【圓錐曲線中求軌跡方程的方法探究10000字（論文）】

目錄TOC\o"1-2"\h\u139731緒論 1157721.1研究背景 153751.2研究意義 2266552圓錐曲線在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的地位與學(xué)習(xí)要求 2181352.1圓錐曲線的地位 2139762.2圓錐曲線的學(xué)習(xí)要求 3181833圓錐曲線的知識概要 4113503.1曲線與方程 4224073.2橢圓的基礎(chǔ)理論 4101823.3拋物線的基礎(chǔ)理論 5225284數(shù)學(xué)中軌跡方程的學(xué)習(xí)難點 5248605圓錐曲線中求動點的軌跡方程 6169885.1定義法 628355.2直接法 712715.3幾何法 738095.4參數(shù)法 8285015.5點差法 8257445.6對稱法 9198485.7轉(zhuǎn)移法 9213395.8代入法 10285765.9點差法 114535.10交軌法 1115135.11向量法 12163156圓錐曲線方程解題技巧 13172237總結(jié) 1418986參考文獻(xiàn)： 16圓錐曲線中求軌跡方程的方法研究摘要：圓錐曲線中軌跡方程的求解是高考中的重要考點之一,而軌跡方程的求解題目一般比較難,如何快速有效的求解出圓錐曲線的軌跡方程是高考生必須掌握的技能.本文從圓錐曲線的特點、結(jié)構(gòu)入手,介紹圓錐曲線的認(rèn)識方法以及圓錐曲線的應(yīng)用策略,然后通過具體的例題對所掌握的圓錐曲線軌跡方程的求解方法進(jìn)行歸納總結(jié),得到的方法有定義法、直接法、幾何法、參數(shù)法、點差法、對稱法、轉(zhuǎn)移法、代入法、差點法、交軌法、向量法以幫助學(xué)生能更好的求解圓錐曲線的軌跡方程.關(guān)鍵詞：圓錐曲線；軌跡方程；求解方法；公式應(yīng)用1緒論研究背景平面解析幾何是高中數(shù)學(xué)課程中必不可少的一部分，圓錐曲線是解析幾何的具體體現(xiàn)．通過圓錐曲線的學(xué)習(xí)不僅能提高學(xué)生的數(shù)形結(jié)合能力，而且能提高他們解決實際問題的能力．在學(xué)習(xí)本章知識時還會用到必修二的有關(guān)知識，因此這部分知識還有承上啟下的作用．這章內(nèi)容普遍被學(xué)生認(rèn)為難學(xué)，是學(xué)生公認(rèn)的高中數(shù)學(xué)內(nèi)容的一個難點．圓錐曲線是解析幾何的基本思想和基本方法的集中體現(xiàn)．學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容時首先講述了三種曲線的定義，然后根據(jù)定義推導(dǎo)了它們的方程．通過三種曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，結(jié)合代數(shù)運算研究了它們的幾何性質(zhì)，這也給出了用代數(shù)方法研究其幾何性質(zhì)的常用方法．因此，這一章知識的學(xué)習(xí)對于學(xué)生充分理解、領(lǐng)悟解析幾何的基本思想，學(xué)會用這種思想來解決一些基本問題具有重要的現(xiàn)實意義．圓錐曲線是每年高考都會考查的內(nèi)容，一般是一個小題，一個大題，占20分左右，比一般章節(jié)占分稍重些．小題主要考查定義、方程、漸近線方程、離心率等基礎(chǔ)知識的應(yīng)用，大題則常處于壓軸題的位置，題型變化靈活，還增加了開放性、探索性等問題，對學(xué)生的綜合能力要求比較高．隨著時代的不斷發(fā)展，軌跡曲線與科研、生活以及人類生活有密切的關(guān)系．開普勒就發(fā)現(xiàn)行星繞太陽運行的軌跡是一個橢圓，發(fā)現(xiàn)得知由探照燈反射鏡面形成的軌跡是拋物線繞其對稱軸旋轉(zhuǎn)形成的拋物面以及發(fā)電廠冷卻塔的外形線所形成的軌跡是雙曲線等．從而可見高中數(shù)學(xué)軌跡問題及教學(xué)都與時代發(fā)展存在緊密的聯(lián)系，同時也需要我們不斷地去探索，終身的去學(xué)習(xí)．