適用于新高考新教材廣西專(zhuān)版2025屆高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)第九章平面解析幾何指點(diǎn)迷津八課件

指點(diǎn)迷津(八)第九章求曲線軌跡方程的方法曲線C與方程F(x,y)=0滿足兩個(gè)條件:(1)曲線C上點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程F(x,y)=0的解;(2)以方程F(x,y)=0的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線C上.則稱曲線C為方程F(x,y)=0的曲線,方程F(x,y)=0為曲線C的方程.求曲線方程的基本方法主要有:(1)直接法:直接將幾何條件或等量關(guān)系表示為代數(shù)方程;(2)定義法:利用曲線的定義,判斷曲線類(lèi)型,再由曲線的定義直接寫(xiě)出曲線方程;(3)代入法(相關(guān)點(diǎn)法):題中有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),一個(gè)為所求,設(shè)為(x,y),另一個(gè)在已知曲線上運(yùn)動(dòng),設(shè)為(x0,y0),利用已知條件找出兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系,用所求表示已知,即(5)交軌法:引入?yún)?shù)表示兩動(dòng)曲線的方程,將參數(shù)消去,得到兩動(dòng)曲線交點(diǎn)的軌跡方程.一、直接法求軌跡方程例1.已知圓C:x2+y2+2x-4y+1=0,O為坐標(biāo)原點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)P在圓C外,過(guò)點(diǎn)P作圓C的切線,切點(diǎn)為M.(1)若點(diǎn)P(1,3),求此時(shí)的切線l的方程;(2)當(dāng)|PM|=|PO|時(shí),求點(diǎn)P的軌跡方程.解

(1)圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+1)2+(y-2)2=4.當(dāng)切線斜率不存在時(shí),直線為x=1,滿足條件;當(dāng)切線斜率存在時(shí),切線方程可以設(shè)為l:y-3=k(x-1),即kx-y+3-k=0.切線方程為3x+4y-15=0或x=1.(2)設(shè)P(x,y).∵|PM|=|PO|,且2|PO|2=2x2+2y2,∴|PM|2=|PC|2-|CM|2=(x+1)2+(y-2)2-4=2x2+2y2,∴x2+y2-2x+4y-1=0,∴點(diǎn)P的軌跡方程為(x-1)2+(y+2)2=6.名師點(diǎn)析直接法求軌跡方程的兩種策略

對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1(2023山東日照統(tǒng)考二模)古希臘亞歷山大時(shí)期一位重要的幾何學(xué)家帕普斯(Pappus,公元3世紀(jì)末)在其代表作《數(shù)學(xué)匯編》中研究了“三線軌跡”問(wèn)題:即到兩條已知直線距離的乘積與到第三條直線距離的平方之比等于常數(shù)的動(dòng)點(diǎn)軌跡為圓錐曲線.今有平面內(nèi)三條給定的直線l1,l2,l3,且l2,l3均與l1垂直.若動(dòng)點(diǎn)M到l2,l3的距離的乘積是M到l1的距離的平方的4倍,則動(dòng)點(diǎn)M在直線l2,l3之間(含邊界)的軌跡是(

)A.圓

B.橢圓C.雙曲線 D.拋物線答案

B

解析

由在平面內(nèi)三條給定的直線l1,l2,l3,且l2,l3均與l1垂直,知l2,l3平行.不妨取直線l1為y=0,l2為x=-a,l3為x=a(a>0).設(shè)M(x,y),且動(dòng)點(diǎn)M在直線l2,l3之間,∴-a<x<a,M到l1的距離為|y|,M到l2的距離為x+a,M到l3的距離為a-x.由動(dòng)點(diǎn)M到l2,l3的距離的乘積與到l1的距離的平方的4倍相等,有4y2=(a-x)(a+x),即4y2=a2-x2,即x2+4y2=a2,其中-a<x<a,故動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為橢圓.故選B.二、定義法求軌跡方程

