2023-2024學年湖南省株洲市醴陵第二中學、醴陵第四中學高一數學第二學期期末檢測試題含解析

2023-2024學年湖南省株洲市醴陵第二中學、醴陵第四中學高一數學第二學期期末檢測試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．若則一定有（）A． B． C． D．2．已知，且，則（）A． B． C． D．3．等差數列{an}中，若S1=1A．2019 B．1 C．1009 D．10104．從裝有4個紅球和3個白球的袋中任取2個球，那么下列事件中，是對立事件的是（）A．至少有1個白球；都是紅球 B．至少有1個白球；至少有1個紅球C．恰好有1個白球；恰好有2個白球 D．至少有1個白球；都是白球5．設變量滿足約束條件，則目標函數的最大值是（）A．7 B．5 C．3 D．26．式子的值為()A． B．0 C．1 D．7．內角，，的對邊分別為，，.已知，，，則這樣的三角形有（）A．0個 B．1個 C．2個 D．1個或2個8．已知是定義在上的偶函數，且在上遞增，那么一定有（）A． B．C． D．9．若三個球的半徑的比是1：2：3，則其中最大的一個球的體積是另兩個球的體積之和的（）倍．A．95 B．2 C．5210．直線與直線的交點在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．若，則函數的值域為________.12．若正實數，滿足，則的最小值是________.13．若等比數列滿足，且公比，則_____.14．如圖，為了測量樹木的高度，在處測得樹頂的仰角為，在處測得樹頂的仰角為，若米，則樹高為______米.15．已知為等差數列，，，，則______.16．已知直線：與直線：平行，則______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．如圖,在四棱錐中,丄平面,，，，，.(1)證明丄;(2)求二面角的正弦值;(3)設為棱上的點,滿足異面直線與所成的角為,求的長.18．已知平面向量，．（1）若與垂直，求；（2）若，求．19．在中，（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，，求的值20．某校從高一年級的一次月考成績中隨機抽取了50名學生的成績（滿分100分，且抽取的學生成績都在內），按成績分為，，，，五組，得到如圖所示的頻率分布直方圖.（1）用分層抽樣的方法從月考成績在內的學生中抽取6人，求分別抽取月考成績在和內的學生多少人；（2）在（1）的前提下，從這6名學生中隨機抽取2名學生進行調查，求月考成績在內至少有1名學生被抽到的概率.21．設函數．（1）求函數的最小正周期．（2）求函數的單調遞減區(qū)間；（3）設為的三個內角，若，，且為銳角，求．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、D【解析】本題主要考查不等關系．已知,所以，所以，故．故選2、A【解析】

根據，，利用平方關系得到，再利用商數關系得到，最后用兩和的正切求解.【詳解】因為，，所以，所以，所以．故選：A【點睛】本題主要考查了同角三角函數基本關系式和兩角和的正切公式，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.3、D【解析】

由等差數列{an}中，S1=1，S【詳解】∵等差數列{an}中，S∴S即15=5+10d，解得d=1，∴S故選：D．【點睛】本題考查等差數列基本量的求法，考查等差數列的性質等基礎知識，考查運算求解能力，屬于基礎題．4、A【解析】

根據對立事件的定義判斷．【詳解】從裝有4個紅球和3個白球的袋內任取2個球，在A中，“至少有1個白球”與“都是紅球”不能同時發(fā)生且必有一個事件會發(fā)生，是對立事件.在B中，“至少有1個白球”與“至少有1個紅球”可以同時發(fā)生，不是互斥事件.在C中，“恰好有1個白球”與“恰好有2個白球”是互斥事件，但不是對立事件.在D中，“至少有1個白球”與“都是白球”不是互斥事件.故選：A.5、B【解析】

由約束條件作出可行域，化目標函數為直線方程的斜截式，數形結合得到最優(yōu)解，聯立方程組求得最優(yōu)解的坐標，把最優(yōu)解的坐標代入目標函數得結論.【詳解】畫出約束條件，表示的可行域，如圖，由可得，將變形為，平移直線，由圖可知當直經過點時，直線在軸上的截距最大，最大值為，故選B.【點睛】本題主要考查線性規(guī)劃中，利用可行域求目標函數的最值，屬于簡單題.求目標函數最值的一般步驟是“一畫、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是實線還是虛線）；（2）找到目標函數對應的最優(yōu)解對應點（在可行域內平移變形后的目標函數，最先通過或最后通過的頂點就是最優(yōu)解）；（3）將最優(yōu)解坐標代入目標函數求出最值.6、D【解析】

利用兩角和的正弦公式可得原式為cos（），再由特殊角的三角函數值可得結果.【詳解】cos（）＝coscos，故選D．【點睛】本題考查兩角和的余弦公式，熟練掌握兩角和與差的余弦公式以及特殊角的三角函數值是解題的關鍵，屬于基礎題.7、C【解析】

根據和的大小關系，判斷出解的個數.【詳解】由于，所以，故解的個數有兩個.如圖所示兩個解.故選：C【點睛】本小題主要考查正弦定理的運用過程中，三角形解的個數判斷，屬于基礎題.8、D【解析】