高中數(shù)學(xué)圓錐曲線軌跡問題是在學(xué)習(xí)“直線、圓等簡單的幾何知識”開始發(fā)展成圓錐曲線的軌跡問題．為了進(jìn)一步完善解決軌跡教學(xué)設(shè)計的解題技巧，我們需要時刻學(xué)習(xí)著，在今后教與學(xué)習(xí)空間軌跡曲線問題做充分的準(zhǔn)備．此外，用數(shù)學(xué)基本方法知識解軌跡問題時候，通過圓與直線的位置關(guān)系聯(lián)想到以前所要學(xué)習(xí)的直線與方程等知識，圓錐曲線軌跡這塊內(nèi)容設(shè)計需要具備一定的分類與整合思想．在高中數(shù)學(xué)課程選修2-1中把”曲線與方程、橢圓、雙曲線、拋物線”中軌跡問題的內(nèi)容進(jìn)行探索及拓展，研究圓錐曲線中軌跡問題的難題進(jìn)行變形．并且在高中數(shù)學(xué)教材中也會有更多與生活有關(guān)的數(shù)學(xué)軌跡問題的題型．例如，自行車車輪飾物的運動軌跡問題，在自行車的輻條上安裝一塊亮麗奪目的飾物，這飾物的運動軌跡是一條什么曲線當(dāng)這自行車在一個拋物線型的拱橋上通過時，或是在一拱一拱的正弦曲線上通過時，這飾物的運動軌跡是一條什么曲線試畫出它的圖形．這時建立一個圓沿一曲線無滑動滾動時，某一條半徑上的一個固定點的運動軌跡方程．研究意義“曲線和方程”揭示了幾何中的形與代數(shù)中的數(shù)相統(tǒng)一的關(guān)系，體現(xiàn)了解析幾何中數(shù)形結(jié)合的思想，對解析幾何教學(xué)有著深遠(yuǎn)的影響．從知識上說，曲線與方程這節(jié)課是在學(xué)習(xí)了圓與直線的基礎(chǔ)上進(jìn)行的，同時也是是對后面所學(xué)圓錐曲線的重要基礎(chǔ)，它也是高中學(xué)生較難以理解的一個概念．通過對本節(jié)課的探索和學(xué)習(xí)，有助于學(xué)生提高概念理解能力，也為以后深入學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ)，對培養(yǎng)學(xué)生觀察問題、分析問題和解決問題的能力起著重要的作用．圓錐曲線與方程是平面解析幾何的重要內(nèi)容．雖然在近十幾年間由于課程改革的因素，這部分的內(nèi)容從結(jié)構(gòu)到內(nèi)容在不斷變化的.在2000年以前的教材中《解析幾何》是一本書，內(nèi)容包括“曲線與方程”、“直線的方程’，、“圓的方程”、“圓錐曲線方程”、“極坐標(biāo)和參數(shù)方程”．這些內(nèi)容是集中在一起學(xué)習(xí)的.但是在2004年課改后把解析幾何分了三部分:“平面解析幾何初步(必修2)”“圓錐曲線與方程(選修1)”．在教材的變化中我們可以看到“課標(biāo)”構(gòu)建的解析幾何課程體系，是以坐標(biāo)法為核心，依“直線與方程—圓與方程—圓錐曲線與方程—極坐標(biāo)系與參數(shù)方程”為順序，螺旋上升、循序漸進(jìn)地展開內(nèi)容．這應(yīng)該是充分考慮到了學(xué)生認(rèn)知的發(fā)展規(guī)律．在圓錐曲線與方程的學(xué)習(xí)中我們了解到圓錐曲線是一個非常重要的幾何模型；圓錐曲線的幾何性質(zhì)在日常生活、社會生產(chǎn)以及其他科學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用．特別地本章內(nèi)容在高中幾何知識鏈中起到承上啟下的作用．同時圓錐曲線也是體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想的好素材．2圓錐曲線在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的地位與學(xué)習(xí)要求2.1圓錐曲線的地位 解析幾何是數(shù)學(xué)發(fā)展過程中的標(biāo)志性成果，而圓錐曲線是解析幾何的的基礎(chǔ)知識又是核心內(nèi)容，為解析幾何的發(fā)展奠定了基礎(chǔ).