．【答案】(1).(2).【解析】【分析】由直線與兩圓相切建立關(guān)于k，b的方程組，解方程組即可.【詳解】設(shè)，，由題意，到直線的距離等于半徑，即，，所以，所以（舍）或者，解得.故答案為：【點晴】本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運算能力，是一道基礎(chǔ)題.16.盒子里有4個球，其中1個紅球，1個綠球，2個黃球，從盒中隨機取球，每次取1個，不放回，直到取出紅球為止.設(shè)此過程中取到黃球的個數(shù)為，則_______；______．【答案】(1).(2).【解析】【分析】先確定對應(yīng)事件，再求對應(yīng)概率得結(jié)果；第二空，先確定隨機變量，再求對應(yīng)概率，最后根據(jù)數(shù)學(xué)期望公式求結(jié)果.【詳解】因為對應(yīng)事件為第一次拿紅球或第一次拿綠球，第二次拿紅球，所以，隨機變量，，，所以.故答案為：.【點睛】本題考查古典概型概率、互斥事件概率加法公式、數(shù)學(xué)期望，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.17.設(shè)，為單位向量，滿足，，，設(shè)，的夾角為，則的最小值為_______．【答案】【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)模的平方等于復(fù)數(shù)的平方化簡條件得，再根據(jù)向量夾角公式求函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求最值.【詳解】，，，.故答案為：.【點睛】本題考查利用模求向量數(shù)量積、利用向量數(shù)量積求向量夾角、利用函數(shù)單調(diào)性求最值，考查綜合分析求解能力，屬中檔題.三、解答題：本大題共5小題，共74分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.18.在銳角△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．（I）求角B的大??；（II）求cosA+cosB+cosC的取值范圍．【答案】（I）；（II）【解析】【分析】（I）首先利用正弦定理邊化角，然后結(jié)合特殊角的三角函數(shù)值即可確定∠B的大??；（II）結(jié)合(1)的結(jié)論將含有三個角的三角函數(shù)式化簡為只含有∠A的三角函數(shù)式，然后由三角形為銳角三角形確定∠A的取值范圍，最后結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可求得的取值范圍.【詳解】（I）由結(jié)合正弦定理可得：△ABC為銳角三角形，故.（II）結(jié)合(1)的結(jié)論有：.由可得：，，則，.即的取值范圍是.【點睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理實現(xiàn)“邊化角”，二是利用余弦定理實現(xiàn)“角化邊”；求最值也是一種常見類型，主要方法有兩類，一是找到邊之間的關(guān)系，利用基本不等式求最值，二是轉(zhuǎn)化為關(guān)于某個角的函數(shù)，利用函數(shù)思想求最值.19.如圖，三棱臺ABC—DEF中，平面ACFD⊥平面ABC，∠ACB=∠ACD=45°，DC=2BC．（I）證明：EF⊥DB；（II）求DF與面DBC所成角的正弦值．【答案】（I）證明見解析；（II）【解析】【分析】（I）作交于，連接，由題意可知平面，即有，根據(jù)勾股定理可證得，又，可得，，即得平面，即證得；（II）由，所以與平面所成角即為與平面所成角，作于，連接，即可知即為所求角，再解三角形即可求出與平面所成角的正弦值．【詳解】（Ⅰ）作交于，連接．∵平面平面，而平面平面，平面，∴平面，而平面，即有．∵，∴．在中，，即有，∴．由棱臺的定義可知，，所以，，而，∴平面，而平面，∴．（Ⅱ）因為，所以與平面所成角即為與平面所成角．作于，連接，由（1）可知，平面，因為所以平面平面，而平面平面，平面，∴平面．即在平面內(nèi)的射影為，即為所求角．在中，設(shè)，則，，∴．故與平面所成角的正弦值為．【點睛】本題主要考查空間點、線、面位置關(guān)系，線面垂直的判定定理的應(yīng)用，直線與平面所成的角的求法，意在考查學(xué)生的直觀想象能力和數(shù)學(xué)運算能力，屬于基礎(chǔ)題．20.已知數(shù)列{an}，{bn}，{cn}中，．（Ⅰ）若數(shù)列{bn}為等比數(shù)列，且公比，且，求q與{an}的通項公式；（Ⅱ）若數(shù)列{bn}為等差數(shù)列，且公差，證明：．【答案】（I）；（II）證明見解析.【解析】【分析】（I）根據(jù)，求得，進而求得數(shù)列的通項公式，利用累加法求得數(shù)列的通項公式.（II）利用累乘法求得數(shù)列的表達式，結(jié)合裂項求和法證得不等式成立.【詳解】（I）依題意，而，即，由于，所以解得，所以.所以，故，所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以.所以（）.所以，又，符合，故.（II）依題意設(shè)，由于，所以，故.又，而，故所以.由于，所以，所以