2017-2018學年高中數(shù)學 第一章 基本初等函數(shù)(Ⅱ)1

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1.2.1三角函數(shù)的定義

課前自主學習，基穩(wěn)才能樓高

預習課本P14?17,思考并完成以下問題

(1)任意角的三角函數(shù)的定義是什么？

(2)三角函數(shù)值的大小與其終邊上的點戶的位置是否有關(guān)？

(3)如何求三角函數(shù)的定義域？

(4)如何判斷三角函數(shù)值在各象限內(nèi)的符號？

［新知初探］

1.三角函數(shù)的定義

(1)前提準備：①以角。的頂點。為坐標原點，以角。的始邊的

方向作為x軸的正方向，建立平面直角坐標系x@，如圖所示.

②設(shè)角a的終邊上任一點尸(x,y),0P=#0).

⑵定義:

xx

①余弦函數(shù)：；叫做角。的余弦，記作cos。，即cos

②正弦函數(shù)：側(cè)做角°的正弦，記作sina,即sin。=￡

y

③正切函數(shù)：側(cè)做角。的正切，記作tan。即tana=二.

x

1r

④正割函數(shù)：角a的正割sec0晨皮了=，

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1r

⑤余割函數(shù)：角。的余割CSCa--------=-.

sinCLy

1x

⑥余切函數(shù)：角a的余切cota--------

tanay

［點睛］三角函數(shù)也是函數(shù)，都是以角為自變量，以單位圓上點的坐標(坐標的比值)

為函數(shù)值的函數(shù)；三角函數(shù)值只與角。的大小有關(guān)，即由角。的終邊位置決定.

2.正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)的定義域

三角函數(shù)定義域

sinaR

cosaR

Ji

tanaaaWAn+—,A￡Z?

3.三角函數(shù)值的符號

如圖所示:

正弦：一二象限正,三四象限負;

余弦：一四象限正,二三象限負;

正切：一三象限正,二四象限負.

簡記口訣：一全正、二正弦、三正切、四余弦.

［小試身手］

1.判斷下列命題是否正確.(正確的打“，錯誤的打“義”)

(1)三角函數(shù)也是函數(shù)，它們都是以角為自變量的，以比值為函數(shù)值的函數(shù).()

⑵若sina=sin￡,則。=￡.()

⑶已知。是三角形的內(nèi)角，則必有sina>0.()

答案：⑴J(2)X(3)V

2.若sina〈0,tan。>0,則。在()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

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答案：c

3.已知角a的終邊與圓x+y=\的交點《坐，—耳目，則sina+coso=()

C坐D.一羋

55

答案：B

n3n

4.sin-=______,COS-T-=____.

?J4

答案:乎-平

器豚危口1封日間課堂講練設(shè)計，舉一能通類題

Fr尊?三角角函函數(shù)數(shù)時的定定義義及及應座用用

［典例］已知角a的終邊經(jīng)過點〃（一4a3a）（aWO）,求sina,coso,tana的

值.

［解］r-q~-4a_Ha~^=5\a\.

,,ri,y3a3x-4a4y3a

若a>0,貝（Jr=5a,故sinG=-=—=-cosa=~=-—=tan。=一=——

r5a5Fr5a5x—4a

_3

=-7

343

若3V0,則r=-5a同理可得sina=coso=-,tano=——

554

利用三角函數(shù)的定義求值的策略

(1)已知角。的終邊在直線上求。的三角函數(shù)值時，常用的解題方法有以下兩種：

法一：先利用直線與單位圓相交，求出交點坐標，然后再利用正、余弦函數(shù)的定義求出

相應三角函數(shù)值.

法二：在a的終邊上任選一點P(x,y),〃到原點的距離為r(r>0).則sin。cos

x

a=:：已知a的終邊求a的三角函數(shù)值時，用這幾個公式更方便.

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（2）當角。的終邊上點的坐標以參數(shù)形式給出時，要根據(jù)問題的實際情況對參數(shù)進行分

類討論.

