2022-2023學(xué)年江蘇省徐州市高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1江蘇省徐州市2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等填寫(xiě)在答題卡和試卷指定位置上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題〖答案〗后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的〖答案〗標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它〖答案〗標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將〖答案〗寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知復(fù)數(shù)z滿足，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗D〖解析〗因?yàn)椋渣c(diǎn)位于第四象限.故選：D.2.先后兩次擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，則兩次擲出的點(diǎn)數(shù)之和為6的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗先后兩次擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，共有種情況，點(diǎn)數(shù)和為6的有共5種情況，所以概率為，故選：B.3.已知，是兩條不重合的直線，，是兩個(gè)不重合的平面，則下列說(shuō)法正確的是（）A.若，，則 B.若，與所成的角相等，則C.若，，則 D.若，，，則〖答案〗D〖解析〗若，，則或，A錯(cuò)；若，與所成的角相等，則或與相交或異面，B錯(cuò)；若，，則與平行或相交，C錯(cuò)；若，，所以，又，則，D正確.故選：D4.有一組樣本數(shù)據(jù)，，其平均數(shù)為，中位數(shù)為b，方差為c，極差為d.由這組數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)，，，…，，其中，則新樣本數(shù)據(jù)的（）A.樣本平均數(shù)為2a B.樣本中位數(shù)為2bC.樣本方差為4c D.樣本極差為〖答案〗C〖解析〗A選項(xiàng)，由題意得，則，故A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，由于，故的大小排列順序與變化后的的大小排列順序一致，由于的中位數(shù)為，故的中位數(shù)為，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，由題意得，所以，C正確；D選項(xiàng)，由于，故中最大值和最小值，經(jīng)過(guò)變化后仍然為中的最大值和最小值，即，則，D錯(cuò)誤.故選：C5.已知向量，的夾角為，若，則向量在向量上的投影向量為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由得，即，所以，所以向量在向量上的投影向量為.故選：A6.已知，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因?yàn)?，所以，即，故?故選：C7.如圖，一種工業(yè)部件是由一個(gè)圓臺(tái)挖去一個(gè)圓錐所制成的.己知圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為和，且圓臺(tái)的母線與底面所成的角為，圓錐的底面是圓臺(tái)的上底面，頂點(diǎn)在圓臺(tái)的下底面上，則該工業(yè)部件的體積為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗根據(jù)題意，該圓臺(tái)的軸截面為等腰梯形，如圖，所以即為圓臺(tái)母線與底面所成角，即，分別過(guò)點(diǎn)、在平面內(nèi)作，，垂足分別為點(diǎn)、，因?yàn)?，則四邊形為矩形，且，因?yàn)?，，，所以，，所以，，且，因?yàn)?，則，所以，圓臺(tái)，圓錐的高均為，所以，該工業(yè)部件的體積為.故選：B.8.在銳角三角形ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知，則的取值范圍是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗因?yàn)?，所以由正弦定理得?即，所以，即，又，所以.因?yàn)殇J角三角形ABC，所以，即，解得..令，因?yàn)?，所以，則在單調(diào)遞減，所以.故選：C.