圓錐曲線體現(xiàn)了解析幾何的基本思想和基本能力，它是聯(lián)系代數(shù)與幾何的橋梁，用于培養(yǎng)學(xué)生用代數(shù)方法解決幾何問題的能力.近二十多年，我國一直在進(jìn)行課程改革，教材也隨之發(fā)生了各種變化，但是在諸多改革中，圓錐曲線一直都存在于高中數(shù)學(xué)教材中，所以圓錐曲線是在高中數(shù)學(xué)知識中的重要內(nèi)容.同時高考也在進(jìn)行著各種改革，但多年來對圓錐曲線的考查在分值、題型及在試卷中的分布也幾乎沒發(fā)生什么變化，除此，解析幾何是微積分創(chuàng)立的基礎(chǔ)，與高等數(shù)學(xué)有著密切的聯(lián)系，圓錐曲線部分知識也為學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)中的微積分知識奠定了基礎(chǔ).所以圓錐曲線知識不僅是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要部分，更是整個數(shù)學(xué)知識的一個重要部分．圓錐曲線一直是高考的熱門問題，考試的內(nèi)容可以是圓錐曲線的基礎(chǔ)知識，例如圓錐曲線相關(guān)定義的考查、簡單性質(zhì)的考查等.還可以和向量、不等式、函數(shù)等聯(lián)系起來，要求學(xué)生不僅要對基本定義、性質(zhì)掌握牢固，而且要求學(xué)生具有很強(qiáng)的綜合性和轉(zhuǎn)化、化歸能力，能夠?qū)⒑瘮?shù)、不等式等知識與圓錐曲線的性質(zhì)快速融合在一起，將自身的知識廣度與深度達(dá)到一個新的層次.除此，圓錐曲線還需要學(xué)生具備很強(qiáng)的計算、分析能力等，難度較大.2.2圓錐曲線的學(xué)習(xí)要求新課標(biāo)在實驗版課標(biāo)的基礎(chǔ)上，首次提出了只屬于數(shù)學(xué)學(xué)科的六大核心素養(yǎng):數(shù)學(xué)抽象，邏輯推理，數(shù)學(xué)建模，直觀想象，數(shù)學(xué)運算及數(shù)據(jù)分析.課程目標(biāo)也發(fā)生了一定的變化:由“雙基”變?yōu)榱恕八幕焙汀八哪堋?；由注重學(xué)生數(shù)學(xué)能力的提高變?yōu)樽⒅貙W(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng).除此課程結(jié)構(gòu)與課程內(nèi)容安排也發(fā)生了一些變化.新課標(biāo)在實驗版課標(biāo)基礎(chǔ)上，在結(jié)構(gòu)上，增加了課程結(jié)構(gòu)、學(xué)業(yè)質(zhì)量及學(xué)科核心素養(yǎng)三個部分.關(guān)于核心素養(yǎng)，新課標(biāo)還給出了一些案例，從而使得高中教師可以更好地將新課標(biāo)應(yīng)用于教學(xué)中．新課標(biāo)在實驗版課標(biāo)的基礎(chǔ)上，更加注重信息化教學(xué)，更加注重學(xué)生的個性化、多樣化的學(xué)習(xí)，更加注重與實際生活的聯(lián)系，注重學(xué)生主動地、自由地、活潑的發(fā)展.為新課標(biāo)在原來必修、選修模塊進(jìn)行了一些調(diào)整.原來課本分為必修和選修，內(nèi)容分“必修模塊”和“選修模塊”.新課標(biāo)將原來的“必修模塊”改成了“選擇性必修?！斑x擇性必修”和“選修”三種課程，從而使得數(shù)學(xué)此為塊”.將數(shù)學(xué)課程分為了“必修”、課程具有基礎(chǔ)性、選擇性和發(fā)展性.“必修課程”考慮的是全體學(xué)生的發(fā)展，目的是使得全體學(xué)生都具備基本的數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)能力；而“選擇性必修”及“選修”課程則是充分考慮學(xué)生不同的成長需要，為學(xué)生提供多樣性的自主選擇，為學(xué)生的可持續(xù)發(fā)展和終身學(xué)習(xí)創(chuàng)造條件．