［活學活用］

1.如果。的終邊過點?（2sin300—2cos30°）,那么sina的值等于（

11

--

2B.2

c.―平

解析：選C由題意知P（l,一十）

所以y/l2+~—y/3~^=2,

所以sin〃=一坐.

2.己知角a的終邊落在直線上，求sina,cosa,tana,seca,

esca,cota的值.

解：直線/x+y=0,即則直線通過第二和第四象限.

①在第二象限內(nèi)取直線上的點（一1,第），

貝!Ir=yj~~語~2=2,

所以sin。=乎，則esca=泉=^^；

cos。=一；，貝1Jsec。=-2；

r

tana=一小,則cot。=一乎.

②在第四象限內(nèi)取直線上的點（1,一小）,則尸^/+_小2=2,

所以sin〃=一半，則esc。=-

1E

cosa=-,貝可seca=2；

tan0=一4，則coto=—

三角函數(shù)值符號的運用

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［典例］⑴若角6同時滿足sin80且tan，<0,則角〃的終邊一定位于()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

一°aa

(2)設(shè)。是第三象限角，且cos---cos—,則于所在象限是()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

［解析］(1)由sin夕<0,可知。的終邊可能位于第三或第四象限，也可能與y軸的

負半軸重合.由tan可知0的終邊可能位于第二象限或第四象限，故0的終邊只

能位于第四象限.

⑵。是第三象限角,

3Jt

2An+it<a<2An+-^->k&Z.

JIa3n

:.k"+—<—<An+-.

a

...丁在第二、四象限.

aaa

又：cosy=—cos-,cos萬〈0.

a

...萬在第二象限.

［答案］(1)D(2)B

對于已知角。，判斷。的相應三角函數(shù)值的符號問題，常依據(jù)三角函數(shù)的定義，或利

用口訣“一全正、二正弦、三正切、四余弦”來處理.

［活學活用］

1.設(shè)的三個內(nèi)角為4B,C,則下列各組數(shù)中有意義且均為正值的是()

A.tan/與cosBB.cos6與sinC

J

C.sin。與tanAD.tan］與sinC

力冗力

解析：選DV0<J<n,/.0<-<—,tan->0；

又YOVCVn,Asin00.

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2.若角。是第二象限角，則點打sina,cos。)在第象限.

解析：：。為第二象限角，

/.sina>0,cosa<0.

Asina,cos。)位于第四象限.

答案：四

楙三角函數(shù)的定義域

［典例］求函數(shù)及⑼=立可+-c—的定義域.

tanx

［解］要使f(x)有意義，

"sinx20,

cos%>0,

則<tanxWO,

IT

l乙

〃24無WW2左”+兀，AGZ,

nJI

g、J2行一行VXV2AJI+子kGZ,

所以、22

JI

x#k女+丁，x#力冗,keZ.

IN

解得：2AJt<x<2An+/,Aez.

所以原函數(shù)的定義域為卜124“<x<24n+5,AGZ

求三角函數(shù)定義域的方法

(1)求函數(shù)的定義域，就是求使解析式有意義的自變量的取值范圍，一般通過解不等式

或不等式組求得.對于三角函數(shù)的定義域問題，還要考慮三角函數(shù)自身定義域的限制.

(2)要特別注意求一個固定集合與一個含有無限多段的集合的交集時，可以用取特殊值

把不固定的集合寫成若干個固定集合再求交集.

［活學活用］

求下列函數(shù)的定義域：

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sinx+cosx

(1)y—

tanx

(2)y=yjcosx+—tanx.

解：(1)要使函數(shù)式有意義，需tanxWO,解得

要使tanx有意義，需+5(Zr￡Z),解得xW§~(A￡Z).

k五

所以函數(shù)的定義域為x，AWZ

"cosx20,

—tanx20.

(2)由題意得《

xW5+4兀,kGZ,

由cosx20得x的終邊在y軸上，或第一象限，或第四象限，或在“軸非負半軸上.

