13.2.2 空間兩條直線的位置關(guān)系（四大題型）-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)同步學(xué)與練（蘇教版）（解析版）

第第頁13.2.2空間兩條直線的位置關(guān)系課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)（1）能借助長方體，通過直觀感知、操作確認(rèn)，得出空間兩條直線的位置關(guān)系.（2）理解異面直線的定義及判定，能判斷兩條直線是不是異面直線.（1）會(huì)判斷空間兩條直線的位置關(guān)系.（2）能用基本事實(shí)4和等角定理解決一些簡單的相關(guān)問題．（3）理解異面直線所成的角的概念．知識(shí)點(diǎn)01平行線的傳遞性基本事實(shí)4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行．符號(hào)表示：a∥b，b∥c?a∥c．【即學(xué)即練1】（2024·高一·河南洛陽·階段練習(xí)）下列命題中，真命題有（

）①如果兩條相交直線與另外兩條相交直線分別平行，那么這兩條相交直線和另外兩條相交直線所成的銳角或直角相等；②如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別垂直，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)；③分別在兩個(gè)不同的平面內(nèi)且沒有公共點(diǎn)的直線互相平行；④，若，，則或.A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【解析】由等角定理知，①正確，④正確；對(duì)于②，如圖正方體中，對(duì)于和，顯然有，，但是，，故②錯(cuò)誤；當(dāng)兩直線沒有公共點(diǎn)且它們位于不同的平面內(nèi)，則也可以平行，也可以異面，故③錯(cuò)誤.故正確的只有①④.故選：B知識(shí)點(diǎn)02等角定理空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)．【即學(xué)即練2】（2024·高二·上海長寧·期末）已知和且，則．【答案】或【解析】如圖1，此時(shí)，如圖2，此時(shí)，故答案為：或.知識(shí)點(diǎn)03異面直線1、定義：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線叫做異面直線．2、畫法：3、兩異面直線所成角的常用方法平移線段法是求異面直線所成角的常用方法，其基本思路是通過平移直線，把異面直線的問題化歸為共面直線問題來解決，具體步驟如下：（1）平移：平移異面直線中的一條或兩條，作出異面直線所成的角；（2）認(rèn)定：證明作出的角就是所求異面直線所成的角；（3）計(jì)算：求該角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由異面直線所成的角的取值范圍是，當(dāng)所作的角為鈍角時(shí)，應(yīng)取它的補(bǔ)角作為兩條異面直線所成的角．【即學(xué)即練3】（2024·高一·河南周口·期末）如圖，在三棱錐中，，都為等邊三角形，，，M為中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為（

