湖南省岳陽(yáng)臨湘市2024年高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末考試試題含解析

湖南省岳陽(yáng)臨湘市2024年高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末考試試題考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．已知向量，.且，則（）A．2 B． C． D．2．設(shè)，且，則的最小值為（）A． B． C． D．3．中，，則（）A． B． C．或 D．4．一個(gè)四面體的三視圖如圖所示，則該四面體的表面積是（）A． B．C． D．5．過點(diǎn)且與點(diǎn)距離最大的直線方程是（）A． B．C． D．6．在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且滿足，若，則周長(zhǎng)的最大值為（）A．9 B．10 C．11 D．127．如圖，三棱柱中，側(cè)棱底面ABC，，，，則異面直線與所成角的余弦值為（）A． B． C． D．8．已知的三邊滿足，則的內(nèi)角C為（）A． B． C． D．9．取一根長(zhǎng)度為的繩子，拉直后在任意位置剪斷，則剪得兩段繩有一段長(zhǎng)度不小于的概率是（）A． B． C． D．10．已知函數(shù)，將的圖象上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的，縱坐標(biāo)保持不變；再把所得圖象向上平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，若，則的值可能為（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知等比數(shù)列的公比為，關(guān)于的不等式有下列說法：①當(dāng)吋，不等式的解集②當(dāng)吋，不等式的解集為③當(dāng)>0吋，存在公比，使得不等式解集為④存在公比，使得不等式解集為R.上述說法正確的序號(hào)是_______.12．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的_______．13．已知數(shù)列{an}、{bn}都是公差為1的等差數(shù)列，且a1+b1=514．若，，則的值為______．15．如圖記錄了甲乙兩名籃球運(yùn)動(dòng)員練習(xí)投籃時(shí)，進(jìn)行的5組100次投籃的命中數(shù)，若這兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等，平均數(shù)也相等，則______，_________.16．某次體檢，6位同學(xué)的身高（單位：米）分別為1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是_________（米）.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知不經(jīng)過原點(diǎn)的直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，且點(diǎn)在直線上.（1）求直線的方程；（2）過點(diǎn)作直線，若直線，與軸圍成的三角形的面積為2，求直線的方程.18．如圖所示，在直三棱柱中，，平面，D為AC的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求證：平面；（3）設(shè)E是上一點(diǎn)，試確定E的位置使平面平面BDE，并說明理由.19．有同一型號(hào)的汽車100輛，為了解這種汽車每耗油所行路程的情況，現(xiàn)從中隨機(jī)地抽出10輛，在同一條件下進(jìn)行耗油所行路程的試驗(yàn)，得到如下樣本數(shù)據(jù)(單位：km)：13.7，12.7，14.4，13.8，13.3，12.5，13.5，13.6，13.1，13.4，并分組如下：(1)完成上面的頻率分布表；(2)根據(jù)上表，在坐標(biāo)系中畫出頻率分布直方圖.20．某校舉行漢字聽寫比賽，為了了解本次比賽成績(jī)情況，從得分不低于50分的試卷中隨機(jī)抽取100名學(xué)生的成績(jī)(得分均為整數(shù)，滿分100分)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，請(qǐng)根據(jù)頻率分布表中所提供的數(shù)據(jù)，解答下列問題：組號(hào)分組頻數(shù)頻率第1組[50，60)50.05第2組[60，70)0.35第3組[70，80)30第4組[80，90)200.20第5組[90，100]100.10合計(jì)1001.00（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若從成績(jī)較好的第3、4、5組中按分層抽樣的方法抽取6人參加市漢字聽寫比賽，并從中選出2人做種子選手，求2人中至少有1人是第4組的概率．21．如圖所示，經(jīng)過村莊有兩條夾角為的公路，根據(jù)規(guī)劃要在兩條公路之間的區(qū)域內(nèi)修建一工廠，分別在兩條公路邊上建兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)（異于村莊），要求（單位：千米），記.（1）將用含的關(guān)系式表示出來；（2）如何設(shè)計(jì)（即為多長(zhǎng)時(shí)），使得工廠產(chǎn)生的噪聲對(duì)居民影響最?。垂S與村莊的距離最大）？

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、B【解析】

通過得到，再利用和差公式得到答案.【詳解】向量，.且故答案為B【點(diǎn)睛】本題考查了向量平行，正切值的計(jì)算，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.2、D【解析】

本題首先可將轉(zhuǎn)化為，然后將其化簡(jiǎn)為，最后利用基本不等式即可得出結(jié)果．【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)成立，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查利用基本不等式求最值，基本不等式公式為，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，是簡(jiǎn)單題．3、A【解析】

根據(jù)正弦定理，可得，然后根據(jù)大邊對(duì)大角，可得結(jié)果..【詳解】由，所以由，所以故，所以故選：A【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題.4、B【解析】

試題分析：由三視圖可知，該幾何體是如下圖所示的三棱錐，其中平面平面，,且，，所以，與均為正三角形，且邊長(zhǎng)為，所以，故該三棱錐的表面各為，故選B．考點(diǎn)：1．三視圖；2．多面體的表面積與體積．5、C【解析】