由一tanx20,得tanxWO,則角x的終邊在第二象限，或第四象限，或在x軸上.

綜上，角x的終邊在第四象限或x軸非負半軸上.

所以函數(shù)的定義域為xy+2An<xW24",AGZp

課后層級訓練，步步提升能力

層級一學業(yè)水平達標

,則a的終邊與圓/+/=1的交點戶的坐標是()

解析：選B設(shè)P(x,力，?.?角

2.若角。的終邊上一點的坐標為(1,-1),則cos。等于()

A.1B.-1

D.-4-

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解析:選C???角。的終邊上一點的坐標為（L—1）,它與原點的距離r=dT+—

rx1由

=姬,?,?cosa=；=市=2?

3.若三角形的兩內(nèi)角明￡滿足sinacos￡<0,則此三角形必為（）

A.銳角三角形

B.鈍角三角形

C.直角三角形

D.以上三種情況都可能

解析：選BVsinacosB<0,a,￡e（0,n）,

Asin。>0,cos尸<0,足為鈍角.

4.代數(shù)式sin120°cos210°的值為（）

3J3

A.--B.丹-

44

31

C--2D-4

解析：選A利用三角函數(shù)定義易得sin120。=坐，

cos210°=>**sin120°cos210°一當■）=—*故選A.

5.若角。的終邊在直線尸一2x上，則sin。等于（）

1

+-B

A.一5

?2m

C.D-

一5

2

解析：選C在a的終邊上任取一點（一1,2),則r=?l+4=木,所以sina訴

2A

.或者取P(l,—2),則r=yi+4=小,所以sina=^:2/5

乖5?

JIJI

6-計算：tanT=CSC-=

0

解析：:。=看，在°的終邊上取一點戶（十小a），

/.r=2a.

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JI#JI

.".tan-=-^,esc——2.

636

答案:乎2

J

19

7.已知角4的終邊過點P(5,a),且tana=則sina+cosa=.

5

312

解析：?.?tana=7=——,；?a=-12.

55

:?r=125+才=13.

125

/.sina=—育coso

1o1o

..,7

..sma+cosa=-To-

1o

7

答案：一右

1o

8.若角。的終邊落在直線、+尸°上'則噂++4

?._~叩,sinaIsinasina,sina

解析:當。在第二象限時，京丁+k7^r?+^rr=0；當"在笫

sinQIsinaIsinasinasinasina\

四象限時,cosa+COSa=?T工■一益7萬=°.綜上'cosd+cos?=°'

答案:0

9.己知角。終邊上有一點〃（一/,in）,且sin夕=乎/〃（腎0）,試求cos。與tan

0的值.

解：點P（一小,就到坐標原點。的距離用，由三角函數(shù)的定義，得sin0=

:.=3+/=4m,解得m=土鄧?’?'=2啦.

xf卡

當析:小時，cos

12"4

〃y乖V15

tan8r-

x一小3,

—水乖

當加=一十時，cos0~,tan變

r2^24x―、33

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10.已知點材是圓/+/=1上的點，以射線OM為終邊的角a的正弦值為一半，求

cosa和tana的值.

解:設(shè)點材的坐標為(為，71).

由題意，可知sin。=一乎，即％=一坐

?.?點"在圓x+y=\上,

.,.*；+y\—\,

.'.tan。=-1或tana=L

層級二應試能力達標

1.已知角a的終邊經(jīng)過點(3a—9,a+2),且cosaWO,sina>0,則實數(shù)a的取

值范圍是()

A.(-2,3]B.(-2,3)

C.[-2,3)D.[-2,3]

解析：選A由cos"WO,sina>0可知，角a的終邊落在第二象限內(nèi)或y軸的正

3a—9W0,

半軸上，所以有，

a+2>0,

即一2<aW3.

2.設(shè)a<0,角。的終邊與圓3+/=1的交點為p(-3a,4a),那么sin。+2cosa

的值等于()

2

5-

1

D

-5-

解析：選A???點〃在圓/+/=i上，則|陰=L

即4~-3d~旺a~篤—1,解得a二土，.

