第一講 圓的基本性質(zhì)（考點精析+真題精講）（原卷版）

備戰(zhàn)2024中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)備戰(zhàn)2024中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第1講圓的基本性質(zhì)№考向解讀第1講圓的基本性質(zhì)№考向解讀?考點精析?真題精講?題型突破?專題精練第六章圓第1講圓的基本性質(zhì)→?考點精析←→?真題精講←考向一圓周角圓心角考向二扇形弧長及面積考向二切線定理第1講圓的基本性質(zhì)→?考點精析←一、圓的有關(guān)概念1．與圓有關(guān)的概念和性質(zhì)1）圓：平面上到定點的距離等于定長的所有點組成的圖形．2）弦與直徑：連接圓上任意兩點的線段叫做弦，過圓心的弦叫做直徑，直徑是圓內(nèi)最長的弦．3）?。簣A上任意兩點間的部分叫做弧，小于半圓的弧叫做劣弧，大于半圓的弧叫做優(yōu)弧．4）圓心角：頂點在圓心的角叫做圓心角．5）圓周角：頂點在圓上，并且兩邊都與圓還有一個交點的角叫做圓周角．6）弦心距：圓心到弦的距離．2．注意1）經(jīng)過圓心的直線是該圓的對稱軸，故圓的對稱軸有無數(shù)條；2）3點確定一個圓，經(jīng)過1點或2點的圓有無數(shù)個．3）任意三角形的三個頂點確定一個圓，即該三角形的外接圓．二、垂徑定理及其推論1．垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧．關(guān)于垂徑定理的計算常與勾股定理相結(jié)合，解題時往往需要添加輔助線，一般過圓心作弦的垂線，構(gòu)造直角三角形．2．推論1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條?。?）弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條?。?、圓心角、弧、弦的關(guān)系1．定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等．圓心角、弧和弦之間的等量關(guān)系必須在同圓等式中才成立．2．推論：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等．四、圓周角定理及其推論1．定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半．2．推論：1）在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等．2）直徑所對的圓周角是直角．圓內(nèi)接四邊形的對角互補．在圓中求角度時，通常需要通過一些圓的性質(zhì)進行轉(zhuǎn)化．比如圓心角與圓周角間的轉(zhuǎn)化；同弧或等弧的圓周角間的轉(zhuǎn)化；連直徑，得到直角三角形，通過兩銳角互余進行轉(zhuǎn)化等．五、與圓有關(guān)的位置關(guān)系1．點與圓的位置關(guān)系設(shè)點到圓心的距離為d．(1)d<r?點在⊙O內(nèi)；(2)d=r?點在⊙O上；(3)d>r?點在⊙O外．判斷點與圓之間的位置關(guān)系，將該點的圓心距與半徑作比較即可．2．直線和圓的位置關(guān)系位置關(guān)系相離相切相交圖形公共點個數(shù)0個1個2個數(shù)量關(guān)系d>rd=rd<r由于圓是軸對稱和中心對稱圖形，所以關(guān)于圓的位置或計算題中常常出現(xiàn)分類討論多解的情況．六、切線的性質(zhì)與判定1．切線的性質(zhì)1）切線與圓只有一個公共點．2）切線到圓心的距離等于圓的半徑．3）切線垂直于經(jīng)過切點的半徑．利用切線的性質(zhì)解決問題時，通常連過切點的半徑，利用直角三角形的性質(zhì)來解決問題．2．切線的判定1）與圓只有一個公共點的直線是圓的切線（定義法）．2）到圓心的距離等于半徑的直線是圓的切線．3）經(jīng)過半徑外端點并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．切線判定常用的證明方法：①知道直線和圓有公共點時，連半徑，證垂直；②不知道直線與圓有沒有公共點時，作垂直，證垂線段等于半徑．七、與圓有關(guān)的計算公式1．弧長和扇形面積的計算：扇形的弧長l=；扇形的面積S==．2．圓錐與側(cè)面展開圖1）圓錐側(cè)面展開圖是一個扇形，扇形的半徑等于圓錐的母線，扇形的弧長等于圓錐的底面周長．2）若圓錐的底面半徑為r，母線長為l，則這個扇形的半徑為l，扇形的弧長為2πr，圓錐的側(cè)面積為S圓錐側(cè)=．圓錐的表面積：S圓錐表=S圓錐側(cè)+S圓錐底=πrl+πr2=πr·（l+r）．在求不規(guī)則圖形的面積時，注意利用割補法與等積變化方法歸為規(guī)則圖形，再利用規(guī)則圖形的公式求解．→?真題精講←題型一圓周角和圓心角1．（2023·云南·統(tǒng)考中考真題）如圖，是的直徑，是上一點．若，則（