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分.9.設(shè)，是復(fù)數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.若是純虛數(shù)，則B.若，則C.若，則D.若，則〖答案〗ACD〖解析〗A.，則，故A正確；B.當(dāng)時(shí)，，但得不出，故B錯(cuò)誤；C.設(shè)，則，，所以，C正確；D.設(shè)則得，又，，故成立，D正確.故選：ACD.10.有個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字、、、，從中不放回的隨機(jī)取兩次，每次取個(gè)球，表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是奇數(shù)”，表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是偶數(shù)”，表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是奇數(shù)”，表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是偶數(shù)”，則（）A.、相互獨(dú)立 B.、相互獨(dú)立C.、相互獨(dú)立 D.、相互獨(dú)立〖答案〗BC〖解析〗對(duì)于A選項(xiàng)，從上述四個(gè)球中不放回的隨機(jī)取兩次，每次取個(gè)球，所有的基本事件有：、、、、、、、、、、、，共種，其中事件包含的基本事件有：、、、、、，共種，事件包含基本事件有：、、、、、，共種，事件包含的基本事件有：、、、、、、、，共種，事件包含的基本事件有：、、、，共種，對(duì)于A選項(xiàng)，，，事件包含的基本事件有：、、、，共種，則，故、不相互獨(dú)立，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，事件包含的基本事件有：、，共種，則，又因?yàn)?，則，共、相互獨(dú)立，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，事件包含的基本事件有：、，共種，則，則，故、相互獨(dú)立，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，，故、不相互獨(dú)立，D錯(cuò).故選：BC.11.如圖，在等腰直角三角形ABC中，，，設(shè)點(diǎn)，，，是線段BC的五等分點(diǎn)，則（）A.B.C.D.的最小值為〖答案〗BCD〖解析〗對(duì)于A：，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：同上可得因?yàn)樵诘妊苯侨切蜛BC中，，所以，所以，，所以，故B正確；對(duì)于C：設(shè)的中點(diǎn)為，則所以，故C正確；對(duì)于D：設(shè)的中點(diǎn)為，為線段上一點(diǎn)，設(shè)，則，則，，所以，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，則四邊形為邊長(zhǎng)為1的正方形，故，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為，故D正確.故選：BCD.12.如圖，在矩形ABCD中，，M為邊BC的中點(diǎn)，將沿直線AM翻折成，連接，N為線段的中點(diǎn)，則在翻折過(guò)程中，（）A.異面直線CN與所成的角為定值B.存在某個(gè)位置使得C.點(diǎn)C始終在三棱錐外接球的外部D.當(dāng)二面角為60°時(shí)，三棱錐的外接球的表面積為〖答案〗AC〖解析〗A選項(xiàng)，矩形ABCD中，，M為邊BC的中點(diǎn)，所以為等腰直角三角形，故，，翻折過(guò)程中，，取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)镹為線段的中點(diǎn)，所以，則或的補(bǔ)角為異面直線CN與所成的角，因?yàn)镸為邊BC的中點(diǎn)，所以，且，所以四邊形為平行四邊形，故，所以，其中，由余弦定理得，故，故，所以異面直線CN與所成的角的余弦值為，A正確；B選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，故⊥，假如，因?yàn)?，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，這與矛盾，故假設(shè)不成立，所以不存在某個(gè)位置使得，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，由于⊥，故外接圓的圓心為，設(shè)三棱錐外接球球心為，則⊥平面，連接，則即為三棱錐外接球的半徑，由于，所以，所以點(diǎn)C始終在三棱錐外接球的外部，C正確；D選項(xiàng)，取的中點(diǎn)，連接，，因?yàn)?