）

A． B． C． D．0【答案】D【解析】M為中點(diǎn)，取中點(diǎn)為N，連接，如圖所示，則，即為異面直線與所成角，，都為等邊三角形，，，則，在中，，，，故.故選：D.知識(shí)點(diǎn)04空間兩條直線的位置關(guān)系位置關(guān)系共面情況有無公共點(diǎn)相交在同一平面內(nèi)有且只有一個(gè)公共點(diǎn)平行在同一平面內(nèi)沒有公共點(diǎn)異面不同在任何一個(gè)平面內(nèi)沒有公共點(diǎn)【即學(xué)即練4】（2024·高二·黑龍江·學(xué)業(yè)考試）如圖，在正方體中，與平行的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】根據(jù)題意可知：、與相交，與平行，與異面，故ABD錯(cuò)誤，C正確.故選：C.題型一：基本事實(shí)4的應(yīng)用【典例1-1】（2024·全國·高一課時(shí)練習(xí)）已知棱長為的正方體中，，分別為，的中點(diǎn)．求證：四邊形是梯形．【解析】證明：如圖所示：連接AC，由正方體的性質(zhì)可知：AA′=CC′，AA′CC′，∴四邊形AA′C′C為平行四邊形，∴A′C′=AC．A′C′AC，又∵M(jìn)，N分別是CD，AD的中點(diǎn)，∴MN∥AC，且MN＝AC，∴MN∥A′C′且MN≠A′C′．∴四邊形MNA′C′是梯形．【典例1-2】（2024·全國·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，在三棱錐中，M，N，E，F(xiàn)分別為棱SA，SC，AB，BC的中點(diǎn)，試判斷直線MN與直線EF是否平行．【解析】在三棱錐中，M，N分別為棱SA，SC的中點(diǎn)，則有MN//AC，而E，F(xiàn)分別為棱AB，BC的中點(diǎn)，則有EF//AC，由平行公理得：MN//EF，所以直線MN與直線EF平行．【變式1-1】（2024·全國·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中的平面A1C1內(nèi)有一點(diǎn)P，經(jīng)過點(diǎn)P作棱BC的平行線，應(yīng)該怎樣畫?并說明理由.【解析】如圖，在平面A1B1C1D1內(nèi)過P作直線EF∥B1C1，交A1B1于E，交C1D1于F，∴直線EF即為所求.理由如下：由EF∥B1C1，BC∥B1C1，則EF∥BC.【方法技巧與總結(jié)】（證明兩直線平行的常用方法）（1）利用平面幾何的結(jié)論，如平行四邊形的對(duì)邊，三角形的中位線與底邊；（2）定義法：即證明兩條直線在同一個(gè)平面內(nèi)且兩直線沒有公共點(diǎn)；（3）利用基本事實(shí)4：找到一條直線，使所證的直線都與這條直線平行．題型二：等角定理的應(yīng)用【典例2-1】（2024·高一·新疆伊犁·期末）已知，的兩邊EF、FM分別平行于的兩邊AB與BC.則．【答案】或【解析】由等角定理，如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊平行，則兩個(gè)角相等或互補(bǔ)，所以或.故答案為：或.【典例2-2】（2024·高一·黑龍江齊齊哈爾·期末）已知空間中兩個(gè)角，，且角與角的兩邊分別平行，若，則．【答案】或【解析】根據(jù)等角定理知：或，若，則或.故答案為：或【變式2-1】（2024·高一·廣西玉林·期末）設(shè)與的兩邊分別平行，若，則.【答案】或【解析】根據(jù)等角定理：一個(gè)角的兩邊平行于另外一個(gè)角的兩邊，則這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)．所求角為或.故答案為：或.【變式2-2】（2024·高一·全國·課時(shí)練習(xí)）已知角的兩邊和角的兩邊分別平行且，則.【答案】或.【解析】由等角定理可知，或，或.故答案為：或.【變式2-3】（2024·高一·江蘇常州·階段練習(xí)）已知空間中兩個(gè)角，且，若，則.【答案】或【解析】因?yàn)閮蓚€(gè)角，且，則的兩邊分別平行，所以相等或互補(bǔ)，又，所以或故答案為：或【方法技巧與總結(jié)】（應(yīng)用等角定理的注意事項(xiàng)）空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)．注意觀察兩角的方向是否相同，若相同，則兩角相等；若不同，則兩角互補(bǔ)．題型三：直線與直線的位置關(guān)系【典例3-1】（2024·高二·北京·學(xué)業(yè)考試）在空間中，若兩條直線與沒有公共點(diǎn)，則a與b（

）A．相交 B．平行 C．是異面直線 D．可能平行，也可能是異面直線【答案】D【解析】由題意知在空間中，兩條直線與沒有公共點(diǎn)，即與不相交，則a與b可能平行，也可能是異面直線，故選：D【典例3-2】（2024·高二·上?！て谀┤绻本€a和b沒有公共點(diǎn)，那么a與b（）A．共面 B．平行C．可能平行，也可能是異面直線 D．是異面直線【答案】C【解析】∵直線a和b沒有公共點(diǎn)，∴直線a與b不是相交直線．∴直線a與b可能是相交直線或異面直線．故選：C．【變式3-1】（2024·高二·重慶銅梁·階段練習(xí)）如圖，在正方體中，M、N分別為棱、的中點(diǎn)，有以下四個(gè)結(jié)論：①直線AM與是相交直線；②直線AM與BN是平行直線；③直線BN與是異面直線；④直線AM與是異面直線．其中正確的結(jié)論為（

）A．③④ B．①② C．①③ D．②④【答案】A【解析】∵A、M、三點(diǎn)共面，且在平面，但平面，，∴直線AM與是異面直線，故①錯(cuò)誤；因?yàn)槠矫妫矫?，但平面，，所以直線AM與BN也是異面直線，故②錯(cuò)誤；因?yàn)槠矫?，平面，但平面，，所以直線BN與是異面直線，故③正確；因?yàn)槠矫?，平面，但平面，，所以直線AM與是異面直線，故④正確．故選：A．【方法技巧與總結(jié)】（判定兩直線異面的常用方法）（1）定義法：由定義判斷兩直線不可能在同一平面內(nèi)；（2）排除法（反證法）：排除兩直線共面（平行或相交）的情況．題型四：異面直線所成的角【典例4-1】（2024·高二·重慶·期末）在正方體中，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】如圖所示，取中點(diǎn)，連接，取中點(diǎn)，連接，則，所以四邊形是平行四邊形，所以，所以或其補(bǔ)角是異面直線與所成角，設(shè)正方體棱長為2，則，在等腰中，是中點(diǎn)，所以，所以，即異面直線與所成角的正弦值為.故選：C【典例4-2】（2024·高二·四川達(dá)州·階段練習(xí)）如圖，在正方體中，為線段的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】如圖，連接，，因?yàn)椋?，所以四邊形是平行四邊形，，因此是異面直線與所成的角或其補(bǔ)角，設(shè)正方體的棱長為2，則，，在直角三角形中，，，即三角形是直角三角形，，即異面直線與所成角的余弦值為.故選：C.【變式4-1】（2024·高三·河北邯鄲·階段練習(xí)）如圖，已知圓柱的底面半徑和母線長均為1，分別為上、下底面圓周上的點(diǎn)，若異面直線所成的角為，則（