但是新舊課標(biāo)中圓錐曲線部分知識都是在學(xué)習(xí)直線與方程、圓與方程之后進(jìn)行學(xué)習(xí)的.新課標(biāo)對圓錐曲線部分知識的要求相對較低，相對實驗版課標(biāo)，更加注重對圓錐曲線發(fā)展史等數(shù)學(xué)文化的學(xué)習(xí)．3圓錐曲線的知識概要3.1曲線與方程一般地，在平面直角坐標(biāo)系中，如果某曲線(看做點的集合或適合某種條件的點的軌跡)上的點與一個二元方程的實數(shù)解滿足:(1)曲線上的點的坐標(biāo)都是這個方程的解；(2)以這個方程的解為坐標(biāo)的點都是曲線上的點.那么這個方程叫做曲線的方程，這條曲線叫做方程的曲線.一般考查有兩種形式:一由方程判斷曲線類型，二求曲線的軌跡方程.3.2橢圓的基礎(chǔ)理論3.2.1橢圓的定義平面內(nèi)到兩個定點，的距離之和等于定值(定值)的點的集合叫做橢圓．當(dāng)這個定值時，點的集合為橢圓；當(dāng)這個定值時，點的集合為；當(dāng)這個定值時，點的集合為空集．在這里需要注意的是，，這兩個定點不能重合，否則相應(yīng)點的集合則是圓．3.2.2橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程給定橢圓，，分別為其左、右焦點，，是橢圓上一個動點，且滿足，則建系:以，所在直線為軸，以，的垂直平分線為軸，正方向如圖所示，建立直角坐標(biāo)系，故點坐標(biāo)為，點坐標(biāo)為(c,0)．設(shè)點：設(shè)是橢圓上的一個動點．列式：，可得.3.3拋物線的基礎(chǔ)理論3.3.1拋物線的定義在平面內(nèi)，設(shè)為一個定點，為不過點的直線，若一條曲線上面所有的點到與的距離相等，那么這條曲線為拋物線．設(shè)點是拋物線上任意一點，點到直線的距離為，為拋物線的焦點，根據(jù)拋物線的定義可知，拋物線可以看作動點的集合，也就是集合3.3.2拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程根據(jù)拋物線上點的幾何特征求拋物線的方程時，為了使得推導(dǎo)的過程盡可能的簡單，建立平面直角坐標(biāo)系．根據(jù)拋物線的定義，設(shè)準(zhǔn)線到焦點的距離為，因焦點在不同半軸上時的標(biāo)準(zhǔn)方程不同，有以下四種情況：A、當(dāng)焦點在軸的正半軸上時的拋物線時，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；B、當(dāng)焦點在軸的負(fù)半軸上時的拋物線時，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；C、當(dāng)焦點在軸的正半軸上時的拋物線時，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；D、當(dāng)焦點在軸的負(fù)半軸上時的拋物線時，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．4數(shù)學(xué)中軌跡方程的學(xué)習(xí)難點眾所周知，軌跡是“由點運動所成的點的集合”．但要真正理解軌跡曲線的概念就得分析清楚軌跡的形成過程，學(xué)習(xí)軌跡曲線研究的對象具有廣泛性；研究的方法也具有不穩(wěn)定性；對于求解軌跡問題時，往往不知以哪種曲線作為依據(jù)來求．這說明了，對軌跡問題概念的掌握不明確，分析思路不清晰，不了解軌跡曲線的形成過程．由于各種實際問題的限制，多媒體工具信息的缺乏，使學(xué)生學(xué)習(xí)軌跡曲線概念造成了潛在的困難．隨著社會的信息化進(jìn)程和經(jīng)濟(jì)的快速發(fā)展，軌跡曲線問題的應(yīng)用越來越廣泛，尤其在科研、生產(chǎn)以及日常生活有著密切的關(guān)系．例如，人造衛(wèi)星和彗星運行的軌道、手電筒、探照燈、衛(wèi)星接收天線、電影放映機(jī)的燈泡以及GPS(全球定位系統(tǒng))等，它們的工作原理都與軌跡的性質(zhì)有關(guān)，人教版的教科書提出了這樣的一個問題:“當(dāng)一個平面垂直于圓錐的軸線時，截口曲線的軌跡為什么是圓．