根據題意,結合,可知,再利用偶函數的性質即可得出結論.【詳解】是定義在上的偶函數,,在上遞增,,即,故選:D.【點睛】本題考查函數奇偶性與單調性的簡單應用,判斷出是解題關鍵.9、D【解析】

設最小球的半徑為R，根據比例關系即可得到另外兩個球的半徑，再利用球的體積公式表示出三個球的體積，即可得到結論?！驹斀狻吭O最小球的半徑為R，由三個球的半徑的比是1：2：3，可得另外兩個球的半徑分別為2R，3R；∴最小球的體積V1=43π∴V故答案選D【點睛】本題主要考查球體積的計算公式，屬于基礎題。10、B【解析】

聯立方程組，求得交點的坐標，即可得到答案.【詳解】由題意，聯立方程組：，解得，即兩直線的交點坐標為，在第二象限，選B.【點睛】本題主要考查了兩條直線的位置關系的應用，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

令，結合可得，本題轉化為求二次函數在的值域，求解即可.【詳解】，.令，，則，由二次函數的性質可知，當時，；當時，.故所求值域為.【點睛】本題考查了函數的值域，利用換元法是解決本題的一個方法.12、【解析】

將配湊成，由此化簡的表達式，并利用基本不等式求得最小值.【詳解】由得，所以.當且僅當，即時等號成立.故填：.【點睛】本小題主要考查利用基本不等式求和式的最小值，考查化歸與轉化的數學思想方法，屬于中檔題.13、.【解析】

利用等比數列的通項公式及其性質即可得出．【詳解】，故答案為：1．【點睛】本題考查了等比數列的通項公式及其性質，考查了推理能力與計算能力，屬于容易題．14、【解析】

先計算，再計算【詳解】在處測得樹頂的仰角為，在處測得樹頂的仰角為則在中，故答案為【點睛】本題考查了三角函數的應用，也可以用正余弦定理解答.15、【解析】

由等差數列的前項和公式，代入計算即可.【詳解】已知為等差數列，且，，所以，解得或（舍）故答案為【點睛】本題考查了等差數列前項和公式的應用，屬于基礎題.16、4【解析】

利用直線平行公式得到答案.【詳解】直線：與直線：平行故答案為4【點睛】本題考查了直線平行的性質，屬于基礎題型.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)見證明；(2)；(3)【解析】

（1）要證異面直線垂直，即證線面垂直，本題需證平面（2）作于點，連接．為二面角的平面角，在中解出即可．（3）過點作的平行線與線段相交，交點為，連接，；計算出AF、BF，再在中利用的余弦公式，解出EF,即可求出AE的長【詳解】（1）證明：由平面，可得，又由，，故平面．又平面，所以．（2）如圖，作于點，連接．由，，可得平面．因此，從而為二面角的平面角．在中，，，由此得由（1）知，故在中，因此所以二面角的正弦值為．（3）因為，故過點作的平行線必與線段相交，設交點為，連接，；∴或其補角為異面直線與所成的角；由于，故；在中，，；∴；∴在中，由，，可得：；由余弦定理，可得，，解得：，設；在中，；在中，；∴在中，，∴；；解得；∴．【點睛】本題主要考查線線垂直、二面角的平面角、異面直線所成角的．屬于中檔題．18、（1）；（2）【解析】

(1)根據垂直數量積為0求解即可.(2)根據平行的公式求解,再計算即可.【詳解】解：（1）由已知得,,解得或．因為,所以．（2）若,則,所以或．因為,所以．所以,所以．【點睛】本題主要考查了向量垂直與平行的運用以及模長的計算,屬于基礎題型.19、（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）由正弦定理、二倍角公式，結合可將已知邊角關系式化簡為，從而求得，根據可求得；（Ⅱ）由三角形面積公式可求得；利用余弦定理可構造方程求得結果.【詳解】（Ⅰ）由正弦定理得：，即（Ⅱ）由得：由余弦定理得：【點睛】本題考查解三角形的相關知識，涉及到正弦定理化簡邊角關系式、余弦定理和三角形面積公式的應用，屬于?？碱}型.20、（1）有4人，有2人；（2）【解析】

（1）由頻率分布直方圖，求出成績在和內的頻率的比值，再按比例抽取即可；（2）由古典概型的概率的求法，先求出從這6名學生中隨機抽取2名學生的所有不同取法，再求出被抽到的學生至少有1名月考成績在內的不同取法，再求解即可.【詳解】解：（1）因為，所以，則月考成績在內的學生有人；月考成績在內的學生有人，則成績在和內的頻率的比值為，故用分層抽樣的方法從月考成績在內的學生中抽取4人，從月考成績在內的學生中抽取2人.（2）由（1）可知，被抽取的6人中有4人的月考成績在內，分別記為，，，；有2人的月考成績在內，分別記為，.則從這6名學生中隨機抽取2名學生的情況為，，，，，，，，，，，，，，，共15種；被抽到的學生至少有1名月考成績在內的情況為，，，，，，，，，共9種.故月考成績內至少有1名學生被抽到的概率為.【點睛】本題考查了分層抽樣，重點考查