）A．1 B． C．1或2 D．2或【答案】D【解析】如圖，過點(diǎn)作平面于點(diǎn)，則是母線，連接底面，，則四邊形是平行四邊形，，與所成的角就是或其補(bǔ)角．當(dāng)時(shí)，是等邊三角形，，在中，；當(dāng)時(shí)，在中，，在中，．綜上，或.故選：D．【變式4-2】（2024·高一·陜西寶雞·階段練習(xí)）如圖，在四面體中，、分別為、的中點(diǎn)，若、所成的角為，且，則的長為（

）

A． B． C． D．或【答案】D【解析】取線段的中點(diǎn)，連接、，因?yàn)?、分別為、的中點(diǎn)，則且，同理可得且，所以，異面直線、所成的角為或其補(bǔ)角，①若，則是邊長為的等邊三角形，故；②若，因?yàn)椋瑒t為等腰三角形，且，取的中點(diǎn)，則，且.綜上所述，或.故選：D.【變式4-3】（2024·湖南岳陽·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知長方體的底面是邊長為2的正方形，為其上底面的中心，在此長方體內(nèi)挖去四棱錐后所得的幾何體的體積為.(1)求線段的長；(2)求異面直線與所成的角.【解析】（1）依題意，得，解得；（2）如圖，取的中點(diǎn)，連接，則，所以是兩異面直線與所成的角，因?yàn)槠矫?，所以平面，又平面，所以，在中，，則，所以，所以異面直線與所成的角為.【方法技巧與總結(jié)】（兩異面直線所成角的常用方法）平移線段法是求異面直線所成角的常用方法，其基本思路是通過平移直線，把異面直線的問題化歸為共面直線問題來解決，具體步驟如下：（1）平移：平移異面直線中的一條或兩條，作出異面直線所成的角；（2）認(rèn)定：證明作出的角就是所求異面直線所成的角；（3）計(jì)算：求該角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由異面直線所成的角的取值范圍是，當(dāng)所作的角為鈍角時(shí)，應(yīng)取它的補(bǔ)角作為兩條異面直線所成的角．一、單選題1．（2024·高二·北京昌平·期末）如圖，在正方體中，直線與直線所成角的大小為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】連接，，在正方體中，易得，故直線與直線所成角的大小與直線與直線所成角大小相等，又，故為等邊三角形，故，即直線與直線所成角的大小為.故選：C.2．（2024·高一·新疆喀什·期末）正方體中，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，則與所成角為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】正方體中，連接，由分別是的中點(diǎn)，得，四邊形是正方體的對(duì)角面，則四邊形是矩形，于是，即有，因此是異面直線與所成角或其補(bǔ)角，在中，，則，所以與所成角為.故選：C3．（2024·高一·新疆阿克蘇·階段練習(xí)）如下圖，是正方體面對(duì)角線上的動(dòng)點(diǎn)，下列直線中，始終與直線異面的是（

）A．直線 B．直線 C．直線 D．直線【答案】D【解析】當(dāng)P位于中點(diǎn)時(shí)，易知，由正方體的特征可知四邊形為平行四邊形，此時(shí)、面，故A錯(cuò)誤；當(dāng)P與重合時(shí)，此時(shí)、面，故B錯(cuò)誤；當(dāng)P與重合時(shí)，由正方體的特征可知四邊形為平行四邊形，此時(shí)，故C錯(cuò)誤；由正方體的特征可知四邊形為平行四邊形，而平面，平面，、平面，，故與始終異面，即D正確.故選：D4．（2024·高二·福建廈門·期中）如圖，在正方體中，M是的中點(diǎn)，則異面直線，所成角的余弦值是（

）

A． B． C． D．【答案】D【解析】連接,取，的中點(diǎn),連接;在正方體內(nèi)，因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以,故四邊形為平行四邊形；所以;又因?yàn)?，的中點(diǎn)為，所以;所以為異面直線，所成的角或其補(bǔ)角.設(shè)正方體的棱長為2，則,，在直角中，，在中，利用余弦定理可得：.故選：D.5．（2024·上海·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在正方體中，點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，下列與始終異面的是（