當(dāng)改變平面與圓錐軸線的夾角，截口曲線的軌跡又是什么呢?教科書展示的三幅圖片說明，當(dāng)截面與圓錐曲線夾角不同時，可以得到不同的曲線，它們分別是橢圓、拋物線、雙曲線．為什么分別是這三種軌跡曲線?這還有許多學(xué)生存在困惑，很難理解它們．5圓錐曲線中求動點的軌跡方程求動點的軌跡方程的題目所給出的條件靈活多變，因此求方程的時候就要求隨著條件的變化而變化，求軌跡方程的方法也各有特點．但是，實質(zhì)上求動點軌跡方程就是求動點的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)所滿足的等量關(guān)系．常用的方法有直接法、定義法、相關(guān)點法、參數(shù)法等．5.1定義法如果動點的軌跡符合己知曲線的定義，比如圓錐曲線所包括的四種曲線，則可以直接根據(jù)已知曲線的定義得出動點的軌跡方程，最后只需要由題目條件得出方程中的未知量即可．如果動點的軌跡符合某種曲線的定義,這時只需判斷軌跡的形狀,然后根據(jù)條件求出曲線的方程．例1:己知和是平面上的兩個定點，動點滿足,求動點的軌跡方程．解析:因為，，故由橢圓定義，動點的軌跡是以和為焦點，長軸長為的橢圓．設(shè)橢圓的方程為：則有即，半焦距，所以，所以，所求動點的軌跡方程為：.5.2直接法如果動點所要滿足的條件是非常簡單、易于表示的，那么只需要將條件翻譯成數(shù)學(xué)表達(dá)式，然后經(jīng)過簡單的代數(shù)化簡，就可以得到其軌跡方程．因為這種方法不需要特殊的技巧，也不需要其他步驟，所以可以稱之為直接法．直接法求軌跡方程的步驟:建系:建立合適的坐標(biāo)系；設(shè)點:設(shè)軌跡上的任一點；列式:列出題目所示的代數(shù)關(guān)系式化簡:化簡列出的代數(shù)式即可．例2:平面直角坐標(biāo)系中，與關(guān)于原點對稱，點坐標(biāo)為，為平面內(nèi)一動點，滿足且直線與的斜率之積等于，求動點P的軌跡方程．解：因為點與點關(guān)于原點對稱，所以點坐標(biāo)為．設(shè)點的坐標(biāo)為，由題意可得，.化簡得：．所以點的軌跡方程為：．5.3幾何法幾何法就是適當(dāng)建立直角坐標(biāo)系，充分挖掘曲線的軌跡所包含的平面幾何關(guān)系，以這些幾何關(guān)系為橋梁，求出動點的坐標(biāo)，滿足的關(guān)系式．例3：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線交軸于點．設(shè)是上一點，是線段的垂直平分線上一點，且滿足，當(dāng)點在上運動時，求點的軌跡的方程．圖1解：由，得．而點在線段的垂直平分線上，所以．則點到直線的距離與到原點的距離相等，所以點的軌跡是一條開口向右的拋物線．頂點是，它的方程為．5.4參數(shù)法如果動點的橫、縱坐標(biāo)之間滿足的關(guān)系不容易直接找到,可根據(jù)所給條件,適當(dāng)引進(jìn)一、二個參數(shù),使動點的坐標(biāo)分別與參數(shù)建立關(guān)系式,然后消去參數(shù),就可得到動點的軌跡方程.用參數(shù)法求曲線的軌跡方程的要點是標(biāo)明參數(shù)的取值范圍.例4過雙曲線上左支任意一點作直線的垂線,垂足是,求線段中點的軌跡方程.解:設(shè)雙曲線上任意一點為,的方程是.由,解得,設(shè),則，(是參數(shù)),消參,得.5.5點差法如果軌跡問題中牽涉到中點弦問題,就可考慮點差法.只要通過代點作差,并以中點弦的斜率為橋梁,就可獲得動點的軌跡方程.例5以點P(3,3)為圓心的圓與橢圓x2+3y2=m相交于A、B兩點,求AB中點M的軌跡方程.解:設(shè)Ax1,y1、Bx2,y2、Mx,y,則、,兩式相減得,即,因,,因為所以即.而代入上式得并5.6對稱法所求曲線的軌跡與某已知曲線關(guān)于一直線或一個點對稱，可利用軸對稱或中心對稱的定義，找出對稱點之間的聯(lián)系，再求出其軌跡方程．例6：設(shè)點P在拋物線x2+4y+2=0上運動,M點與P點關(guān)于直線x+y?6=0對稱,設(shè)AP與A'P'相交于Q解:設(shè)Px1,y1,動點M因為M點與P點關(guān)于直線x+y?