1

Va<0,Aa—

5

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???2點的坐標為

43

Asmci=-cos。=三

3o

432

Asina+2cos<7=-7+2X7=-

555

3.若tanKO,且sinx-cosKO,則角x的終邊在（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

解析：選DVtanx<0,???角x的終邊在第二、四象限，又sin%—cosx<0,?,?角x

的終邊在第四象限.

4

4.已知角〃的終邊經(jīng)過點〃(/〃，-6),且cos。=一4則加=()

5

A.8B.-8

C.4D.-4

m4

解析：選B由題意r=|0P\=y]m+~—^=y]/n+36,故cos

7d+365,

解得m=—8.

5.己知角夕的頂點為坐標原點，始邊為x軸的正半軸，若尸（4,0是角夕終邊上一

點，且sin。=—2^,貝ij尸.

^解得尸±8.

解析：|伊|=077.根據(jù)任意角三角函數(shù)的定義得,

V7+7

又..飛鋸〃=一羋<0及尸（4,y）是角。終邊上一點，可知，為第四象限角，8.

D

答案：一8

6.設(shè)0W〃<2n,若sin。<0且<20$2〃<0,則。的取值范圍是

解析：因為0W6<2"且sin。<0,所以"V。<2

JT3nit3m

又cos2^<0,所以2kx+~<29<2k"流WZ,所以+~<8VAn+~

AWZ.因為n<?<2"，所以A=l,即6的取值范圍是早<。<嚇.

'5n7Ji

答案:丁’~

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7.求下列函數(shù)的定義域:

0〈xW4,

JIJI（nA/^JT

解得0＜x（萬或萬＜xW4,所以原函數(shù)的定義域為（0,5，U（萬，4

（2）若使函數(shù)有意義，則需滿足cosx20,

JIJI

即2k式一萬W后24冗+—,kQZ.

nJI

?,?函數(shù)的定義域為［24兀一萬，2“五+5］，Aez.

I.晶逸做電I

8'已知Isi：。|=一尋1'且lg（cos。）有意義.

（1）試判斷角a所在的象限.

（2）若角a的終邊上一點是jg，）且為坐標原點），求勿的值及sin"

的值.

解：⑴由0J——1所以sina〈0,

Isina|sina

由lg（cos。）有意義，可知cos。＞0,

所以。是第四象限角.

（2）因為|〃必=1,所以修）+序=1,

4

得m=±7.

□

又a為第四象限角，故水0,

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從而m=一(

_4

ym54

Sln，=兩=丁=一守

1.2.2單位圓與三角函數(shù)線

.膻朝0訓睡注課前自主學習，基穩(wěn)才能樓高

預習課本P19~21,思考并完成以下問題

(1)點的射影是如何定義的？

(2)三角函數(shù)線是如何定義的？

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［新知初探］

1.單位圓

把半徑為1的圓叫做單位圓.

2.單位圓中角a的坐標

角a的余弦和正弦分別等于角a終邊與單位圓交點的橫坐標和縱坐標.

3.點的射影及三角函數(shù)線

（1）點的射影

（2）三角函數(shù)線

￥匕的終邊a的終邊

zn{^（i.o）p/幾

M0\

■（正弦線至

■（余弦線麗

［小試身手］

1.判斷下列命題是否正確.（正確的打“J”，錯誤的打“X”）

（1）三角函數(shù)線的長度等于三角函數(shù)值.（）

（2）三角函數(shù)線的方向表示三角函數(shù)值的正負.（）

（3）對任意角都能作出正弦線、余弦線和正切線.（）

答案：⑴X⑵V⑶X

2.已知角。的正弦線的長度為單位長度，那么角。的終邊（）

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A.在x軸上B.在y軸上

C.在直線y=x上D.在直線y=-x上

答案：B

3.角。（0〈?！?兀）的正、余弦線的長度相等，且正、余弦符號相異，那么。的值為（）

答案：D

4.sin1.5sin1.2.（填“>”或）

答案：〉

L—..（■>巫.IXLf'IV

字

三角函數(shù)線的作法

［典例］作出3苗n的正弦線、余弦線和正切線.