，所以⊥，且，所以⊥，所以即為二面角為平面角，即，過(guò)點(diǎn)作⊥于點(diǎn)，則，，，因?yàn)椤?，⊥，，所以⊥平面，因?yàn)槠矫?，所以⊥，因?yàn)?，平面，所以⊥平面，由C選項(xiàng)可知，三棱錐外接球球心為，則⊥平面，過(guò)點(diǎn)作⊥于點(diǎn)，則，，若球心在平面的上方時(shí)，如圖，此時(shí)，由勾股定理得，，故，解得，不合要求，舍去；若球心在平面的下方時(shí)，如圖，此時(shí)，由勾股定理得，，故，解得，滿足要求，代入上式可得外接球半徑為，三棱錐的外接球的表面積為.故當(dāng)二面角為60°時(shí)，三棱錐的外接球表面積為，D錯(cuò)誤.故選：AC三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.己知一組數(shù)據(jù)：24，30，40，44，48，52.則這組數(shù)據(jù)的第30百分位數(shù)、第50百分位數(shù)的平均數(shù)為_(kāi)_____.〖答案〗36〖解析〗因?yàn)椋蔬@組數(shù)據(jù)的第30百分位數(shù)為30，因?yàn)?，所以?0百分位數(shù)為，所以這組數(shù)據(jù)的第30百分位數(shù)、第50百分位數(shù)的平均數(shù)為，故〖答案〗為：36．14.已知，，則的值為_(kāi)_____.〖答案〗〖解析〗由，代入，解得，.故〖答案〗為：.15.在中，角、、的對(duì)邊分別為、、，已知，與的平分線交于點(diǎn)，則的值為_(kāi)_____.〖答案〗〖解析〗由，可得，由正弦定理可得，即，整理可得，由余弦定理可得，因?yàn)椋瑒t，所以，，因?yàn)榕c的平分線交于點(diǎn)，所以，.故〖答案〗為：.16.在正四棱柱中，已知，，則點(diǎn)到平面的距離為_(kāi)_____；以A為球心，2為半徑的球面與該棱柱表面的交線的總長(zhǎng)度為_(kāi)_____.〖答案〗①.②.〖解析〗空1：由題意可得：，因?yàn)槠矫?，平面，可得，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為d,因?yàn)椋瑒t，解得，即點(diǎn)到平面的距離為；空2：由題意可知：球A僅與平面ABCD、平面、平面和平面相交，因?yàn)?，此時(shí)球A與平面的交線為半徑為2的圓的，則交線的長(zhǎng)度為；設(shè)球A與棱的交點(diǎn)為，即，可得，則，且為銳角，則，即，所以球A與平面的交線為半徑為2的圓的，則交線的長(zhǎng)度為；同理可得：球A與平面的交線的長(zhǎng)度；可知，所以球A與平面的交線為半徑為的圓的，則交線的長(zhǎng)度為；所以球面與該棱柱表面的交線的總長(zhǎng)度為.故〖答案〗為：；.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.已知向量，.（1）若∥，求；（2）若，求.解：（1）因?yàn)椤?，向量，所以，?dāng)時(shí)，不成立，則，從而，所以（2）因?yàn)?，所以，即，故，因?yàn)?，所?當(dāng)時(shí)，不成立，則，故，所以.18.如圖，四棱錐的底面為梯形，，，底面，平面平面，點(diǎn)在棱上，且.（1）證明：平面；（2）證明：.證明：（1）在平面中，過(guò)作交于點(diǎn)，連接，因?yàn)?，所?又，所以.又，所以，所以四邊形為平行四邊形.所以，又平面，平面，所以平面.（2）因?yàn)榈酌妫矫?，所?在平面中，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面，平面平面，所以平面，又平面，所?又平面，平面，，所以平面.又平面，所以.19.近年來(lái)，“直播帶貨”受到越來(lái)越多人的喜愛(ài)，目前已經(jīng)成為推動(dòng)消費(fèi)的一種流行營(yíng)銷形式.某直播平臺(tái)有800個(gè)直播商家，對(duì)其進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計(jì)，發(fā)現(xiàn)所售商品多為小吃、衣帽、生鮮、玩具、飾品類等，各類直播商家所占比例如圖①所示.為了更好地服務(wù)買(mǎi)賣(mài)雙方，該直播平臺(tái)打算用分層抽樣的方式抽取60個(gè)直播商家進(jìn)行問(wèn)詢交流.（1）應(yīng)抽取小吃類、生鮮類商家各多少家？（2）在問(wèn)詢了解直播商家的利潤(rùn)狀況時(shí)，工作人員對(duì)抽取的60個(gè)商家的平均日利潤(rùn)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)（單位：元），所得頻率直方圖如圖②所示.