②由方程②得x1=6?y5.7轉(zhuǎn)移法如果動點M(x,y)依賴于已知曲線上的另一個動點P(x0,y0)而運動,且點M(x,y)的坐標(biāo)可以用P(x例7求經(jīng)過定點M(1,2),以y軸為準(zhǔn)線,離心率是的橢圓的左頂點的軌跡方程.解:如圖2,橢圓過定點M(1,2),以y軸為準(zhǔn)線,長軸平行于x軸.設(shè)橢圓的左頂點為A(x,y),作MN⊥y軸交y軸于N點,由橢圓的第二定義知,,所以.從而,由圓的定義得,即為所求．例8：動點P在拋物線上運動,A(1,0),點M在MP上,且AM∶MP=1∶2,試求動點M的軌跡方程.解:設(shè)P(x1,y1),動點M(x,y).因P在拋物線上運動,則①又因點M分AP的比是則，解得代入①式中,得,即為所求.5.8代入法如果所求曲線上的點M(x,y)比較難找,我們可在平面上找到與點M存在聯(lián)系的某個點Px0,y0例9：如圖3,已知點P(4,0)在圓內(nèi),A、B在圓上運動,且∠APB=90°,試求矩形PAQB頂點Q的軌跡方程.解:設(shè)動點Q(x,y),連結(jié)PQ、AB,設(shè)線段AB的中點Cx1,y1,則OC2=OA2?AC2,因為∠APB=90°,所以AC5.9點差法如果軌跡問題中牽涉到中點弦問題,就可考慮點差法.只要通過代點作差,并以中點弦的斜率為橋梁,就可獲得動點的軌跡方程.例10以點P(3,3)為圓心的圓與橢圓x2+3y2=m相交于A、解:設(shè)Ax1,y1、B(x2,y2)、M因，，因為AB⊥PM,所以KAB×而，代入上式得，整理,得2xy+3x?5.10交軌法如果所求軌跡的動點是兩條曲線(或直線與曲線、或直線與直線)的交點,即可聯(lián)立這兩條曲線(或直線與曲線、或直線與直線),得到動點M(x,y)的坐標(biāo)x,y的關(guān)系式.例11：橢圓與x軸的交點為A(2,0)、A′(?2,0),與y軸平行的直線交該橢圓于P、P′兩點,設(shè)AP與A′P′相交于Q點,求Q解:設(shè)橢圓上與y軸平行直線上的點P(2cosα,sinα),P′(2cosα,?sinα),其中α∈(0,π)∪(π,2①②設(shè)Q(x,y),該點的坐標(biāo)可聯(lián)立方程①②解得,即將①×②得,即當(dāng)α=0或α=π時,其交點分別是A、A′點,也滿足題意,故所求的軌跡方程是．5.11向量法利用題設(shè)條件中的某些向量之間的關(guān)系,特別是垂直與共線的某些關(guān)系,使之與動點M(x,y)的坐標(biāo)x,y發(fā)生聯(lián)系,從而求出其關(guān)系式.例11已知點P(?3,0),點R在y軸上,點Q在x軸的正半軸上,點M在直線RQ上,且,．當(dāng)R在y軸上移動時,求點M的軌跡.解:設(shè)點M的坐標(biāo)為(x,y),則由得，又P?3,0,于，由，得,即.軌跡C是以F(1,0)為焦點,x=?1為準(zhǔn)線的拋物線(頂點(0,0)除外).小結(jié)求動點軌跡方程的方法有很多，不管哪種方法，基本步驟都是:一建系，二設(shè)點(一般求誰設(shè)誰)，三列式(列出動點所滿足的幾何等量關(guān)系式)，四坐標(biāo)化(將點的坐標(biāo)代入幾何關(guān)系)，五化簡(注:前后等價性)，六檢驗(去偽留真).除以上方法之外還有些不常用，但是也會出現(xiàn)的方法，比如，直譯法、幾何法、交軌法等.(1)直譯法:若由題中直接給出了動點滿足的某一幾何等量關(guān)系，且該等量關(guān)系能用該動點坐標(biāo)直接表示出來，則用x,y表示出的等式是該動點軌跡方程.(2)幾何法:若動點軌跡滿足某特定幾何性質(zhì)(如線段的中垂線、中位線、角平分線等)，則可直接寫出相應(yīng)幾何關(guān)系式，將點坐標(biāo)代入即可.(3)交軌法:在求動點軌跡時，有時會出現(xiàn)求兩動曲線交點的軌跡問題，這類問題經(jīng)常通過解方程組得出交點(含參數(shù))的坐標(biāo)，再消去參數(shù)，求出所求軌跡方程.該法經(jīng)常與參數(shù)法并用.