［解］在直角坐標系中作單位圓，如圖，以公軸為始邊作3亍五角，角的

終邊與單位圓交于點只作燈吐X軸，垂足為M,由單位圓與X軸正方向的

3n3”

交點力作x軸的垂線，與。戶的反向延長線交于7點，則sin1y=JZp,cos1^-

=0M,tan4=47,即平的正弦線為畫，余弦線為碗］,正切線為?.

三角函數(shù)線的作法

（1）作正弦線、余弦線時，首先找到角的終邊與單位圓的交點，然后過此交點作x軸的

垂線，得到垂足，從而得到正弦線和余弦線.

（2）作正切線時，應從-1,0）點引單位圓的切線交角的終邊于一點7,即可得到正切線

?,要特別注意，當角的終邊在第二或第三象限時，應將角的終邊反向延長，再按上述

作法來作正切線.

［活學活用］

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9n

作出一丁的正弦線、余弦線和正切線.

解：如圖所示,

一早的正弦線為施，余弦線為國，正切線為應］.

題點一:利用三角函數(shù)線比較大小

1.利用三角函數(shù)線比較下列各組數(shù)的大小：

2Ji,4兀2,4兀

①sin"與sin；②tan與tan-7r

35oo

解：如圖所示，角W的終邊與單位圓的交點為尺其反向延長線與單位圓

的過點力的切線的交點為T,作&/_Lx軸，垂足為材，sin彳=應0|,tan9

oo

=?；等的終邊與單位圓的交點為尸’，其反向延長線與單位圓的過點4的

切線的交點為廣,作尸3口軸，垂足為",則sin*=^^,.等=國,

由圖可見，I應同1>1應'尸'||,且應同與應旬都與v軸正方向相同,所以①sirA?》

O

sin?；|\AT11>：I,且14rl與［I都與y軸正方向相反,所以②tangVtan?.

O\AT'\A=ou

題點二：利用三角函數(shù)線解不等式

2.在單位圓中畫出適合下列條件的角。的終邊的范圍，并由此寫出角。的集合:

(1)sin。(2)cosaW—g.

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解：（1）作直線y=巖交單位圓于46兩點，連接力，0B,則總與如圍成的區(qū)域（圖

①陰影部分）即為角。的終邊的范圍，故滿足條件的角。的集合為

[n2n1

|a/20+石WaW2A"+-^-,

（2）作直線x=一上交單位圓于G。兩點，連接比；0D,則勿與陽圍成的區(qū)域（圖②中

陰影部分）即為角。終邊的范圍，故滿足條件的角。的集合為

[,2n4冗]

\Q12kbaW2k立

題點三：利用三角函數(shù)線求函數(shù)的定義域

3.求函數(shù)/'（x）=:l—2cosx+1n（sinx—乎）的定義域.

解：由題意，得自變量x應滿足不等式組

[n3人

即定義域為j。/24兀+可乏。W24n+q-,keZ

1.利用三角函數(shù)線比較大小的兩個關(guān)注點

（1）三角函數(shù)線是一個角的三角函數(shù)值的體現(xiàn)，從三角函數(shù)線的方向可以看出三角函數(shù)

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值的正負，其長度是三角函數(shù)值的絕對值.

(2)比較兩個三角函數(shù)值的大小，不僅要看其長度，還要看其方向.

2.利用三角函數(shù)線解三角不等式的方法

(1)正弦、余弦型不等式的解法.

對于sinx、b,cosx'a(sinxWb,cosxWa),求解關(guān)鍵是恰當?shù)貙で簏c，只需作

直線y=6或x=a與單位圓相交，連接原點與交點即得角的終邊所在的位置，此時再根據(jù)方

向即可確定相應的范圍.