）

A． B． C． D．2．（2023·新疆·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，若，，則扇形(陰影部分)的面積是(

)

A． B． C． D．3．（2023·四川自貢·統(tǒng)考中考真題）如圖，內(nèi)接于，是的直徑，連接，，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．4．（2023·四川宜賓·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知點在上，為的中點．若，則等于（）

A． B． C． D．5．（2023·浙江溫州·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形內(nèi)接于，，．若，，則的度數(shù)與的長分別為（

）

A．10°，1 B．10°， C．15°，1 D．15°，6．（2023·山東棗莊·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，弦相交于點P，若，則的度數(shù)為（）

A． B． C． D．7．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，半徑互相垂直，點在劣弧上．若，則（

）

A． B． C． D．8．（2023·四川廣安·統(tǒng)考中考真題）如圖，內(nèi)接于，圓的半徑為7，，則弦的長度為___________．

9．（2023·甘肅武威·統(tǒng)考中考真題）如圖，內(nèi)接于，是的直徑，點是上一點，，則________．

10．（2023·上?！そy(tǒng)考中考真題）如圖，在中，弦的長為8，點C在延長線上，且．

(1)求的半徑；(2)求的正切值．題型二切線定理11．（2023·四川眉山·統(tǒng)考中考真題）如圖，切于點B，連接交于點C，交于點D，連接，若，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．12．（2023·重慶·統(tǒng)考中考真題）如圖，為的直徑，直線與相切于點C，連接，若，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．13．（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考中考真題）如圖，點是外一點，，分別與相切于點，，點在上，已知，則的度數(shù)是___________．

14．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）如圖，是的直徑，是的弦，與相切于點，連接，若，則的大小為__________．

15．（2023·山東濱州·統(tǒng)考中考真題）如圖，分別與相切于兩點，且．若點是上異于點的一點，則的大小為___________．

16．（2023·四川·統(tǒng)考中考真題）如圖，，半徑為2的與角的兩邊相切，點P是⊙O上任意一點，過點P向角的兩邊作垂線，垂足分別為E，F(xiàn)，設(shè)，則t的取值范圍是_____．

17．（2023·浙江紹興·統(tǒng)考中考真題）如圖，是的直徑，是上一點，過點作的切線，交的延長線于點，過點作于點．

(1)若，求的度數(shù)．(2)若，求的長．18．（2023·湖南張家界·統(tǒng)考中考真題）如圖，是的外接圓，是的直徑，是延長線上一點，連接，且．(1)求證：是的切線；(2)若直徑，求的長．19．（2023·遼寧·統(tǒng)考中考真題）如圖，是的直徑，點在上，，點在線段的延長線上，且．

(1)求證：EF與相切；(2)若，求的長．題型三垂徑定理20．（2023·四川涼山·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，則（

）

A．1 B．2 C． D．421．（2023·四川宜賓·統(tǒng)考中考真題）《夢溪筆談》是我國古代科技著作，其中它記錄了計算圓弧長度的“會圓術(shù)”．如圖，是以點O為圓心、為半徑的圓弧，N是的中點，．“會圓術(shù)”給出的弧長的近似值計算公式：．當，時，則的值為（）

A． B． C． D．22．（2023·廣西·統(tǒng)考中考真題）趙州橋是當今世界上建造最早，保存最完整的中國古代單孔敞肩石拱橋.如圖，主橋拱呈圓弧形，跨度約為，拱高約為，則趙州橋主橋拱半徑R約為（

）

A． B． C． D．23．（2023·四川南充·統(tǒng)考中考真題）如圖，是的直徑，點D，M分別是弦，弧的中點，，則的長是________．

24．（2023·湖南永州·統(tǒng)考中考真題）如圖，是一個盛有水的容器的橫截面，的半徑為．水的最深處到水面的距離為，則水面的寬度為_______．

25．（2023·山東東營·統(tǒng)考中考真題）“圓材埋壁”是我國古代數(shù)學(xué)名著