）

A． B． C． D．【答案】B【解析】由正方體的性質(zhì)易知當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，此時(shí)，而，所以共面，則、在平面上，故A不符題意；同上，，即共面，易知平面，而平面，故B符合題意；當(dāng)重合時(shí)，易知，則四邊形是平行四邊形，則此時(shí)，故C不符合題意；同上當(dāng)重合時(shí)，顯然，相交，故D不符合題意.故選：B6．（2024·高二·四川內(nèi)江·階段練習(xí)）如圖是正方體的展開圖，則還原圖形后，下列說法正確的是（

）A．與平行 B．與異面C．與平行 D．與相交【答案】B【解析】如圖為還原圖，由圖可知與為異面直線，與為異面直線，故選：B7．（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）在正方體中，，，，分別為，，，的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的大小是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】在正方體中，連接，由分別為的中點(diǎn)，得分別為中點(diǎn)，而分別為的中點(diǎn)，則，，因此或其補(bǔ)角是異面直線與所成的角，在中，，則，所以異面直線與所成角的大小是.故選：C8．（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）如圖,在圓錐中,,為圓上的點(diǎn),且,,若為的中點(diǎn),為的中點(diǎn),則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】如圖,取的中點(diǎn),取的中點(diǎn),連接則,且,,則就是異面直線與所成的角或其補(bǔ)角．易知平面,所以平面,所以.因?yàn)?,所以,所以由勾股定理得,又,,所以在△中,由余弦定理得,故異面直線與所成角的余弦值為．故選:A．二、多選題9．（2024·高一·河南·期中）已知正方體中，M為的中點(diǎn)，則下列直線中與直線是異面直線的有（

）A． B． C． D．【答案】CD【解析】由題意可知M為的中點(diǎn)，故，，故，與均為相交直線，A，B錯(cuò)誤；平面，平面直線，故與直線為異面直線，同理可說明與直線為異面直線，C，D正確，故選：CD10．（2024·高一·陜西西安·期末）如圖是一個(gè)正方體的平面展開圖，在這個(gè)正方體中，下列說法中正確的序號(hào)是（

）A．直線與直線相交；B．直線與直線平行；C．直線BM與直線是異面直線；D．直線與直線成角.【答案】CD【解析】如圖所示，將正方體的平面展開圖，復(fù)原為正方體，對(duì)于A中，直線與不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，否則四點(diǎn)共面，（矛盾），所以直線與為異面直線，所以A不正確；對(duì)于B中，直線與不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，否則四點(diǎn)共面，（矛盾），所以直線與為異面直線，所以B不正確；對(duì)于C中，平面平面，平面，平面，所以直線與不相交，連接，則，而與相交，所以與不平行，否則，不合題意，所以直線與是異面直線，所以C正確；對(duì)于D中，連接，則為正三角形，可得，又由，則為直線與直線所成的角，即直線與直線所成的角為，所以D正確.故選：CD.11．（2024·高二·山東德州·階段練習(xí)）已知，分別是三棱錐的棱，的中點(diǎn)，且，.若異面直線與所成角的大小為，則線段EF的長可能為（

）A． B． C．5 D．【答案】BD【解析】取中點(diǎn)，連接，，因?yàn)?，分別為，的中點(diǎn)，，，所以，，，，所以異面直線與所成角與直線和所成角相等，即或，當(dāng)時(shí)，根據(jù)余弦定理得，，解得；當(dāng)時(shí)，根據(jù)余弦定理得，，解得.故答案為：BD.三、填空題12．（2024·高二·安徽合肥·期末）已知正方體的棱長為，則異面直線與所成的角的余弦值．

【答案】/【解析】如圖所示連接，根據(jù)正方體的特征易知，且為等邊三角形，所以即異面直線與所成的角，且，.故答案為：13．（2024·高二·北京海淀·期末）如圖，已知E，F(xiàn)分別為三棱錐的棱的中點(diǎn)，則直線與的位置關(guān)系是（填“平行”，“異面”，“相交”）．【答案】異面【解析】假設(shè)直線共面，平面，由，則平面，同理，平面，故共面，這與是三棱錐矛盾，故假設(shè)錯(cuò)誤，故直線異面.故答案為：異面.14．（2024·高二·北京海淀·階段練習(xí)）如圖所示，在正方體中，點(diǎn)為邊上的動(dòng)點(diǎn)，則下列直線中，始終與直線異面的是.①②③④【答案】②【解析】由正方體的性質(zhì)易知當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，此時(shí)，而，所以共面，則、在平面上，故①不符題意；因?yàn)?，即共面，易知平面，而平面，，，故與異面，故②符合題意；當(dāng)重合時(shí)，易知，則四邊形是平行四邊形，則此時(shí)，故③不符合題意；當(dāng)重合時(shí)，顯然，相交，故④不符合題意.故答案為：②四、解答題15．（2024·高三·全國·專題練習(xí)）已知正方體中，棱長為2，點(diǎn)E是棱AD的中點(diǎn)．連接CE，求證：直線