(2)正切型不等式的解法.

對于tan取點(1,c)連接該點和原點并反向延長，即得角的終邊所在的位置，

結(jié)合圖象可確定相應的范圍.

3.利用三角函數(shù)線求函數(shù)的定義域

解答此類題目的關(guān)鍵在于借助于單位圓，作出等號成立時角。的三角函數(shù)線，然后運

用運動的觀點，找出符合條件的角的范圍.在這個解題過程中實現(xiàn)了一個轉(zhuǎn)化，即把代數(shù)問

題幾何化，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想.

層級一學業(yè)水平達標

蛤和角等有相同的(

正弦線B.余弦線

正切線D.不能確定

解析：選C在同一坐標系內(nèi)作出角卷和角萼的三角函數(shù)線可知，正弦線及余弦線都

55

相反，而正切線相等.

2.已知角。的正切線是長度為單位長度的有向線段，那么角。的終邊在()

A.直線了=*上

B.直線尸一x上

C.直線尸x上或直線尸x上

D.x軸上或y軸上

解析：選C由角。的正切線是長度為單位長度的有向線段，得tan。=±1,故角

a的終邊在直線尸x上或直線/=一x上.

3.設(shè)<3=5[|1(—1),6=cos(—1),c=tan(—1),則有()

A.水b<cB.從水c

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C.c<a〈bD.a<c<6

解析：選C如圖，作出角。=-1的正弦線、余弦線及正切線,

顯然

6=cos(—1)=0嶺0,

c=tan(—1)=AT<0,

a=sin(—1)—MKO,

由圖可知，監(jiān)>47,<*.c<a<b.

4.已知角。的正弦線和余弦線的方向相反、長度相等，則。的終邊在（）

A.第一象限的角平分線上

B.第四象限的角平分線上

C.第二、第四象限的角平分線上

D.第一、第三象限的角平分線上

解析：選C作圖（圖略）可知角a的終邊在直線y=—x上，。的終邊在第二、第四

象限的角平分線上，故選C.

5.若。是第一象限角，則sina+cos。的值與1的大小關(guān)系是（）

A.sina+cosa>lB.sina+cosa=1

C.sina+cosa〈lD.不能確定

解析：選A作出。的正弦線和余弦線，由三角形“任意兩邊之和大于第三邊”的性

質(zhì)可知sina+cosa>1.

6.若角。的余弦線長度為0,則它的正弦線的長度為.

解析：若角。的余弦線長度為0,則。的終邊落在y軸上，所以它的正弦線的長度為

1.

答案：1

7.用三角函數(shù)線比較sin1與cos1的大小，結(jié)果是

解析：如圖，sinl=MP,cos1=QM.

顯然MP>OM,即sinl>cos1.

答案：sinl>cos1

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解析：由圖可知sin：=￥，

9.作出下列各角的正弦線、余弦線、正切線.

,JI5n

⑴甲(2)---

解：（1）如圖（1）所示，在單位圓中國，\OM\,?分別表示看角的正弦線、余弦線、

正切線.

（2）如圖⑵所示，在單位圓中由,\OM\,?分別表示一等角的正弦線、余弦線、

正切線.

10.求下列函數(shù)的定義域.

⑴尸—sinx?

(2)y=d3tanx一木.

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解:(1)為使y=lsin有意義,所以sin所以角x

終邊所在區(qū)域如圖所示,

5Jin

所以24兀一一—<A<2AJI+—FAez.

所以原函數(shù)的定義域是

[.5n,n1

\x/2k^—<x<2Zrn+—,AGZp

（2）為使y=33tanx一小有意義,

則3tanx一所以tan乎,

所以角x終邊所在區(qū)域如圖所示，

所以ASZ,

所以原函數(shù)的定義域是

[JTJI

+~^W/在”+萬，AeZp

層級二應試能力達標

1.下列三個命題:

③?孑與牛的余弦線相等.