過點(diǎn)且與點(diǎn)距離最大的直線滿足:，根據(jù)兩直線互相垂直，斜率的關(guān)系可以求出直線的斜率，寫出點(diǎn)斜式方程，最后化成一般方程，選出正確的選項(xiàng).【詳解】因?yàn)檫^點(diǎn)且與點(diǎn)距離最大的直線滿足:，所以有，而，所以直線方程為，故本題選C.【點(diǎn)睛】本題考查了直線與直線垂直時(shí)斜率的性質(zhì)，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.6、D【解析】

利用正弦定理和三角函數(shù)關(guān)系式，求得的值，由角的范圍求出角的的大小，再由條件和余弦定理列出方程，結(jié)合基本不等式，即可求解.【詳解】由，根據(jù)正弦定理可得，因?yàn)?，所以，所以，即，又由，所以，由余弦定理可得，又因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，又由，所以，即，所以三角形的周長(zhǎng)的最大值為.故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理、余弦定理和正弦函數(shù)的性質(zhì)，以及基本不等式的應(yīng)用綜合應(yīng)用，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于中檔試題.7、A【解析】

以為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系,由已知求與的坐標(biāo),由兩向量所成角的余弦值求解異面直線與所成角的余弦值．【詳解】如圖,以為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系,由已知得：,,所以,.設(shè)異面直線與所成角,則故異面直線與所成角的余弦值為.故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用空間向量求解線線角的問題,屬于基礎(chǔ)題.8、C【解析】原式可化為,又,則C=,故選C.9、A【解析】

設(shè)其中一段的長(zhǎng)度為，可得出另一段長(zhǎng)度為，根據(jù)題意得出的取值范圍，再利用幾何概型的概率公式可得出所求事件的概率.【詳解】設(shè)其中一段的長(zhǎng)度為，可得出另一段長(zhǎng)度為，由于剪得兩段繩有一段長(zhǎng)度不小于，則或，可得或.由于，所以，或.由幾何概型的概率公式可知，事件“剪得兩段繩有一段長(zhǎng)度不小于”的概率為，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查長(zhǎng)度型幾何概型概率公式的應(yīng)用，解題時(shí)要將問題轉(zhuǎn)化為區(qū)間型的幾何概型來計(jì)算概率，考查分析問題以及運(yùn)算求解能力，屬于中等題.10、C【解析】

利用二倍角公式與輔助角公式將函數(shù)的解析式化簡(jiǎn)，然后利用圖象變換規(guī)律得出函數(shù)的解析式為，可得函數(shù)的值域?yàn)?，結(jié)合條件，可得出、均為函數(shù)的最大值，于是得出為函數(shù)最小正周期的整數(shù)倍，由此可得出正確選項(xiàng).【詳解】函數(shù)，將函數(shù)的圖象上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，得的圖象；再把所得圖象向上平移個(gè)單位，得函數(shù)的圖象，易知函數(shù)的值域?yàn)?若，則且，均為函數(shù)的最大值，由，解得；其中、是三角函數(shù)最高點(diǎn)的橫坐標(biāo)，的值為函數(shù)的最小正周期的整數(shù)倍，且．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)圖象變換，同時(shí)也考查了正弦型函數(shù)與周期相關(guān)的問題，解題的關(guān)鍵在于確定、均為函數(shù)的最大值，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、③【解析】

利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，解不等式后可得結(jié)論．【詳解】由題意，不等式變?yōu)椋?，若，則，當(dāng)或時(shí)解為，當(dāng)或時(shí)，解為，時(shí)，解為；若，則，當(dāng)或時(shí)解為，當(dāng)或時(shí)，解為，時(shí)，不等式無解．對(duì)照A、B、C、D，只有C正確．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查解一元二次不等式，難點(diǎn)是解一元二次不等式，注意分類討論，本題中需對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)分正負(fù)，然后以要對(duì)兩根分大小，另外還有一個(gè)是相應(yīng)的一元二次方程是否有實(shí)數(shù)解分類（本題已經(jīng)有兩解，不需要這個(gè)分類）．12、【解析】

按照程序框圖運(yùn)行程序，直到a的值滿足a>100時(shí)，輸出結(jié)果即可.【詳解】第一次循環(huán)：a=3；第二次循環(huán)：a=7；第三次循環(huán)：a=15；第四次循環(huán)：a=31；第五次循環(huán)：a=63；第六次循環(huán)：a=127，a>100，所以輸出a.所以本題答案為127.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)程序框圖中的循環(huán)結(jié)構(gòu)計(jì)算輸出結(jié)果的問題，屬于基礎(chǔ)題.13、1【解析】

根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式把a(bǔ)bn轉(zhuǎn)化到a1+(bn-1)【詳解】S=[=[=na1=4n+n(n-1)故答案為：12【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和的應(yīng)用，利用分組求和法是解決本題的關(guān)鍵．14、【解析】