（i）估計(jì)該直播平臺(tái)商家平均日利潤(rùn)的中位數(shù)與平均數(shù)（求平均數(shù)時(shí)同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)的數(shù)值為代表）；（ii）若將平均日利潤(rùn)超過(guò)470元的商家稱為“優(yōu)質(zhì)商家”，估計(jì)該直播平臺(tái)“優(yōu)質(zhì)商家”的個(gè)數(shù).解：（1）根據(jù)分層抽樣知：應(yīng)抽取小吃類家，生鮮類家，所以應(yīng)抽取小吃類21家，生鮮類9家.（2）（i）根據(jù)題意可得，解得，設(shè)中位數(shù)為x，因?yàn)?，，所以，解得，所以該直播平臺(tái)商家平均日利潤(rùn)的中位數(shù)為元.平均數(shù)為所以該直播平臺(tái)商家平均日利潤(rùn)的平均數(shù)為440元.（ii），所以估計(jì)該直播平臺(tái)“優(yōu)秀商家”的個(gè)數(shù)為256.20.每年的月日為國(guó)際數(shù)學(xué)日，為慶祝該節(jié)日，某中學(xué)舉辦了數(shù)學(xué)文化節(jié)，其中一項(xiàng)活動(dòng)是“數(shù)學(xué)知識(shí)競(jìng)賽”，競(jìng)賽共分為兩輪，每位參賽學(xué)生均須參加兩輪比賽，若其在兩輪競(jìng)賽中均勝出，則視為優(yōu)秀，已知在第一輪競(jìng)賽中，學(xué)生甲、乙勝出的概率分別為，；在第二輪競(jìng)賽中，甲、乙勝出的概率分別為，.甲、乙兩人在每輪競(jìng)賽中是否勝出互不影響.（1）若，求甲恰好勝出一輪的概率；（2）若甲、乙各勝出一輪的概率為，甲、乙都獲得優(yōu)秀的概率為會(huì).（i）求，，的值；（ii）求甲、乙兩人中至少有一人獲得優(yōu)秀的概率.解：（1）設(shè)“甲在第一輪競(jìng)賽中勝出”為事件，“甲在第二輪競(jìng)賽中勝出”為事件，“乙在第一輪競(jìng)賽中勝出”事件，“乙在第二輪競(jìng)賽中勝出”為事件，則，，，相互獨(dú)立，且，，，.設(shè)“甲恰好勝出一輪”為事件，則，，互斥.當(dāng)時(shí)，.所以當(dāng)，甲恰好勝出一輪的概率為.（2）由（1）知，（i）記事件為“甲、乙各勝出一輪”，事件為“甲、乙都獲得優(yōu)秀”，所以，.因?yàn)榧?、乙兩人在每輪?jìng)賽中是否勝出互不影響，所以，，則，解得或（舍去）.綜上，，.（ii）設(shè)事件為“甲獲得優(yōu)秀”，事件為“乙獲得優(yōu)秀”，于是“兩人中至少有一人獲得優(yōu)秀”，且，，所以，，所以.故甲、乙兩人中至少有一人獲得優(yōu)秀的概率為.21.在①，②，③的面積這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，并完成解答.在中，角、、的對(duì)邊分別為、、，已知______.（1）求角；（2）若點(diǎn)在邊上，且，，求.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分解：（1）若選擇①：因?yàn)?，結(jié)合余弦定理，得，即，由正弦定理可得，所以，又，所以，所以，即，又，所以；若選擇②：因?yàn)椋Y(jié)合正弦定理可得，即，，即，又，，故，即，所以，即，因?yàn)?，，所以，得；若選擇③：條件即，又，，所以，即，所以，又因?yàn)?，則，所以，又因?yàn)?，所?（2）設(shè)，則.因?yàn)椋?，故，所以，在中，由正弦定理可得，即，在中，同理可得，，因?yàn)?，所以，即，整理得，?22.如圖，在三棱錐中，底面BCD是邊長(zhǎng)為2的正三角形，平面BCD，點(diǎn)E在棱BC上，且，其中.（1）若二面角為30°，求AB的長(zhǎng)；（2）若，求DE與平面ACD所成角的正弦值的取值范圍.解：（1）取CD中點(diǎn)F，連接BF，AF.因?yàn)闉榈冗吶切危?因?yàn)槠矫鍮CD，BC，平面BCD，所以，，又因?yàn)?，所以，因?yàn)镕為CD中點(diǎn)，所以.因此為二面角的平面角，所以.所以在直角三角形ABF中，.（2）因?yàn)槠矫鍮CD，所以.在中，，所以，所以.設(shè)E到平面ACD的距離為d，所以，所以.因?yàn)?，所以，解?在中，由余弦定理得，所以.設(shè)DE與平面ACD所成角為.則令，則，因?yàn)?，所以，所以，所以DE與平面ACD所成角的正弦值的取值范圍是.江蘇省徐州市2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等填寫(xiě)在答題卡和試卷指定位置上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題〖答案〗后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的〖答案〗標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它〖答案〗標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將〖答案〗寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知復(fù)數(shù)z滿足，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗D〖解析〗因?yàn)椋渣c(diǎn)位于第四象限.