例2.在平面直角坐標(biāo)系中,動(dòng)圓M與圓x2+y2-2x+=0外切,同時(shí)與圓x2+y2+2x-=0內(nèi)切,求動(dòng)圓圓心M的軌跡方程.方法總結(jié)利用定義法求軌跡方程時(shí),還要看軌跡是否是完整的圓(或橢圓、雙曲線、拋物線),如果不是完整的曲線,則應(yīng)對(duì)其中的變量x或y進(jìn)行限制.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2(2023浙江金華模擬)折紙是很多人喜愛(ài)的游戲,通過(guò)自己動(dòng)手折紙,可以激發(fā)和培養(yǎng)審美情趣,鍛煉雙手,開(kāi)發(fā)智力,提高實(shí)踐技能.一張圓形紙片的半徑為8,圓心O到定點(diǎn)A的距離為6,在圓周上任取一點(diǎn)P,將圓形紙片折起,使得P與A重合,折痕記為直線l,直線l與直線OP的交點(diǎn)為Q.將此操作多次重復(fù),則Q點(diǎn)的軌跡是

.(填“圓”“橢圓”“雙曲線”“拋物線”)

答案

橢圓

解析

如圖,在圓周上任取一點(diǎn)P,將圓形紙片折起,使得P與A重合,折痕記為直線l,直線l與直線OP的交點(diǎn)為Q,則|QP|=|QA|.由題意可知,圓O的半徑為8,且|OA|=6,|QA|+|QO|=|QP|+|QO|=8>|AO|=6,即點(diǎn)Q的軌跡為橢圓.三、代入法(相關(guān)點(diǎn)法)求軌跡方程例3.在△ABC中,A(-2,0),B(2,0),AC與BC斜率的積(1)求點(diǎn)C的軌跡方程;(2)若P(4,0),求PC的中點(diǎn)M的軌跡方程.解(1)設(shè)點(diǎn)C坐標(biāo)為(x,y),因?yàn)锳C,BC存在斜率,所以x≠±2,且y≠0.方法總結(jié)利用代入法求軌跡方程的一般步驟

(1)求點(diǎn)N的軌跡方程;(2)當(dāng)點(diǎn)N的軌跡為圓時(shí),求λ的值.四、參數(shù)法求軌跡方程

例4.如圖,橢圓C:

=1的右頂點(diǎn)為A,上頂點(diǎn)為B,動(dòng)直線交橢圓C于M,N兩點(diǎn),且滿足∠MON=90°,過(guò)原點(diǎn)O作OH⊥MN,垂足為H.求點(diǎn)H的軌跡方程.解

設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2).當(dāng)直線MN斜率不為零時(shí),設(shè)直線MN的方程為x=my+t.因?yàn)椤螹ON=90°,所以MO⊥ON,所以x1x2+y1y2=(my1+t)(my2+t)+y1y2=(m2+1)y1y2+mt(y2+y1)+t2=0,方法總結(jié)應(yīng)用消參法求軌跡方程的流程選參→求參→消參→注意消參后曲線的范圍是否發(fā)生變化對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練4已知拋物線x2=2py(p>0)上的任意一點(diǎn)到P(0,1)的距離比到x軸的距離大1.(1)求拋物線的方程;(2)若過(guò)點(diǎn)(0,2)的直線l與拋物線交于A,B兩點(diǎn),過(guò)A,B兩點(diǎn)分別作拋物線的切線,兩條切線交于點(diǎn)Q,求△QAB重心G的軌跡方程.解

(1)由拋物線的定義可得p=2,所以拋物線的方程為x2=4y.(2)由題意可得直線AB的斜率存在,設(shè)斜率為k,A(x1,y1),B(x2,y2),則直線AB的方程為y=kx+2.代入拋物線方程,得x2-4kx-8=0,Δ=(-4k)2-4×(-8)>0,x1+x2=4k,x1x2=-8.五、交軌法求軌跡方程例5.如圖,已知橢圓C:

=1的短軸端點(diǎn)分別為B1,B2,點(diǎn)M是橢圓C上的動(dòng)點(diǎn),且不與點(diǎn)B1,點(diǎn)B2重合,點(diǎn)N滿足NB1⊥MB1,NB2⊥MB2,求動(dòng)點(diǎn)N的軌跡方程.解

(方法1)設(shè)N(x,y),M(x0,y0)(x0≠0