求出，將展開即可得解．【詳解】因?yàn)椋?，所以，所?【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角恒等式及兩角和的正弦公式，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．15、3.5.【解析】

根據(jù)莖葉圖,將兩組數(shù)據(jù)按照從小到大順序排列,由中位數(shù)和平均數(shù)相等,即可解得的值.【詳解】甲乙兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等,平均數(shù)也相等對(duì)于甲組將數(shù)據(jù)按照從小到大順序排列后可知,中位數(shù)為65.所以乙組中位數(shù)也為65.根據(jù)乙組數(shù)據(jù)可得則由兩組的平均數(shù)相等,可知兩組的總數(shù)也相等,即解得故答案為:;【點(diǎn)睛】本題考查了莖葉圖的簡(jiǎn)單應(yīng)用,由莖葉圖求中位數(shù)和平均數(shù),屬于基礎(chǔ)題.16、1.76【解析】

將這6位同學(xué)的身高按照從低到高排列為：1.69,1.72,1.75，1.77,1.78，1.80，這六個(gè)數(shù)的中位數(shù)是1.75與1.77的平均數(shù)，顯然為1.76.【考點(diǎn)】中位數(shù)的概念【點(diǎn)睛】本題主要考查中位數(shù)的概念，是一道基礎(chǔ)題目.從歷年高考題目看，涉及統(tǒng)計(jì)的題目，往往不難，主要考查考生的視圖、用圖能力，以及應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題的能力.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）或.【解析】

（1）根據(jù)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等列出直線方程，然后代入點(diǎn)即可求出直線方程；（2）首先根據(jù)直線過點(diǎn)設(shè)出直線方程，然后列出三角形的面積公式，根據(jù)面積等于2求出直線的方程.【詳解】（1）因?yàn)橹本€在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，設(shè)直線：，將點(diǎn)代入方程，得，所以直線的方程為；（2）①若直線的斜率不存在，則直線的方程為，直線，直線和軸圍成的三角形的面積為2，則直線的方程為符合題意，②若直線的斜率，則直線與軸沒有交點(diǎn)，不符合題意，③若直線的斜率，設(shè)其方程為，令，得，由（1）得直線交軸，依題意有，即，解得，所以直線的方程為，即，綜上，直線的方程為或.【點(diǎn)睛】本題考查了直線方程的求解與直線方程的綜合應(yīng)用，屬于中檔題.18、（1）證明見詳解，（2）證明見詳解，（3）當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，平面平面BDE，證明見詳解【解析】

（1）連接與相交于，可得，結(jié)合線面平行的判定定理即可證明平面（2）先證明和即可得出平面，然后可得，又，即可證明平面（3）當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，平面平面BDE，由已知易得，結(jié)合平面可得平面，進(jìn)而根據(jù)面面垂直的判定定理得到結(jié)論.【詳解】（1）如圖，連接與相交于，則為的中點(diǎn)連接，又為的中點(diǎn)所以，又平面，平面所以平面（2）因?yàn)?，所以四邊形為正方形所以又因?yàn)槠矫?，平面所以所以平面，所以又在直三棱柱中，所以平面?）當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，平面平面BDE因?yàn)榉謩e是的中點(diǎn)所以,因?yàn)槠矫嫠云矫妫制矫嫠云矫嫫矫鍮DE【點(diǎn)睛】本題考查的是立體幾何中線面平行和垂直的證明，要求我們要熟悉并掌握平行與垂直有關(guān)的判定定理和性質(zhì)定理，在證明的過程中要注意步驟的完整.19、（1）見解析；（2）見解析【解析】

（1）通過所給數(shù)據(jù)算出頻數(shù)和頻率值，并填入表格中；（2）計(jì)算每組數(shù)中的頻率除以組距的值，再畫出直方圖.【詳解】(1)頻率分布表如下：分組頻數(shù)頻率[12.45,12.95)20.2[12.95,13.45)30.3[13.45,13.95)40.4[13.95,14.45)10.1合計(jì)101.0(2)頻率分布直方圖如圖所示：【點(diǎn)睛】本題考查頻率分布表和頻率分布直方圖的簡(jiǎn)單應(yīng)用，考查基本的數(shù)據(jù)處理能力.20、(1)35，0.30;(2).【解析】試題分析：（Ⅰ）直接利用頻率和等于1求出b，用樣本容量乘以頻率求a的值；（Ⅱ）由分層抽樣方法求出所抽取的6人中第三、第四、第五組的學(xué)生數(shù)，利用列舉法寫出從中任意抽取2人的所有方法種數(shù)，查出2人至少1人來自第四組的事件個(gè)數(shù)，然后利用古典概型的概率計(jì)算公式求解．試題解析：（Ⅰ）a＝100－5－30－20－10＝35，b＝1－0.05－0.35－0.20－0.10＝0.30（Ⅱ）因?yàn)榈?、4、5組共有60名學(xué)生，所以利用分層抽樣在60名學(xué)生中抽取6名學(xué)生，每組分別為，第3組：×30＝3人，第4組：×20＝2人，第5組：×10＝1人，所以第3、4