故選：D.2.先后兩次擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，則兩次擲出的點(diǎn)數(shù)之和為6的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗先后兩次擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，共有種情況，點(diǎn)數(shù)和為6的有共5種情況，所以概率為，故選：B.3.已知，是兩條不重合的直線，，是兩個(gè)不重合的平面，則下列說(shuō)法正確的是（）A.若，，則 B.若，與所成的角相等，則C.若，，則 D.若，，，則〖答案〗D〖解析〗若，，則或，A錯(cuò)；若，與所成的角相等，則或與相交或異面，B錯(cuò)；若，，則與平行或相交，C錯(cuò)；若，，所以，又，則，D正確.故選：D4.有一組樣本數(shù)據(jù)，，其平均數(shù)為，中位數(shù)為b，方差為c，極差為d.由這組數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)，，，…，，其中，則新樣本數(shù)據(jù)的（）A.樣本平均數(shù)為2a B.樣本中位數(shù)為2bC.樣本方差為4c D.樣本極差為〖答案〗C〖解析〗A選項(xiàng)，由題意得，則，故A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，由于，故的大小排列順序與變化后的的大小排列順序一致，由于的中位數(shù)為，故的中位數(shù)為，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，由題意得，所以，C正確；D選項(xiàng)，由于，故中最大值和最小值，經(jīng)過(guò)變化后仍然為中的最大值和最小值，即，則，D錯(cuò)誤.故選：C5.已知向量，的夾角為，若，則向量在向量上的投影向量為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由得，即，所以，所以向量在向量上的投影向量為.故選：A6.已知，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因?yàn)椋?，即，故?故選：C7.如圖，一種工業(yè)部件是由一個(gè)圓臺(tái)挖去一個(gè)圓錐所制成的.己知圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為和，且圓臺(tái)的母線與底面所成的角為，圓錐的底面是圓臺(tái)的上底面，頂點(diǎn)在圓臺(tái)的下底面上，則該工業(yè)部件的體積為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗根據(jù)題意，該圓臺(tái)的軸截面為等腰梯形，如圖，所以即為圓臺(tái)母線與底面所成角，即，分別過(guò)點(diǎn)、在平面內(nèi)作，，垂足分別為點(diǎn)、，因?yàn)?，則四邊形為矩形，且，因?yàn)?，，，所以，，所以，，且，因?yàn)?，則，所以，圓臺(tái)，圓錐的高均為，所以，該工業(yè)部件的體積為.故選：B.8.在銳角三角形ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知，則的取值范圍是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗因?yàn)?，所以由正弦定理得?即，所以，即，又，所以.因?yàn)殇J角三角形ABC，所以，即，解得..令，因?yàn)椋?，則在單調(diào)遞減，所以.故選：C.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分.9.設(shè)，是復(fù)數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.若是純虛數(shù)，則B.若，則C.若，則D.若，則〖答案〗ACD〖解析〗A.，則，故A正確；B.當(dāng)時(shí)，，但得不出，故B錯(cuò)誤；C.設(shè)，則，，所以，C正確；D.設(shè)則得，又，，故成立，D正確.故選：ACD.10.有個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字、、、，從中不放回的隨機(jī)取兩次，每次取個(gè)球，表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是奇數(shù)”，表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是偶數(shù)”，表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是奇數(shù)”，表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是偶數(shù)”，則（）A.