除此在解決求軌跡問題時，還往往會遇到一些問題需要我們注意，求軌跡與軌跡方程應(yīng)注意以下一些問題問題:(1)常出現(xiàn)多解、漏解的錯誤，所以解題時應(yīng)注意:①注意題中所隱含的條件；②注意式子變形前后的等價性；③注意字母系數(shù)取值的情況及圖形位置問題.(2)軌跡問題還應(yīng)區(qū)分是“求軌跡”，還是求“軌跡方程”.一般來說，若是“求軌跡方程”，求出方程即可；而“求軌跡”，不僅需求出軌跡方程，還需要指出軌跡所表示的曲線類型.有的時候題中只需指出曲線類型，不需要求軌跡方程，此時可由己知條件給出曲線類型即可．6數(shù)學(xué)軌跡方程解題技巧在了解高中數(shù)學(xué)軌跡問題解題教學(xué)設(shè)計的模型之后，我們必須能據(jù)此設(shè)計去了解學(xué)生，解題是學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要的部分，軌跡曲線的解題教學(xué)設(shè)計是數(shù)學(xué)教學(xué)工作中的重要的設(shè)計，在講解的過程中涉及到的疑惑問題，教師通過了解學(xué)生的解題心理與解題教學(xué)的設(shè)計，讓學(xué)生更容理解與掌握．下面我們同樣以軌跡問題為例介紹一種經(jīng)典的數(shù)學(xué)解題教學(xué)設(shè)計模式—認(rèn)知建構(gòu)模式:認(rèn)知結(jié)構(gòu)由陳述性知識形成的命題網(wǎng)絡(luò)認(rèn)知建構(gòu)解題教學(xué)模式．通過以軌跡曲線解題活動幫助學(xué)生理解建構(gòu)良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，啟迪激發(fā)學(xué)生自主建構(gòu)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的一種解題教學(xué)模式．師生互動為主，自主探究為輔的重要學(xué)習(xí)活動的一種解題教學(xué)模式策．對軌跡曲線問題的教學(xué)教師提出問題，然后啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生分析問題及尋求解答策略，師生通過共同討論活動完成軌跡問題的解答．通過問題的提問激發(fā)動力，教師不斷地啟發(fā)學(xué)生積極思考，探求多種解題途徑方法．提到這樣的軌跡問題，對原軌跡問題進(jìn)行變換．一是原軌跡曲線進(jìn)行同等的等價變化，包括前提條件等價變換、求的目標(biāo)等價變換、提問形式的等價變換、圖形結(jié)構(gòu)等價變化等多種方法；二是原軌跡曲線進(jìn)行半等價變換，例如在雙曲線的新課講解時加強(qiáng)或減弱軌跡形成的條件，得到軌跡曲線的抽象事物例子，這種形式的事物符號很容易讓學(xué)生理解掌握．有關(guān)數(shù)學(xué)軌跡曲線的認(rèn)知結(jié)構(gòu)是高中數(shù)學(xué)解答曲線問題的關(guān)鍵要素，影響軌跡問題的解題效能，針對問題的表征及問題的遷移也會受到影響．軌跡的認(rèn)知結(jié)構(gòu)主要有曲線與方程，橢圓，雙曲線，拋物線等軌跡命題的陳述性知識組成的解題網(wǎng)絡(luò)，其表象特征和線性關(guān)系順序也牽制著數(shù)學(xué)技能的發(fā)展．軌跡認(rèn)知結(jié)構(gòu)圖兼容曲線解題的策略性知識，本質(zhì)原理也是一種解題圖構(gòu)成，因此，讓學(xué)生通過學(xué)習(xí)良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)是軌跡曲線解題教學(xué)設(shè)計的一項重要目的與策略，并也建立了相應(yīng)的軌跡認(rèn)知結(jié)構(gòu)教學(xué)模式圖．可以看出，在建構(gòu)學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)圖時教師需要對學(xué)生的心理特煮做調(diào)查．