其中正確命題的個數(shù)為（）

A.1B.2

C.3D.0

解析：選B看和手的正弦線關(guān)于y軸對稱，大小相等，方向相同；棄等兩角的終

邊在同一條直線上，因而所作正切線相等；;和牛的余弦線方向不同.

2

2.若。是三角形的內(nèi)角，且sina+cos。=不，則這個三角形是（）

O

A.等邊三角形B.直角三角形

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C.銳角三角形D.鈍角三角形

JT

解析：選D當<了時，由單位圓中的三角函數(shù)線知，sina+cos而sin

2

a+cosa=-,

o

:?Q必為鈍角.

JIJI

3.如果丁〈?！慈f，那么下列不等式成立的是()

A.cosa〈sino<tanaB.tano<sinQ<cosa

C.sina<cos。VanaD.cosa〈tana〈sina力

的正弦線正］、余弦線欣同、

解析:選A如圖所示,在單位圓中分別作出。

線而，很容易地觀察出由口

且都與坐標軸的正方向\—O/\M%

相同.即cosci<sino〈tana.

4.使sinxWcosx成立的x的一個變化區(qū)間是()

「3五冗］「五九一

叫「4」叫2，2_

「713冗］「

c.—Y，—D.［0,兀］

解析：選A如圖，畫出三角函數(shù)線sinx=質(zhì)］,coso=|oAf由于/T

.(3n\(34

sin(--^尸。s(--

JIJT

sin-=cos

為使sinxWcosx成立，

3nJI

則由圖可得一丁W

2n6n2兀,一

5.sincos二一，tan一￡一從小到大的順序是

555

解析：由圖可知：

6n2”2兀

cos-^<0,tan-^->0,sin^->0.

555

等甲同，

V|W|<|［AT1|,且而,而］與y軸正方向相

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2n2n

Asin_r-<tan_r-.

D0

,,6n2冗,2n

故cos-T-<sin-^-<tan

555

答案：cos-^<sin-^^<tan-

D0u

6.若0<a<2n,且sin?！窗耄琧osa〉g.利用三角函數(shù)線，得到

的取值范圍是

解析:利用三角函數(shù)線得。的終邊落在如圖所示//如區(qū)域內(nèi)，所以。的取值范圍是

分別確定角0的取值范圍.

(1)sin<?<—!；⑵一；Wcos0

解：（1）圖①中陰影部分就是滿足條件的角。的范圍,

2n五，、n2叮

即小l丁W的一至或2群+-<Wk"+—1MZ.

及選做題

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8.若<萬，證明：siner<^<tan

證明：如圖所示，連接力R設(shè)弧4P的長為1,

,**S4OA4S煙形

.4|物|?\MP\<^1-|?4|<10A\?AT\,

：.\MP\<K\AT\,

/.sin。<Q<tan。.

1.2.3同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式

預習課本P22?24,思考并完成以下問題

(1)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式有哪兩種？

(2)已知sina,cosa和tan。其中的一個值，如何求其余兩個值？

［新知初探］

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同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式

(1)平方關(guān)系：sin2a+cos2a—1.

(2)商數(shù)關(guān)系：tan+5,

這就是說，同一個角。的正弦、余弦的平方和等于1,商等于角a的正切

［點睛］同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式揭示了“同角不同名”的三角函數(shù)的運算規(guī)律，這

里“同角”有兩層含義：一是“角相同”，二是對“任意”一個角(在使函數(shù)有意義的前提

下).關(guān)系式成立與角的表達形式無關(guān)，如sin23a+cos23a=l.

［小試身手］

1.判斷下列命題是否正確.(正確的打“，錯誤的打“X”)

⑴對任意角a,sinT+cosT=l都成立.()

(2)對任意角。，—■(：=tan2a都成立.()

cos2a

⑶若cosa=0,則sina=1.()

答案：(1)J(2)X(3)X

答案：A

3.已知cosa=1,且。是第四象限角，則sina=()

1當1

十--+--

一2B.c.D.2

答案：C

5

4.己知sina則tana=

13,