、相互獨(dú)立 B.、相互獨(dú)立C.、相互獨(dú)立 D.、相互獨(dú)立〖答案〗BC〖解析〗對(duì)于A選項(xiàng)，從上述四個(gè)球中不放回的隨機(jī)取兩次，每次取個(gè)球，所有的基本事件有：、、、、、、、、、、、，共種，其中事件包含的基本事件有：、、、、、，共種，事件包含基本事件有：、、、、、，共種，事件包含的基本事件有：、、、、、、、，共種，事件包含的基本事件有：、、、，共種，對(duì)于A選項(xiàng)，，，事件包含的基本事件有：、、、，共種，則，故、不相互獨(dú)立，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，事件包含的基本事件有：、，共種，則，又因?yàn)椋瑒t，共、相互獨(dú)立，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，事件包含的基本事件有：、，共種，則，則，故、相互獨(dú)立，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，，故、不相互獨(dú)立，D錯(cuò).故選：BC.11.如圖，在等腰直角三角形ABC中，，，設(shè)點(diǎn)，，，是線段BC的五等分點(diǎn)，則（）A.B.C.D.的最小值為〖答案〗BCD〖解析〗對(duì)于A：，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：同上可得因?yàn)樵诘妊苯侨切蜛BC中，，所以，所以，，所以，故B正確；對(duì)于C：設(shè)的中點(diǎn)為，則所以，故C正確；對(duì)于D：設(shè)的中點(diǎn)為，為線段上一點(diǎn)，設(shè)，則，則，，所以，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，則四邊形為邊長(zhǎng)為1的正方形，故，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為，故D正確.故選：BCD.12.如圖，在矩形ABCD中，，M為邊BC的中點(diǎn)，將沿直線AM翻折成，連接，N為線段的中點(diǎn)，則在翻折過(guò)程中，（）A.異面直線CN與所成的角為定值B.存在某個(gè)位置使得C.點(diǎn)C始終在三棱錐外接球的外部D.當(dāng)二面角為60°時(shí)，三棱錐的外接球的表面積為〖答案〗AC〖解析〗A選項(xiàng)，矩形ABCD中，，M為邊BC的中點(diǎn)，所以為等腰直角三角形，故，，翻折過(guò)程中，，取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)镹為線段的中點(diǎn)，所以，則或的補(bǔ)角為異面直線CN與所成的角，因?yàn)镸為邊BC的中點(diǎn)，所以，且，所以四邊形為平行四邊形，故，所以，其中，由余弦定理得，故，故，所以異面直線CN與所成的角的余弦值為，A正確；B選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，故⊥，假如，因?yàn)?，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，這與矛盾，故假設(shè)不成立，所以不存在某個(gè)位置使得，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，由于⊥，故外接圓的圓心為，設(shè)三棱錐外接球球心為，則⊥平面，連接，則即為三棱錐外接球的半徑，由于，所以，所以點(diǎn)C始終在三棱錐外接球的外部，C正確；D選項(xiàng)，取的中點(diǎn)，連接，，因?yàn)?，所以⊥，且，所以⊥，所以即為二面角為平面角，即，過(guò)點(diǎn)作⊥于點(diǎn)，則，，，因?yàn)椤?，⊥，，所以⊥平面，因?yàn)槠矫妫浴?，因?yàn)?，平面，所以⊥平面，由C選項(xiàng)可知，三棱錐外接球球心為，則⊥平面，過(guò)點(diǎn)作⊥于點(diǎn)，則，，若球心在平面的上方時(shí)，如圖，此時(shí)，由勾股定理得，，故，解得，不合要求，舍去；若球心在平面的下方時(shí)，如圖，此時(shí)，由勾股定理得，，故，解得，滿足要求，代入上式可得外接球半徑為，三棱錐的外接球的表面積為.故當(dāng)二面角為60°時(shí)，三棱錐的外接球表面積為，D錯(cuò)誤.故選：AC三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.己知一組數(shù)據(jù)：24，30，40，44，48，52.