在數(shù)學(xué)課堂上教師可采用多種解題方法解決同一問題，從而肯定會采用更多的概念、定理、方法，再把這些知識重新的進(jìn)行組合，搭配構(gòu)成新的軌跡問題，使原曲線問題的知識系統(tǒng)得到補(bǔ)充和更新．運用認(rèn)知建構(gòu)模式進(jìn)行軌跡問題的解題教學(xué)設(shè)計，所選的軌跡問題具有代表性及多樣性．教師在講解軌跡問題的教學(xué)時，教師誘導(dǎo)學(xué)生去思考、去發(fā)現(xiàn)，去探究，學(xué)生自主去解決問題和推廣問題，因而在課堂上教師教學(xué)設(shè)計主要體現(xiàn)學(xué)生的主體性‘軌跡問題的教學(xué)形式與教學(xué)方法手段可以多樣化，通過教育合作學(xué)習(xí)交流的形式，或者用圖形變式形式借助計算機(jī)輔助教學(xué)的模式，對軌跡問題能采用多種方法解決，而且可以進(jìn)行多方面拓展及創(chuàng)新，這樣會使得教學(xué)目標(biāo)達(dá)到更好的效果．7總結(jié)在高中數(shù)學(xué)中求解曲線的軌跡方程是解析幾何的一個基本問題，這類題目能夠全面考查學(xué)生的數(shù)學(xué)能力和數(shù)學(xué)思想．解析幾何的實質(zhì)是用代數(shù)方法研究幾何問題，通過曲線的方程研究曲線的性質(zhì)，因此要掌握求曲線方程的思路和方法，它是解析幾何的核心之一．從近幾年的高考來看，圓錐曲線的簡答題基本上考查了圓錐曲線方程的求法，求曲線的軌跡方程的方法很多，這里作個大概的梳理．求軌跡方程,內(nèi)容豐富,形式多樣,?？捎枚喾N方法求解,上述幾例均可用其它方法求解,請大家不妨試試,以開闊解題思路,培養(yǎng)思維品質(zhì).求出曲線方程后,要注意軌跡的完備性和純粹性.因為將軌跡條件解析化或化簡方程時會擴(kuò)大或縮小變量的取值范圍,應(yīng)注意把丟掉的找回,把擴(kuò)大的舍去,即求出方程后要注意動點坐標(biāo)的取值范圍.求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程一般采用待定系數(shù)法，但若開口方向不確定時應(yīng)分類討論．若能恰當(dāng)選擇同一方程，可避免討論．利用定義法求曲線方程，關(guān)鍵是根據(jù)條件設(shè)出恰當(dāng)?shù)那€方程，再根據(jù)已知條件列出方程或方程組，這就要求我們把已知條件中較為陌生的轉(zhuǎn)化為熟悉的，較復(fù)雜的轉(zhuǎn)化為簡單的，隱含的轉(zhuǎn)化為明顯的，抽象的轉(zhuǎn)化為具體的，我們要學(xué)會這種轉(zhuǎn)化工作，這是解決數(shù)學(xué)問題的一般策略．熟練掌握圓錐曲線的定義對于解決圓錐曲線方程有關(guān)問題至關(guān)重要，因此在平時學(xué)習(xí)過程中一定要注重“回歸定義”，重視課本，只有基礎(chǔ)扎實了，解決有關(guān)問題才能有思路，有方法．不同曲線的簡單性質(zhì)和延伸性質(zhì)的熟練記憶和準(zhǔn)確理解．橢圓的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程是高考的高頻考點，既可能單獨考查，也可能與其他的知識點一起綜合命題，常見的是對于橢圓的簡單性質(zhì)、向量的綜合考查．由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求離心率或由橢圓的簡單性質(zhì)求標(biāo)準(zhǔn)方程，多以選擇題或填空題的形式考查．橢圓的簡單性質(zhì)和其他知識點的綜合問題，有一定的難度；求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是高考考查的中點，通常是求滿足某種條件下的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．拋物線的定義以及標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用是高考考查的熱點，一般考查利用拋物線的定義以及標(biāo)準(zhǔn)方程進(jìn)行基本量的計一