則這組數(shù)據(jù)的第30百分位數(shù)、第50百分位數(shù)的平均數(shù)為_(kāi)_____.〖答案〗36〖解析〗因?yàn)?，故這組數(shù)據(jù)的第30百分位數(shù)為30，因?yàn)?，所以?0百分位數(shù)為，所以這組數(shù)據(jù)的第30百分位數(shù)、第50百分位數(shù)的平均數(shù)為，故〖答案〗為：36．14.已知，，則的值為_(kāi)_____.〖答案〗〖解析〗由，代入，解得，.故〖答案〗為：.15.在中，角、、的對(duì)邊分別為、、，已知，與的平分線交于點(diǎn)，則的值為_(kāi)_____.〖答案〗〖解析〗由，可得，由正弦定理可得，即，整理可得，由余弦定理可得，因?yàn)椋瑒t，所以，，因?yàn)榕c的平分線交于點(diǎn)，所以，.故〖答案〗為：.16.在正四棱柱中，已知，，則點(diǎn)到平面的距離為_(kāi)_____；以A為球心，2為半徑的球面與該棱柱表面的交線的總長(zhǎng)度為_(kāi)_____.〖答案〗①.②.〖解析〗空1：由題意可得：，因?yàn)槠矫?，平面，可得，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為d,因?yàn)?，則，解得，即點(diǎn)到平面的距離為；空2：由題意可知：球A僅與平面ABCD、平面、平面和平面相交，因?yàn)?，此時(shí)球A與平面的交線為半徑為2的圓的，則交線的長(zhǎng)度為；設(shè)球A與棱的交點(diǎn)為，即，可得，則，且為銳角，則，即，所以球A與平面的交線為半徑為2的圓的，則交線的長(zhǎng)度為；同理可得：球A與平面的交線的長(zhǎng)度；可知，所以球A與平面的交線為半徑為的圓的，則交線的長(zhǎng)度為；所以球面與該棱柱表面的交線的總長(zhǎng)度為.故〖答案〗為：；.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.已知向量，.（1）若∥，求；（2）若，求.解：（1）因?yàn)椤?，向量，所以，?dāng)時(shí)，不成立，則，從而，所以（2）因?yàn)?，所以，即，故，因?yàn)?，所?當(dāng)時(shí)，不成立，則，故，所以.18.如圖，四棱錐的底面為梯形，，，底面，平面平面，點(diǎn)在棱上，且.（1）證明：平面；（2）證明：.證明：（1）在平面中，過(guò)作交于點(diǎn)，連接，因?yàn)?，所?又，所以.又，所以，所以四邊形為平行四邊形.所以，又平面，平面，所以平面.（2）因?yàn)榈酌妫矫?，所?在平面中，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，因?yàn)槠矫嫫矫妫矫?，平面平面，所以平面，又平面，所?又平面，平面，，所以平面.又平面，所以.19.近年來(lái)，“直播帶貨”受到越來(lái)越多人的喜愛(ài)，目前已經(jīng)成為推動(dòng)消費(fèi)的一種流行營(yíng)銷形式.某直播平臺(tái)有800個(gè)直播商家，對(duì)其進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計(jì)，發(fā)現(xiàn)所售商品多為小吃、衣帽、生鮮、玩具、飾品類等，各類直播商家所占比例如圖①所示.為了更好地服務(wù)買(mǎi)賣(mài)雙方，該直播平臺(tái)打算用分層抽樣的方式抽取60個(gè)直播商家進(jìn)行問(wèn)詢交流.（1）應(yīng)抽取小吃類、生鮮類商家各多少家？（2）在問(wèn)詢了解直播商家的利潤(rùn)狀況時(shí)，工作人員對(duì)抽取的60個(gè)商家的平均日利潤(rùn)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)（單位：元），所得頻率直方圖如圖②所示.（i）估計(jì)該直播平臺(tái)商家平均日利潤(rùn)的中位數(shù)與平均數(shù)（求平均數(shù)時(shí)同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)的數(shù)值為代表）；（ii）若將平均日利潤(rùn)超過(guò)470元的商家稱為“優(yōu)質(zhì)商家”，估計(jì)該直播平臺(tái)“優(yōu)質(zhì)商家”的個(gè)數(shù).解：（1）根據(jù)分層抽樣知：應(yīng)抽取小吃類家，生鮮類家，所以應(yīng)抽取小吃類21家，生鮮類9家.（2）（i）根據(jù)題意可得，解得，設(shè)中位數(shù)為x，因?yàn)?，，所以，解得，所以該直播平臺(tái)商家平均日利潤(rùn)的中位數(shù)為元.平均數(shù)為所以該直播平臺(tái)商家平均日利潤(rùn)的平均數(shù)為440元.（ii），所以估計(jì)該直播平臺(tái)“優(yōu)秀商家”的個(gè)數(shù)為256.20.每年的月日為國(guó)際數(shù)